2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級期末必刷常考題之三角

形的的證明

一.選擇題（共7小題）

1.（2025?普陀區(qū)三模）如圖，在△ABC中，點。在邊A8上，點E在邊AC上，BD=BC,AD=AE,若

要求NCDE的度數(shù)，則只需知道（）的度數(shù).

ZBC.ZACBD.ZDCE

2.（2025?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，在△ABC中，/A=90°,AB=2,BC=5,是/ABC的平分線,

設(shè)△A3。和△BOC的面積分別是Si,S2,則Si：S2的值為（）

3.（2024秋?太康縣期末）△ABC中，ZA,ZB,NC的對邊分別記為a,b,c,由下列條件不能判定△

ABC為直角三角形的是（）

A.ZA=ZB-ZCB.ZA：ZB：ZC=1：2：3

C.c^—c2-b2D.a：b：c—4：5：6

4.（2025春?青島期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,CE是△ABC的角平分線.若/BAC=40°,

則NBEC的度數(shù)為（）

AC

A.70°B.75°C.105°D.125°

5.（2024秋?豐潤區(qū)期末）如圖，在△ABC中，4B=AC=12,120°,點。是邊BC上的任意一

點，則的長不可能是（）

A

D.8

6.（2024秋?歙縣期末）如圖，已知AC=5cm,AD=9cmfBE是線段CD的垂直平分線，則△ABC的周

C.15cmD.16cm

7.（2025春?永壽縣校級期中）如圖，在△ABC中，點。在邊上，ZDAC=2ZB,CE1是A。的垂直平

分線，若AO=4,AC=6,則8C的長為（）

C.8D.6

二.填空題（共5小題）

8.（2025春?青島期中）如圖，△ABC是等邊三角形，與8C平行的直線分別交A3和AC于點。，E,若

AD=2,則DE的長為

9.（2025?中寧縣模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=130°,DA±AC,則乙4。8=

10.（2025?翠屏區(qū)校級模擬）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧,

1一

分別交AC、48于點M、N,再分別以點M、N為圓心，大于aMN的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作

射線AP交邊8C于點。，若AB=10,AC=6,則△A3。的面積為.

11.（2024秋?興慶區(qū)校級期末）在直角三角形中，如果一個銳角為30°,而斜邊與較小直角邊的和為12,

那么斜邊長為.

12.（2024秋?順城區(qū)期末）已知AABC的三個內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,若它的最長邊為3,則最短邊

長為.

三.解答題（共3小題）

13.（2024秋?太康縣期末）如圖，在△ABC中，邊上的垂直平分線。E與AB、AC分別交于點E和。，

且CB2=AD2-CD1.

（1）求證：NC=90°；

(2)若AC=4,BC=3,求CD的長.

A

D

C

14.（2025春?青島期中）如圖，在△ABC中，AB^AC,BD=CD,E為CA的延長線上一點，過點E作

EF//AD,分別交AB,BC于點P,F.

（1）求證：△AEP是等腰三角形.

（2）若AD=BD,求NE的度數(shù).

15.(2024秋?項城市期末)如圖，點。是等邊△ABC內(nèi)一點，ZAOB=110°，ZBOC^a.以0C為一

邊作等邊三角形ocr),連接AC、AD.

(1)當a=150°時，試判斷△AOO的形狀，并說明理由;

(2)探究：當a為多少度時，△A。。是等腰三角形？

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版八年級期末必刷?？碱}之三角

形的的證明

參考答案與試題解析

一.選擇題（共7小題）

題號1234567

答案cBDBABA

選擇題（共7小題）

1.（2025?普陀區(qū)三模）如圖，在△ABC中，點。在邊上，點E在邊AC上，BD=BC,AD^AE,若

要求/CDE的度數(shù)，則只需知道（）的度數(shù).

ZBC.ZACBD.ZDCE

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形;運算能力；推理能力.

【答案】C

11

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得到NBZ）C=90°90°由三角形內(nèi)角和定理求

1

出/。?！?90°-^ZACB,/OCE和/DCE沒有數(shù)量關(guān)系，于是得到答案.

【解答】解：

：.ZBCD=ZBDC,

11

:./BDC=三(180°-ZB)=90°-三/B,

同理：ZA￡)E=90°

AZADE+ZBDC^180°一宗(ZA+ZB),

i

.?.ZDCE=180°-CZADE+ZBDC)=j(ZA+ZB),

故A、B不符合題意;

111

■:/DCE=W（/A+NB）=|（180°-ZACB）=90°-1ZACB,

故C符合題意；

ZDCE和ZDCE沒有數(shù)量關(guān)系，

故。不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由等腰三角形的性質(zhì)推出4DCE=90°-1ZACB.

2.（2025?羅湖區(qū)校級模擬）如圖，在AABC中，ZA=90°,AB=2,BC=5,BD是/ABC的平分線,

設(shè)△A3。和△BOC的面積分別是Si,S2,則Si：S2的值為（）

【考點】角平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力.

【答案】B

【分析】過。點作DELBC于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=DA,然后利用三角形的面積公式求

Si：S2的值.

【解答】解：過。點作。ELBC于E,如圖，

：8。是/ABC的平分線，DELBC,DALAB,

：.DE=DA,

.Si^XDAXABAB2

""S--XDEXBC~BC~5'

22

故選：B.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

3.（2024秋?太康縣期末）△ABC中，NA,NB,/C的對邊分別記為mb,c,由下列條件不能判定△

ABC為直角三角形的是（）

A.NA=NB-/CB.ZA：ZB：/C=l：2：3

C.a2=c2-Z?2D.a：b：c=4：5：6

【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】由三角形內(nèi)角和定理及勾股定理的逆定理進行判斷即可.

【解答】解：A、ZA=ZB-ZC,又：/A+NB+/C=180°,則/8=90°,是直角三角形，不符合

題意；

B、ZA：ZB：/C=l：2：3,又NA+/B+NC=180°,則NC=90°,是直角三角形，不符合題意；

C、由/=,2-廬，得。2+/=02,符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合題意；

D、32+427^62,不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形，符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了直角三角形的判定，掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵.

4.（2025春?青島期中）如圖，在等腰△ABC中，AB=AC,CE是△ABC的角平分線.若/BAC=40°,

則NBEC的度數(shù)為（）

AC

A.70°B.75°C.105°D.125°

【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】B

【分析】先利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理可得：/ACB=NB=70。，然后利用角平分

線的定義可得/ACE=35°,再利用三角形的外角性質(zhì)進行計算，即可解答.

【解答】解：\-AB^AC,NBAC=40°,

180°—乙4

ZACB=ZB==70°,

2

平分NACB,

1

Z.ZACE=^ZACB=35°,

?；NBEC是AACE的一個外角，

AZBEC^ZA+ZACE^15°,

故選：B.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析

是解題的關(guān)鍵.

5.（2024秋?豐潤區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=AC=12,NBAC=120°,點。是邊8C上的任意一

點，則的長不可能是（）

A.5B.6C.7D.8

【考點】含30度角的直角三角形；垂線段最短；等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】過點A作A。'±BC于。'，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出再根據(jù)含

30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AO',再根據(jù)垂線段最短解答即可.

【解答】解：如圖，過點A作A。'于。'，

'：AB=AC,ZBAC=120°,

AZB=ZC=^（180°-120°）=30°,

在RtZXAB。'中，AB=n,ZB=30°,

則A。'=|AB=1xl2=6,

根據(jù)垂線段最短可知：AD的最小值為6,

：.AD的長不可能是5,

故選：A.

【點評】本題考查的是含30度角的直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜

邊的一半.

6.（2024秋?歙縣期末）如圖，已知AC=5cm，AD=9cm,BE是線段CD的垂直平分線，則△ABC的周

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】B

【分析】根據(jù)BE是線段。的垂直平分線得出8c=80,將△ABC周長轉(zhuǎn)化為AC+A。即可.

【解答】解：:BE是線段CD的垂直平分線，AC^5cm,AD=9cm,

:.BC=BD

.?.△ABC的周長為：AC+AB+BC=AC+AB+BD=AC+AD=14（cm）.

故選：B.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等是解題

關(guān)鍵.

7.（2025春?永壽縣校級期中）如圖，在△ABC中，點。在邊8c上，ZDAC=2ZB,CE是的垂直平

分線，若AO=4,AC=6,則8C的長為（）

【考點】線段垂直平分線的性質(zhì).

【專題】三角形；推理能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CD=CA=6,得到/CAO=/CZM,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)

得到N5=N￡>AB,得到￡）3=A￡）=4,計算即可.

【解答】解：TCE是AO的垂直平分線，AC=6,

：.CD=CA=6,

：.ZCAD=ZCDA,

9：ZDAC=2ZB,

：.ZCDA=2ZB,

'：ZCDA=ZB+ZDAB,

:./B=/DAB,

：.DB=AD=4,

???5C=3O+CD=4+6=10,

故選：A.

【點評】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相

等.

二.填空題（共5小題）

8.（2025春?青島期中）如圖，△A5C是等邊三角形，與3C平行的直線分別交A5和AC于點。，E,若

AD=2,則。石的長為2.

【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】2.

【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)可得NA=N3=NC=60°,再利用平行線的性質(zhì)可得

=60°,ZAED=ZC=60°,從而可得△ADE是等邊三角形，然后利用等邊三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，

ZA=ZB=ZC=60°,

■:DE//BC,

：.ZADE=ZB=60°,ZAED=ZC=60°,

/.ZA=ZADE=ZA￡Z)=60°，

.,.△AOE是等邊三角形，

：.AD=DE=AE=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

9.（2025?中寧縣模擬）如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=130°,DA.LAC,則115°.

【考點】等腰三角形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)等邊對等角得出/B=/C,根據(jù)/B4C=130。即可求出/C的度數(shù)，由D4LAC得出/

ZMC=90°,從而求出/AOC的度數(shù)，問題得解.

【解答】解：在△ABC中，AB^AC,

:./B=/C（等邊對等角），

VZBAC=130",

'：DA±AC,

；.NZMC=90°,

AZADC=90°-25°=65°,

：.ZADB=180°-/A￡）C=180°-65°=115°,

所以/AO8的度數(shù)為115°.

故答案為：115°.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是等腰三角形性質(zhì)的熟練掌握.

10.（2025?翠屏區(qū)校級模擬）如圖，在Rt^ABC中，/C=90°,以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧,

1一

分別交AC、AB于點M、N,再分別以點M、N為圓心，大于3MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點尸，作

射線AP交邊8C于點。，若AB=10,AC=6,則△ABO的面積為15

M,

D

【考點】角平分線的性質(zhì)；勾股定理；作圖一基本作圖；三角形的面積.

【專題】推理能力.

【答案】15.

【分析】作DQLAB，由作圖知AP平分NBAC,據(jù)此得C￡>=。。，再根據(jù)勾股定理得出BC,然后根

據(jù)三角形的面積公式求解即可.

【解答】解：如圖，過點。作。于點Q.

A)NQB

?.?以頂點A為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC、A8于點M、N,再分別以點M、N為圓心，大于

1

萬MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P,作射線AP交邊8c于點。，

平分/BAC,

:.CD=DQ,

在RtZkABC中，ZC=90°,AB=10,AC=6,

BC=7AB2-AC2=V102-62=8,

1

**,^LABC='A。義BC—24,

*.*S/^ABC=S^ACD+S^ABDf

11

24=#CXCD+%BXDQ,

11

即24=/6'8+/10乂%,

:?CD=DQ=3,

:?S^ABD=xDQ=2x10x3=15.

故答案為：15.

【點評】本題主要考查作圖一基本作圖及角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的尺規(guī)作圖及角

平分線上的點到角兩邊的距離相等的性質(zhì).

11.（2024秋?興慶區(qū)校級期末）在直角三角形中，如果一個銳角為30°,而斜邊與較小直角邊的和為12,

那么斜邊長為8.

【考點】含30度角的直角三角形.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】設(shè)較小的直角邊是尤，則根據(jù)直角三角形中30。所對的直角邊是斜邊的一半得到斜邊是2x,

根據(jù)題意得x+2x=12,然后即可求出斜邊.

【解答】解：設(shè)較小的直角邊是尤，

則斜邊是2x,

根據(jù)題意得x+2x=12,

.'.x=4,

**?2x=8.

所以斜邊長是8.

【點評】此題主要是運用了在直角三角形中30°所對的直角邊是斜邊的一半的性質(zhì).

12.（2024秋?順城區(qū)期末）已知△ABC的三個內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3,若它的最長邊為3,則最短邊

長為-4--

【考點】含30度角的直角三角形.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】|.

【分析】先根據(jù)三個內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3求出三個內(nèi)角的度數(shù)，可得△ABC是含30。的直角三

角形，然后根據(jù)30度角所對的直角邊等于斜邊的一半進行解答.

【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)三個內(nèi)角分別是入2k,3k,

則上+24+3%=180°,

解得無=30°,

，這個三角形的三個內(nèi)角分別是30°,60°,90°,

.?.它的最短邊與最長邊之比為：1：2（30度角所對的直角邊等于斜邊的一半）.

:最長邊為3,

一3

最短邊BC的長為一,

2

3

故答案為：

【點評】本題考查了含30°角的直角三角形的邊的關(guān)系，求出三角形三個內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵,

也是突破口.

三.解答題(共3小題)

13.(2024秋?太康縣期末)如圖，在△ABC中，48邊上的垂直平分線。E與A3、AC分別交于點E和Q,

且CB2=AD2-CD2.

(1)求證：ZC=90°；

(2)若AC=4,8C=3,求CD的長.

K

c'------------------------

【考點】勾股定理的逆定理；線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】證明題；等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明過程見解答；

7

⑵CO的長為

【分析】(1)連接BD,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理的逆定理即可求解；

(2)設(shè)CD=x,則4。=2。=4-羽在RtZ\BC。中，根據(jù)一C￡>2=BC2列出方程計算即可求解.

【解答】(1)證明：連接B。，

,：AB邊上的垂直平分線為DE,

C.AD^BD,

:CB?=AD2-CD2,

：.CB2^BD2-CD2,

.\CB2+C￡)2=B￡)2,

.,.NC=90°；

(2)解：設(shè)C￡)=x,則AO=BD=4-x,

在RtABCD中，BD2-CD1=BC1,

(4-x)2-X2=32,

解得：X=g,

7

，CO的長為一.

8

【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的運用.

14.(2025春?青島期中)如圖，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,E為CA的延長線上一點，過點E作

EF//AD,分別交AB,于點P,F.

(1)求證：是等腰三角形.

(2)若求NE的度數(shù).

【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)45°.

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)推出/E=/APE,根據(jù)等腰三角形的判定定理即

可得解；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)定理、三角形內(nèi)角和定理及平行線的性質(zhì)求解即可.

【解答】(1)證明：BD=CD,

：.ZBAD=ZCAD,

'：EF//AD,

：.ZE=ZCAD,ZAPE=ZBAD,

/.Z￡=ZAPE,

：.AE^AP,

...△AEP是等腰三角形；

(2)解：'：AB=AC,

；./B=/C,

?；AD=BD=CD,

：.ZB=ZBAD,ZC=ZCAD,

：/B+NBA￡)+/C+/CAO=18(r,

ZB=ZBAD=ZC=ZCAD=45°,

：.ZE=ZCAD^45°.

【點評】此題考查了等腰三角形的判定、平行線的性質(zhì)，熟記等腰三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.

15.(2024秋?項城市期末)如圖，點0是等邊△A8C內(nèi)一點，ZAOB=110",ZBOC=a.以O(shè)C為一

邊作等邊三角形OC。，連接AC、AD.

(1)當a=150°時，試判斷△49。的形狀，并說明理由；

(2)探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定.

【專題】探究型.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】⑴首先根據(jù)已知條件可以證明△20C之△ADC,然后利用全等三角形的性質(zhì)可以求出

的度數(shù)，由此即可判定△AO。的形狀；

(2)利用(1)和已知條件及等腰三角形的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：(1)???△OCD是等邊三角形，

J.OC^CD,

而△ABC是等邊三角形，

C.BC^AC,

VZACB=ZOCD=60°,

：.ZBCO=ZACD,

在△30C與△ADC中，

OC=CD

VZSCO=AACD,

、BC=AC

.'.△BOC^AADC,

/BOC=ZADC,

而/BOC=a=150°,ZODC=60°,

AZADO=150°-60°=90°,

：.^ADO是直角三角形；

(2):設(shè)NCBO=NCW=a,/ABO=b,NBAO=c,/CAO=d,

貝Ua+6=60°,6+c=180°-110°=70°,c+d=60°,

：.b-d=10°,

：.(60°-a)-d=10°,

.'.a+d—50°,

即/D4O=50°,

①要使A0=4。，需

.?.190°-a=a-60°,

.,.a=125°；

②要使OA=OD,需/。AZ)=NA。。，

.?.110°+80°+60°+a=360°

.,.a=110°；

③要使OD=A。，需NOAD=NA。。，

1100+50°+60°+a=360°,

.?.a=140°.

所以當a為110°、125°、140°時，三角形A。。是等腰三角形.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定，以及等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，根據(jù)

旋轉(zhuǎn)前后圖形不變是解決問題的關(guān)鍵.

考點卡片

1.垂線段最短

(1)垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段.

(2)垂線段的性質(zhì)：垂線段最短.

正確理解此性質(zhì)，垂線段最短，指的是從直線外一點到這條直線所作的垂線段最短.它是相對于這點與直

線上其他各點的連線而言.

(3)實際問題中涉及線路最短問題時，其理論依據(jù)應(yīng)從“兩點之間，線段最短”和“垂線段最短”這兩

個中去選擇.

2.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡單說成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補.簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等.簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

3.三角形的面積

(1)三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即&=^X底X高.

(2)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.

4.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個角；③在直角三角形中，己知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

5.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時，

關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角

形.

6.角平分線的性質(zhì)

角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有

時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，

在NAO8的平分線上，CDLOA,CE±OB：.CD=CE

7.線段垂直平分線的性質(zhì)

（1）定義：經(jīng)過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）

垂直平分線，簡稱“中垂線”.

（2）性質(zhì)：①垂直平分線垂直且平分其所在線段.—②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的

距離相等.—③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的

距離相等.

8.等腰三角形的性質(zhì)

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等.【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個元素中，從中任意取出兩個

元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論.

9.等腰三角形的判定

判定定理：如果一個三角形有兩個