專(zhuān)題02函數(shù)

i.函數(shù)的概念

(1)定義域：X叫做自變量，X的取值范圍幺叫做函數(shù)的定義域.

(2)值域：與x的值相對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛/(x)|xGN｝叫做

函數(shù)的值域.

2.函數(shù)的單調(diào)性

⑴寅X)是增函數(shù)：當(dāng)XI<X2時(shí)>1)<>2).

(2)段)是減函數(shù)：當(dāng)X1<X2時(shí)義X1)>AX2).

3.函數(shù)的奇偶性

(1)偶函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)八X)的定義域?yàn)?,如果Vx?/,都有一x?/,且八一

x)=?,那么函數(shù)小)就叫做偶函數(shù)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

(2)奇函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù).加0的定義域?yàn)?,如果Vx?/,都有一x?/,且八一

x)=-?，那么函數(shù)小)就叫做奇函數(shù)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)?

4.幕函數(shù)

尸f

尸Xy=x3y=尸%-1

定義域RRR[0,+s)｛小邦｝

值域R[0,4-co)R[0,+co)他知｝

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

[0,+s)上增(0,+co)上減

單調(diào)性增增增

(-8,0]上減(—8,0)上減

5.分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

(1)正分?jǐn)?shù)指數(shù)哥：an=心《〃>0,加,〃￡N*，且〃>1).

_竺1]

(2)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)易：an=—=n(。>0,%〃?]\*,且〃>1).

a1苻

6.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>l0<a<l

/y=ax尸:產(chǎn)

.一一H)

圖象尸一"二

OX0\X

定義域R

值域(0,+oo)

過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=1

性當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)%>0時(shí),0<y<l；

函數(shù)值的變化

質(zhì)當(dāng)％v0時(shí),0<y<l當(dāng)x<0時(shí)，y>l

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

7.對(duì)數(shù)

(1)若。>0,且在1,則ax=N=log°N=x.

(2)對(duì)數(shù)恒等式：。嘀N=N；log。優(yōu)=x(a>0,且存1).

(3)loga(M-A0=logoM+logaN.

M

(4)loga—=logJlY—logJV.

,!

(5)logflM=nlogaM(neR).

8.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

y=logaX(a>0,且在1)

底數(shù)a>l0<a<l

y；y=logX?>l)1

圖象9L0).

1

iy=log^

!(Ovavl)

定義域(0,+oo)

值域R

單調(diào)性在(0,+◎上是增函數(shù)在(0,+co)上是減函數(shù)

共點(diǎn)性圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0),即x=l時(shí)，y=0

%￡(0,1)時(shí))￡(—oo,0)%￡(0,1)時(shí)/￡(0,+8)；

函數(shù)值特點(diǎn)

[l,+oo)時(shí)￡[0,+oo)[1,+00)時(shí),"￡(一00,0]

對(duì)稱(chēng)性函數(shù)y=log“x與y=log!x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

a

9.函數(shù)的零點(diǎn)

(1)對(duì)于函數(shù)y=/(x),我們把使寅x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=〃)的零點(diǎn).

⑵如果函數(shù)了=於)在區(qū)間口，切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有

那么，函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,A)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在cG(a,

b),使得人c)=0,這個(gè)。也就是方程_Ax)=O的解.

考息力目擊

考點(diǎn)01函數(shù)的概念與表示

1.函數(shù)定義域的求解

(1)若人x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零.

(2)若人x)是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零.

(3)若人x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則定義域是幾個(gè)部分定義域的交集.

⑷若八x)是實(shí)際問(wèn)題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題有意義.

2.函數(shù)解析式的求解

⑴待定系數(shù)法：若已知人x)的解析式的類(lèi)型，設(shè)出它的一般形式，根據(jù)特殊值

確定相關(guān)的系數(shù)即可.

(2)換元法：設(shè)片g(x),解出x,代入人g(x)),求力。的解析式即可.

(3)配湊法：對(duì)人g(x))的解析式進(jìn)行配湊變形，使它能用g(x)表示出來(lái)，再用x

代替兩邊所有的“g(x)”即可.

(4)方程組法(或消元法)：當(dāng)同一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系中的兩個(gè)之間有互為相反數(shù)或互為

倒數(shù)關(guān)系時(shí)，可構(gòu)造方程組求解.

【典例1】(2024秋?蘇州期末)下列函數(shù)中，定義域?yàn)椋?,+oo)的是()

A.f(x)=|x|+lB.f(%)=yj2x—1

C./(x)=ln(X-1)D.=

【答案】D

【分析】由函數(shù)有意義的條件可得函數(shù)的定義域.

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)4/(x)=|x|+l的定義域?yàn)镽,所以選項(xiàng)/錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,根據(jù)2工-1>0得近0,因此函數(shù)/(%)=后=I的定義域?yàn)椋?,+8),

所以選項(xiàng)8錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)C,由x-1>0得％>1,故f(x)=ln(x-1)的定義域?yàn)?1,+oo),

所以選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)Q,由產(chǎn)得這1，故〃久)=寄的定義域?yàn)椋?，+%)，所以選

項(xiàng)D正確.

故選：D.

【典例2】(2025春?益陽(yáng)期中)函數(shù)〃久)=/。出(/-1)+擊的定義域是()

A.(-co,-2)U(-2,1)U(1,+oo)

B.(-oo,-2)U(-2,-1)U(1,+oo)

C.[-2,-1)U(1,+oo)

D.(-2,-1)U(1,+oo)

【答案】B

【分析】由題意可得關(guān)于x的不等式組，求解得答案.

【解答】解：要使函數(shù)/。)=1。出(必-1)+擊有意義,

則儼-1>0解得x<-1或x>1且存-2,

(%+2W0

??.函數(shù)"%)=1。92(/-1)+擊的定義域是(-8，-2)U(-2,-1)U(1,

+oo).

故選：B.

【典例3】（2025春?濱海新區(qū)校級(jí)期中）函數(shù)/（x）=竽的圖象大致為（）

【分析】根據(jù)題意，先分析/G）的奇偶性，排除Z和瓦再分析函數(shù)圖象的

變化趨勢(shì)，排除。，即可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)/（x）=竽，其定義域?yàn)?#0},

貝IJ有/（-x）=-竽=-/（工），則/（x）為奇函數(shù)，排除4B,

、“rr/nx22lnx八3工。人

當(dāng)X一+oo時(shí)，---=---->0,排除。.

xx

故選：C.

【典例4】（2025春?四川期中）函數(shù)/（x）=%2+2cosx的圖象大致為（）

【分析】利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值即可判斷.

【解答】解：函數(shù)/(x)=f+2cosx的定義域?yàn)镽,f(x)=2x-2sinx,

令g(x)=2x-2siiu,g'(x)=2-2cosx>0,所以函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞

增，

因?yàn)?(0)=0,所以當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,

函數(shù)/(X)在(-00,0)上單調(diào)遞減，在(0,+00)上單調(diào)遞增，f(x)min

=/(0)=2,

故8co錯(cuò)誤，Z正確.

故選：A.

考點(diǎn)02函數(shù)的單調(diào)性

1.函數(shù)單調(diào)性的證明

⑴取值：設(shè)XI,X2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且X1<X2.

(2)作差變形：作差加并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，

轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.

(3)作差變形：作差加1)一義工2),并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，

轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.

(4)結(jié)論：根據(jù)小。一/2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.

2.函數(shù)的最值與單調(diào)性

(1)若函數(shù)加)在區(qū)間口，切上是增(減)函數(shù)，則八X)在區(qū)間口，切上的最小(大)值

是五a),最大(小)值是寅6).

(2)若函數(shù)人x)在區(qū)間［a,切上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間g,c］上是減(增)函數(shù)，則人x)

在區(qū)間［a,c］上的最大(小)值是人6),最小(大)值是八。)與八c)中較小(大)的一個(gè).

(3)定號(hào)：確定於1)一外2)的符號(hào).

(4)結(jié)論：根據(jù)於1)一於2)的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.

【典例5】(2025春?青山湖區(qū)校級(jí)期中)下列函數(shù)中，在(0,1)為減函數(shù)的是

()

A.y^~xiB.y=無(wú)2C.y^—x^D.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的單調(diào)性，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4>=獷1=與是反比例函數(shù)，在（0,1）為減函數(shù)，符合題意；

對(duì)于5,>=[=?,是募函數(shù)，在（0,1）為增函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于C,>=?,是二次函數(shù)，在（0,1）為增函數(shù)，不符合題意；

對(duì)于。，j=x3,是募函數(shù)，在（0,1）為增函數(shù)，不符合題意.

故選：A.

【典例6】（2024秋?贛榆區(qū)校級(jí)期末）已知/（久）=卷+久司，若>/（4

\x\

-1）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

22

A.（0,9）B.（—8,0）u（w，+8）

11212

C.（0,2）U（2，3）D.（2，百）

【答案】C

【分析】利用奇偶函數(shù)的判斷方法，可得/（x）是偶函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的

（12d-11V|CL—11

單調(diào)性可得出/（x）的單調(diào)區(qū)間，從而得到2a-140，即可求解.

（a-1H0

【解答】解：根據(jù)題意，用）=&+L2=尚+1,易知/0,所以/（X）的定

義域?yàn)閧%|存0},

又/（一%）=+丁112=/（%），所以/（X）是偶函數(shù)，

I-xlv~x）

當(dāng)x>0時(shí)，/（"）=[+妥，

令t=">0,則y=t2+4t,對(duì)稱(chēng)軸為t=~2,

易知t=/在區(qū)間（0,+00）上單調(diào)遞減，y=/2+4/在區(qū)間（0,+oo）上單調(diào)遞

增，

所以/'（嗎=9+當(dāng)在區(qū)間（0,+oo）上單調(diào)遞減,

大X,

（12.U-11V|u—11i

對(duì)于/（2。-1）>/（4-1）,則有，2a-1WO，解得0<"口〈可且aH彳

（a-1。0

ii2

即實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0,-）U（-,-）.

故選：C.

【典例7】（多選）（2024秋?喀什市期末）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)

的是（）

]

A.y=xB.y=_x~C.y=_D.y=x|x|

【答案】AD

【分析】對(duì)選項(xiàng)中的函數(shù)定義域以及奇偶性、單調(diào)性逐一判斷即可得出結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對(duì)于4y=x,是正比例函數(shù)，其定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足奇函數(shù)定義，且為增函數(shù),

即Z正確；

對(duì)于8,j=-%2,是二次函數(shù)，其定義域?yàn)镽,滿(mǎn)足偶函數(shù)定義，不符合題

意，8錯(cuò)誤；

對(duì)于C,y=g是反比例函數(shù)，其定義域?yàn)椋?co,0）U（0,+GO）,關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，

但它在（-oo,0）和（0,+oo）上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，了=小|=/'2久'°，其定義域?yàn)镽，且滿(mǎn)足-x|-x尸-（小|），為

奇函數(shù)，

當(dāng)xG（0,+oo）時(shí)，y=x|x|=x2在（o,+oo）上單調(diào)遞增，

由奇函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)y=x|x|在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，即。正確.

故選：AD.

【典例8】（2024秋?阜陽(yáng)校級(jí)期末）函數(shù)/（x）=x+部（0,+8）上的最小值

是.

【答案】2.

【分析】利用基本不等式可求最小值.

【解答】解：因?yàn)閤>0,由基本不等式可得/（%）=x+[22m=2,

當(dāng)且僅當(dāng)X=與即X=1時(shí)，等號(hào)成立，

則函數(shù)/(x)=X+J在(O，+8)上的最小值是2.

故答案為：2.

考點(diǎn)03函數(shù)的奇儡性

由函數(shù)奇偶性求解析式

(1)“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，既在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，X就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).

⑵要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.

(3)利用人x)的奇偶性寫(xiě)出一")或八一x),從而解出?.

(4)若函數(shù)人x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有義0)=0.

【典例9】(2024秋?廣東期末)已知偶函數(shù)/(x),當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x2+x,

則當(dāng)xVO時(shí)，/(x)=()

A.-x2+xB.-x2-xC.x2+xD.x2-x

【答案】D

【分析】設(shè)x<0,可得-x>0,由題意可得/(-x)的解析式，再由偶函數(shù)

的性質(zhì)可得/(x)的解析式.

【解答】解：由偶函數(shù)/(x),當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x2+x,當(dāng)x<0時(shí)，則-x

>0,

所以/(-X)=(-X)2+(-X)=X2-X,

所以/(X)=/(-X)=X2-X,

故選：D.

【典例10](2024秋?房山區(qū)期末)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(-00,

+oo)上單調(diào)遞增的是()

1

A./(X)=x-與B.f(x)=2X

C.f(x)=x3D.f(x)=lgx

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式判斷奇偶性和單調(diào)性即可.

【解答】解：Z項(xiàng)在(0,+00)上單調(diào)遞減，不合題意；

8項(xiàng).f(x)=2、不是奇函數(shù)，不合題意；

。項(xiàng).f(x)=/gx不是奇函數(shù)，不合題意；

3

。項(xiàng)./(X)=/在(-GO,+oo)上單調(diào)遞增，且/(-X)=-X=-f(x),

是奇函數(shù)，符合題意.

故選：C.

【典例11】(多選)(2024秋?訥河市校級(jí)期末)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()

A.f(x)=tanxB.f(x)=x2+x

C./(x)=eX~^D.f(x)=ln\l+x\

【答案】AC

【分析】由奇函數(shù)的定義逐個(gè)判斷即可；

【解答】解：對(duì)于A,定義域?yàn)?/ot-*,々兀+kEZ,

且f(x)=tanx=-tan(-x)=-/(-x),奇函數(shù)；

對(duì)于8,f(x)=/+x為非奇非偶函數(shù)；

對(duì)于C,由/(-久)=弓竺=-/(久)，且定義域?yàn)镽,奇函數(shù)；

對(duì)于。，由/(I)=1〃2,/(-1)無(wú)意義，/(x)為非奇非偶函數(shù).

故選：AC.

【典例12](2024秋?肇東市校級(jí)期末)若函數(shù)/(x)=x(x+a)在R上是偶函

數(shù)，則實(shí)數(shù)。=.

【答案】0.

【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

【解答】解：由函數(shù)/(x)=x(x+a)在R上是偶函數(shù)，

可得/(-x)=/(%),

即-x(-x+a)=x(x+a),解得。=0.

故答案為：0.

考點(diǎn)04騫函數(shù)

幕函數(shù)

(1)在比較累值的大小時(shí)，必須結(jié)合基值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)

性進(jìn)行比較，既不同底又不同次數(shù)的募函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€(gè)中間值，

通過(guò)比較募函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.準(zhǔn)確掌握各個(gè)募函數(shù)的圖象和性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：“同增異減”.

【典例13](2024秋?蒙城縣校級(jí)期末)已知函數(shù)J(x)=(?2-2?+1)xn,則“〃

=2”是丁小)為募函數(shù)”的()

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】/

【分析】分別判斷充分性與必要性是否成立即可.

【解答】解：〃=2時(shí)，函數(shù)/(x)=(22-2x2+1)x2=x2,/(x)是易函數(shù),

充分性成立；

f(x)是募函數(shù)時(shí)，n2-2n+l=l,解得〃=0或〃=2,必要性不成立；

所以“〃=2”是丁(x)為幕函數(shù)”的充分不必要條件.

故選：A.

【典例14](多選)(2025春?清遠(yuǎn)期中)已知募函數(shù)/(x)=廿的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,

4),則下列判斷中正確的是()

A.函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1)

B.當(dāng)2]時(shí)，函數(shù)/(x)的值域是[1,4]

C.函數(shù)滿(mǎn)足/(x)<(-x)=0

D.函數(shù)/(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-00,0］

【答案】AD

【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)/(X)=》2,結(jié)合募函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性

質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【解答】解：因?yàn)槟己瘮?shù)/(x)=產(chǎn)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4),

可得2。=4,解得a=2,即/(x)=x2,

因?yàn)?(-I)=1,所以Z正確；

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在區(qū)間［-1,0］上單調(diào)遞減，在［0,2］上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)X=0時(shí)，f(X)min=f(0)=0,

又由/(-I)=1,/(2)=4,所以/(x)max=4,所以函數(shù)的值域?yàn)椋?,4］,

所以5錯(cuò)誤；

因?yàn)?(x)+f(-%)=/+(-x)』2爐，所以C錯(cuò)誤；

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=0,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間(-co,0］上單調(diào)遞減，所以。正確.

故選：AD.

【典例15］(2024秋?合肥期末)若嘉函數(shù)/'(%)=(評(píng)-3m+3)產(chǎn)2-%1,且在4

e(0,+oo)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)掰=.

【答案】2.

【分析】根據(jù)募函數(shù)的定義與性質(zhì)，列式求解即可.

2

【解答】解：募函數(shù)/(x)=(m-3m+3)產(chǎn)2ft,且在(0,+oo)上

是增函數(shù)，

所以『；一3m2第1,解得機(jī)=2.

(m￡—m—1>0

故答案為：2.

【典例16］(2024秋?日照期末)已知募函數(shù)/(x)=爐的圖象過(guò)點(diǎn)(2,4).

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若不等式目(x)+2x對(duì)任意的x?R恒成立，求實(shí)數(shù)/的取值范圍.

【答案】(l)/(x)=/；

(2)(-oo,-1］.

【分析】(1)將點(diǎn)代入易函數(shù)的解析式，即可求解；

(2)分離出變量3再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：(1)易函數(shù)/(x)=廿的圖象過(guò)點(diǎn)(2,4).

則2a=4,解得a=2,

故f(x)=x2；

(2)由(1)可得VxCR,02+2x恒成立，:岸(x2+2x)min

...令g(x)=x2+2x=(x+1)2-1,

,?§(X)min——1，??二-1，

???實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-8,-1].

考點(diǎn)05指數(shù)與對(duì)數(shù)

1.〃次方根

⑴當(dāng)〃為偶數(shù)，且它o時(shí)，如為非負(fù)實(shí)數(shù).

(2)當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，然的符號(hào)與。的符號(hào)一致.

2.對(duì)數(shù)

(1)若a>0,且存1,則qx=NQlogaN=x.

(2)對(duì)數(shù)恒等式：臚g"=N；log“〃=x(a>0,且存1)致.

(3)logo(M-A0=logaM+logaN.

(4)loga--=logaM—logaA^.

b

【典例17](2024秋?懷柔區(qū)期末)已知log32=a,3b=5,貝1]3。+2=()

A.V2B.V6C.2V5D.3

【答案】C

b1

【分析】先求出3a=2,再由3。+2=3。?(3匕)2,能求出結(jié)果.

【解答】解：?.?log32=a,

b1

"：3b=5,：.3a+2=3a?（3/,）2=2V5.

故選：C.

ii

【典例18]（2024秋?安徽校級(jí)期末）已知10*=5,13=2,則3-2歹）%=（）

A.10B.100C.1000D.10000

【答案】B

【分析】由指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解即可.

【解答】解：因?yàn)?0'=5,13=2,x=lg5,y=lg2,

所以x+y=Ig5+lg2=/gl0=l,

1111

又（io工戶(hù)=5彳=io,（lo^y=2曠=io,

11

所以（5彳-2yy+y=IOO1=ioo.

故選：B.

【典例19】（多選）（2024秋?德州期末）下列計(jì)算正確的有（）

A.Iog2（logo.sO.5）=1

2

B.83x31T°g32=6

C.若/g3=機(jī)，lg2=n,則]。9518=鋁學(xué)

D.右。2+a2=2,則a+a'=2

【答案】BCD

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷4應(yīng)用指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)求值判斷以應(yīng)用換底

公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算判斷C,應(yīng)用指數(shù)運(yùn)算計(jì)算判斷D

【解答】解：由對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則得log2（logo.50.5）=log2（logo.sO.5）=log21

=0,故N錯(cuò)誤；

22oQ

由指數(shù)運(yùn)算法則得8與x31。禽2=（23）3x云豆=22x|=6,故8正確；

V/g3=?,/g2=〃，由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得1。g18=鬻=喑/=隼鬻=

華等，故c正確；

L-Tl

1_11_11_1

*.*a2+a~2=2,（成+a-2）2=a+a-1+2a2xa-2=a+a-1+2=4,a+a1

=4-2=2,故。正確.

故選：BCD.

2

【典例20］（2025?西安校級(jí)學(xué)業(yè)考試）273+4哂3_匈5-匈2=

【答案】11.

【分析】根據(jù)指數(shù)易及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可.

22

3

【解答】解：273+4刖3-lg5-lg2=(3)3+3-(匈5+lg2)

=32+3-/gl0=9+3-1=11,

故答案為：11.

考點(diǎn)06指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)不等式的求解

（1）先化為同底指數(shù)式.

（2）再利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性化為常規(guī)的不等式來(lái)解.

2.函數(shù)y=M、）（a>0,且存1）的單調(diào)性

⑴關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y=/x）（a>0,且存1）的單調(diào)性由兩點(diǎn)決定，一是底數(shù)A1還

是0<4<1；二是人X）的單調(diào)性，它由兩個(gè)函數(shù).V=4","=/3）復(fù)合而成.

（2）求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先求出函數(shù)的定義域，然后把函數(shù)分解成

ll=（p（x）,通過(guò)考察人M）和夕（X）的單調(diào)性，求出了=/（0（X））的單調(diào)性.

【典例21］（2024秋?常州期末）函數(shù)y=22x-/的值域?yàn)椋ǎ?/p>

、1

A.[2,+co)B.(-co,2]C.(0,1D.(0,2]

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

2

【解答】解：設(shè)M=/(X)=2x-x,/(x)max=fC-1)=1,

y=2"G(0,2].

故選：D.

【典例22】(多選)(2024秋?上城區(qū)校級(jí)期末)若/(x)=3計(jì)1,則下列結(jié)論正

確的是()

A./(%)在［-1,1］上單調(diào)遞增

B.y=3'+l與>=弓尸+1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

C./(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)

D./(%)的值域?yàn)椋?,+oo)

【答案】AB

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷求解即可

【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=3計(jì)1在R上單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)Z正確；

函數(shù)尸(/+1=3'+1,所以函數(shù)尸3工+1與尸(打+1的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),

選項(xiàng)5正確；

由/(0)=3。+1=2,得/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,2),選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由3工>0,可得/(x)>1,f(x)的值域是(1,+oo),選項(xiàng)。錯(cuò)誤.

故選：AB.

【典例23］(2025春?湖北期中)函數(shù)/(x)=a--2x+i+2(。>0且。內(nèi))的圖象

過(guò)定點(diǎn).

【答案】(1,3).

【分析】令哥指數(shù)等于零，求得x,y的值，可得函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】解：對(duì)于函數(shù)/(x)=ax2~2x+1+2(a>0且在1),令好-2了+1=0,

求得x=l,y=3,

可得函數(shù)/(x)=-3+1+2(。>0且存1)的圖象過(guò)定點(diǎn)(1,3),

故答案為：(1,3).

【典例24］(2024秋?清遠(yuǎn)期末)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xK)

時(shí)，f(x)=2計(jì)1-1.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)求不等式/(x)<3的解集.

【答案】⑴/(x)弋二%>0

%<0

(2){x\-1<X<1}.

【分析】(1)由已知它0時(shí)的函數(shù)解析式及偶函數(shù)定義即可求解；

(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解.

【解答】解：(1)函數(shù)/(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)近0時(shí)，/(x)=2，+i

-L

當(dāng)x<0時(shí)，-x>0,則/(-x)=2Xx-1=/(x),

所以/(x)=2「工-1,

_px+1-1,x>0

/(x)121r—1,X<0

(2)當(dāng)xK)時(shí)，/(x)=2戶(hù)1-1W3,解得gxgl,

當(dāng)x<0時(shí)，/(x)=2l-x-1<3,解得，-1玄<0,

故x的范圍為｛x|-14勺｝.

考點(diǎn)07對(duì)數(shù)函數(shù)

【典例25](2025春?天心區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)/0)=1°取》’”>°,有且只有一

1-2%+以%<0

個(gè)零點(diǎn)的充要條件是()

11、

A.QVOB.0<a<-^C.-<a<lD.。二0或。>1

【答案】D

【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系求出。的取值范圍，驗(yàn)證必

要性可得答案.

(logx,x>0

【解答】解：根據(jù)題意,函數(shù)/(%)=2

1―2X+a,%<0

若/（x）=0,則有｛誓=°①叫。=°②,

解｛鬻=°可得：X=l,即/（x）存在零點(diǎn)x=l,

若/（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則無(wú)解,

又由x<0時(shí)，0<2嗨1,貝I]a>\或a<0,

反之，當(dāng)或右0時(shí)，方程組°有一解，x=0,

[%>0

方程組｛；3+。=°無(wú)解，

此時(shí)，/（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

綜合可得：函數(shù)/⑺寸設(shè):二。，有且只有一個(gè)零點(diǎn)的充要條件是依

或a>l.

故選：D.

【典例26】（多選）（2025春?昆明期中）下列函數(shù)中恒過(guò)定點(diǎn)（1,0）的有（）

A.y=xa-1（a為常數(shù)）

B.y=ax1（a>0且存1）

C.y=loga（2x-1）（a>0且存1）

D.y=ax-a（a為非零常數(shù)）

【答案】ACD

【分析】結(jié)合募函數(shù)，指數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)，一次函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判

斷.

【解答】解：結(jié)合易函數(shù)性質(zhì)可知，y=xa-1過(guò)（1,0）,2正確；

結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，了=罐一1過(guò)（1,1）,B錯(cuò)誤;

結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知，j=loga（2x-1）過(guò)（1,0）,C正確；

y=ax-a=a（x-1）過(guò)（1,0）,。正確.

故選：ACD.

【典例27](2025春?寶山區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)y=log.(x-1)+3(常數(shù)且

。于1)的圖像必定經(jīng)過(guò)點(diǎn).

【答案】(2,3).

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求解即可.

【解答】解：令x-1=1,得x=2,所以y=log。(x-1)+3=3,

所以函數(shù)y=loga(x-1)+3的圖像過(guò)定點(diǎn)(2,3).

故答案為：(2,3).

【典例28](2025春?閔行區(qū)校級(jí)期中)函數(shù)=-遮)的定義域

為.

【答案】｛x|[+kyrVxV.+k兀，fcGZ).

【分析】列出不等式求解，即可得到結(jié)果.

【解答】解：由函數(shù)f(x)="(tanx-百)，可得tcmx-V5>0,即tan久>遍，

解得祈+,4VE+',左?Z,

所以函數(shù)的定義域?yàn)椋麊?而4<>而，kez].

故答案為：｛x|[+MrVxV冷+Mr,fcGZ].

考點(diǎn)08比較大小

比較大小

(1)同底數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.

(2)同真數(shù)的利用對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象或用換底公式轉(zhuǎn)化.

(3)底數(shù)和真數(shù)都不同，找中間量.

(4)若底數(shù)為同一參數(shù)，則根據(jù)底數(shù)對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的影響，對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類(lèi)

討論.

【典例29](2025春?清遠(yuǎn)期中)設(shè)a=(,)o-5,b=(1)°S