第1講平面向量的概念及線性運算一、向量的基本概念①定義：既有大小又有方向的量叫做向量．②向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，叫做向量的模，記作|AB|．③零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．④單位向量：長度等于1個單位的向量．非零向量與的關(guān)系：是與同方向的單位向量.⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行．⑥相等向量：長度相等且方向相同的向量．⑦相反向量：長度相等且方向相反的向量．二、向量的線性運算和向量共線定理①向量的線性運算運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則①交換律a+b=b+a②結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)減法求a與b的相反向量?b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a?b=a+(?b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算(1)|λa|=|λ||a|(2)當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相同；當λ=0時，λa=0λ(μa)=(λμ)a(λ+μ)a=λa+μaλ(a+b)=λa+λb三、向量共線定理①如果a=λb且b≠0，則a∥b；反之a(chǎn)∥b且b≠0，則一定存在唯一一個實數(shù)λ，使a=λb．推論：③向量PA，PB，PC中三個向量的終點A，B，C共線?存在實數(shù)λ，μ使得PA=λPB【例題1】下列關(guān)于平面向量的說法，正確的有_____________。（填序號）①兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同②若a≠b，則a，③若AB=DC，則四邊形④單位向量都相等；⑤模相等的兩個平行向量是相等向量；⑥對任一非零向量a，a|⑦若a//b⑧若a//b，則a與⑨若a=b答案：①⑥【練習(xí)】1、下列關(guān)于平面向量的說法，正確的有_____________。（填序號）①×若向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D必在同一直線上；②若非零向量AB與CD是共線向量，則它們的夾角是0°或180°；③若a=b，則a，④零向量相等，零向量的相反向量是零向量⑤若e1,⑦若a=b⑧a與b是否相等與a，b的方向無關(guān) 答案：②④⑦⑧【例題2】1、如圖，在平行四邊形ABCD中，下列計算不正確的是（

）A．AB+AD=C．AB+CD+【解題思路】根據(jù)平面向量線性運算法則及平行四邊形的性質(zhì)計算可得.【解答過程】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則知AB+根據(jù)向量減法的三角形法則知AB?AB+AC+故選：C．2、已知?ABC為正三角形，則下列各式中成立的是___________.（填序號）①AB?AC=BC；②AB?【答案】①②③【分析】設(shè)D,E,F分別為AB,BC,AC的中點，根據(jù)平面向量的加法和減法的運算法則逐一判斷即可得出答案.【詳解】對于①，AB?對于②，設(shè)D,E,F分別為AB,BC,AC的中點，則AE=CD=BF=3AB?BC?所以AB?對于③，CA?所以AB?對于④，AB?故答案為：①②③.A．13DB+C．13DB+【答案】B【解析】∵AB=∴32∴AB=∴AE=故選：B.【練習(xí)】1、在四邊形ABCD中，AB=DC，若AD?AB=A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．不確定【答案】B【分析】由AB=DC，可得四邊形ABCD為平行四邊形，又【詳解】解：在四邊形ABCD中，因為AB=DC，所以四邊形又AD?AB=所以平行四邊形ABCD為矩形，故選：B.2、【多選】在?ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC,CA,AB的中點，點G為?ABC的重心，則下列結(jié)論中正確的是（

A．AB?BC=C．AF+BD+【答案】BCD【分析】由向量的線性運算結(jié)合三角形的重心的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖：對于選項A，AB?對于選項B，點G為△ABC的重心，則AG=故選：BCD．3、如圖，在△ABC中，AD=13AB，點E是CD的中點，設(shè)AB=aA．?16aC．?16a【答案】D【解析】因為AD=13AB即AD=1所以AB=3所以AE=故選：D.【例題3】在平行四邊形ABCD中，點G在AC上，且滿足AC=3AG，若DG=mAB【解題思路】利用向量線性運算求得DG=【解答過程】DG=AG?AD=所以m?n=1.故答案為：1.【練習(xí)】1、如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點C的三等分點，點F為BE的中點，若AF=xAB+yAD【解題思路】利用平面向量的線性運算計算即可.【解答過程】AF===1所以x=56，y=1故答案為：762、如圖，在正方形ABCD中，CE=2DE,EB和AC相交于點G，且F為AG上一點（不包括端點），若BF=λBE+μBA，則A．5+33 B．6+25 C．8+【解題思路】先確定G的位置，接著由BF=λBE+μ【解答過程】由題可設(shè)BG=xBE,x∈0,1則由題意得BG=x因為A、G、C三點共線，故x+2所以BG=所以BF=λ又A、G、F三點共線，所以53所以3λ當且僅當3μλ=5λ故3λ+1故選：B.【例題4】1、已知AB=a+5b，BC=?2A．B，C，D B．A，B，C C．A，C，D D．A，B，D【解題思路】A選項，設(shè)BC=mBD，則?2=2m8=10m【解答過程】A選項，BC=?2a+8令BC=mBD，則B選項，AB=a+5令A(yù)B=nBC，則C選項，AC=AD=令A(yù)C=tAD，則∴AC，ADD選項，AB=a+5故選：D.A．2 B．?3 C．?2 D．3【答案】A【解析】由題意DB=且AB=因為A,B,D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使得DB=λ所以?e即λ=?1?λk=2，解得k=2故選：A.【練習(xí)】1、已知向量e1，e2是平面上兩個不共線的單位向量，且AB=e1+2eA．A、B、C三點共線 B．A、B、D三點共線C．A、C、D三點共線 D．B、C、D三點共線【解題思路】結(jié)合向量的線性運算，逐項判斷向量共線得解.【解答過程】對A，因為1?3≠22，則A、對B，因為13≠2?6，則A、對C，因為AC=AB+BC=e1對D，DB=DA+AB=4e1?4e故選：C．2、設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，若向量m=?A．k=0 B．k=1 C．k=2 D．k=【答案】D【解析】因為向量m=?e1+ke所以存在實數(shù)λ，使得m=λ所以有?e1+ke23、已知平面向量，不共線，AB=4a+6b，BC=?A．A,B,D三點共線 B．A,B,C三點共線C．B,C,D三點共線 D．A,C,D三點共線【答案】D【解析】對于A，BD=BC+對于B，AB=4a+6b，BC=?對于C，BC=?a+3b，CD=對于D，AC=故選：D．【例題5】1、若O是ΔABC所在平面內(nèi)一點，且滿足OB?OC=OB【答案】直角三角形【解析】OB?OC=CB所以ΔABC的形狀為直角三角形2、點P是銳角△ABC內(nèi)一點，且存在λ∈R，使AP=λ(AB+AC)A．點P是△ABC的垂心 B．點P是△ABC的重心C．點P是△ABC的外心 D．點P是△ABC的內(nèi)心【解題思路】由已知判斷點P在直線AD上，結(jié)合垂心、重心、外心、內(nèi)心的定義逐一判斷即可.【解答過程】記BC的中點為D，則AP=λ(所以，點P在直線AD上.A選項：若點P是△ABC的垂心，則AD⊥BC，所以AB=AC，所以△ABC為等腰三角形，A正確；B選項：若點P是△ABC的重心，則點P在BC邊的中線上，無法推出AD⊥BC，B錯誤；C選項：若點P是△ABC的外心，則點P在BC邊的中垂線上，所以AD⊥BC，所以△ABC為等腰三角形，C正確；D選項：若點P是△ABC的內(nèi)心，則AD為∠BAC的角平分線，所以∠BAD=∠CAD，又S△ABD=S故AB=AC，D正確.故選：B.【練習(xí)】1、在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，若2OA+3OC=2ODA．矩形 B．梯形 C．平行四邊形 D．菱形【答案】B【分析】由2OA+3OC=2OD【詳解】∵

2OA∴

2(OA∴

2DA∴四邊形ABCD一定是梯形．故選：B.2、已知點O是△ABC所在平面上的一點，△ABC的三邊為a,b,c，若aOA→+bOB→+cOCA．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【解題思路】在AB，AC上分別取點D，E，使得AD→=AB→c，AE→=AC→b，以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，即可得到四邊形ADFE是菱形，再根據(jù)平面向量線性運算法則及共線定理得到A，【解答過程】在AB，AC上分別取點D，E，使得AD→=AB→c以AD，AE為鄰邊作平行四邊形ADFE，如圖，

則四邊形ADFE是菱形，且AF→∴AF為∠BAC的平分線．

∵∴a?OA→即(a+b+c)OA∴AO→∴A，O，F(xiàn)三點共線，即O在∠BAC的平分線上．同理可得O在其它兩角的平分線上，∴O是△ABC的內(nèi)心．故選：B．隨堂檢測1、下列說法正確的是（

）A．身高是一個向量B．溫度有零上溫度和零下溫度之分，故溫度是向量C．有向線段由方向和長度兩個要素確定D．有向線段MN→和有向線段NM【解題思路】根據(jù)向量的定義及性質(zhì)判斷各項的正誤即可.【解答過程】A：由向量即有大?。ｉL）又有方向的量，顯然身高不是向量，故A錯；B：溫度有零上溫度和零下溫度，顯然溫度可以比較大小，但無方向，故B錯；C：有向線段有起點、方向、長度三要素確定，故C錯；D：有向線段MN→和有向線段NM故選：D.2、下列說法正確的是（

）A．零向量沒有大小，沒有方向B．零向量是唯一沒有方向的向量C．零向量的長度為0D．任意兩個單位向量方向相同【解題思路】根據(jù)零向量和單位向量的概念求解.【解答過程】零向量有大小，有方向，其長度為0，方向不確定，任意兩個單位向量長度相同，方向無法判斷.故選：C.3、如圖所示，四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，則下列結(jié)論中不一定成立的是（）A．AB=EF B．AB與C．BD與EH共線 D．CD【解題思路】利用菱形的性質(zhì)及向量的定義逐一判斷即可.【解答過程】∵四邊形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，∴∠DCG+∠GCE=180°，即∴AB=EF,CD=FG，AB//即AB=EF，CD=FG，對于C：若BD與EH共線，則必有∠BDC=∠HED，即∠GCE=2∠BDC=2∠HED，該條件不一定成立，如∠GCE=90°時，∠HED≠45°，故故選：C.4、在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O，且AO=OC，A．AC⊥BD B．四邊形ABCD是梯形C．四邊形ABCD是菱形 D．四邊形ABCD是矩形【解題思路】由題意，根據(jù)相等向量的概念和向量的模，結(jié)合矩形的判定定理即可求解.【解答過程】由AO=知四邊形ABCD的對角線相互平分且相等，所以四邊形ABCD為矩形.故選：D.5、向量AB?MB?A．AM B．0 C．0 D．AC【解題思路】利用平面向量的加法與減法可化簡所得向量式.【解答過程】AB?故選：D.6、已知點C在線段AB上，且AC=25CBA．AB=53C．AB=?75【解題思路】根據(jù)題意，畫出草圖，可明確兩向量的關(guān)系.【解答過程】因為點C在線段AB上，且AC=2根據(jù)題意，可得圖形：可設(shè)AC=2，則BC=5，AB=7，且AB→與BC→方向相反，所以故選：C.7、化簡6a?bA．6a+2bC．?2a?14b【解題思路】利用平面向量的數(shù)乘及加減運算即可求得結(jié)果.【解答過程】根據(jù)向量的四則運算可知，6a故選：D.8、在△ABC中，D為AC上一點且滿足AD=12DC，若P為BD的中點，且滿足AP=λABA．16 B．12 C．34【解題思路】根據(jù)平面向量的線性運算計算即可.【解答過程】因為AD=12則AP=所以λ=12，μ=1故選：D.9、已知a，b是平面內(nèi)兩個不共線向量，AB=ma+2b，BC=3a?b，A，A．?23 B．23 C．【解題思路】利用共線向量定理列式計算即得.【解答過程】由A，B，C三點共線，得AB，BC共線，設(shè)AB=λBC，而AB=m則ma+2b=λ(3a?b)，又所以m=?6.故選：C.10、在△ABC中，O是三角形內(nèi)一點，如果滿足AO=μABAB+ACAC，μ>0，則點A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【解題思路】根據(jù)ABAB【解答過程】ABAB表示與AB同向的單位向量，ACAC表示與故ABAB+ACAC表示起點為又AO=μABAB+ACAC，則O點也在∠BAC的角平分線上，故點O的軌跡一定經(jīng)過三角形ABC的內(nèi)心.故選：A.課后作業(yè)1、下列命題中真命題的個數(shù)是（

）（1）溫度?速度?位移?功都是向量（2）零向量沒有方向（3）向量的模一定是正數(shù)（4）直角坐標平面上的x軸?y軸都是向量A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)向量的定義和性質(zhì)，逐項判斷正誤即可.【解答過程】（1）錯誤，只有速度，位移是向量；溫度和功沒有方向，不是向量；（2）錯誤，零向量有方向，它的方向是任意的；（3）錯誤，零向量的模為0，向量的模不一定為正數(shù)；（4）錯誤，直角坐標平面上的x軸、y軸只有方向，但沒有長度，故它們不是向量.故選：A.2、下列結(jié)論中正確的為（

）A．兩個有共同起點的單位向量，其終點必相同B．向量AB與向量BA的長度相等C．對任意向量a，aaD．零向量沒有方向【解題思路】利用單位向量的概念可判斷A選項的正誤；利用向量模的定義可判斷B選項的正誤；取a=【解答過程】對于A選項，兩個單位向量的模相等，但這兩個單位向量的方向不確定，故A錯；對于B選項，向量AB與向量BA的模相等，B對；對于C選項，若a=0，則對于D選項，零向量的方向任意，D錯.故選：B.3、如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，圖中與CA共線的向量有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解題思路】根據(jù)圖像，直接判斷即可.【解答過程】由圖可知，根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，與CA共線的有AC，DF，F(xiàn)D，共3個，故選：C.【例5】（2024高一·全國·專題練習(xí)）設(shè)e是單位向量，AB=e，CD=?e，A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【解題思路】根據(jù)共線向量及菱形知識可得解.【解答過程】因為AB=e，所以AB=e=?所以AB=所以四邊形ABCD是平行四邊形，因為AD=1，即AB所以四邊形ABCD是菱形.故選：B.4、下列各式中不能化簡為PQ的是（

）A．AB+PA+C．QC?QP+【解題思路】利用向量加減法法則化簡各式，即可得答案.【解答過程】A：AB+B：因為PA+AB?若PA+AB?BQ=即點B與點Q重合，顯然這不一定成立，所以PA+AB?C：QC?D：AB+故選：B.5、已知點C在線段AB上，且AC=2CB，若向量AC=λAB，則λ=（A．2 B．12 C．32