2024-2025學年福建省泉州市高一下學期期末質量監(jiān)測數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知z(l+i)=11—i\2,則z=

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2.某學校為了解學生參加體育運動的情況，用比例分配的分層隨機抽樣法作抽樣調查，擬從初中部和高中

部兩層共抽取幾名學生.已知該校初中部和高中部分別有1500名和2000名學生，若從高中部抽取的學生

人數(shù)為80,則九二

A.60B.100C.120D.140

3.已知△ABC的內角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,Z=45。，B=75°,則。二

A.<2B.2C.<6D.3

4.設a,/?為兩個不同的平面，m,九為兩條不同的直線，且=則下列說法正確的是

A.若貝！B.若n1zn,則711a或九_L/?

C.若九〃a,n"B，貝!］九〃THD.若兀與a,S所成的角相等，則九1zn

5.已知向量了滿足同=L歷|=al(a-6),則萬在了上的投影向量為

-*1-?1->—>

A.bB.—/?C.——bD.—b

6.已知直三棱柱力1%的—4BC的頂點均在球面上，且力4=2門，NBHC=30。，BC=1,則該球的表面積

為

A.16兀B.竽C.4兀D.y

7.如圖，某款廚房用的香料粉收納盤為正四棱臺造型，其兩底面的邊長分別為6on,2cm.若該收納盤中香

料粉的每日使用量保持不變，收納盤裝滿香料粉后連續(xù)使用19天，此時剩余香料粉的高度為裝滿時高度的

一半，則剩余的香料粉大約還可以連續(xù)使用

A.7天B.11天C.15天D.19天

8.在△ABC中，AB=AC,BC=2,動點M滿足麗=%豆？+y函，且2x+y=1,若N為AB的中點，則|麗|

的最小值為

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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9.已知函數(shù)/'（x）=力sin（3%+cp）（A>0,a）>0,\（p\<的部分圖象如圖所示,則

C.f（x-勺的圖象關于原點對稱D.直線x=-專是的圖象的對稱軸

10.已知Zi，Z26C,則下列說法正確的是（）

A.W+為=Z1+Z2

B.若Zi=五，則ZieR

C.若Z1，Z2是方程/一X+2=0的兩根，則Z12+Z22=5

D.若1W|zj|<2,則在復平面內Z1對應的點的集合所成的圖形面積為3兀

11.已知三棱柱力BC-&B1C1的底面是邊長為2的正三角形,G,M,N分別為41cl的中點，若441=2,

AA^AB=/.A^AC=60°,貝U

A.AA11BC

B.三棱柱力BC-A/iCi的體積為彳

C.與AN所成的角的余弦值為鬻

D.平面MNG截三棱柱所得的截面面積為空

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知一組數(shù)據：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,則這組數(shù)據的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是.

13.已知V3sina+cosa=1,貝！Jcos（2a+?）=.

14.數(shù)學中處處存在著美，萊洛三角形就給人以對稱的美感.萊洛三角形的畫法如下：先畫等邊三角形4BC,

再分別以點A,B,。為圓心，以的長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形（如圖所示）.已知P為”上的一點，

第2頁，共16頁

Q為力B的中點，若BC=4,則所.同的最大值為，最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知函數(shù)/'(久)=2sin(2x+

(1)求/(%)的最小正周期及單調遞增區(qū)間；

(2)當久6［。,與時，m/(x)<1,求實數(shù)的取值范圍.

16.(本小題15分)

某企業(yè)擬從甲、乙兩家工廠中選擇一家作為供貨商，現(xiàn)從兩家工廠生產的產品中各抽取100件，并測量其

質量指標值(指標值越大，代表質量越高)，測量結果統(tǒng)計如下：

甲工廠

質量指標值分組[45,70)[70,95]

頻數(shù)4060

平均數(shù)6383

方差616

乙工廠

(1)求機的值，并估計甲工廠產品質量指標值的樣本平均數(shù)和樣本方差(頻率分布直方圖中，同一組的數(shù)據用

該組區(qū)間的中點值作為代表)；

(2)結合統(tǒng)計學知識為該企業(yè)推薦一家供貨商.

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17.(本小題15分)

如圖1,在平行四邊形A8CD中，48=2,BC=1,AC1BC,將△力CD沿AC翻折至△力CP(如圖2),使得PB=

<5.

圖1圖2

(1)證明：3。1平面「力。；

(2)求直線與平面PBC所成的角的正弦值；

(3)若點E在平面4BC內，AE1BE,當三棱錐P—A8E的體積最大時，求AE的長.

18.(本小題17分)

已知銳角AABC的內角4B,。所對的邊分別為a,b,c,且解+?2=口2+玩.

⑴求力；

(2)若c=4,求△ABC的面積的取值范圍；

(3)如圖，若。為AABC外一點，S.^ABD=^ACB=BD1CD,AD=715,求a.

19.(本小題17分)

在平面直角坐標系％0y中，點P(%,y)繞原點。逆時針旋轉a角后得到點P/(%/,y/),其中

匕=%cosa一"ina,稱該公式為點的坐標旋轉變換公式.

(y二xsina+ycosa,

(1)已知點A，(1,0)可由點4(a,6)繞原點。逆時針旋轉冷得到，求a,6的值；

(2)若曲線C：y=，sin，I久繞原點。逆時針旋轉"導到曲線C',求證：直線y=x+1與C'有無數(shù)多個公

Z4

共點；

第4頁，共16頁

(3)曲線E：y-光=85(久+曠)上是否存在四個點，使得以這四個點為頂點的四邊形為等腰梯形？證明你的

結論.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】解：由已知復數(shù)z-(l+i)=|1—甲,

2.【答案】D

【解析】解：由題意得：言普而xn=80,解得ri=140,

■L。UUINtUUU

故答案為：140.

3.【答案】C

【解析】解:■-A=45°,B=75°,

???C=180°-A-B=60°

4.【答案】C

【解析】解：對4當nua,因為m〃7i,me/?,則九〃。，

當nuQ,因為mca,則?i〃a,

當建既不在a也不在￡內，因為租〃n,mua,muS，則n〃a且n〃0,故/錯誤；

對B,若mln,則n與a,0不一定垂直，故8錯誤；

對C,過直線n分別作兩平面與分別相交于直線s和直線t,

因為n〃a,過直線n的平面與平面a的交線為直線s,則根據線面平行的性質定理知九〃s,

同理可得7l〃t,則5〃1,因為SC平面0,「￡=平面。，則S〃平面S，

因為SU平面a,ac\p-m,則s〃6，又因為TI〃S,則,故C正確；

對D,若aC￡=與a和S所成的角相等，如果n〃a,n〃S，則m〃n,故。錯誤;

故選：C.

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5.【答案】B

【解析】解：因為五10-司，

所以無0-￡)=五2一五方=0,

又回=1,

所以五?1=1,

則方在了上的投影向量為(第)7=與.

網乙

6.【答案】A

【解析】解：底面AABC中，設其外接圓半徑為飛,由正弦定理磊布=2%,解得％=1,

直三棱柱的側棱441垂直底面，外接球心。為上下底面外心連線的中點，

設上下底面外心分別為。1，O2,O1O2=AAX=2A/-3,球心。到小的距離為券■=V3,

外接球半徑R滿足R2=屠+(竽>=/+(73)2=1+3=4,故R=2,

球的表面積S=4TTR2—47rX4=167r.

故選4

7.【答案】A

【解析】解：設棱臺高為2h,

則其體積U=|x2hx(62+22+V62x22)=竽，

棱臺中截面到上底面之間的棱臺體積為％=gxhx(62+42+V62x42)=竽，

由棱臺中截面到下底面之間的棱臺體積為匕=-匕=甯=竽=竽，

76/i

每天香料粉的使用量為磊=竽，

28/i

所以余下的香料粉還能使用手=7天，

T

故選/.

8.【答案】C

【解析】解:設B(-l,0)，C(l,0),

因AB=AC,4在y軸上，

設4(0,h)(/i>0),

因為N為48中點，坐標為(一］勻.

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則向量阮=(2,0)，BA=(l,h))

故BA/=xBC+yBA—(2%+y,yK)-

約束條件代入：由2久+y=l,得M點橫坐標為2x+y—1=0,縱坐標為yh,即

向量而=(_:0《_網=?,嗚_力，?麗2=(_茅+［九0一前=扛層6_,)2

當y=寺時，止匕時|前河|取得最小值

9.【答案】AC

【解析】解：由題圖可知4故/正確.

由圖可知7=4x(**)=〃，所以3=竿=2,故3錯誤

再把點(90)代入，可得，^sin(2x^+9)=0,

所以sin(2x^+@)=0,又|0|<5所以9=全

故函數(shù)/(%)=sin(2%+g),

/(%-勻=V^sin2%,圖象關于原點對稱，C正確；

2x(—雪)+：親所以直線％=-:不是/(%)的圖象的對稱軸，。錯誤

10.【答案】ABD

【解析】解：對于選項Z,設Zi=a+bi,z2=c+di{a,b,c,dER),則西'+五=(a-bi)+(c-di)=(a+

c)—(b+d)i,而Zi+Z2=(a+c)+(b+d)i=(a+c)+(b+d)i,z1+z2=(a+c)—(b+d)i

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故石+而=Zi+z2，4正確；

對于選項5,若Zi=^,設句=。+兒，則。+萬二。一兒，得26=。，故b=。，即z]為實數(shù)，5正確；

對于選項C,方程%2-%+2=0的兩根Zi,z2滿足Zi+z2=1，Ziz2=2,

*122

則z,+=⑵+z2)—2zrz2=I—2x2=-3H5,C錯誤;

對于選項。，1W|zi|42對應復平面內半徑為1和2的兩個同心圓之間的圓環(huán)，面積為兀X2?-兀x衛(wèi)=

3TI,3正確.

11.【答案】ACD

【解析】解：選項4：已知|理|=2,\AB\=\AC\=2,乙4145=乙4/0=60。，BC=AC-AB.

斯?BC=AA^-(AC-AB)=跖.AC-視?AB

=2x2xcos60°—2x2xcos60°=2—2=0,

則河_L或，即7Mli8C,故/正確；

選項3：因為△ABC是邊長為2的正三角形，可得SMBC22=

設與底面4BC所成角為a,則h=\AA1\sina,

AA^-(AB-bAC)=視-AB+河?前=2+2=4,

\AB+AC\=J的2+?福2+2荏?標=<4+4+2x2x2xcos60°=2<3,

所以cosa=：=W，則sina=7'-cos2a=孚,h=2x與=^^~,

U=SA4BC?八=竽=2，！，故3錯誤；

選項C：因為G,M,N分別為AB,BC,4的的中點，所以不必=不+府=中+，南+：前，

AN=44i+&N=44]+^AC.

I而I=j(l幣I+G荏I+弓河)2=G

____>1_1_>

\AN\=同『+了附2+2斯?正

\42

=V4+l+2x2xlxcos60°=>J~7,

111

?AN=(羽+2荏+2硝?(砧+]硝

111

=_M&j2+^AB-AA[+-AB-AC+-\AC\2

1II3

=-4+-x2x2xcos60°+-x2x2xcos60°+-x4=-

2442

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------.―>3,—

A1M/N__q__<21

所以cos〈&M,AN)=

\A^M\\AN\一<3xV7一一"14

所以與AN所成的角的余弦值為字，故C正確;

14

選項。：連接力道，CiM,因為G為力B的中點，M為BC的中點,

1

所以MG//4C,MG=^AC,

又AC〃&C1，AC=A1C1,

1

MG//A1C1,MG==1,

所以平面MNG截三棱柱所得的截面為梯形&GMCi.

—>—>]一

|&G|=\A1A+^AB\

1_>1_(

=|中|2+|]函2+2布同

=V4+l+2x2xlxcosl20°=V~3,

梯形為GMC1的高h=JC一(早7=手,

則截面面積S=(1+2：爭=空,故。正確.

故選/CD

12.【答案】9

【解析】解：4,4,5,7,7,7,8,9,9,10,共10個,

75%x10=7.5,故第75百分位數(shù)是第8個數(shù)，即為9.

故答案為：9.

13.【答案】￡

【解析】解：\：1-2、in?，一I-I,

b

/1

則，

62

&]]

所以?小：2t?12s；n*：II,

3622

故答案為：

14.【答案】4；20-877

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【解析】解：連接CQ,取CQ的中點為E,

因為BC=4,貝lJCE=^CQ=C,BE=AE=⑺,

2

所以可同=（而+前）（即+品）=\PE\+TE-'EC+VE-EQ+EQ-EC

=回J?,

|而|的最小值為E點到彩上一點最小，則P點為BE的延長線與爬的交點即為所求，止匕時|而〔mm，

所以函min=4-|BF|=4-/7，

所以（而?而）mm=|而|：n-3=（4--3=20-877；

I而I的最大值為E點到傘上一點最大，則P點與點4重合即為所求，止匕時I而Imax，

所以I屈lmax="，

所以（而?A?）max=|即|：x"3=/,一3=4.

15.【答案】解：（1）依題意得人%）的最小正周期為7=襦=亨=兀，

由2/OT——<2x+—<2/OT+—,keZ,

解■得kn—是<x<kn+工,k€Z,

所以函數(shù)/'（x）的單調遞增區(qū)間即—等,而+名，kez；

第11頁，共16頁

(2)由久e[0,打得2x+”號中，

所以sin(2x+5)61],

所以/(x)=2sin(2x+1)￡[1,2],

當x￡由機f(x)<1,且f(x)e[1,2],

得m</不，只需滿足6<17f，

f(x)Lf(x)」min

因為函數(shù)y=：在區(qū)間[1,2]上單調遞減，所以[卷|=p

所以血耳，即實數(shù)小的取值范圍為(-8，].

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

16.【答案】解：(1)因為(0.006+0.014+m+0.024+0.036)X10=1,

所以機=0.02,

所以甲工廠生產的產品質量指標平均數(shù)為

x=50x0,06+60x0.14+70X0.24+80x0.36+90x0,2=75,

a1tl

方差為S?甲=￡：=1(修一盼2

=0.06x(-25)2+0.14x(-15)2+0.24x(-5)2+0.36x52+0.2x152

=129,

(2)乙工廠生產的產品質量指標平均數(shù)為元乙=40X6需0X83=75,

方差為52乙=|x[6+(63-75)2]+|x[16+(83-75)2]=108,

所以無甲=元乙，F(xiàn)甲>s2■乙，

以樣本估計總體，甲、乙兩家工廠產品的質量指標平均數(shù)相當，

但乙工廠生產的產品質量指標值方差比較小，產品質量比較穩(wěn)定，故建議選擇乙工廠生產的產品.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

17.【答案】解：(1)因為PC=DC=48=2,BC=1,PB=<5，

所以PC?+BC2=PF,所以BC_LPC,

又因為BCJ.4C,ACCtPCC,AC,PCu平面APC,

所以BC1平面APC;

第12頁，共16頁

p

H

(2)過點A作力H1PC于點H,連結HB,

因為BC1平面APC,4Hu平面力PC,所以BC1AH,

又因為BC(~lPC=C,BC、PCu平面PBC,

所以AH，平面PBC,

所以HB為斜線4B在平面PBC上的射影，

為直線AB與平面PBC所成的角，

在平形四邊形力BCD中，AD//BC,

因為力C1BC,所以ADJL4C,所以2414C,

在RtAPHC中，PC=DC=4B=2,BC=1,

由勾股定理可得力C=73-

根據等面積法可得4H=筌=苧，

在Rt△248中，AB=2,

所以s\nZ.ABH=*=苧，

AB4

即直線4B與平面PBC所成的角的正弦值為日；

4

(3)由(2)知P41平面4BC,又因為力ElBE,

1111

所以Up-4BE="SAHBE.P4="X?BE=\AE-BE,

DDLO

B^IAE2+BE2=AB2=4,

當且僅當4E=BE=時等號成立，

所以當月E=時，三棱錐P-A8E的體積取得最大值.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

第13頁，共16頁

18.【答案】解:(1)因為按+c2=02+兒,

所以力2+c2—a2=be,

由余弦定理得cosA="be_1

2bc~2

因為AE(0,7T),所以4=5；

(2)在AABC中,由正弦定理得焉=肅,

又c=4,4=早

g、［kcsinBcsin（苧-C）

所以b=—=——"一

sinCsinC

4（sin竽cosC—cos等sinC）

一sinC

=織+2

tanC+'

因為是銳角三角形,

所以

所以tanC6（苧^+8）,

所以be（2,8）,

因為S/UBC=^besinA=|xbx4xsin^=gb,

所以△ABC的面積的取值范圍是（2門,8/3）;

⑶因為4=芻乙ABD=LACB=?,

34

所以“8°=兀-G+H御4，

因為BD1CD,設CD=x,

則BC=a=2x,BD=<3%,

在△力BC中，由正弦定理可得駕=萼，

sin-^sin^

BCsin^2/6

即Qrt=~=~^~x①,

si%3

在AABD中，由余弦定理可得=2+2_2AB-BDcos%②,

ABBD4

將代入念成得號/+3x2—2x-^xxyj_3xx苧=15,

化簡得好=9,解得x=3,

第14頁，共16頁

故a=6.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

,47T>.71

1=acos--Dsin-

19.【答案】解：(1)依題意得

0=asing+bcosg

j3

；

1=21”小e

即

。=苧。+與

解得a=1,