周測2一元二次函數(shù)、方程和不等式【基礎(chǔ)卷】

試卷綜述■墾■命題亮點

【考試范圍】一元二次函數(shù)、方程和不等式，不等式性質(zhì)，基本不等式及其應

用.

【命題風格】本卷嚴格按照2025年新課標高考的模式，精心組合和打磨.

【命題亮點】

（1）情境新穎：如本卷第6題，以藥液稀釋為背景，考查了用不等式表示不等

關(guān)系；如本卷第7題，以“勾股定理”為情景，考查基本不等式的應用，培養(yǎng)數(shù)

學文化素養(yǎng)和創(chuàng)新思維.

（2）原創(chuàng)加持：如本卷第5題，符合新課標要求的“情境化命題”導向，既考查

基本不等式性質(zhì)，又體現(xiàn)數(shù)學建模素養(yǎng);創(chuàng)新設(shè)計：以5G通信設(shè)備參數(shù)為背景，

體現(xiàn)STEM教育理念.

（3）易錯防范：如本卷第6題，考查一元二次不等式的應用，忽視變量的實際

意義使變量范圍取錯;如本卷第U題，考查了基本不等式及其變形應用，在解答

本題時，要注意基本不等式的檢驗.

精選好題一瞰南精巧組合

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

（2025?廣東東莞.模擬預測）

1.已知集合4=卜1|苫-1區(qū)1},3=卜|/-》-2<0},貝!|AB=()

A.{x|0<x<2}B.{x|-l<x<2}

C.{x|0Kx<2}D.{x|-l<x<2}

2.已知。>0,b>0,^m=a-2y/b+2,n=2y[a-b,則()

A.m>nB.m>nC.m<nD.m<n

3.若a,b,ceR,則下列命題正確的是（）

2026年

A.若a>b,則〃2>。2B.若a>b,則工

ab

C.a>b>c>Q,貝!J—<------D.右貝！J->-------

bb+ca—ba—c

（24-25高三上?山東?階段練習）

4.“以?1,2],爐+辦+140”的一個充分不必要條件是（）

A.a—1B.a4—2C.aW—D.3

2

5.在5G信號傳輸中某通信實驗室測試兩種信號增強器，其增益參數(shù)滿足2<a<3,-1<6<0,

則下列結(jié)論恒成立的是（）

A.a2<3a

B.->-l

b

C.a+b>l

D.ab>—3

6.為配制一種藥液，進行了二次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥

液倒出10升后用水補滿，攪拌均勻第二次倒出8升后用水補滿，若第二次稀釋后桶中藥液

含量不超過容積的60%,則V的取值范圍為（）

A.5<V<40B.10<V<40C.5<V<40D.10<V<40

7.對于直角三角形的研究，中國早在商朝時期，就有商高提出了“勾三股四弦五”這樣的勾

股定理特例，而西方直到公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯才提出并證明了勾股定理.若

一個直角三角形的斜邊長等于6,則這個直角三角形面積的最大值為（）

A.6B.9C.12D.18

（24-25浙江杭州?期中）

8.己知關(guān)于了的不等式犬2-4依+3/<0（。<0）的解集為（玉,%）,則%+%+；（的最大值

是（）

A4#R_476「迪N_4A/3

3333

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知lg"lg。，則下列結(jié)論成立的是（）

AAc11廠bb+2024nhh

A.2>1B.a+->b7+-C.—>------------D.>3

abaa+2024

10.abc<0,貝！J函數(shù)y=以2+"+c的圖象可能是（）

i?

A.必的最小值是:B.2a2+廿最小值為彳

43

c.&+揚的最大值是&D.工+學的最小值是1+友

ab

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.e".兀。與產(chǎn).兀71的大小關(guān)系為____.

(2025?四川眉山?模擬預測)

13.已知a,beR+,4。+6=1,則"的最小值是.

14.若關(guān)于X的不等式04依2+樂+。＜2(。＞0)的解集為{^-14x43},貝|3a+b+2c的取值

范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

15.已知。＞620,,且

(1)請給出a,4c,d的一組值，使得a+/、2(c+d)成立；

(2)證明不等式a+/72c+d恒成立.

16.長征二號廠遙十四運載火箭在設(shè)計生產(chǎn)中采用了很多新技術(shù)新材料.甲工廠承擔了某

種材料的生產(chǎn)，并以x千克/時(為保證質(zhì)量要求IVxVIO)的速度勻速生產(chǎn)，每小時可消耗A

2026年

材料(日,+9)千克，已知每小時生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時，消耗A材料10千克.

⑴設(shè)生產(chǎn)加千克該產(chǎn)品，消耗A材料y千克，試把y表示為x的函數(shù)；

(2)要使生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少，工廠應選取何種生產(chǎn)速度？并求消耗的A

材料最少為多少.

17.已知/(尤)=尤？一(a+l).x+a,oeR,xeR.

(1)當。=-2時，解關(guān)于x的不等式/(x)<0；

⑵若存在xe[3,+?),使得/(x)=-l成立，求實數(shù)。的取值范圍.

18.己知a,Z?,ceR,關(guān)于x的不等式法2-3工+2>0的解集為｛x|x<l或無>。｝.

⑴求6,c的值；

(2)解關(guān)于X的不等式tiX?—(oc+b)x+/?c<0.

19.已知函數(shù)/(x+l)=x2+x-l.

⑴求〃尤)的解析式；

⑵求不等式〃x)Vx+2的解集；

(3)若存在xeR,使得2〃sinx)+(a+2)sinx+3W0,求4的取值范圍.

2026年

《周測2一元二次函數(shù)、方程和不等式基礎(chǔ)版(周末測試)》參考答案：

1.C

【分析】解絕對值不等式及二次不等式可求集合A,B,再利用集合交集的運算即可求解.

【詳解】根據(jù)題意I%—1區(qū)In—lWx—則4={乂04]?2},

x2—x—2=(%+1)(%—2)v0—1v尤v2,貝|B~1x|—1<x<2},

故AB={x|0<x<2}.

故選：C.

2.A

【分析】利用作差法判斷根一〃的正負即可得出結(jié)果.

【詳解】由題意可知，m-n=a-2y/b+2-2\fa=4a-1j+(揚-1)>0

當且僅當，=b=l時，等號成立；

即加N幾.

故選：A

3.D

【分析】對于ABC,舉例判斷即可，對于D,利用不等式的性質(zhì)判斷

【詳解】對于A,若。=11=—2,則/=1<〃=4,所以A錯誤，

對于B,若。=1/=-2,則工二小:二一!，所以B錯誤，

ab2

對于C,若a=3,6=2,c=l,則(2:=：3>a產(chǎn)+c=4所以c錯誤，

b2b+c3

11bc

對于D,因為a>b>c>0,所以1一。>々-6>0,所以——->---->0,所以->-----,

a-ba—ca-ba-c

所以D正確，

故選：D

4.D

【分析】根據(jù)給定條件，求出〃的范圍，再利用充分不必要條件的定義判斷得解.

【詳解】Vxe[1,2],x2++1<0<=>-6?>x+—,而函數(shù)y=x+,在[1,2]上單調(diào)遞增，

XX

當兀=2時,ymax=1-,因此-。之|",解得g,

選項中只有伍I“4-3}是{4|q4的真子集，

2026年

所以“Vxe[l,2],x2+依+ivo，，的一個充分不必要條件是av_3.

故選：D

5.ACD

【分析】利用作差法即可判斷A；根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷BCD.

【詳解】對于A,因為2<a<3,所以6-3a=。（。-3）<0,所以"<3°,故A正確；

對于B,因為—1<6<0,所以?<-1,故B錯誤；

b

對于C,因為a>2,Z>>—1,所以a+6>2+（—1）=1,故C正確；

對于D,因為一1<6<0,所以0<—/<1,

因為2<a<3,所以0<-口6<3,所以一3<a6<0,所以a6>-3,故D正確.

故選：ACD.

6.B

【分析】求出第一次、第二次稀釋后的濃度，根據(jù)第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的

60%列式，解不等式可得結(jié)果.

【詳解】第一次稀釋后，藥液濃度為v上-io廣，

80

mVT°Q1/

第二次稀釋后，藥液濃度為"10一^_"廠1C8,

VV

80

依題意有W60%'即丫2-45丫+20040,解得5<V<40,

V~°

XV-10>0,gpv>io,所以104V440.

故選：B

7.B

【分析】首先根據(jù)勾股定理得到直角邊滿足的關(guān)系式加+1=36,再根據(jù)基本不等式求面

積的最大值.

【詳解】設(shè)直角三角形兩直角邊長分別為“〃（〃?,”>0）,依題意可得病+川=36,

所以三角形的面積S=g機尹=9,當且僅當根=〃=3五時取等號.

故選：B

8.B

2026年

［兀+x,=4〃

【分析】利用韋達定理得到、-2，再代入利用基本不等式計算可得.

［玉/=3a

【詳解】因為關(guān)于X的不等式Y(jié)-4依+3a?<0.<0）的解集為（占，無2）,

%+尤2=4。

所以

2

x^x2—3a

2a.la.2

所以%+%+藐=4a+，=4a+五

=//+2上一力㈠外三二一地,當且僅當一4°=2,即°=一且時取等號.

「'-3a\V-3a3-3a6

故選：B

9.AD

【分析】由題意，a>b>0,利用函數(shù)單調(diào)性比大小判斷選項AB,利用作差和作商法比大

小判斷選項CD.

【詳解】lga>lgb,貝！|有a>6>0,

對于A,由a-6>0,則2修>1，A選項正確；

對于B,對勾函數(shù)/（x）=x+工在（。,1）上單調(diào)遞減，在（1,+8）上單調(diào)遞增，

X

而a>b>0,/（。）>/（“不一定成立，B選項錯誤；

bb+2024b^a+2024)-a{b+2024)2024(Z?-tz),八七bb+2024、4石

對于C,s有LRBJ選項

aa+2024Q(Q+2024)。（。+2024）

錯誤;

對于D,|^=j>j=1,又3j>0,所以?！?gt;3~'D選項正確.

故選：AD.

10.ABD

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，依次分析各選項即可得答案.

A

【詳解】函數(shù)y=a/+"+c的圖象的對稱軸為1=—丁，與元軸的交點的坐標分別為

2a

bc

（石,0）,（%2，°），則%+%=--?石九2=—9

aa

hbe

A中，。<0,-----<0,—<0,—>0,則a<0,Z?<0,c<0,abc<0,符合題意；

2。aa

2026年

hbe

B中，a<0,----->0,—>0,—<0,貝|〃v0,b>0,c>0,abc<0,符合題意；

2aaa

hbe

C中，>0,———<0,—<0,—>0,貝！JQ〉O,b>0,c>0j*,?cibc>0,不符合題意；

2Qaa

hbe

D中，。>0,----->0,—>0,—>0,則a>0,b<0,c>0,abc<0,符合題意，

2aaa

故選：ABD.

11.BC

【分析】利用基本不等式即可得到A；二元換一元，A=l-a代入24+〃，利用二次函數(shù)

求出最值，得出B選項；利用(&+')"+b即可得到C選項:利用“1”的妙用得出

42

D.

【詳解】對于A,:?！?。/〉。，^.a+b=\,：.ab<{^\即。=6=工時，等號成

I2J42

立,

即“〃的最大值是!’故A不正確;

22

對于B,?.?a+b=l,：.b=l-a,2/+/=2〃+?！┝?3十一,

3

2

所以2/+從故B正確;

對于C,:?！怠?〉。，且a+》=l,...(G+甸尸6」,即6+底四

422

當且僅當a=b=；時，等號成立，故C正確;

r_x-r—,,12aa+b2a.b2a、1_后

對于D,V-+一=+—=1+—+—21+212,

ababab

即a=-1,6=2-時，等號成立,

所以工+學的最小值是1+2夜，故D錯誤.

ab

故選：BC.

12.ekce"71

【分析】根據(jù)作商法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

71eii-e

【詳解】因為與===(?、

?兀-e'一,

eTlit7171

2026年

X0<—<1,0<7t—e<l,

71

prtG7C

即---<I1,

ee7in

即e^ne<ee-n\

故答案為：e71-ne<ee-n1

13.9

【分析】先求出工+1的最小值，再將*化為1即可求得答案.

ababab

【詳解】因為。力eR+,4々+。=1,

,,11(11^1/.7\,b廠[b4^^

故—I—=—I—(4a+b]=5T------1----->5+2J—?——=9,

abb)'7ab\ab

4/711

當且僅當巳b=竽，結(jié)合4a+b=l,即“=3涉=：時等號成立，

ab63

所以?」+?9.,即々的最小值為9,

ababa+b

故答案為：9.

14.加

【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解集得到對稱軸，然后根據(jù)端點得到兩個等式和一個不等

式，求出。的取值范圍，最后3a+b+2c都表示成。的形式即可.

【詳解】因為不等式04分2+樂+。42(。>。)的解集為{》|一14工43},

所以二次函數(shù)=+bx+c的對稱軸為直線x=l,

/(-1)=2a-b+c=2

b=-2a

且需滿足"3)=2,即9a+3b+c=2,解得

c=-3ci+2

a+b+c>0

所以a+Z?+c=a-2。一3a+2之0=>a<L所以1,

2\2

所以3。+b+2c=3a—2a—6a+4=4—5a￡^-,4j.

故答案為：

【點睛】關(guān)鍵點睛：一元二次不等式的解決關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，求出對稱軸和端點

2026年

的值，繼而用同一個變量來表示求解.

15.(1)a=2,6=Lc=Ld=-l(答案不唯一)⑵證明見解析

【解析】(1)找到一組符合條件的值即可；

(2)由a2cNd可得(a-c)(a-d)，0，整理可得/+cd》(c+d)a,兩邊同除?？傻?/p>

cdcdcd

a+絲2c+d,再由而2cd可得里，兩邊同時加?？傻胊+62a+竺，即可得證.

aaa

【詳解】解析：(1)a=26=l5c=15d=-1(答案不唯一)

(2)證明:由題意可知,akO,因為所以(a-c)(a-d)20.

所以a?-(c+d)a+cd20,即/+cd》(c+d)a.

cd

因為a>Z?20,所以aH2c+d,

a

因為必Ned,所以622，

a

所以a+62a+02c+d.

a

【點睛】考查不等式的證明,考查不等式的性質(zhì)的應用.

16.(l)y=〃z[x+2],l<x<10.

(2)工廠應選取3千克/時的生產(chǎn)速度，此時消耗的A材料最少，最少為6000千克.

【分析】(1)根據(jù)條件求左，再根據(jù)每小時耗材和時間，列式求解；

(2)由題意可知，〃7=1000,代入(1)的結(jié)果，利用基本不等式，即可求解.

【詳解】(1)由題意得左+9=10,解得上=1,因為生產(chǎn)機千克該產(chǎn)品需要的時間是絲，

尤

所以y=:(依2+9)=加1+3，1<%<10,

(2)由(1)知，生產(chǎn)1000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為y=1000、+￡|21000x2w=6000

(千克).

當且僅當％==，即x=3時，等號成立，

故工廠應選取3千克/時的生產(chǎn)速度，此時消耗的A材料最少，最少為6000千克.

17.(1)(-2,1)；

(2)[3.5,-H?).

【分析】(1)根據(jù)解一元二次不等式的方法進行求解即可；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進行求解即可.

2026年

【詳角星】(1)f(x)=x2-(^+l)x+6Z=(x-tz)(x-1),

當a=—2時，由/(%)v0=>(x+2)(%—1)v0=—2<x<l,

所以不等式的解集為(-2,1)

(2)/(x)=x2-(a+l)x+a=(x-a)(x-l),該函數(shù)的對稱軸為x=,

當a=l時，/(x)=(x-l)2>0,不存在實數(shù)xw[3,+8),使得/'(x)=-l成立；

當a<l時，函數(shù)“X)在無e[l,+oo)上單調(diào)遞增，顯然在xw[3,+8)上也單調(diào)遞增，而/⑴=0,

所以當xe[3,+a))時，/?>0,故不存在無e[3,+s),使得/。)=-1成立；

當Iva?3時，因為函數(shù)在xe|a,+8)上單調(diào)遞增，所以在xe[3,+oo)時也單調(diào)遞增，而

/(a)=0,所以此時=不成立；

當3V但時，即。上5時，要想在xe[3,+a))有解，只需

2

■卜一-^^-+a4-lnaN3,或a<-l,而aN5,

因止匕a25,

當一<3<。時，即3<。<5時，要想f(x)=T在無e[3,+s)有解，只需

f(3)<—19—3(a+1)+aV—1a23.5,即3.54a<5,

綜上所述：實數(shù)。的取值范圍為[3.5,+8).

18.⑴6=l,c=2

(2)分類討論，答案見解析.

【分析】(1)根據(jù)一元二次方程與不等式的關(guān)系，利用韋達定理，即可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)果，不等式為依2_(2〃+1卜+2<0,分解因式后，討論。的取值，解不

等式.

【詳解】(1)因為不等式如2—3x+2>0的解集為{無卜<1或無〉c},

所以為=1與％=。是方程加一3x+2=0的兩個實數(shù)根,

2026年

13

l+c=一

b

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

12

lxc=—

b

解得：b=l,c=2；

（2）由（l）知不^^^（^2^2—（ac+人）％+Z?c＜0為tix?—（2a+l）x+2＜。,

即（依_1）（X_2）＜0,

①當。=0時，易得不等式的解集為{布＞2},

②當a＜0時，不等式可化為\-￡|(X-2)＞。，不等式的解集為{xx＜：或無＞2}.

③當a＞0時，不等式可化為、-:卜-2)＜0,

當!＞2,即0＜。＜:時，不等式的解集為[尤2<x<—\