2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之圓的

對(duì)稱性

一.選擇題（共7小題）

1.（2024秋?銀川校級(jí)期末）如圖，在中，AB=CD,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

AC=BDC.AC=BDD.AD=BD

2.（2025?浦橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB,CZ）是O。的弦，且AB=C。，若/BOD=84°,則NAC。的度

C.46°D.48°

3.（2025?武漢模擬）如圖，在中，點(diǎn)C是檢的中點(diǎn)，垂直平分半徑BD=2位,則該圓的

半徑為（）

D.V7

4.（2025?鄭城縣一模）如圖，點(diǎn)A是優(yōu)弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)E,與圓交于點(diǎn)D若

ZBDC=6Q°,且AE=3,則圓的半徑為（）

A

D

「

A.2V3B.3C.3V2D.3V3

5.（2025?天心區(qū)校級(jí)模擬）如圖，A、B、C、。都是上的點(diǎn)，若CD=BD,ZAOC=108°,則NAO。

)

6.（2025?蕪湖一模）圖1是一個(gè)球形燒瓶，圖2是這個(gè)球形燒杯下半部分的平面示意圖，若。為防的中

7.（2024秋?五河縣期末）下列說法：

①直徑是弦；

②弧是半圓；

③同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)弦心距相等；

④同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；

⑤同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等.其中正確的說法有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

填空題（共5小題）

8.（2025?洪澤區(qū)一模）在。。中，弦AB=2C7W,圓心角/AOB=60°,則。。的直徑為cm.

9.（2025春?新吳區(qū)校級(jí)月考）如圖，AB是。。的直徑，Z￡=35°,則

10.（2024秋?巴南區(qū)期末）如圖，為四邊形AO8C的外接圓，AB=AC,若。是旗的中點(diǎn)，且?！?

2,AC=8,則。。的半徑為,BC=

11.（2023秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在。。中，屈=覺，/B￡）C=20°,則/AOB的度數(shù)是

12.（2024秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是直徑，BC=CD^DE,/BOC=40°,ZAOE的度數(shù)

13.（2025?利辛縣一模）如圖，點(diǎn)A,B,C,。在在中，若8C=A。,

求證：AC—BD.

A

B

14.（2025?桑植縣一模）如圖：AC=CB,D、E分別是半徑。4和05的中點(diǎn)，求證：CD

15.（2024秋?隨州期末）如圖，04,OB,0C都是。0的半徑，AC與03交于點(diǎn)若CD=4,

00=3,求8。的長(zhǎng).

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級(jí)期末必刷?？碱}之圓的

對(duì)稱性

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

答案DDAABCB

選擇題（共7小題）

1.（2024秋?銀川校級(jí)期末）如圖，在中，AB=CD,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AB=CDB.AC=BDC.AC=BDD.AD=BD

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【答案】D

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系得出通=前，AC^BD,AC=BD,即可得出選項(xiàng).

【解答】解：

：.AB=CD,

C.AB-AD^CD-AD,

即公=BD,

：.AC=BD,

和皿無法確定相等，

...無法判斷A。=8。，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系.

2.（2025?潘橋區(qū)校級(jí)模擬）如圖，AB、C￡>是O。的弦，且AB=C￡>,若/BOD=84°,則NAC。的度

數(shù)為（)

D

A

A.42°B.44°C.46°D.48°

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】D

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系求出/AOC=/8OO=84°,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可.

【解答】解:如圖，連接OA,

,：AB^CD,

：.AB=CD,

C.AB-AD=CD-AD,

：.AC=BD,

.?.NAOC=/BO￡>=84°,

'：OA=OC,

1i

AZACO=ZCAO=^(180°-ZAOC)=2x(180°-84°)=48°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓心角、弧的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A心角、弧的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?武漢模擬)如圖，在。。中，點(diǎn)C是砂的中點(diǎn)，垂直平分半徑OA,BD=2小,則該圓的

半徑為()

c

B

A.4B.2C.-V7D.V7

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】連接AC,BC,OB,OC,設(shè)。。=a,證明△OAC是等邊三角形得AC=OA=0B=2a,ZOCD

=30°,進(jìn)而得CD=V3a,再證明△02C是等邊三角形得OB=OC=BC=2a,ZOCB=60°,則/BCD

=90°,然后在RtZXBCD中，由勾股定理求出。=2,繼而可得。。半徑.

【解答】解：連接AC,BC,OB,OC,如圖所示：

設(shè)OD=a,

：CO垂直平分半徑。4,

J.AC^OC,AO=OA=a,

OA=OC=AC=2a,

是等邊三角形，

：.ZOCA=6Q°,

1

AZOCD=^ZOCA=30°,

在RtAOC￡）中，由勾股定理得：CD=y/OC2-OD2=V（2a）2-a2=V3a,

:點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)，

：.AC^BC,

：.OB=OC=BC,

/.△OBC是等邊三角形,

"：OB=OC=BC=2a,ZOCB=60a,

J.ZBCD^ZOCB+ZOCD=60°+30°=90°,

.?.△BCO是直角三角形，

在RtABCD中，由勾股定理得：CD2+BC2=BD2,

,:BD=2小,

：.（（百ay+（2a）2=（2夕產(chǎn)

整理得：/=%

解得：a=2,a=-2（不合題意，舍去），

**?OA=2。=4,

即該圓的半徑為4.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦的

關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2025?鄭城縣一模）如圖，點(diǎn)A是優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)E,與圓交于點(diǎn)D若

ZBDC=60°,且AE=3,則圓的半徑為（）

A.2V3B.3C.3V2D.3百

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】A

【分析】連接BC,首先根據(jù)圓周角定理得到乙4=/。=60°,然后得到/ABE=30°,AC=AB=2AE

=6,證明出△ABE之△C2E（SAS）,2。是圓的直徑，最后利用勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖所示，連接8C,

A

???NA=ND=60°,

9

：BD±ACf

：.ZABE=30°,

：.AB=2AE=6f

???點(diǎn)A是優(yōu)弧BC的中點(diǎn)，

：.AB=ACf

：.AC=2AE=6f

：.AE=CE,

VZAEB=ZCEB=90°,BE=BE,

：.AABE^ACBE(SAS),

ZABE=ZCBE=30°,BC=AB=6f

VZBZ)C=60°,

：.ZBCD=9Q°,

???3。是圓的直徑，

■;BD=2CD,BC1+CD1=BD1,

：.^+CD1=(2C￡?2,

CD=2V3,

：.BD=2CD=4V3,

???圓的直徑為4B,

???圓的半徑為2遮.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角定理和垂徑定理，勾股定理等知識(shí)，作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

5.(2025?天心區(qū)校級(jí)模擬)如圖，A、B、C、。都是。。上的點(diǎn)，若CD=BD,ZAOC=108°,則NAO。

)

c

D

A.140°B.144°C.146°D.150°

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】B

【分析】先利用平角的定義計(jì)算出N8OC=72°,再根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系，由CD=BD得到/

BOD=ZCOD=36°,然后計(jì)算/AOC+/C。。即可.

【解答】M：VZAOC=108°,

.?.N8OC=180°-108°=72°,

，：CD=BD,

1

ZBOD=ZCOD=^ZBOC=36°,

AZAOD=ZAOC+ZCOD=108°+36°=144°.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有

一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.

6.（2025?蕪湖一模）圖1是一個(gè)球形燒瓶，圖2是這個(gè)球形燒杯下半部分的平面示意圖，若。為通的中

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力.

【答案】C

【分析】根據(jù)初=助即可得出答案.

【解答】解：由題意可得：AD=BD,

1

^AOD=/BOD=^AOB,

VZAOB=100°,

1

,4。。=/AOB=50°,

故答案為：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧、弦、圓心角的關(guān)系，熟知等弧所對(duì)的圓心角相等是正確解決本題的關(guān)鍵.

7.（2024秋?五河縣期末）下列說法：

①直徑是弦；

②弧是半圓；

③同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)弦心距相等；

④同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；

⑤同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等.其中正確的說法有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓的認(rèn)識(shí).

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：①直徑是弦，正確，符合題意；

②弧是圓的一部分，不一定是半圓，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；

③同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)弦心距相等，正確，符合題意；

④在同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧有優(yōu)弧和劣弧兩段，不一定相等，原說法錯(cuò)誤，不符合題意;

⑤同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，正確，符合題意，

綜上所述，正確的序號(hào)是①③⑤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓的認(rèn)識(shí)，熟知以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

8.（2025?洪澤區(qū)一模）在。。中，弦AB=2cm,圓心角/AOB=60°,則。。的直徑為4cm.

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；等邊三角形的判定與性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再由等邊三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，

:在中A8=2c機(jī)，圓心角/AO8=60°,OA=OB,

△OAB是等邊三角形，

0A—AB^2cm,

OO的直徑=204=4"〃.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)

鍵.

9.（2025春?新吳區(qū)校級(jí)月考）如圖，A8是。。的直徑，Z￡=35°,則110°.

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；運(yùn)算能力；推理能力.

【答案】110°.

【分析】依據(jù)題意，由圓周角定理得到/AOD=2NE=70°,由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出NBOD=180°-70°

=110°.

【解答】解：：/E=35°,

AZAOD=2ZE=10°,

：.ZBOD=180°-70°=110°.

故答案為：110°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓周角定理，關(guān)鍵是由圓周角定理推出NAOO=2/E.

10.（2024秋?巴南區(qū)期末）如圖，OO為四邊形ADBC的外接圓，AB^AC,若。是血的中點(diǎn)，且OE

2,AC=8,則O。的半徑為5,BC='

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

48

【答案】5,Y-

【分析】連接4?并延長(zhǎng)交BC于H點(diǎn)，連接如圖，設(shè)。。的半徑為r,則。4=0D=r,OE=r

-2,根據(jù)垂徑定理的推論得。。_LAB,則AE=BE=4,在Rt^AOE中利用勾股定理得到0-2）2+42

=於，解方程得到O。的半徑為5,再利用圓心角、弧、弦的關(guān)系，由48=AC得到屈=衣，接著根

據(jù)垂徑定理的推論得到HLBC,BH=CH,然后利用勾股定理得到BH2+OH2=52,BH2+（5+?！保?=

82,則解方程組可求出8H,從而得到的長(zhǎng).

【解答】解：連接AO并延長(zhǎng)交8C于”點(diǎn)，連接。8,如圖，設(shè)的半徑為廠，則。4=。。=廠，OE

=r-2,

VAC=8,

：.AB=8,

?二。是獨(dú)的中點(diǎn)，

：.OD±AB,

1

：?AE=BE=1AB=4,

在RtZXAOE1中，（廠-2）2+42=?,

解得r=5,

即。。的半徑為5,

VAB=AC,

：.AB=AC,

：.AH±BC,

:.BH=CH,

在RtAOBH中，8"2+0"2=52①,

在RtaABH中，BH2+AH2=AB2,

即Btf+(5+0//)2=82②，

②-①得25+1008=64-25,

解得0H=&

二昨乒否號(hào)

:.BC=2BH=苛48.

48

故答案為：5,—.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所

對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.也考查了垂徑定理和勾股定理.

11.（2023秋?門頭溝區(qū)期末）如圖，在。。中，油=猶，ZBDC=20°,貝iJ/AOB的度數(shù)是40°.

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】40°.

【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系以及圓周角定理即可求解.

【解答】I?：-：AB=BC,

：.AB=BC,

：./A0B=2NBDC,

VZBDC=20°,

/.ZAOB=40°,

故答案為：40°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，理解定理是關(guān)鍵.

12.（2024秋?思明區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是直徑，BC=CD=DE,ZBOC=40Q,ZAOE的度數(shù)是

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】與圓有關(guān)的計(jì)算；推理能力.

【答案】60°.

【分析】根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的圓心角相等得到/。?！?/（7。。=/8。?=40°,再根據(jù)平角的定義

可得答案.

【解答】解：VBC^CD=DE,N2OC=40°,

:.NDOE=NCOD=NBOC=40°,

：.180°-/DOE-NCOD-NBOC=60°,

故答案為：60°.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相

等，所對(duì)的弦也相等是解題的關(guān)鍵.

三.解答題（共3小題）

13.（2025?利辛縣一模）如圖，點(diǎn)A,B,C,。在在中，若BC=AD,

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【答案】見解析.

【分析】根據(jù)BC=A。，得前=而，所以〃=劭，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理即可得出結(jié)論.

【解答】證明：

：.BC=AD,

：.BC+AB^AD+AB,

即數(shù)=BD,

：.AC=BD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條

弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等是解題的關(guān)鍵.

14.（2025?桑植縣一模）如圖：AC=CB,。、E分別是半徑。4和OB的中點(diǎn)，求證：CD=CE.

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】連接OC,構(gòu)建全等三角形△C。。和△COE；然后利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證得CD=CE.

【解答】證明：連接OC.

在O。中，'：AC=CB

：.ZAOC=ZBOC,

,：OA=OB,D、E分別是半徑04和。B的中點(diǎn)，

：.OD=OE,

：OC=OC（公共邊），

:.△COD2ACOE（SAS）,

：.CD=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，以及全等三角形的判定與性質(zhì).判定兩個(gè)三角形全等的一

般方法有：SSS、SAS,SSA,HL.

注意：A4A、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角

對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角.

15.（2024秋?隨州期末）如圖，OA,OB,0c都是。。的半徑，AC與OB交于點(diǎn)D若A￡）=CD=4,

。。=3,求BD的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系.

【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力.

【答案】2.

【分析】利用AO=CQ=4得到O8LAC,再結(jié)合勾股定理求出半徑，即可得到8。的長(zhǎng).

【解答】解：由4￡>=。。=4,

：.OB±AC.

\'OD=3,

：.OA^5,

：OB=OA=5,

:.BD=OB-OD=5-3=2.

所以8。的長(zhǎng)為2.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

2.線段垂直平分線的性質(zhì)

(1)定義：經(jīng)過某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線(中垂線)

垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”.

(2)性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在