“五年真題（202L2025）

與集11破列（送蟆?。?4種召見考德歸類

五年考情-探規(guī)律

知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)

考點(diǎn)01等差數(shù)列定義的判斷

2023?新課標(biāo)I卷

考點(diǎn)02等差數(shù)列基本量的計(jì)算

知識(shí)1等差數(shù)

2021?上海

列

考點(diǎn)03等差數(shù)列前n項(xiàng)和基本量的計(jì)算

（5年5考）1.數(shù)列選填題的命題呈現(xiàn)出注重基

2025?全國(guó)二卷2025?上海2024?新課標(biāo)II卷礎(chǔ)、強(qiáng)調(diào)綜合等趨勢(shì)，具體如下：

2023?全國(guó)甲卷2022?上海2022?全國(guó)乙卷基礎(chǔ)考查為主：等差數(shù)列和等比數(shù)

考點(diǎn)04等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用列的基本量計(jì)算是重點(diǎn)考查內(nèi)容。

2024?全國(guó)甲卷2021?北京這類題目主要考查學(xué)生對(duì)數(shù)列通

項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知

考點(diǎn)等比數(shù)列基本量的計(jì)算

05識(shí)的掌握程度。

2023?全國(guó)乙卷

2.性質(zhì)應(yīng)用?？迹簲?shù)列的性質(zhì)也是

考點(diǎn)06等比數(shù)列前n項(xiàng)和基本量的計(jì)算命題熱點(diǎn)之一，等差數(shù)列和等比數(shù)

?全國(guó)一卷?全國(guó)二卷?全國(guó)甲卷

知識(shí)2等比數(shù)202520252023列的性質(zhì)均有涉及，通過對(duì)性質(zhì)的

列2023?上海2022?全國(guó)乙卷考查，檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)數(shù)列特征的理解

（5年4考）考點(diǎn)07等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)和靈活運(yùn)用能力。

2023?新課標(biāo)II卷2021?全國(guó)甲卷3.綜合程度提高：數(shù)列與其他知識(shí)

的綜合考查逐漸增多，這種命題方

考點(diǎn)08等差、等比數(shù)列的綜合式要求學(xué)生具備較強(qiáng)的知識(shí)整合

2025?北京2023,北京能力，能夠?qū)?shù)列知識(shí)與函數(shù)、不

考點(diǎn)09數(shù)列的性質(zhì)等式等其他知識(shí)相結(jié)合，解決綜合

2023?北京2022?全國(guó)乙卷2022?北京性問題。

知識(shí)3數(shù)列性2021?全國(guó)甲卷

質(zhì)、通項(xiàng)與求考點(diǎn)10由遞推公式求數(shù)列通項(xiàng)

和

2025?天津2023?天津2022?北京2022?浙江

（5年4考）

考點(diǎn)11數(shù)列求和

2021?新高考全國(guó)I卷2021?北京2021?浙江

考點(diǎn)12數(shù)列與其他知識(shí)的綜合

2025?上海2024.上海2024?全國(guó)甲卷2024.北京

2023?全國(guó)乙卷2022?新高考全國(guó)H卷2021?浙江

知識(shí)4數(shù)列綜

合應(yīng)用考點(diǎn)13數(shù)列的極限

?上海

（5年5考）2021

考點(diǎn)14數(shù)列新定義

2024?北京2021?新高考全國(guó)II卷

分考點(diǎn)-精準(zhǔn)練

考點(diǎn)01等差數(shù)列定義的判斷

1.（2023?新課標(biāo)I卷?高考真題）記s,為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，設(shè)甲：｛4｝為等差數(shù)列；乙：｛1｝為等差數(shù)

列，則（）

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

【答案】C

【分析】利用充分條件、必要條件的定義及等差數(shù)列的定義，再結(jié)合數(shù)列前w項(xiàng)和與第〃項(xiàng)的關(guān)系推理判

斷作答.，

【詳解】方法1,甲：｛4｝為等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為q,公差為d,

cn(n-V),S“n-1,d

貝！JS=net]H-----------d,—=qH--------d=一〃+q

n2n222'〃+ln2

因止匕｛2｝為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件;

n

｛2｝為等差數(shù)列,即―士電〃4m一5“

反之,乙:為常數(shù)，設(shè)為

n〃+1n〃(〃+1)

即器*=則S"隗.如+1），有兀=（"1）%一"-1）,心2,

兩式相減得：an=nCln+l--1）??-2/77,即0“+]-%=2/,對(duì)九=1也成立，

因此｛4｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件，C正確.

方法2,甲：｛%｝為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列｛g｝的首項(xiàng)6,公差為d,即s.=叫+吟1",

則2=+因此｛2｝為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件；

n222n

反之，乙：｛'q｝為等差數(shù)列，即W--二S=。,S。=岳+(〃-1)￡>,

nn+1nn

即Sn=nS[+n(n-I)D,Sn_｛=(n-l)S.+(n-l)(n-2)￡>,

當(dāng)〃22時(shí)，上兩式相減得：Sn-Sn_l=Si+2(n-l)Df當(dāng)〃=1時(shí)，上式成立，

于是+2(力一1)。，又見+i-凡=4+2nD-[al+2(〃-1)0=2。為常數(shù),

因此｛4｝為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，

所以甲是乙的充要條件.

故選：C

考點(diǎn)02等差數(shù)列基本量的計(jì)算

2.(2021.上海.高考真題)等差數(shù)列｛4｝中，4=3,d=2,則為,=.

【答案】21

【分析】直接代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.

【詳解】因?yàn)閝=3,d=2,所以％。=%+94=21.

故答案為：21.

考點(diǎn)03等差數(shù)列前n項(xiàng)和基本量的計(jì)算

3.(2022.上海.高考真題)己知等差數(shù)列｛叫的公差不為零，然為其前“項(xiàng)和，若原=0,則S,(i=0,1,2…,100)

中不同的數(shù)值有個(gè).

【答案】98

【分析】由等差數(shù)前〃項(xiàng)和公式求出4=-2d,從而s,=t(/-5〃)，由此能求出結(jié)果.

【詳解】解：?.,等差數(shù)列｛%｝的公差不為零，S“為其前〃項(xiàng)和，醺=0，

5x4

「.85=54+2d=0,解得4=-2d,

0〃1)11)」d.匚、

..S=nd,H------d.=—-------d=—(〃2-5n),

〃寸222

?「dwO,5z(Z=0,1,2…，100)中S(j=§5=。，S2=S3=-3d,S1=S4=-2d,

其余各項(xiàng)均不相等，

?,3&=0,1,2…，10。)中不同的數(shù)值有：101-3=98.

故答案為：98.

4.(2025?全國(guó)二卷?高考真題)記S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若邑=6,豈=-5,貝”6=()

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【分析】由等差數(shù)列前”項(xiàng)和公式結(jié)合題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差d的方程求出首項(xiàng)4和公差d,再由等差

數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為義則由題可得\5^+1Qd=_5^\a=5，

所以$6=6q+15d=6x5+15x（_3）=—15.

故選：B.

5.（2023?全國(guó)甲卷?高考真題）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和.若g+4=1。，%/=45,則=（）

A.25B.22C.20D.15

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列｛4｝的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前〃項(xiàng)和公式即可解出；

方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列｛%｝的公差，再根據(jù)前〃項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出.

【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,首項(xiàng)為可，依題意可得，

%+。6=%+d+4+5d=10,艮flq+3d=5,

又。44=（4+3d）（4+7d）=45,解得：d=l,%=2,

Sx4

所以S5=50,+—^-xd=5x2+10=20.

故選：C.

方法—%+。6=2。4=1。，=45,所以〃4=5,=9,

從而=于是/=%-1=5-1=4,

8-4

所以8=5a3=20.

故選：C.

6.（2025.上海.高考真題）己知等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為=-3,公差d=2,則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為

【答案】12

【分析】直接根據(jù)等差數(shù)列求和公式求解.

【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，S6=6q+^d=12.

故答案為：12

7.（2024?新課標(biāo)II卷?高考真題）記S“為等差數(shù)列｛6｝的前〃項(xiàng)和，若生+4=7,3%+%=5,貝U

S10=-

【答案】95

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.

[a+2d+〃[+3d—7[n=—4

【詳解】因?yàn)閿?shù)列〃“為等差數(shù)列，則由題意得“加」「解得：°,

[3（%+d）+%+4d=5[d=3

10x9

貝IJSIO=1OQI+^—d=10x（—4）+45x3=95.

故答案為：95.

8.（2022?全國(guó)乙卷?高考真題）記S“為等差數(shù)列｛%｝的前八項(xiàng)和.若2s3=3邑+6,則公差"=.

【答案】2

【分析】轉(zhuǎn)化條件為2（q+"）=24+d+6,即可得解.

【詳解】由2s§=3邑+6可得2（%+02+03）=3（4+02）+6,化簡(jiǎn)得2%=可+4+6,

即2（q+2d）=2tZ|+d+6,解得d=2.

故答案為：2.

考點(diǎn)04等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用

9.（2024.全國(guó)甲卷.高考真題）已知等差數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為50，若品=1，則為+%=（）

72

A.—2B.—C.1D.一

39

【答案】D

【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成4和d來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處

理，或者特殊值法處理.

【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量

由89=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，Sg=9%+號(hào)d=l=9q+36d=l,

一22

3^/+%=q+2d+q+6d-24+8d=—（9%+36d）=~.

故選：D

方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，al+a9=a3+a7,由$9=1,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，

59=9（4；%）=9他；％）=1,故%+%=看

故選：D

方法三：特殊值法

12

不妨取等差數(shù)列公差4=0,則S9=1=9“=>%=§,則％+%=2%=§.

故選：D

10.（2024?全國(guó)甲卷?高考真題）記S“為等差數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，已知凡二九，%=1，則%=（）

【答案】B

【分析】由$5=工。結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得a=。，即可計(jì)算出公差，即可得q的值.

【詳解】由S[0—$5=。6+。7+“8+%+”10=54=°,則。8二。，

則等差數(shù)列｛。"｝的公差1=用馬=一;，故-4d=1-4x]

故選：B.

11.（2021?北京?高考真題）《中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國(guó)共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴

有金黃色黨徽?qǐng)D案的紅旗，通用規(guī)格有五種.這五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)%，4，%（單位:cm）成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)

的寬為4也也也這（單位:cm）,且長(zhǎng)與寬之比都相等，已知4=288,%=96,4=192,則&=

A.64B.96C.128D.160

【答案】C

【分析】設(shè)等差數(shù)列｛4｝公差為d，求得d=T8,得到4=192,結(jié)合黨旗長(zhǎng)與寬之比都相等和4=192,列

出方程，即可求解.

【詳解】由題意，五種規(guī)格黨旗的長(zhǎng)％，%,%，為，%（單位:cm）成等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

因?yàn)閝=288,a5=96,可得[=巴二%=電二里=一48,

5-14

可得%=288+（3-l）x（-48）=192,

a,a,1a,-b,192x192

又由長(zhǎng)與寬之比都相等，且4=192,可得皆=,，所以0=q^=—=128.

仇24288

故選：C.

考點(diǎn)05等比數(shù)列基本量的計(jì)算

12.（2023?全國(guó)乙卷?高考真題）已知｛%｝為等比數(shù)列，a2a4a§=a3a6，a9aio=-8＞則％=.

【答案】-2

【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)。2。4。5=4&化簡(jiǎn)得44=1，聯(lián)立。9%0=-8求出q5=_2,最后得

%=%q-q5=q5=—2.

【詳解】設(shè)｛%｝的公比為q（qH。），則。2g%=%4，顯然4戶。，

則。4="2,即/q3=q2,則％4=1,因?yàn)椋?0=-8,則荷.-8,

3

則q"=（q5）=—8=（―2）?則/=-2,則％=a1gd=q，=—2,

故答案為：-2.

考點(diǎn)06等比數(shù)列前n項(xiàng)和基本量的計(jì)算

13.(2023?全國(guó)甲卷?高考真題)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，前〃項(xiàng)和S“，若4=1,S5=5S3-4,則

邑=()

A.—B.—C.15D.40

88

【答案】C

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于4的方程，計(jì)算出4,即可求出S”

【詳解】由題知1+4+/+/+靖=5(1+4+/)-4,

即q3+q4=4q+4q2,BPq3+q2-4q—4=0,HP2)(q+l)(q+2)=0.

由題知q>0,所以q=2.

所以及=1+2+4+8=15.

故選:C.

14.(2022?全國(guó)乙卷?高考真題)已知等比數(shù)列｛%｝的前3項(xiàng)和為168,%-%=42,則必=()

A.14B.12C.6D.3

【答案】D

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為d4工0,易得9聲1,根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)

即可得解.

【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,4/。，

若4=1,則％-生=。，與題意矛盾，

所以#1,

q(I-/)4=96

4+---------=168

i-q解得〈1

q=

a2—a5=4q—a1q=422

所以%==3.

故選：D.

15.(2025?全國(guó)一卷?高考真題)若一個(gè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且前4項(xiàng)和為4,前8項(xiàng)和為68,則該

等比數(shù)列的公比為.

【答案】2

【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和的定義，

得到關(guān)于4的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)得到關(guān)于q的方程，解之即可得解.

【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為｛4｝,S“是其前”項(xiàng)和，則s&=4,Sg=68,

設(shè)｛《,｝的公比為q(q>0),

當(dāng)4=1時(shí)，54=4^=4,即％=1,則Sg=84=8。68,顯然不成立，舍去;

當(dāng)gw1時(shí),

兩式相除得了=｝,即（j）=17,

i-q4

則1+/=17,所以q=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法二：設(shè)該等比數(shù)列為｛4｝,S"是其前〃項(xiàng)和，則S4=4,&=68,

設(shè)｛4｝的公比為4（4>0）,

所以邑=%+%+。3+。4=4,

Sg=Q]+%+Q3+%+〃5+〃6+%+。8

4444

=%+%+〃3+%+a\Q+%q++

=（4+&+4+%乂1+/）=68,

所以4（1+力=68,則1+/=17,所以q=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

法三：設(shè)該等比數(shù)列為｛%｝,S“是其前〃項(xiàng)和，則S,=4,Sg=68,

設(shè)｛4｝的公比為4（4>0）,

因?yàn)镾8—S4=（z5+<Zg+（Zy+=（4+<x,+/+%）/=68_4=64,

又S4=q+出+〃3+〃4=4,

Sa—A464

所以發(fā)S上=/=丁=16,所以q=2,

所以該等比數(shù)列公比為2.

故答案為：2.

16.（2023?上海?高考真題）已知等比數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為5.，且生=3,q=2,求其=

【答案】189

【分析】由等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求解，

【詳解】由題意得$6=坐|?=189,

故答案為：189.

17.（2023?全國(guó)甲卷?高考真題）記S”為等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.若￡：6=7邑，則｛%｝的公比為

【答案】

【分析】先分析4N1,再由等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比/

【詳解】若4=1,

則由8s6=7邑得8?6%=7?3%,則％=0,不合題意.

所以#1.

當(dāng)gwl時(shí)，因?yàn)?》=753，

即即8.(1+/)(1一/)=7.(1-43),即8.(1+0=7,

解得4=-；.

故答案為：

2

18.（2025?全國(guó)二卷?高考真題）記S”為等比數(shù)列｛氏｝的前〃項(xiàng)和，4為｛%｝的公比，夕＞0,若邑=7,4=1，

則（）

A.Q——B.一

259

C.55=8D.%+S“=8

【答案】AD

【分析】對(duì)A,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式得到方程組,解出4M,再利用其通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)

和公式一一計(jì)算分析即可.

-2_=4%=9

aq11或|1（舍去），故A正確；

【詳解】對(duì)A,由題意得'~2結(jié)合4＞0,解得＜

%+%q4-aq—7q==-q=—

x213

對(duì)B,則a=%/=4xg[=；,故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,$「eV）/I32[①,故C錯(cuò)誤；

j1」4

2

…4小一酊

4x

對(duì)D,an=l2]=2?，S“=—~~-——1=8-2-"+3，

1〃1-1

2

則+8-23-"=8,故D正確;

故選：AD.

考點(diǎn)07等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)

19.（2021?全國(guó)甲卷高考真題）記S,為等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和.若邑=4,邑=6,則》=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】A

【分析】根據(jù)題目條件可得S2,邑-邑，臬-J成等比數(shù)列，從而求出凡-邑=1,進(jìn)一步求出答案.

（詳解】VS?為等比數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)和，s2^0,

??.S2,邑-邑，臬-旦成等比數(shù)列

.?.$2=4,S4-S?=6-4=2

S6-S4=l,

/.S6=1+54=1+6=7.

故選：A.

20.（2023?新課標(biāo)n卷?高考真題）記s“為等比數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和，若$4=-5,$6=2電，則$8=（

A.120B.85C.-85D.-120

【答案】C

【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前”項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)邑，縱的關(guān)系即可解出；

方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)求解.

【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列｛?！埃墓葹?,首項(xiàng)為可，

若4=-1,則/=。-5,與題意不符，所以qW-1；

若q=i,則￡=64=3x24=3S2H0,與題意不符，所以qwi；

由邑=一5,$6=21邑可得，%（1-力=_5,%（j6）=21x%（1①①,

l-q1-q1-q

由①可得，1+/+/=21,解得：/=4,

所以$8=）=）x（l+q4）=_5x（l+[6）=_85.

故選：C.

方法二：設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為4,

因?yàn)?4=-5,其=21凡，所以qw-l,否則邑=。，

從而，52，$4-邑,56-54，1-56成等比數(shù)列，

5

所以有，（-5-5?）9-=邑（2電+5）,解得：52=-1或52="

當(dāng)其=T時(shí),S2,S4-S2,S6-S4,Ss-S6,即為-1,-4,-16,$8+21,

易知,58+21=—64,HPS8——85；

當(dāng)S]=—時(shí)，S4=q+%+4+%=（"i+%乂1+）=（1+q-）$2>0，

與$4=-5矛盾，舍去.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前w項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握邑,既的關(guān)

系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算.

考點(diǎn)08等差、等比數(shù)列的綜合

21.（2025?北京?高考真題）已知｛q｝是公差不為零的等差數(shù)列，％=-2，若/，。4，。6成等比數(shù)歹!J，則4。=（）

A.-20B.-18C.16D.18

【答案】C

【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.

【詳解】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為其。彳0）,

因?yàn)樗?。4,。6成等比數(shù)列，且4=-2,

所以d=/4，即（-2+34）2=（-2+2d）（-2+5d）,解得d=2或"=0（舍去），

所以％。=%+9d=—2+9x2=16.

故選：C.

22.（2023?北京?高考真題）我國(guó)度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國(guó)時(shí)期就已經(jīng)出現(xiàn)了類似于祛碼的、用

來(lái)測(cè)量物體質(zhì)量的“環(huán)權(quán)”.已知9枚環(huán)權(quán)的質(zhì)量（單位：銖）從小到大構(gòu)成項(xiàng)數(shù)為9的數(shù)列｛4｝,該數(shù)列

的前3項(xiàng)成等差數(shù)列，后7項(xiàng)成等比數(shù)列，且%=1,%=12M§=192,則%=；數(shù)列｛4｝所有項(xiàng)

的和為.

【答案】48384

【分析】方法一：根據(jù)題意結(jié)合等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列式求解一應(yīng)，進(jìn)而可求得結(jié)果；方法二：根據(jù)

等比中項(xiàng)求％，%,在結(jié)合等差、等比數(shù)列的求和公式運(yùn)算求解.

【詳解】方法一：設(shè)前3項(xiàng)的公差為d,后7項(xiàng)公比為q>0,

%192I,

貝Ijq4=—=—=16,且q>0,可得q=2,

a512

貝|J%=1+2d=得，即1+2d=3,可得d=1,

q

空1：可得〃3=3,%=%/=48,

…63（1-2，）

6384

仝2：%+4+L+tz9^l+2+3+3x2+--+3x2=3+2~

方法二：空1：因?yàn)椋?｝,3</<7為等比數(shù)列，貝IJ婿=%%=12x192=482,

且%>0,所以為=48；

2

又因?yàn)閯t生=%=3；

%

空2：設(shè)后7項(xiàng)公比為4>0,則才=%=4,解得q=2,

〃3

r田3（%+%）乙、,,a3-a9q3-192x2

OJ%+%+。3=--------------=6,%+%+%+牝+%+4+〃9=------------=---------------=3X1,/yf以

2l-q1-2

%+%+L+碼=6+381—q=384.

故答案為：48；384.

考點(diǎn)09數(shù)列的性質(zhì)

1a

23.（2023?北京?高考真題）已知數(shù)列｛%｝滿足*=]（。,-6）+6（〃=1,2,3,…），則（）

A.當(dāng)％=3時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)MW0,使得a.>M恒成立

B.當(dāng)q=5時(shí)，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)MV6,使得恒成立

C.當(dāng)6=7時(shí)，｛%｝為遞減數(shù)列，且存在常數(shù)">6,使得q恒成立

D.當(dāng)4=9時(shí)，｛%｝為遞增數(shù)列，且存在常數(shù)M>0,使得恒成立

【答案】B

【分析】法1：利用數(shù)列歸納法可判斷ACD正誤，利用遞推可判斷數(shù)列的性質(zhì)，故可判斷B的正誤.

法2：構(gòu)造/（X）=:（X-6）3+6-X,利用導(dǎo)數(shù)求得/（尤）的正負(fù)情況，再利用數(shù)學(xué)歸納法判斷得各選項(xiàng)為所

在區(qū)間，從而判斷｛%｝的單調(diào)性；對(duì)于A,構(gòu)造〃（同=；1一_|/+26尸47仁工3）,判斷得―進(jìn)

而取根=-[M]+4推得%>/不恒成立；對(duì)于B,證明?！八趨^(qū)間同時(shí)證得后續(xù)結(jié)論；對(duì)于C,記

〃=log321ogi（M-6）+l,取機(jī)1推得%>M不恒成立；對(duì)于D,構(gòu)造

_4_

1a

32r

g（x）=-x-^x+26尤-49（x>9）,判斷得an+1>a?+l,進(jìn)而取加=[M]+1推得為<M不恒成立.

【詳解】法1：因?yàn)椋?1=（4一6）+6,故*一6）（凡一6）二

對(duì)于A,若為=3,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：-3即%V3,

證明：當(dāng)〃=1時(shí)，。1-6=-34-3,此時(shí)不等關(guān)系%?3成立；

設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)，％：—6V—3成立，

則W+i-6=；（為_6）屋〔—“,一彳］,故%+i—64—3成立,

由數(shù)學(xué)歸納法可得。“43成立.

而%-。〃=1（?！?6）36）=（4-6）一6『-1,

1295

-(0?-6)^-1>--1=->0,an-6<0,故.-乙<0,故。用<4,,

故也｝為減數(shù)列，注意%「6-3<。

1o19Q

故4+1-6=*(4一6)=(a?-6)x-(a?-6)-<-(a?-6),結(jié)合4用-6<0,

所以6-%之：（6-%），故6-%+1?3電,故%+］<6-3g）,

若存在常數(shù)MWO,使得恒成立，貝"6->M，

6.M（9A"1.6-M一

故L巴>2,故〃<bg9一丁+1,故4>”恒成立僅對(duì)部分"成立,

故A不成立.

對(duì)于B,若4=5,可用數(shù)學(xué)歸納法證明：-1〈凡-6<0即54為<6,

證明：當(dāng)，=1時(shí)，-1<^-6=-1<0,此時(shí)不等關(guān)系5Wa“<6成立；

設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，5V%<6成立，

則以+i-6=^（附一6）3e（一7°）'故一1三見+i一6<°成立即

由數(shù)學(xué)歸納法可得5W4華<6成立.

而a.+i-a”=^（。"-6丫一（%-6）=（4,-6）-（a?-6）--1,

1（a?-6）2-l<0,。"一6<0,故a“+「a”>0,故故｛為｝為增數(shù)列,

若"=6,則。“<6恒成立，故B正確.

對(duì)于C,當(dāng)%=7時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：。<%-6Vl即6<a“V7,

證明：當(dāng)〃=1時(shí)，0<^-6<1,此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)，6<以47成立，

貝I］為+1-6=；（七一6丫e［。,；,故0<%+］-641成立即6<為+1W7

由數(shù)學(xué)歸納法可得6<%V7成立.

12

而4+i-6)—-6)-1<0,故故｛%｝為減數(shù)列,

又%+「6=(%-6)x：(a“-6)2-6),結(jié)合--6>°可得：*一64(q，所以.46+

若°用46+(；|,若存在常數(shù)M>6,使得恒成立，

則M一恒成立，故〃<logjM-6)+l,〃的個(gè)數(shù)有限，矛盾，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,當(dāng)4=9時(shí)，可用數(shù)學(xué)歸納法證明：a“-623即氏29,

證明：當(dāng)〃=1時(shí)，4-6=323,此時(shí)不等關(guān)系成立；

設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)，以29成立，

1o?7

貝U以+i-6=[(%-6)>—>3,故％+129成立

由數(shù)學(xué)歸納法可得。成立.

「]71

而a,+「a”=(%-6)>0,故故｛%｝為增數(shù)列，

又%-6=d-6)x，%-6)2>#-6),結(jié)合%-6>°可得：%-6>(4-6)\J=3^T,所以

n-\

9

*6+3

若存在常數(shù)M>0,使得?！?lt;知恒成立，則M>6+3&：',

故M>6+3](J,故+這與"的個(gè)數(shù)有限矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選:B.

1319

法2：因?yàn)榉?1-?！?](〃〃—6)+6—4〃=]〃：-2。；+26%-48,

1o3

4-7(X)=-X3--X2+26X-48,則廣⑺=工/-9犬+26,

令/'(">0,得0〈尤<6—羋或尤>6+手；

令尸(x)<0,得6-孚<x<6+孚；

(2(2Q、(Zh2

所以/(x)在,67和6+^~,+e上單調(diào)遞增，在6-,6+—^—上單調(diào)遞減,

igi

令/(x)=0,則^^一］尤2+26X-48=0,gp-(x-4)(^-6)(x-8)=0,解得x=4或x=6或x=8,

注意至!14<6一氈<5,7<6+第<8,

33

所以結(jié)合〃x)的單調(diào)性可知在(-g4)和(6,8)上/?(x)<0,在(4,6)和(8,+力)上/(x)>0,

］q1a

對(duì)于A,因?yàn)閍“+|=a(a,-6)+6,貝1］。,+1-6=］(%-6),

13

當(dāng)〃=］時(shí)，％=3,g_6=1(6_6)<—3,貝ij%<3,

假設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)，?！?lt;3,

1a］3

當(dāng)〃=左+］時(shí)，%+1—6=7(4—6)<—(3—6)<—3,貝I」％+i<3,

綜上：%<3,即為￡(一8,4),

因?yàn)樵?-8,4)上/(x)<。，所以〃〃+1<?！?，則｛〃“｝為遞減數(shù)列，

1319

因?yàn)闉?1〃+1=7(?！?6)+6-an+l=-al--a1+26an-47,

io3

令/z(x)=--x2+26x-47(x<3),貝ij/zr(x)=—x2-9x+26,

=-9

因?yàn)?(x)開口向上，對(duì)稱軸為,一一”■一，

ZX一

4

所以/工)在(—8,3］上單調(diào)遞減，^^(x)>/zr(3)=-x32-9x3+26>0,

1Q

所以/?(“在(-8,3］上單調(diào)遞增，故MX)VM3)=WX33-；X32+26X3-47<0,

故即?！?1<4-1，

假設(shè)存在常數(shù)MW0,使得4>/恒成立，

取町=-［M］+4,其中且［M］wZ,

因?yàn)?+1<?！癟，所以外</T，/<%一1，…，。_陷+4<°-M+3T，

上式相加得，4M+4<4一(一［”］+3)43+M-3=M,

則%=［⑷+4<知，與恒成立矛盾，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閝=5,

1q1a

當(dāng)〃=］時(shí)，q=5<6,-6)+6=—x(5-6)+6<6,

假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)，為<6,

當(dāng)九=%+1時(shí)，因?yàn)镴<6,所以%-6<0,則(4-6)3<0,

1q

所以/+1=]&-6）+6<6,

1.1Q

又當(dāng)〃=1時(shí)，6Z2-5=—-6）+1=—x（5-6）+1>0,即%>5,

假設(shè)當(dāng)〃=左時(shí)，%之5,

當(dāng)〃=左+1時(shí)，因?yàn)?25,所以％—62—1,則（%—6）32—1,

1O

所以為+1=1（%-6）+6>5,

綜上：5<an<6,

因?yàn)樵冢?,6）上/⑺>。，所以4+i>4,所以｛4｝為遞增數(shù)列,

此時(shí)，取M=6,滿足題意，故B正確；

1.1o

對(duì)于C,因?yàn)?+1=a（a“-6）+6,

注意至U當(dāng)％=7時(shí)，a2=—（7—6）+6=—+6,%=；（；+6—=+6,

iFriYAJAci\3A

+6一6]+6=「J+6

-1）

猜想當(dāng)“22時(shí)，+6,

當(dāng)〃=2與a=3時(shí)，%=；+6與/+6滿足°“=]’『一+6,

假設(shè)當(dāng)“=%時(shí)，+6，

r--]3

131門、卯-1）小、卯"）

當(dāng)〃=左+1時(shí)，所以％+1=1（久一6）+6=—1—1+6-6+6=1—1+6,

綜上：）+6（〃22）'

nn

z1\1（3-l）zx-（3-l）

易知3"-1>0,則0<匕）<1，故"〃=[]）+6G（6,7）（H>2）?

所以a.e（6,7],

因?yàn)樵冢?,8）上/（x）<0,所以a用<凡，則也｝為遞減數(shù)列，

假設(shè)存在常數(shù)">6,使得>加恒成立,

記功=log3210gl（加一6）+1,取加其中%一￡N*,

_4_

則3~3%=2摩工（“一6）+1,

4

故g（3"T）>logj_（M-6）,所以）<"一6，即）+6<M，

所以故4不恒成立，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)椋?9,

1Q77

—

當(dāng)〃=]時(shí)，ct2—6=—^cil6）=>3,則%>9,

假設(shè)當(dāng)〃二七口寸，

3

當(dāng)"=%+1時(shí)，?w-6=-（a,-6）>-（9-6）->3,則%]>9,

綜上：?！?9,

因?yàn)樵冢?,+“）上/（x）>0,所以所以｛%｝為遞增數(shù)列，

]q19

1=a

因?yàn)闉?i_?！▇~（n-6）+6-an-l=-a^--a^+26an-49,

io3

=—x3_~%2+26x-49（x>9）,貝ij/（%）=工%2一9%+26,

=-9?

因?yàn)間1x）開口向上，對(duì)稱軸為X一一不一°,

乙X

4

a

所以/（“在[9,y）上單調(diào)遞增，ifegz（x）>^（9）=-x92-9x9+26>0,

1Q

所以g（x）Ng（9）=*x93一/X92+26X9-49>0,

故%-4T>0,BPan+i>an+l,

假設(shè)存在常數(shù)">0,使得4<加恒成立，

取%=[M]+1,其中〃一1<[/]</,且[M]eZ,

因?yàn)椤?+1>??+1，所以%>。1+1，4>%+1，…，//]+l>a[M]+1，

上式相加得，?[?]+1><31+[M]>9+M-1>M,

則。叫=[凹+1>“，與恒成立矛盾，故D錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)首項(xiàng)給出與通項(xiàng)性質(zhì)相關(guān)的相應(yīng)的命題，再根據(jù)所得命題結(jié)合

放縮法得到通項(xiàng)所滿足的不等式關(guān)系，從而可判斷數(shù)列的上界或下界是否成立.

24.（2022.全國(guó)乙卷.高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)

繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列抄“｝：^1=1+—,

?i+—1r，…，依此類推，其中&wN*（A=l,2,...）.則（）

a?H--------

a2

a3

A.bx＜b5B.b3<bsC.b6<b2D.b4<b7

【答案】D

【分析】根據(jù)W?N*億=1,2,…），再利用數(shù)列｛〃｝與密的關(guān)系判斷｛〃｝中各項(xiàng)的大小，即可求解.

【詳解】［方法一］：常規(guī)解法

因?yàn)閼?yīng)eN*（左=1,2,…），

1——＞------,,,

所以％＜%+—,a1,得到偽＞%,

%xa\H---

a2

11

(X,-\—〉aH-----；—,,,

同理?%%+工，可得打＜4，4＞4

2%

1111

——＞-------j，％+[＜+j

又因?yàn)榈模?]%+