1．圓在一個(gè)平面內(nèi)，一條線段OA繞它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作______________.圓心：固定的端點(diǎn)叫作圓心.半徑：線段OA的長(zhǎng)度叫作這個(gè)圓的______________.圓的表示方法：以點(diǎn)O為圓心的圓，記作“______________”，讀作“圓O”.同時(shí)從圓的定義中歸納：（1）圓上各點(diǎn)到定點(diǎn)（圓心）的距離都等于定長(zhǎng)（半徑）；（2）到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在同一個(gè)圓上.圓的第二定義：所有到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)組成的圖形叫作圓.2．垂直于弦的直徑（1）圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的________________，圓有_______________條對(duì)稱軸.（2）垂直于弦的______________平分弦，并且平分弦所對(duì)的??；平分弦（不是直徑）的直徑__________于弦，并且________________弦所對(duì)的弧.3．弧、弦、圓心角（1）頂點(diǎn)在圓心的角叫做_______________.（2）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧________________，所對(duì)的弦也________________.（3）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弦也相等.在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，所對(duì)的弧也相等.4．圓周角（1）圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.特征：①角的頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都與圓相交.（2）同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)沒(méi)有變化，并且它的度數(shù)恰好等于這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)的___________.（3）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的_______________.（4）半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是_____________，90°的圓周角所對(duì)的弦是_______________.（5）如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做_____________，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的______________.K知識(shí)參考答案：1．圓半徑⊙O2．（1）對(duì)稱軸無(wú)數(shù)（2）直徑垂直平分3．（1）圓心角（2）相等相等4．（2）一半（3）一半（4）直角直徑（5）圓內(nèi)接多邊形對(duì)角互補(bǔ)K—重點(diǎn)垂徑定理及其推論，圓周角定理及其推論K—難點(diǎn)圓的有關(guān)概念、圓心角、圓周角的概念K—易錯(cuò)弧、弦、圓心角的關(guān)系圓的有關(guān)概念圓中容易混淆的“兩組基本概念”1．弦與直徑：（1）弦是連接圓上任意兩點(diǎn)的線段，直徑是經(jīng)過(guò)圓心的弦.（2）直徑是弦，是圓中最長(zhǎng)的弦，但弦不一定是直徑.2．弧與半圓：（1）圓上任意兩點(diǎn)分圓成兩段弧，圓上任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)把圓分成兩條孤，每一條弧叫作半圓.（2）半圓是弧，但弧不一定是半圓.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是A．直徑是圓中最長(zhǎng)的弦 B．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧C．面積相等的兩個(gè)圓是等圓 D．半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧【答案】B【解析】A、直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，所以A選項(xiàng)的說(shuō)法正確；B、在同圓或等圓中，長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧，所以B選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤；C、面積相等的兩個(gè)圓的半徑相等，則它們是等圓，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法正確；D、半徑相等的兩個(gè)半圓是等弧，所以D選項(xiàng)的說(shuō)法正確．故選B．垂徑定理及其推論的有關(guān)計(jì)算與證明垂徑定理應(yīng)用中常作的輔助線：（1）若已知圓心和弦，則連接圓心和弦的一個(gè)端點(diǎn)，即“連半徑”，并作垂直于弦的直徑，構(gòu)造直角三角形；（2）若已知圓心和弦（?。┑闹悬c(diǎn)，則連接圓心和弦（弧）的中點(diǎn)，并延長(zhǎng)使其與圓相交，得圓的直徑，再“連半徑”，構(gòu)造直角三角形.如圖，在⊙O中，直徑CD＝5，CD⊥AB于E，OE＝0.7，則AB的長(zhǎng)是A．2.4 B．4.8C．1.2 D．2.5【答案】B應(yīng)用垂徑定理作圖圓弧中點(diǎn)的確定：由垂徑定理可知垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，所以常通過(guò)作孤所對(duì)的弦的垂直平分線確定孤的中點(diǎn).如圖，在5×5正方形網(wǎng)格中，一條圓弧經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，那么這條圓弧所在圓的圓心是A．點(diǎn)Q B．點(diǎn)PC．點(diǎn)R D．點(diǎn)M【答案】A【解析】連接BC，作AB和BC的垂直平分線，它們相交于Q點(diǎn).故選A.利用垂徑定理解決實(shí)際問(wèn)題利用垂徑定理解答弓形問(wèn)題時(shí)，常通過(guò)作輔助線構(gòu)造直角三角形，然后利用勾股定理求得相關(guān)線段的長(zhǎng)，從而解決問(wèn)題.如圖,是一個(gè)高速公路的隧道的橫截面,若它的形狀是以O(shè)為圓心的圓的一部分,路面AB=12米,拱高CD=9米,求圓的半徑.【解析】∵CD⊥AB且過(guò)圓心O,∴AD=AB=×12=6米,設(shè)半徑為r米,∴OA=OC=r米,∴OD=CD-OC=(9-r)米,∴在AOD中,OA2=OD2+AD2,∴r2=(9-r)2+62,解得r=6.5.故O的半徑為6.5米.利用圓周角定理及其推論求角的度數(shù)計(jì)算圓心角和圓周角時(shí)的注意事項(xiàng)：

1.在進(jìn)行有關(guān)圓心角與圓周角的計(jì)算時(shí)，應(yīng)適當(dāng)添加輔助線，以方便角度之間的轉(zhuǎn)化.一條弧所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，而所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們都相等；

2.一條弦所對(duì)的圓心角只有一個(gè)，但它所對(duì)的圓周角卻有無(wú)數(shù)個(gè)，在同一條弦的同側(cè)的圓周角相等，在同一條弦的異側(cè)的兩個(gè)圓周角互補(bǔ).如圖，在⊙O中，圓心角∠BOC＝60°，則圓周角∠BAC等于A．60° B．50°C．40° D．30°【答案】D運(yùn)用弧、弦、圓心角、圓周角的關(guān)系進(jìn)行證明圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角相等或倍分關(guān)系的方法：在圓中證明弧、弦、圓心角、圓周角的相等或倍分關(guān)系時(shí)，應(yīng)從同類型元素（指弧、弦、角）的相等或倍分關(guān)系入手，轉(zhuǎn)化為另一種元素的相等或倍分關(guān)系，從而得到問(wèn)題的結(jié)論.如圖,已知AB、CD是O的直徑,DF∥AB交O于點(diǎn)F,BE∥DC交O于點(diǎn)E.（1）求證：BE=DF；（2）寫出圖中4組不同的且相等的劣弧(不要求證明).【解析】(1)∵DF∥AB,BE∥DC，∴∠EBA=∠COA=∠CDF.∴，∴，∴BE=DF；(2)答案不唯一，圖中相等的劣弧有：等.圓內(nèi)接四邊形如圖，點(diǎn)B，C，D在⊙O上，若∠BCD=130°，則∠BOD的度數(shù)是A．50° B．60°C．80° D．100°【答案】D【解析】圓上取一點(diǎn)A，連接AB，AD，∵點(diǎn)A、B，C，D在⊙O上，∠BCD=130°，∴∠BAD=50°，∴∠BOD=100°.故選D．圓中計(jì)算防漏解已知圓的半徑為13cm，兩弦AB∥CD，AB=24cm，CD=10cm，則兩弦AB，CD間的距離是A．7cm B．17cmC．12cm D．7cm或17cm【易錯(cuò)提示】本題應(yīng)分兩種情況解答：（1）兩弦在圓心的同側(cè)；（2）兩弦在圓心的異側(cè)，易遺漏兩弦在圓心的異側(cè)時(shí)的情況.對(duì)圓心角與圓周角的性質(zhì)理解不透徹判斷：（1）相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等.（）（2）相等的圓周角所對(duì)的弧相等.（）【易錯(cuò)提示】誤以為這兩個(gè)題均是正確的.如圖①，在同心圓中，∠AOB=∠COD，但即.在圖②中，與有公共點(diǎn)M，顯然圓周角∠AMB=∠CMD，而.學(xué)@科網(wǎng)【正解】（1）錯(cuò)誤；（2）錯(cuò)誤.求圓周角時(shí)未分類討論而漏解如圖，∠AOB=100°，點(diǎn)C在⊙O上，且點(diǎn)C不與A、B重合，則∠ACB的度數(shù)為A．50° B．80°或50°C．130° D．

50°或130°【易錯(cuò)提示】點(diǎn)C可能在優(yōu)弧上也可能在劣弧上，此題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.【正解】①如圖所示，當(dāng)C點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，因?yàn)椤螦OB=100°，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半，所以∠ACB=∠AOB=50°.②如圖所示，當(dāng)C點(diǎn)在劣弧上時(shí)，因?yàn)椤螦OB=100°，所以優(yōu)弧所對(duì)的圓心角為：360°?100°=260°，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角是圓心角的一半，所以∠ACB=130°.綜上所述，∠ACB的度數(shù)為50°或130°.故選D.1．下列語(yǔ)句中不正確的有①平分弦的直徑垂直于弦；②圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸；③長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧A．3個(gè) B．2個(gè)C．1個(gè) D．以上都不對(duì)2．如圖，在⊙O中，直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，若AB＝26，CD＝24，則OE的長(zhǎng)度為A．12 B．8C．7 D．53．將一個(gè)圓分割成四個(gè)大小相同的扇形，則每個(gè)扇形的圓心角是_______度．A．45 B．60C．90 D．1204．如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，則∠BOD=A．80° B．50°C．40° D．20°5．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)D，C在⊙O上，AD∥OC，∠DAB＝60°，連接AC，則∠DAC的度數(shù)為A．15° B．30°C．45° D．60°6．⊙O的一條弦長(zhǎng)AB=12cm，直徑CD⊥AB于E，則AE的長(zhǎng)為A．12cm B．6cmC．7cm D．8cm7．如圖所示，在⊙O中，若∠A＝60°，AB＝3cm，則OB＝________cm.8．如圖所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C為優(yōu)弧ACB的中點(diǎn)，則∠CAB＝______．9．如圖所示，在中，為的直徑，，則的度數(shù)是_________度.10．如圖，已知點(diǎn)O為等腰三角形ABC的底邊AB的中點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的半圓分別交AC，BC于點(diǎn)D，E.求證：(1)∠AOE＝∠BOD；(2).11．如圖，在⊙O上有一點(diǎn)C(C不與A、B重合)，在直徑AB上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(P不與A、B重合)．試判斷PA、PC、PB的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．12．如圖，已知過(guò)A，C，D三點(diǎn)的圓的圓心為E，過(guò)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)的圓的圓心為D，如果∠A＝57°，那么∠ABC的度數(shù)為A．33° B．22°C．58° D．26°13．如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB且相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是()A．∠A＝∠D B．C．∠ACB＝90° D．∠COB＝3∠D14．如圖所示，弦CD垂直于⊙O的直徑AB，垂足為E，且CD＝，BD＝，則AB的長(zhǎng)為A．2 B．3C．4 D．515．如圖，A，B，C，D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，，若∠AOB=58°，則∠BDC=_____度．16．如圖，小麗蕩秋千，秋千鏈子的長(zhǎng)OA為2.5米，秋千向兩邊擺動(dòng)的角度相同，擺動(dòng)的最大水平距離AB為3米，則秋千擺至最高位置時(shí)與最低位置時(shí)的高度之差(CD)為_(kāi)_______米．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的圓交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.若∠DAC＝28°，則∠B的度數(shù)為_(kāi)_______．18．如圖，CD為⊙O直徑，以C點(diǎn)為圓心，CO為半徑作弧，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，求證：AD=BD=BA．19．如圖，點(diǎn)B，C為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交⊙O于點(diǎn)E，點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，且AC平分∠BAD，連接CE．（1）求證：AD∥EC；（2）連接EA，若BC=6，則當(dāng)CD=時(shí)，四邊形EBCA是矩形．20．如圖，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下水面寬為7.2m，拱頂高出水面2.4m，現(xiàn)有一艘寬3m，船艙頂部為正方形并高出水面2m的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此時(shí)貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．21．（2018四川省巴中市）如圖，⊙O中，半徑OC⊥弦AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，則半徑OB等于A． B．2C．2 D．322．（2018遼寧省阜新市）AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在圓上，∠ABC=65°，那么∠OCA的度數(shù)是A．25° B．35°C．15° D．20°23．（2018遼寧省盤錦市）如圖，⊙O中，OA⊥BC，∠AOC=50°，則∠ADB的度數(shù)為A．15° B．25°C．30° D．50°24．（2018四川省樂(lè)山市）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就．它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用．書中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”譯為：“今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸（ED=1寸），鋸道長(zhǎng)1尺（AB=1尺=10寸）”，問(wèn)這塊圓形木材的直徑是多少？”如圖所示，請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)計(jì)算：圓形木材的直徑AC是A．13寸 B．20寸C．26寸 D．28寸25．（2018湖南省邵陽(yáng)市）如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD=120°，則∠BOD的大小是A．80° B．120°C．100° D．90°26．（2018江蘇省淮安市）如圖，點(diǎn)A、B、C都在⊙O上，若∠AOC=140°，則∠B的度數(shù)是A．70° B．80°C．110° D．140°27．（2018江蘇省鹽城市）如圖，AB為⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠ADC=35°，則∠CAB的度數(shù)為A．35° B．45°C．55° D．65°28．（2018山東省威海市）如圖，⊙O的半徑為5，AB為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，若∠ABC=30°，則弦AB的長(zhǎng)為A． B．5C． D．529．（2018山東省聊城市）如圖，中，弦與半徑相交于點(diǎn)，連接，.若，，則的度數(shù)是A． B．C． D．30．（2018江蘇省鎮(zhèn)江市）如圖，AB為ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD=50°，則∠ACD=_______________°．31．（2018湖北省孝感市）已知的半徑為，，是的兩條弦，，，，則弦和之間的距離是__________．32．（2018湖北省隨州市）如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20度，則∠B=___________度．33．（2018山東省煙臺(tái)市）如圖，方格紙上每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)O，A，B，C在格點(diǎn)（兩條網(wǎng)格線的交點(diǎn)叫格點(diǎn)）上，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則過(guò)A，B，C三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為_(kāi)________________．34．（北京市2018）如圖，點(diǎn)，，，在上，，，，則________．35．（安徽省2018）如圖，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5.（1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡，不寫作法)；（2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦CE的長(zhǎng).3．【答案】C【解析】∵圓心處構(gòu)成一個(gè)周角,

∴圓心角為360°,

∵將圓分割成四個(gè)大小相同的扇形,

∴每個(gè)扇形的圓心角是90°,

故選C.4．【答案】A【解析】∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=40°，∴∠BOD=2∠BCD=80°．故選A．5．【答案】B【解析】∵AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC=∠DAB=×60°=30°.故選：B.學(xué)@科網(wǎng)C為優(yōu)弧ACB的中點(diǎn),故答案為：9．【答案】100【解析】△ABC中，∠B=60°，∠C=70°；∴∠A=180°-∠B-∠C=50°；∴∠BOD=2∠A=100°．故答案為：100°．10．【解析】（1）∵CA=CB，11．【解析】當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，PA＝PB＝PC，當(dāng)點(diǎn)P在OA上時(shí)，PA＜PC＜PB.理由：連接OC，在△POC中，OC－OP＜PC＜OP＋OC，∵OA＝OB＝OC，∴OA－OP＜PC＜OP＋OB，∴PA＜PC＜PB，同理，當(dāng)P點(diǎn)在OB上時(shí)，PB＜PC＜PA.12．【答案】C【解析】如圖，連接EC，ED.設(shè)∠B＝x，∵EA＝EC，∴∠A＝∠ACE，∴∠4＝180°－2∠A＝180°－2×57°＝66°.∵DB＝DE，∴∠1＝∠B＝x，∴∠2＝∠1＋∠B＝2x，而EC＝ED，∴∠3＝∠2＝2x，∴∠4＝∠3＋∠B＝3x，∴3x＝66°，∴x＝22°，即∠ABC＝22°.故選B.13．【答案】D14．【答案】B【解析】因?yàn)镃D＝，DE=,BD＝,勾股定理知BE=1，設(shè)半徑是r,在Rt中，,解得r=,所以AB=3.故選B.15．【答案】29【解析】連接OC．∵，∴∠AOB=∠BOC=58°，∴∠BDC=∠BOC=29°.故答案為29．16．【答案】0.5【解析】∵點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，O為圓心由垂徑定理知：AB⊥OC，AD=BD=AB=1.5米，在OAD中，根據(jù)勾股定理，OD==2（米），∴CD=OC-OD=2.5-2=0.5（米）；故答案為0.5．17．【答案】62°故答案為：62°.18．【解析】∵CA=CB=CO，∴OB=BC=OC=OA=AC，∴△OBC和△OAC都是等邊三角形，∴∠BCO=∠ACO=60°，∠BOC=∠AOC=60°，∴∠AOB=120°，∴∠ADB=60°，∴∠ACD=∠BCD=∠ADB，∴，∴AD=BD=BA．19．【解析】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∵∠E=∠BAC，∴∠E=∠DAC.∵BE∥AC，∴∠E=∠ACE，∴∠ACE=∠DAC，∴AD∥EC．（2）當(dāng)四邊形ACBE是矩形時(shí)，∠ACB=90°，20．【解析】如圖，連接ON，OA，∵OC⊥AB，∴D為AB的中點(diǎn)，∵AB=7.2m，∴AD=AB=3.6m．又∵CD=2.4m，設(shè)OA=OC=ON=r，則OD=（r-2.4）m，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得：r2=（r-2.4）2+3.62，解得r=3.9，∵CD=2.4m，船艙頂部為正方形并高出水面2m，∴CH=2.4-2=0.4（m），∴OH=r-CH=3.9-0.4=3.5（m），在OHN中，HN2=ON2-OH2=3.92-3.52=2.96（m2），∴HN=（m），∴MN=2EN=2×≈3.44m＞3m，∴此貨船能順利通過(guò)這座拱橋．21．【答案】C22．【答案】A【解析】∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠ABC=65°，∴∠CAB=25°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=25°，故選：A．23．