試題試題2024北京日壇中學(xué)高三（上）開學(xué)考數(shù)學(xué)2024.8（考試時(shí)間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題（共40分）和非選擇題（共110分）兩部分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.2.已知命題，有，則（）A.， B.，C.， D.，3.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.0 C.1 D.24.已知x，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（）A. B. C. D.6.若，則（）A. B. C.1 D.27.已知展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開式中的系數(shù)為（）A. B. C. D.8.中國的技術(shù)領(lǐng)先世界，技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫作信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從提升至，則的增長率約為（，）（）A. B. C. D.9.如圖，在等腰梯形中，.點(diǎn)在線段上運(yùn)動，則的取值范圍是()A. B. C. D.10.設(shè)集合則A.對任意實(shí)數(shù)a，B.對任意實(shí)數(shù)a，（2,1）C.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1）D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),（2,1）第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.直線被圓所截得的弦長為______.12.能使“”成立的一組，的值可以為___________．13.若對任意正數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.14.已知函數(shù)在上具有單調(diào)性,則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________.15.已知函數(shù)，關(guān)于此函數(shù)的說法：①為周期函數(shù)；②有對稱軸；③為的對稱中心；④；正確的序號是_________.三、解答題共4小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最小值為，求m的最大值.17.△ABC中，.（1）求B；（2）若c＝5，______，求a.從①b＝7，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面問題中并作答.18.某科研團(tuán)隊(duì)研發(fā)了一款快速檢測某種疾病的試劑盒.為了解該試劑盒檢測的準(zhǔn)確性，質(zhì)檢部門從某地區(qū)（人數(shù)眾多）隨機(jī)選取了位患者和位非患者，用該試劑盒分別對他們進(jìn)行檢測，結(jié)果如下：（1）從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一人，對其檢測一次，估計(jì)此患者檢測結(jié)果為陽性的概率；（2）從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取人，各檢測一次，假設(shè)每位患者的檢測結(jié)果相互獨(dú)立，以表示檢測結(jié)果為陽性的患者人數(shù)，利用（1）中所得概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）假設(shè)該地區(qū)有萬人，患病率為.從該地區(qū)隨機(jī)選取一人，用該試劑盒對其檢測一次.若檢測結(jié)果為陽性，能否判斷此人患該疾病的概率超過？并說明理由.19.已知橢圓，設(shè)橢圓C與y軸的交點(diǎn)為（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方），直線與C交于不同的兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)G，求證：三點(diǎn)共線.20.已知函數(shù)，．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．21.設(shè)集合，若X是的子集，把X中所有數(shù)的和稱為X的“容量”（規(guī)定空集的容量為0），若X的容量為奇（偶）數(shù)，則稱X為的奇（偶）子集.（1）當(dāng)時(shí)，寫出的所有奇子集；（2）求證：當(dāng)時(shí)，的所有奇子集的個(gè)數(shù)等于偶子集的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，求的所有奇子集的容量之和.

參考答案第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1.【答案】C【分析】直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳解】由題意得.故選：C.2.【答案】C【分析】利用特稱命題的否定形式回答即可.【詳解】由特稱命題的否定形式可知，有的否定為：，.故選：C3.【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及所給函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以.故選：A4.【答案】D【分析】通過特例，結(jié)合充分必要條件的判定方法即可判斷.【詳解】?1>?2，而同樣，而，所以充分性、必要性都不成立.故選：D5.【答案】D【分析】利用函數(shù)的定義域及單調(diào)性計(jì)算即可.【詳解】由題意可知，解不等式得.故選：D6.【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故，故選：D7.【答案】B【分析】先求出的值，再利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，求出展開式中的系數(shù).【詳解】展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為，所以令，可得，解得，，的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)在項(xiàng)中取時(shí)，項(xiàng)中需取，不符合條件；當(dāng)在項(xiàng)中取時(shí)，項(xiàng)中需取，則，即，此時(shí)的系數(shù)為；當(dāng)在項(xiàng)中取時(shí)，項(xiàng)中需取，則，即，此時(shí)的系數(shù)為，綜上，展開式中的系數(shù)為.故選：B.8.【答案】C【分析】根據(jù)所給公式、及對數(shù)的運(yùn)算法則代入計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，故的增長率約為.故選：C.9.【答案】B【分析】以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出AD方程，設(shè)P的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出，根據(jù)二次函數(shù)值域即可計(jì)算.【詳解】如圖，以AB中點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，則，，，，易知，，故AD方程為：，故設(shè)，則，，，，∵，∴最小值為，最大值為，∈.故選：B.10.【答案】D【詳解】分析：求出及所對應(yīng)的集合，利用集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.詳解：若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.點(diǎn)睛：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)成立時(shí)對應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.設(shè)，若，則；若，則，當(dāng)一個(gè)問題從正面思考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式.第二部分（非選擇題共60分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】利用圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化先化簡方程，再圓心在直線上求解即可.【詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，則圓心為，半徑，顯然直線過圓心，則所截得弦為直徑，其長為.故答案為：12.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定的等式，寫出一組，的值并代入驗(yàn)證作答.【詳解】取，則，，因此成立.故答案為：13.【答案】【分析】利用基本不等式計(jì)算即可.【詳解】由題意可知對任意正數(shù)恒成立，由基本不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，則的最大值是，所以，故答案為：.14.【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，考慮增或減兩情況，列出相應(yīng)的不等式組，求得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上具有單調(diào)性，所以當(dāng)為增函數(shù)時(shí)，有，解得,當(dāng)為減函數(shù)時(shí)，有，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：15.【答案】①②④【分析】由三角函數(shù)的性質(zhì)及，分別對各選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，即可得出結(jié)論.詳解】解：由函數(shù)，可得①，可得為周期函數(shù)，故①正確；②由，，故，是偶函數(shù)，故有對稱軸正確，故②正確；③為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí),故不為的對稱中心，故③不正確；④由，可得正確，故④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域、周期性、對稱性等相關(guān)知識，綜合性大，屬于中檔題.三、解答題共4小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得m的最大值．【詳解】解：（Ⅰ）.由，得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間是（Ⅱ）因?yàn)?，所?要使得在上的最小值為?2，即在上的最小值為.所以，即.所以的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，定義域和值域，屬于中檔題．17.【答案】（1）（2）答案見解析【分析】（1）利用正弦定理，結(jié)合三角恒等變號，即可求解角；（2）若選①，根據(jù)余弦定理求；若選②，根據(jù)，再根據(jù)正弦定理求.【小問1詳解】在△ABC中，由正弦定理得，得，又.，即,又，【小問2詳解】若選①b＝7，則在△ABC中，由余弦定理，可得，解得或（舍去），可得.若選②，則，由正弦定理，可得，解得.18.【答案】（1）（2）詳見解析（3）此人患該疾病的概率未超過，理由見解析【分析】（1）直接用古典概型的概率公式計(jì)算可得答案；（2）可知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即，其中，，根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式可得分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）根據(jù)患病率為可知10萬人中由99000人沒患病，1000人患病，沒患病檢測呈陽性的有990人，患病的檢測呈陽性的950人，共有990+950=1450人呈陽性，所其中只有950人患病，所以患病率為，由此可得答案.【詳解】（1）由題意知，位患者中有位用該試劑盒檢測一次，結(jié)果為陽性.所以從該地區(qū)患者中隨機(jī)選取一位，用該試劑盒檢測一次，結(jié)果為陽性的概率估計(jì)為.（2）由題意可知，其中，.的所有可能的取值為，，，.，，，.所以的分布列為故的數(shù)學(xué)期望.（3）此人患該疾病的概率未超過.理由如下：由題意得，如果該地區(qū)所有人用該試劑盒檢測一次，那么結(jié)果為陽性的人數(shù)為，其中患者人數(shù)為.若某人檢測結(jié)果為陽性，那么他患該疾病的概率為.所以此人患該疾病的概率未超過.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了二項(xiàng)分布的概率公式、分布列、數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.19.【答案】證明見解析【分析】設(shè)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及兩點(diǎn)之間的斜率公式判定即可.【詳解】由曲線C的方程為，可知點(diǎn)，由.因?yàn)橹本€與曲線C交于不同的兩點(diǎn)，所以Δ=設(shè)點(diǎn)，則，且，易知直線的方程為，所以點(diǎn)，因?yàn)橹本€和直線的斜率分別為，，所以，即，故三點(diǎn)共線．20.【答案】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞，無減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；【分析】先求出的定義域，在求導(dǎo)，根據(jù)的范圍得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，再由在區(qū)間上恒成立，，得出的取值范圍.【詳解】解：的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，解得或，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，恒成立，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞.當(dāng)時(shí)，，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，令，解得或，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增.由得當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，故不滿足條件；當(dāng)時(shí)，由可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，滿足條件；當(dāng)時(shí)，由可知，則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為.若極小值為最小值，在區(qū)間上恒成立，則，解得，若，則，即.因?yàn)?，所以的取值范圍?【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，屬于中檔題.21.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，由此能寫出的所有奇子集即可；（2）設(shè)奇數(shù)，對于的每個(gè)奇子集A，然后討論無論或都有集合B與之對應(yīng)，且集合B為的偶子集即可；（3）確定