第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算課標(biāo)要求1.理解平面向量的意義、幾何表示及兩個(gè)向量相等的含義.2.掌握平面向量加、減運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，理解其幾何意義及兩個(gè)平面向量共線的含義.3.了解平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義.1.向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的；（2）零向量：長度為的向量，記作0；（3）單位向量：長度等于長度的向量；（4）相等向量：長度相等且方向的向量；（5）相反向量：長度相等且方向的向量；（6）平行向量：方向相同或的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行.提醒單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量a｜a｜和2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：（a＋b）＋c＝減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋（－b）數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ（μa）＝；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb提醒向量加法的多邊形法則多個(gè)向量相加，利用向量加法的三角形法則，首尾順次連接，a＋b＋c表示從始點(diǎn)指向終點(diǎn)的向量.3.共線向量定理向量a（a≠0）與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使.提醒當(dāng)a≠0時(shí)，定理中的實(shí)數(shù)λ才唯一，否則不唯一.1.若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則OP＝12（OA＋OB2.若G為△ABC的重心，則GA＋GB＋GC＝0；AG＝13（AB＋AC3.OA＝λOB＋μOC（λ，μ為實(shí)數(shù)），若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.4.對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）｜a｜與｜b｜是否相等，與a，b的方向無關(guān).（）（2）若向量a與b同向，且｜a｜＞｜b｜，則a＞b.（）（3）若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上.（）（4）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量.（）2.〔多選〕下列命題中，正確的是（）A.若a與b都是單位向量，則a＝bB.直角坐標(biāo)平面上的x軸、y軸都是向量C.若用有向線段表示的向量AM與AN不相等，則點(diǎn)M與N不重合D.海拔、溫度、角度都不是向量3.（人A必修二P22習(xí)題4題改編）化簡：（1）（AB＋MB）＋BO＋OM＝；（2）NQ＋QP＋MN－MP＝.4.（人A必修二P16例8改編）設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－（b－2a）共線，則λ＝.5.（蘇教必修二P47復(fù)習(xí)題9題改編）設(shè)A，B，C三點(diǎn)在一條直線上，點(diǎn)O在該直線外，已知OC＝3xOA＋（2－5x）OB，則x＝.平面向量的有關(guān)概念（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.如圖，在正△ABC中，D，E，F(xiàn)均為所在邊的中點(diǎn)，則以下向量和FC相等的是（）A.EF B.FBC.DF D.ED2.〔多選〕給出下列命題，其中正確的有（）A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B.若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四邊形C.a＝b的必要條件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.兩個(gè)相等向量的模相等3.〔多選〕對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，下列命題中正確的是（）A.｜a＋b｜≥｜a｜＋｜b｜B.｜a－b｜≥｜a｜－｜b｜C.若a與b共線，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使得b＝λaD.設(shè)a，b都是非零向量，則使a｜a｜＝b｜b練后悟通理解向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)（1）向量定義的關(guān)鍵是方向與長度；（2）非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制；（3）相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等；（4）單位向量的關(guān)鍵是長度都是一個(gè)單位長度；（5）零向量的關(guān)鍵是長度是零，規(guī)定零向量與任意向量平行.平面向量的線性運(yùn)算（定向精析突破）考向1向量的線性運(yùn)算（1）在△ABC中，AD為BC邊上的中線，若點(diǎn)O滿足AO＝2OD，則OC＝（）A.－13AB＋B.23ABC.13AB－D.－23AB（2）（人A必修二P14例6改編）在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若AC＝a，BD＝b，則AF＝（）A.14a＋12b B.23aC.12a＋14b D.13a聽課記錄

解題技法平面向量的線性運(yùn)算的求解策略考向2根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)（2024·西安模擬）在△ABC中，D在BC上，且BD＝2DC，E在AD上，且AD＝4AE.若BE＝xAB＋yAC，則x＋y＝（）A.1312 B.C.－34 D.－聽課記錄解題技法解決與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形或平行四邊形，利用向量運(yùn)算的三角形法則或平行四邊形法則，應(yīng)用其幾何意義進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過建立方程（組）即可求得相關(guān)參數(shù)的值.1.如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB＝（）A.AC－ADB.2AC－2ADC.AD－ACD.2AD－2AC2.（2025·常德階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，P是AM上一點(diǎn)，且BP＝13BA＋mBC，則m＝（A.12 B.C.14 D.

共線向量定理的應(yīng)用（師生共研過關(guān)）（人A必修二P15例7改編）設(shè)兩向量a與b不共線.（1）若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解題技法提醒證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩個(gè)向量有公共點(diǎn).1.已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋（