2022北京初二（上）期末數(shù)學(xué)匯編

二次根式

一、單選題

1.（2022?北京石景山?八年級(jí)期末）實(shí)數(shù)m6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)（人『+，記的結(jié)果是

).

-------->?

01a

A.—ci+bB.—a-bC.a+bD.a-b

2.（2022.北京門頭溝.八年級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（)

2；亞

A.卜⑹=3B.7G<=-3C.=2D.372=73^2

3.（2022.北京石景山.八年級(jí)期末）下列運(yùn)算正確的是（）.

A.6+拒=石B.同+加=2

C.^3x^2=D.7G<=-3

4.（2022.北京平谷.八年級(jí)期末）若最簡(jiǎn)二次根式賄與最簡(jiǎn)二次根式而是同類二次根式，則。的值是

)

A.〃=1B.a=11C.。=2D.a=12

5.（2022?北京通州?八年級(jí)期末）下列計(jì)算正確的是（）

A.B.2)x(—3)=J-2xJ-3

C.732+22=5D.4+0=2應(yīng)

6.（2022?北京延慶.八年級(jí)期末）下列計(jì)算錯(cuò)誤的是（）

A.J(-3)2=3B.昌0=病

C.V3+V2—^5D.瓜+6=母

7.（2022?北京延慶?八年級(jí)期末）下列二次根式中，與6是同類二次根式的是（）

A.\/6B.79C.V12D.V18

8.（2022?北京房山.八年級(jí)期末）若^/^與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無的取值范圍（）

A.x>2B.x<2

C.x>2D.x<2

二、填空題

9.（2022?北京平谷?八年級(jí)期末）比較大小：203.(填

s[a--Jb^a>Z?)、十

10.（2022?北京順義?八年級(jí)期末）對(duì)于任意的正數(shù)。，b,定義運(yùn)算“*”如下：。*6=

4b-y[a(a<b)

算(3*2)+(48*50)的結(jié)果為

11.（2022?北京石景山?八年級(jí)期末）計(jì)算：（26+6）（2/-灼的結(jié)果是.

12.（2022?北京昌平?八年級(jí)期末）我們規(guī)定：如果實(shí)數(shù)a,b滿足。+6=1,那么稱。與6互為“勻稱數(shù)”.

（1）1—兀與_______互為“勻稱數(shù)”；

（2）已知（相T）（l+&）=-l,那么根與________互為“勻稱數(shù)”.

三、解答題

13.（2022?北京順義八年級(jí)期末）計(jì)算：（76-2A/3）12-V2.

14.（2022?北京順義?八年級(jí)期末）計(jì)算：2巫-簽+J方.

15.（2022.北京順義.八年級(jí)期末）計(jì)算：g錘而胡.

16.（2022?北京門頭溝?八年級(jí)期末）對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)a,b,定義運(yùn)算合如下:

a

a>0)

a?b=<b

a+<0)

2

如：203=-,(-2)03=-2+3=l.

根據(jù)上述定義，解決下列問題:

(1)A/60A/3=,(-A/5)0A/5=

（2）如果（寸+1）區(qū)=那么無

（3）如果（尤2—3）區(qū)）x=（-2）（8）x,求尤的值.

17.（2022.北京門頭溝.八年級(jí)期末）閱讀理解:

111_111

材料：小華在學(xué)習(xí)分式運(yùn)算時(shí)，通過具體運(yùn)算:

1^2~~292^3-2-33^4~3-4

111

4^5~4-5

]11

發(fā)現(xiàn)規(guī)律:7一瓦1（〃為正整數(shù)），并證明了此規(guī)律成立.

111111111

應(yīng)用規(guī)律,快速計(jì)算:------1--------1--------F???H

1x22x33x4--------9x102+2334910

根據(jù)材料,回答問題:

在學(xué)習(xí)二次根式運(yùn)算時(shí)，小華根據(jù)分式學(xué)習(xí)積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，類比探究二次根式的運(yùn)算規(guī)律，并解決問

題.請(qǐng)將下面的探究過程，補(bǔ)充完整.

（1）具體運(yùn)算:

特例1：/+(+(

=1+—=1+1--,

1x22

特例2：」

U2232+2x3u23

特例3：，1+/+>1+占=1+工

特例4：（填寫一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子）.

（2）發(fā)現(xiàn)規(guī)律：J1+J+1

（"為正整數(shù)），并證明此規(guī)律成立.

M+1)2

（3）應(yīng)用規(guī)律:

①計(jì)算:

11

②如果+…+1+--------7---------T+1+—+*=〃-1,那么“

5-2)-(n-1)("-仔

18.（2022.北京門頭溝.八年級(jí)期末）計(jì)算：（1）^-V27+|V2-3|；(2)(2+⑹(2-石)-M+也.

19.（2022.北京石景山?八年級(jí)期末）小石根據(jù)學(xué)習(xí)“數(shù)與式”積累的經(jīng)驗(yàn)，想通過“由特殊到一般”的方法探

究下面二次根式的運(yùn)算規(guī)律.

下面是小石的探究過程，請(qǐng)補(bǔ)充完整:

（1）具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

特例：/限

5（填寫運(yùn)算結(jié)果）.

（2）觀察、歸納，得出猜想.

如果”為正整數(shù)，用含"的式子表示上述的運(yùn)算規(guī)律為:

（3）證明你的猜想.

（4）應(yīng)用運(yùn)算規(guī)律.

10202

①化簡(jiǎn)：J10-

Ia

②若a-----=7晝（a,6均為正整數(shù)），則的值為

50

20.（2022?北京石景山?八年級(jí)期末）已知x=2-0,求代數(shù)式++二的值.

Vx-3）x-3

21.（2022?北京石景山?八年級(jí)期末）計(jì)算：（也-石『-夜（?-2若卜

22.（2022.北京石景山.八年級(jí)期末）計(jì)算：亞-我+2-,+上百L

23.（2022?北京平谷?八年級(jí)期末）計(jì)算：A/12+（3.14--^/27+|A/3-2|

24.（2022?北京平谷.八年級(jí)期末）計(jì)算：A/SX-S/Z+^A/2—1）

計(jì)算：（-3）2-（兀-3）°+4+9]

25.（2022?北京大興?八年級(jí)期末）

26.（2022?北京平谷.八年級(jí)期末）己知數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示

cbOa

化簡(jiǎn)：4^-|a—&|+-J（c-a）2-|c|

27.（2022.北京通州?八年級(jí)期末）計(jì)算：-gx（#+34）.

28.（2022?北京昌平.八年級(jí)期末）計(jì)算：&+（振了+而-我.

29.（2022?北京通州?八年級(jí)期末）已知m+2〃=君，求代數(shù)式一丁+2卜？,2的值?

\m—2n）m—4n

30.（2022?北京延慶.八年級(jí)期末）計(jì)算：（1）>/12-^27+|-^|；

(2)2同X46+4君.

4

參考答案

1.D

【分析】根據(jù)題意得出進(jìn)而化簡(jiǎn)求出即可.

【詳解】解：由數(shù)軸可得：

b<O<l<a,

則原式=a-6.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，正確得出a,6的符號(hào)是解題關(guān)鍵.

2.A

［分析］根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則逐一計(jì)算可得.

【詳解】4-后『=3此選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；

B、/下=3此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、、［=比此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

V22

D、=?3此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)以及二次根式的加減運(yùn)算，準(zhǔn)確利用二次根式的性質(zhì)計(jì)

算是解題的關(guān)鍵.

3.C

【分析】直接利用二次根式的混合運(yùn)算法則分別計(jì)算得出答案.

【詳解】解：A、百+0無需計(jì)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B、曬+M=近,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C>A/3xV2=A/6,正確，符合題意；

D、7^^=3,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則.

4.A

【分析】?jī)蓚€(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，則稱它們是同類二次根式，根據(jù)此定義

即可得到關(guān)于a的方程，從而可求得。的值.

【詳解】：最簡(jiǎn)二次根式屈I與最簡(jiǎn)二次根式而是同類二次根式

〃+1=2〃

解得：a=l

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式，掌握同類二次根式的概念是關(guān)鍵.

5.D

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算法則逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.

【詳解】解：A.后予=3,故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；

B.被開方數(shù)要為非負(fù)數(shù)，故故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；

C.732+22=713?故原選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不合題意；

D.4+0=20，故原選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與除法運(yùn)算，熟知二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

6.C

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則逐一計(jì)算可得.

【詳解】解：A、斤尸=3,計(jì)算正確，此選項(xiàng)不符合題意；

B、^XA/2=A/3X2=76,計(jì)算正確，此選項(xiàng)不符合題意；

C、石和虎，非同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)符合題意；

D、#+6=，6+3=應(yīng),計(jì)算正確，此選項(xiàng)不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)和運(yùn)算法則.

7.C

【分析】先把每個(gè)二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)，化成最簡(jiǎn)二次根式，后比較被開方數(shù)即可.

【詳解】A.m與6的被開方數(shù)不相同，故不是同類二次根式；

B.囪=3,與名不是同類二次根式；

C.A/12=2A/3,與e被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；

D.M=3④,與否被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，同類二次根式，熟練掌握根式化簡(jiǎn)的基本方法，靈活運(yùn)用同類二次

根式的定義判斷解題是求解的關(guān)鍵.

8.A

【分析】二次根式有意義，被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即於2對(duì)，解不等式求x的取值范圍.

【詳解】：目在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，

：.x-2>0,解得尤22.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握二次根式有意義的條件.

9.<

【分析】求出2&=而，3=79,再比較即可.

【詳解】解：：20=花，3=囪，

；.20<3,

故答案為：<.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的大小比較的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的比較能力.

10.472-373##-373+472

【分析】根據(jù)題意選擇合適的對(duì)應(yīng)法則.因?yàn)?>2,所以選擇第一種對(duì)應(yīng)法則；48<50,選第二種對(duì)應(yīng)法

則.

Ja—Jb(a>b\

【詳解】解：廠」)

\Jb7a(a<b)

(3*2)+(48*50)=g_豆+?_灰=6_后+50_4若=4夜一3有

故答案為：4忘-3G.

【點(diǎn)睛】主要考查二次根式的運(yùn)算及化簡(jiǎn).定義新運(yùn)算題型能很好的考查學(xué)生對(duì)新情景知識(shí)的學(xué)習(xí)能

力.讀懂題意，按照定義是關(guān)鍵.

11.7

【分析】套用平方差公式，依據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)一步計(jì)算可得.

【詳解】解:原式=(2百下-(逃了

=12-5

=7,

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)與運(yùn)算順序、平方差公

式.

12.兀A/2-I

【分析】(1)根據(jù)“勻稱數(shù)”的概念可直接進(jìn)行求解；

(2)由題意易得加=2-后，然后根據(jù)“勻稱數(shù)”的概念可進(jìn)行求解.

【詳解】解：(1)由題意易得：1—兀與萬互為“勻稱數(shù)”；

故答案為萬；

(2)V(ZM-1)(1+V2)=-1,

??m=2—A/2，

：.m的“勻稱數(shù)”為1-(2-72)=72-1,

二加與血-1互為“勻稱數(shù)”；

故答案為0-1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的運(yùn)算及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握二次根式的運(yùn)算及實(shí)數(shù)的運(yùn)算是解題的關(guān)

鍵.

13.15-12收

【分析】先按照完全平方公式，乘法的分配律進(jìn)行二次根式的乘方與乘法運(yùn)算，再合并即可.

【詳解】解：原式=6-2倉(cāng)必2后+12-4+1

=6-1272+12-4+1

=15-12A/2

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的混合運(yùn)算，掌握“二次根式的加減乘除，乘方的運(yùn)算法則與混合運(yùn)算的

運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵.

14.673

【分析】利用二次根式的性質(zhì)先化簡(jiǎn)，再合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：2屈一卡+歷,

=4癢百+3?，

=6下).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，二次根式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則.

61

【分析】按照從左至右的運(yùn)算順序先計(jì)算二次根式的乘法，再計(jì)算二次根式的除法運(yùn)算即可.

【詳解】解：6錘而顯

9_3

=718?8

4~2

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的乘除混合運(yùn)算，掌握“二次根式的乘法與除法的運(yùn)算法則及混合運(yùn)算的

運(yùn)算順序”是解本題的關(guān)鍵.

16.(1)近,0；(2)-1；(3)x=±l.

【分析】（1）根據(jù)新定義的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解;

（2）根據(jù)尤2+i>o得到￡±1=],解分式方程即可求解;

X-X

⑶根據(jù)-2<0,得到（-2）區(qū)x=-2+x,對(duì)/-3分大于0和小于0兩種情況討論，得到方程，解方程并對(duì)

答案進(jìn)行驗(yàn)證，問題得解.

【詳解】解：（1）：而>0,-A/5<0,

AA/60V3=^=V2,(-#)0如=一下+#=Q,

故答案為：叵,0；

(2)Vx2+l>0,

：.(x2+l)?(x2-x)=^l±l

?*-X2+1=X2—xf

解得x=-l,

Y2+1

經(jīng)檢驗(yàn)，尤=-i是方程的解,

X-X

故答案為：-1;

（3）V-2<0,

**.（-2）區(qū)尤=-2+x.

①當(dāng)尤2-3>0時(shí)，

解得：尤=：3，

3

經(jīng)檢驗(yàn)X=；是原方程的解，但不符合尤2-3>0,

3

?*-X='舍去.

②當(dāng)爐-3<0時(shí)，

x2—3+a=—2+x,

解得：x=±l.

經(jīng)檢驗(yàn)x=±l是原方程的解，且符合爐-3<0.

%=±1.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義問題，二次根式的運(yùn)算，解分式方程等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，理解定義的新運(yùn)算

是解題關(guān)鍵，注意第（3）問要分類討論.

17.(1)Jl+4+工=1+—!—=1+」,；(2)1H------------；(3)①二；②5

V42524x545n77+110

【分析】（1）根據(jù)前3個(gè)例題寫出一個(gè)符合上述運(yùn)算特征的例子即可;

111

（2）根據(jù)材料中的晟小一進(jìn)行計(jì)算即可；

（3）結(jié)合（1）（2）的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】解：⑴m=i+工=1+；-」（答案不唯一）；

V4254x545

「I1-11111

（2）l+r+-------T=1+1-----7=1+-----------

Xn（n+1）M〃+l）n"+］，

故答案為：1H--

nn+1

2

證明:

-|2

]2

=1+?

卜+上+廠==1+-^--=1+---—

2

'n(n+1)及nn+1

故答案為：1+------—

nn+1

⑶①卜器+1+卜1+最+,(+1+…+卜\+*+卜》

=(1+1--)+(1+---)+(1+---)+...+(1+---)+(1+---)

2233489910

=9+(1-i4-14-1+...4-1+1-1)

2233489910

=(9+1)--

10

=10-—,

10

99

10

②卜"+卜*+*

貝”(1+1-\)+(1+!-3+(1+：-3)+...+(1+」；--)+(1+^—--)=n-1

22334n—2n—1n—\n5

ix(“T+(—+」+」+…+二-」)=」

'722334n-1n5

11

n—=n——

n5

:.n=5

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，完全平方公式的計(jì)算，二次根式的性質(zhì)，掌握分式的性質(zhì)，以及

]11

一一！是解題的關(guān)鍵?

n

18.(1)五；(2)-2

【分析】(1)根據(jù)二次根式的性質(zhì)，求一個(gè)數(shù)的立方根，化簡(jiǎn)絕對(duì)值，進(jìn)而根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即

可;

(2)根據(jù)平方差公式，二次根式的除法運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】(1)解：原式=2&-3+3-?,

=V2?

(2)解：原式=1—3,

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的除法運(yùn)算，掌握二次根式的性質(zhì)以及二次根式的運(yùn)算法

則是解題的關(guān)鍵.

19.(1)5,1—；(2)=n'^―；(3)見解析；(4)①20；②57

726n+1

【分析】（1）根據(jù)題目中的例子可以寫出例5；

(2)根據(jù)（1）中特例，可以寫出相應(yīng)的猜想;

(3)根據(jù)（2）中的猜想，對(duì)等號(hào)左邊的式子化簡(jiǎn)，即可得到等號(hào)右邊的式子，從而可以解答本題;

(4)①②根據(jù)（2）中的規(guī)律即可求解.

5x26-5

【詳解】解:⑴■'5x(26-l)_g

2626

故答案是：5.—；

726

(2)In——；—=n

Vn2+l

故答案是:

（3）證明:

?(n2+1)—w

左邊=

n2+1n2+1

n

又‘：右邊=〃,

n2+1

二左邊=右邊,

成立;

(4)①J10-20,

故答案是：20；

7

②6Z--=7

50b

nn

根據(jù)n——z——=n.

n2+ln2+1

“2+1=50

得

b=50

解得：a=7,a=-1（舍去）,

=7+50=57,

故答案是：57.

【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律型：數(shù)字的變化類，二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是明確題意，根據(jù)已知等式

總結(jié)一般規(guī)律并應(yīng)用規(guī)律解題.

2r

ITT一應(yīng)

【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)

結(jié)果，將X的值代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：(2+7]+丘],

Vx-3)x-3

_2(x—2)x-3

一x_3.(%_2)(x+2)，

2

x+2'

當(dāng)x=2-0時(shí)，

22：6

^2-2-V2-2--V-

【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，二次根式的化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則.

21.5-273

【分析】原式利用完全平方公式，以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算，合并即可得到結(jié)果.

【詳解】解：原式=2-2#+3-26+2幾，

=5-2A/3.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則及二次根式性質(zhì).

22.4A/3

【分析】分別化簡(jiǎn)二次根式、絕對(duì)值，計(jì)算立方根和利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算，再相加減即可.

【詳解】解：原式=3出一2+百一1+3

=4A/3.

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的化簡(jiǎn)、同類二次根式的合并、立方根和化簡(jiǎn)絕對(duì)值，掌握二次根式的性

質(zhì)以及能正確化簡(jiǎn)絕對(duì)值是解題關(guān)鍵.

23.6

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕，立方根，絕對(duì)值的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，逐一化簡(jiǎn)合并同類項(xiàng)即可.

【詳解】解：A/12+(3.14-^)°-^/27+|^-2|,

=2岳1-3+2-6,

=73.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及的知識(shí)點(diǎn)有二次根式的混合運(yùn)算，零指數(shù)塞，立方根，絕

對(duì)值等知識(shí)點(diǎn)，