第六節(jié)余弦定理和正弦定理借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長與角度的關(guān)系，掌握余弦定理、正弦定理.1.已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，則A＝（）A.150° B.90°C.60° D.30°解析：D由正弦定理，得1sinA＝2sin45°，得sinA＝12.又a＜b，∴A＜B＝45°.∴2.（2021·全國甲卷8題）在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，則BC＝（）A.1 B.2C.5 D.3解析：D由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5（舍去）.故選D.3.在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則A＝.答案：2解析：由余弦定理的推論得cosA＝9+25－4930＝－12，又A∈（0，π），4.在△ABC中，acosA＝bcosB，則這個(gè)三角形的形狀為.答案：等腰三角形或直角三角形解析：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形5.在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sinA＝223，a＝2，S△ABC＝2，則b＝答案：3解析：由S△ABC＝12bcsinA＝12bc×223＝2，解得bc＝3.因?yàn)锳為銳角，sinA＝223，所以cosA＝13，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，代入數(shù)據(jù)解得b2＋c2＝6，則（b＋c）2＝12，所以b＋c＝21.在△ABC中，S＝p（p－a)(p－b)(p－c）2.三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.1.（多選）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列結(jié)論正確的是（）A.a2＝b2＋c2－2bccosAB.asinB＝bsinAC.a＝bcosC＋ccosBD.acosB＋bcosC＝c解析：ABC易知A、B正確，由結(jié)論2可得C正確，D錯(cuò)誤.2.已知△ABC的三邊長分別為a＝5，b＝6，c＝7，則△ABC的外接圓半徑R＝.答案：35解析：由結(jié)論1可得p＝a＋b＋c2＝5+6+72＝9，S△ABC＝9×（9－5利用正、余弦定理解三角形【例1】記△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知c（cosA＋1）＝3asinC.（1）求A；（2）設(shè)AB邊上的中點(diǎn)為D，若CD＝a，且△ABC的周長為5＋7，求a，b.解：（1）由條件及正弦定理可得sinC（cosA＋1）＝3sinAsinC，因?yàn)镃∈（0，π），所以sinC≠0，所以cosA＋1＝3sinA，整理得sin（A－π6）＝1又因?yàn)锳∈（0，π），所以－π6＜A－π6＜所以A－π6＝π6，解得A＝（2）在△ACD中，由余弦定理得CD2＝b2＋c24－2b·而A＝π3，CD＝a，所以a2＝b2＋c24－bc在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－bc.②由①②兩式相減，得3c2＝2bc，所以b＝3c將b＝3c2代入②，得a2＝（3c2）2＋c2－3c2·c＝74c2因?yàn)椤鰽BC的周長為5＋7，所以a＋b＋c＝72c＋3c2＋c＝5＋7，解得c所以a＝72c＝7，b＝3c解題技法1.正、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素.2.正、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.（2022·北京高考16題）在△ABC中，sin2C＝3sinC.（1）求C；（2）若b＝6，且△ABC的面積為63，求△ABC的周長.解：（1）因?yàn)閟in2C＝3sinC，所以2sinCcosC＝3sinC，因?yàn)镃∈（0，π），所以sinC≠0，所以cosC＝32，C＝π（2）因?yàn)椤鰽BC的面積S＝12absinC＝12×a×6×12＝63，所以a＝由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周長為a＋b＋c＝43＋6＋23＝6（3＋1）.正、余弦定理的簡單應(yīng)用考向1判斷三角形形狀【例2】（1）在△ABC中，c－a2c＝sin2B2（a，b，c分別為角A，B，C的對邊），則△A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形（2）在△ABC中，sinAsinB＝ac，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，則△答案：（1）A（2）等邊三角形解析：（1）由sin2B2＝1－cosB2，得c－a2c法一由余弦定理得a2＋c2－b22ac＝ac，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2法二由正弦定理得cosB＝sinAsinC，又sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又C為三角形的內(nèi)角，所以C＝π2，所以△ABC為直角三角形，（2）因?yàn)閟inAsinB＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.解題技法判定三角形形狀的兩種常用途徑提醒“角化邊”后要注意用因式分解、配方等方法得出邊的相應(yīng)關(guān)系；“邊化角”后要注意用三角恒等變換公式、三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式推出角的關(guān)系.考向2面積問題【例3】（2023·全國乙卷18題）在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.（1）求sin∠ABC；（2）若D為BC上一點(diǎn)，且∠BAD＝90°，求△ADC的面積.解：（1）由余弦定理，得BC＝AB22＋1由正弦定理，得sin∠ABC＝ACsin∠BAC（2）法一由（1）知sin∠ABC＝2114，且∠ABC為銳角，所以tan∠ABC＝3在Rt△BAD中，AD＝ABtan∠ABC＝23因?yàn)椤螧AC＝120°，∠BAD＝90°，所以∠CAD＝30°，所以S△ADC＝12×AC×ADsin∠CAD＝12×1×235×法二同法一求出AD＝23所以S△ADB＝12AB×AD＝12×2×23又S△ABC＝12×AB×ACsin∠BAC＝3所以S△ADC＝S△ABC－S△ABD＝32－235解題技法三角形面積公式的應(yīng)用原則（1）對于面積公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA，一般是（2）與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.1.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若cb＜cosA，則△ABC為（A.鈍角三角形 B.直角三角形C.銳角三角形 D.等邊三角形解析：A由cb＜cosA，得sinCsinB＜cosA.又B∈（0，π），所以sinB＞0，所以sinC＜sinBcosA，即sin（A＋B）＜sinBcosA，所以sinAcosB＜0.因?yàn)閟inA＞0，所以cosB＜0，即B為鈍角，所以2.（2023·全國甲卷17題）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b2＋（1）求bc；（2）若acosB－bcosAacosB＋解：（1）由余弦定理，得b2＋c2－a2cosA＝2bc（2）由acosB－bcosAacosB＋bcos因?yàn)閟inC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sinAcosB－sinBcosAsinAcosB＋sinBcosA－sinBsinAcosB＋sinBcosA＝1，即所以－sinB＝2sinBcosA.因?yàn)?＜B＜π，所以sinB≠0，所以cosA＝－12，sinA＝1－co所以S△ABC＝12bcsinA＝3與平面幾何有關(guān)的問題【例4】從①BD·sin∠ABD＝3sinA；②S△ABD＝33這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并作答.問題：如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AB＝4，A＝π3，且（1）求sin∠ADB；（2）若∠BDC＝π6，且AB⊥BC，求BC的長注：如果選擇兩個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）選①，因?yàn)锽D·sin∠ABD＝3sinA，所以BD·AD＝3BD，解得AD＝3，所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝16＋9－12＝13，解得BD＝13.由ABsin∠ADB＝BDsinA，得sin∠ADB＝AB選②，由S△ABD＝33＝12AB·ADsinA＝3AD，得AD＝3所以BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝16＋9－12＝13，解得BD＝13.由ABsin∠ADB＝BDsinA，得sin∠ADB＝AB（2）由（1）知BD＝13，又AB⊥BC，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝13+16－92×413＝51326所以sinC＝sin（∠BDC＋∠CBD）＝12×33926＋32×由BCsin∠BDC＝BDsinC，得BC＝BDsin∠解題技法利用正、余弦定理解決平面圖形問題的策略（1）將所給平面圖形分拆成若干個(gè)三角形，然后在各個(gè)三角形內(nèi)利用正、余弦定理建立邊角關(guān)系進(jìn)行求解；（2）充分注意各個(gè)三角形之間的聯(lián)系，特別是公共邊、鄰角之間的等量關(guān)系，交叉使用公共條件進(jìn)行求解；（3）注意三角形相似、平行四邊形性質(zhì)等幾何結(jié)論的應(yīng)用；（4）注意方程思想的靈活運(yùn)用，通過設(shè)出未知變量，建立方程進(jìn)行求解.（2024·宜賓模擬）如圖，平面四邊形ABCD內(nèi)接于一個(gè)圓，且AB＝5，BD＝35，A為鈍角，sinA＝35（1）求cos∠ADB；（2）若BC＝5，求△BCD的面積.解：（1）在△ABD中，AB＝5，BD＝35，sinA＝35由正弦定理可得ABs