/練習(xí)1-1練習(xí)1-2練習(xí)1-3練習(xí)1-4練習(xí)1-5練習(xí)1-6練習(xí)1-7練習(xí)1-8練習(xí)1-9練習(xí)1-10總習(xí)題一練習(xí)2-1練習(xí)2-2練習(xí)2-3練習(xí)2-4練習(xí)2-5總習(xí)題二練習(xí)3-1練習(xí)3-2練習(xí)3-3練習(xí)3-4練習(xí)3-5練習(xí)3-6x(-￥,-2)-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,+￥)y￠-0+++0+y￠￠+++0-0+y=f(x)↘è-17/5極小值↗è-6/5拐點(diǎn)↗?2拐點(diǎn)↗èx0(0,1)1y￠++0---y￠￠0---0+y=f(x)0拐點(diǎn)↗?極大值↘?拐點(diǎn)↘èx1y￠+++0---y￠￠+0---0+y=f(x)↗è拐點(diǎn)↗?1極大值↘?拐點(diǎn)↘èx(-￥,-1)-1(-1,0)0y￠---無(wú)-0+y￠￠+0-無(wú)+++y=f(x)↘è0拐點(diǎn)↘?無(wú)↘è極小值↗èx0y￠0+無(wú)+++無(wú)+0y￠￠++無(wú)-0+無(wú)--y=f(x)1極小值↗è無(wú)↗?0拐點(diǎn)↗è無(wú)↗?-1極大值練習(xí)3-7總習(xí)題三x(￥,0)0f￠(x)+不存在-0+f(x)↗2極大值↘極小值↗練習(xí)4-2練習(xí)4-3練習(xí)4-4>>>總習(xí)題四練習(xí)5-1練習(xí)5-2練習(xí)5-3練習(xí)5-4總習(xí)題五練習(xí)6-2練習(xí)6-3總習(xí)題六練習(xí)7-1練習(xí)7-2練習(xí)7-3練習(xí)7-4練習(xí)7-5練習(xí)7-6總習(xí)題七練習(xí)8-1練習(xí)8-2>練習(xí)8-3練習(xí)8-4

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解正弦級(jí)數(shù)展開(kāi),余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)

解正弦級(jí)數(shù)展開(kāi),余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)總習(xí)題十一練習(xí)12-1練習(xí)12-2練習(xí)12-3練習(xí)12-4練習(xí)12-5練習(xí)12-6練習(xí)12-7提示：提示：練習(xí)12-8練習(xí)12-9

解(1)列方程,(2)解方程練習(xí)12-11總習(xí)題十二高等數(shù)學(xué)（下）習(xí)題七1.在空間直角坐標(biāo)系中，定出下列各點(diǎn)的位置：A(1,2,3);B(-2,3,4);C(2,-3,-4);D(3,4,0);E(0,4,3);F(3,0,0).解：點(diǎn)A在第Ⅰ卦限；點(diǎn)B在第Ⅱ卦限；點(diǎn)C在第Ⅷ卦限；點(diǎn)D在xOy面上；點(diǎn)E在yOz面上；點(diǎn)F在x軸上.2.xOy坐標(biāo)面上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答:在xOy面上的點(diǎn)，z=0;在yOz面上的點(diǎn)，x=0;在zOx面上的點(diǎn)，y=0.3.x軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么特點(diǎn)？y軸上的點(diǎn)呢？z軸上的點(diǎn)呢？答：x軸上的點(diǎn)，y=z=0;y軸上的點(diǎn)，x=z=0;z軸上的點(diǎn)，x=y=0.4.求下列各對(duì)點(diǎn)之間的距離：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.解：（1）(2)(3)(4).5.求點(diǎn)（4，-3，5）到坐標(biāo)原點(diǎn)和各坐標(biāo)軸間的距離.解：點(diǎn)(4，-3，5)到x軸，y軸，z軸的垂足分別為（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.故.6.在z軸上，求與兩點(diǎn)A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距離的點(diǎn).解：設(shè)此點(diǎn)為M（0，0，z），則解得即所求點(diǎn)為M（0，0，）.7.試證：以三點(diǎn)A（4，1，9），B（10，-1，6），C（2，4，3）為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形.證明：因?yàn)閨AB|=|AC|=7.且有|AC|2+|AB|2=49+49=98=|BC|2.故△ABC為等腰直角三角形.8.驗(yàn)證：.證明：利用三角形法則得證.見(jiàn)圖7-1圖7-19.設(shè)試用a,b,c表示解：10.把△ABC的BC邊分成五等份，設(shè)分點(diǎn)依次為D1，D2，D3，D4，再把各分點(diǎn)與A連接，試以，表示向量,,和.解：11.設(shè)向量的模是4，它與投影軸的夾角是60°，求這向量在該軸上的投影.解：設(shè)M的投影為，則12.一向量的終點(diǎn)為點(diǎn)B（2，-1，7），它在三坐標(biāo)軸上的投影依次是4，-4和7，求這向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).解：設(shè)此向量的起點(diǎn)A的坐標(biāo)A(x,y,z)，則解得x=-2,y=3,z=0故A的坐標(biāo)為A(-2,3,0).13.一向量的起點(diǎn)是P1（4，0，5），終點(diǎn)是P2（7，1，3），試求：（1）在各坐標(biāo)軸上的投影；（2）的模；（3）的方向余弦；（4）方向的單位向量.解：（1）(2)(3).(4).14.三個(gè)力F1=(1,2,3),F2=(-2,3,-4),F3=(3,-4,5)同時(shí)作用于一點(diǎn).求合力R的大小和方向余弦.解：R=（1-2+3，2+3-4，3-4+5）=（2，1，4）15.求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分別用單位向量來(lái)表達(dá)向量a,b,c.解：16.設(shè)m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x軸上的投影及在y軸上的分向量.解：a=4(3i+5j+8k)+3(2i-4j-7k)-(5i+j-4k)=13i+7j+15k在x軸上的投影ax=13,在y軸上分向量為7j.17.向量r與三坐標(biāo)軸交成相等的銳角，求這向量的單位向量er.解：因,故,（舍去）則.18.已知兩點(diǎn)M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），點(diǎn)M在線段M1M2上，且，求向徑的坐標(biāo).解：設(shè)向徑={x,y,z}因?yàn)?，所以，?{}.19.已知點(diǎn)P到點(diǎn)A（0，0，12）的距離是7，的方向余弦是，求點(diǎn)P的坐標(biāo).解：設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y,z）,得又故點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（2，3，6）或P（）.20.已知a,b的夾角，且，計(jì)算：(1)a·b;(2)(3a-2b)·(a+2b).解：（1）a·b=(2)21.已知a=(4,-2,4),b=(6,-3,2),計(jì)算：（1）a·b;(2)(2a-3b)·(a+b)；（3）解：（1）(2)(3)22.已知四點(diǎn)A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.解：={3，-2，-6}，={6，2，3}23.設(shè)重量為100kg的物體從點(diǎn)M1(3,1,8)沿直線移動(dòng)到點(diǎn)M2（1，4，2），計(jì)算重力所作的功（長(zhǎng)度單位為m）.解：取重力方向?yàn)閦軸負(fù)方向，依題意有f={0,0,-100×9.8}s=={-2,3,-6}故W=f·s={0,0,-980}·{-2,3,-6}=5880(J)24.若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夾角.解:(a+3b)·(7a-5b)=①(a-4b)·(7a-2b)=②由①及②可得：又，所以,故.25.一動(dòng)點(diǎn)與M0(1,1,1)連成的向量與向量n=(2,3,-4)垂直，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)因,故.即2(x-1)+3(y-1)-4(z-1)=0整理得：2x+3y-4z-1=0即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.26.設(shè)a=(-2,7,6),b=(4,-3,-8),證明：以a與b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直.證明：以a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別為a+b,a－b,且a+b={2,4,-2}a-b={-6,10,14}又(a+b)·(a-b)=2×(-6)+4×10+(-2)×14=0故(a+b)(a-b).27.已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：(1)a×b;(2)2a×7b;(3)7b×2a;(4)a×a.解：（1）(2)(3)(4).28.已知向量a和b互相垂直，且.計(jì)算：(1)|(a＋b)×(a－b)|；(2)|(3a＋b)×(a－2b)|.（1）(2)29.求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的單位向量，并求上述兩向量夾角的正弦.解：與平行的單位向量.30.一平行四邊形以向量a=(2,1,－1)和b=(1,－2,1)為鄰邊，求其對(duì)角線夾角的正弦.解：兩對(duì)角線向量為，因?yàn)?所以.即為所求對(duì)角線間夾角的正弦.31.已知三點(diǎn)A(2,-1,5),B(0,3,-2),C(-2,3,1)，點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，證明：.證明：中點(diǎn)M，N，P的坐標(biāo)分別為故.32.求同時(shí)垂直于向量a=(2,3,4)和橫軸的單位向量.解：設(shè)橫軸向量為b=(x,0,0)則同時(shí)垂直于a，b的向量為=4xj－3xk故同時(shí)垂直于a，b的單位向量為.33.四面體的頂點(diǎn)在(1,1,1),(1,2,3),(1,1,2)和(3,-1,2)求四面體的表面積.解：設(shè)四頂點(diǎn)依次取為A,B,C,D.則由A，B，D三點(diǎn)所確定三角形的面積為.同理可求其他三個(gè)三角形的面積依次為.故四面體的表面積.34.已知三點(diǎn)A(2,4,1),B(3,7,5),C(4,10,9)，證：此三點(diǎn)共線.證明：,顯然則故A，B，C三點(diǎn)共線.35.求過(guò)點(diǎn)(4,1,-2)且與平面3x-2y+6z=11平行的平面方程.解：所求平面與平面3x-2y+6z=11平行故n={3,-2,6}，又過(guò)點(diǎn)(4,1,-2)故所求平面方程為：3(x-4)-2(y-1)+6(z+2)=0即3x-2y+6z+2=0.36.求過(guò)點(diǎn)M0(1,7,-3)，且與連接坐標(biāo)原點(diǎn)到點(diǎn)M0的線段OM0垂直的平面方程.解：所求平面的法向量可取為故平面方程為：x-1+7(y-7)-3(z+3)=0即x+7y-3z-59=037.設(shè)平面過(guò)點(diǎn)(1,2,-1)，而在x軸和z軸上的截距都等于在y軸上的截距的兩倍，求此平面方程.解：設(shè)平面在y軸上的截距為b則平面方程可定為又(1,2,-1)在平面上，則有得b=2.故所求平面方程為38.求過(guò)(1,1,-1),(-2,-2,2)和（1，-1，2）三點(diǎn)的平面方程.解：由平面的三點(diǎn)式方程知代入三已知點(diǎn)，有化簡(jiǎn)得x-3y-2z=0即為所求平面方程.39.指出下列各平面的特殊位置，并畫出其圖形：(1)y=0;(2)3x-1=0;(3)2x-3y-6=0;(4)x–y=0;(5)2x-3y+4z=0.解：(1)y=0表示xOz坐標(biāo)面（如圖7-2）(2)3x-1=0表示垂直于x軸的平面.(如圖7-3)圖7-2圖7-3(3)2x-3y-6=0表示平行于z軸且在x軸及y軸上的截距分別為x=3和y=-2的平面.(如圖7-4)(4)x–y=0表示過(guò)z軸的平面（如圖7-5）(5)2x-3y+4z=0表示過(guò)原點(diǎn)的平面（如圖7-6）.圖7-4圖7-5圖7-640.通過(guò)兩點(diǎn)（1，1，1，）和（2，2，2）作垂直于平面x+y-z=0的平面.解：設(shè)平面方程為Ax+By+Cz+D=0則其法向量為n={A,B,C}已知平面法向量為n1={1,1,-1}過(guò)已知兩點(diǎn)的向量l={1,1,1}由題知n·n1=0,n·l=0即所求平面方程變?yōu)锳x-Ay+D=0又點(diǎn)（1，1，1）在平面上，所以有D=0故平面方程為x-y=0.41.決定參數(shù)k的值，使平面x+ky-2z=9適合下列條件：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，-4，6）；（2）與平面2x-3y+z=0成的角.解：（1）因平面過(guò)點(diǎn)（5，-4，6）故有5-4k-2×6=9得k=-4.（2）兩平面的法向量分別為n1={1,k,-2}n2={2,-3,1}且解得42.確定下列方程中的l和m:(1)平面2x+ly+3z-5=0和平面mx-6y-z+2=0平行;(2)平面3x-5y+lz-3=0和平面x+3y+2z+5=0垂直.解：（1）n1={2,l,3},n2={m,-6,-1}(2)n1={3,-5,l},n2={1,3,2}43.通過(guò)點(diǎn)（1，-1，1）作垂直于兩平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.解：設(shè)所求平面方程為Ax+By+Cz+D=0其法向量n={A,B,C}n1={1,-1,1},n2={2,1,1}又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0故所求平面方程為即2x-y-3z=044.求平行于平面3x-y+7z=5,且垂直于向量i-j+2k的單位向量.解：n1={3,-1,7},n2={1,-1,2}.故則45.求通過(guò)下列兩已知點(diǎn)的直線方程：（1）（1，-2，1），（3，1，-1）；（2）（3，-1，0），（1，0，-3）.解：（1）兩點(diǎn)所確立的一個(gè)向量為s={3-1，1+2，-1-1}={2，3，-2}故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或（2）直線方向向量可取為s={1-3，0+1，-3-0}={-2，1，-3}故直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或46.求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程和參數(shù)方程.解：所給直線的方向向量為另取x0=0代入直線一般方程可解得y0=7,z0=17于是直線過(guò)點(diǎn)（0，7，17），因此直線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:且直線的參數(shù)方程為：47.求下列直線與平面的交點(diǎn)：(1),2x+3y+z-1=0;(2),x+2y-2z+6=0.解：（1）直線參數(shù)方程為代入平面方程得t=1故交點(diǎn)為（2，-3，6）.（2）直線參數(shù)方程為代入平面方程解得t=0.故交點(diǎn)為（-2，1，3）.48.求下列直線的夾角：（1）和；（2）和解：（1）兩直線的方向向量分別為：s1={5,-3,3}×{3,-2,1}=={3,4,-1}s2={2,2,-1}×{3,8,1}=={10,-5,10}由s1·s2=3×10+4×(-5)+(-1)×10=0知s1⊥s2從而兩直線垂直，夾角為.(2)直線的方向向量為s1={4,-12,3},直線的方程可變?yōu)?可求得其方向向量s2={0,2,-1}×{1,0,0}={0,-1,-2},于是49.求滿足下列各組條件的直線方程：（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，-3，4），且與平面3x-y+2z-4=0垂直；（2）過(guò)點(diǎn)（0，2，4），且與兩平面x+2z=1和y-3z=2平行；（3）過(guò)點(diǎn)（-1，2，1），且與直線平行.解：（1）可取直線的方向向量為s={3，-1，2}故過(guò)點(diǎn)（2，-3，4）的直線方程為（2）所求直線平行兩已知平面，且兩平面的法向量n1與n2不平行，故所求直線平行于兩平面的交線，于是直線方向向量故過(guò)點(diǎn)（0，2，4）的直線方程為（3）所求直線與已知直線平行，故其方向向量可取為s={2，-1，3}故過(guò)點(diǎn)（-1，2，1）的直線方程為.50.試定出下列各題中直線與平面間的位置關(guān)系：（1）和4x-2y-2z=3;（2）和3x-2y+7z=8;（3）和x+y+z=3.解：平行而不包含.因?yàn)橹本€的方向向量為s={-2，-7，3}平面的法向量n={4，-2，-2}，所以于是直線與平面平行.又因?yàn)橹本€上的點(diǎn)M0（-3，-4，0）代入平面方程有.故直線不在平面上.(2)因直線方向向量s等于平面的法向量，故直線垂直于平面.(3)直線在平面上，因?yàn)?而直線上的點(diǎn)（2，-2，3）在平面上.51.求過(guò)點(diǎn)（1，-2，1），且垂直于直線的平面方程.解：直線的方向向量為,取平面法向量為{1，2，3}，故所求平面方程為即x+2y+3z=0.52.求過(guò)點(diǎn)（1，-2，3）和兩平面2x-3y+z=3,x+3y+2z+1=0的交線的平面方程.解：設(shè)過(guò)兩平面的交線的平面束方程為其中λ為待定常數(shù)，又因?yàn)樗笃矫孢^(guò)點(diǎn)（1，-2，3）故解得λ=-4.故所求平面方程為2x+15y+7z+7=053.求點(diǎn)（-1，2，0）在平面x+2y-z+1=0上的投影.解：過(guò)點(diǎn)（-1，2，0）作垂直于已知平面的直線，則該直線的方向向量即為已知平面的法向量，即s=n={1，2，-1}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程可得(-1+t)+2(2+2t)-(-t)+1=0得于是所求點(diǎn)（-1，2，0）到平面的投影就是此平面與垂線的交點(diǎn)54.求點(diǎn)（1，2，1）到平面x+2y+2z-10=0距離.解：過(guò)點(diǎn)（1，2，1）作垂直于已知平面的直線，直線的方向向量為s=n={1，2，2}所以垂線的參數(shù)方程為將其代入平面方程得.故垂足為，且與點(diǎn)（1，2，1）的距離為即為點(diǎn)到平面的距離.55.求點(diǎn)（3，-1，2）到直線的距離.解：過(guò)點(diǎn)（3，-1，2）作垂直于已知直線的平面，平面的法向量可取為直線的方向向量即故過(guò)已知點(diǎn)的平面方程為y+z=1.聯(lián)立方程組解得即為平面與直線的垂足于是點(diǎn)到直線的距離為56.建立以點(diǎn)（1，3，-2）為中心，且通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的球面方程.解：球的半徑為設(shè)(x,y,z)為球面上任一點(diǎn)，則(x-1)2+(y-3)2+(z+2)2=14即x2+y2+z2-2x-6y+4z=0為所求球面方程.57.一動(dòng)點(diǎn)離點(diǎn)（2，0，-3）的距離與離點(diǎn)（4，-6，6）的距離之比為3，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：設(shè)該動(dòng)點(diǎn)為M(x,y,z)，由題意知化簡(jiǎn)得：8x2+8y2+8z2-68x+108y-114z+779=0即為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.58.指出下列方程所表示的是什么曲面，并畫出其圖形：（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）.解：（1）母線平行于z軸的拋物柱面，如圖7-7.（2）母線平行于z軸的雙曲柱面,如圖7-8.圖7-7圖7-8（3）母線平行于y軸的橢圓柱面，如圖7-9.（4）母線平行于x軸的拋物柱面，如圖7-10.圖7-9圖7-10（5）母線平行于z軸的兩平面，如圖7-11.（6）z軸，如圖7-12.圖7-11圖7-1259.指出下列方程表示怎樣的曲面，并作出圖形：（1）;（2）;（3）;（4）;（5）;（6）.解：（1）半軸分別為1，2，3的橢球面，如圖7-13.(2)頂點(diǎn)在（0，0，-9）的橢圓拋物面，如圖7-14.圖7-13圖7-14(3)以x軸為中心軸的雙葉雙曲面，如圖7-15.(4)單葉雙曲面，如圖7-16.圖7-15圖7-16(5)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓錐面，其中心軸是y軸，如圖7-17.(6)頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的圓錐面，其中心軸是z軸，如圖7-18.圖7-17圖7-1860.作出下列曲面所圍成的立體的圖形：(1)x2+y2+z2=a2與z=0,z=(a>0);(2)x+y+z=4,x=0,x=1,y=0,y=2及z=0;(3)z=4-x2,x=0,y=0,z=0及2x+y=4;(4)z=6-(x2+y2),x=0,y=0,z=0及x+y=1.解：（1）（2）（3）（4）分別如圖7-19，7-20，7-21，7-22所示.圖7-19圖7-20圖7-21圖7-2261.求下列曲面和直線的交點(diǎn)：(1)與;(2)與.解：（1）直線的參數(shù)方程為代入曲面方程解得t=0,t=1.得交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4，-2），（6，-2，2）.(2)直線的參數(shù)方程為代入曲面方程可解得t=1,得交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，-3，2）.62.設(shè)有一圓，它的中心在z軸上，半徑為3，且位于距離xOy平面5個(gè)單位的平面上，試建立這個(gè)圓的方程.解：設(shè)（x，y，z）為圓上任一點(diǎn)，依題意有即為所求圓的方程.63.建立曲線x2+y2=z,z=x+1在xOy平面上的投影方程.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為x2+y2=x+1即.故曲線在xOy平面上的投影方程為64.求曲線x2+y2+z2=a2,x2+y2=z2在xOy面上的投影曲線.解：以曲線為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的柱面方程為故曲線在xOy面上的投影曲線方程為65.試考察曲面在下列各平面上的截痕的形狀，并寫出其方程.(1)平面x=2;(2)平面y=0;(3)平面y=5;(4)平面z=2.解：（1）截線方程為其形狀為x=2平面上的雙曲線.（2）截線方程為為xOz面上的一個(gè)橢圓.(3)截線方程為為平面y=5上的一個(gè)橢圓.(4)截線方程為為平面z=2上的兩條直線.66.求單葉雙曲面與平面x-2z+3=0的交線在xOy平面，yOz平面及xOz平面上的投影曲線.解：以代入曲面方程得x2+20y2-24x-116=0.故交線在xOy平面上的投影為以x=2z-3代入曲面方程，得20y2+4z2-60z-35=0.故交線在yOz平面上的投影為交線在xOz平面上的投影為習(xí)題八1.判斷下列平面點(diǎn)集哪些是開(kāi)集、閉集、區(qū)域、有界集、無(wú)界集？并分別指出它們的聚點(diǎn)集和邊界：(1){(x,y)|x≠0};(2){(x,y)|1≤x2+y2<4};(3){(x,y)|y<x2};(4){(x,y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2≤1}.解：(1)開(kāi)集、無(wú)界集，聚點(diǎn)集：R2，邊界：{(x,y)|x=0}.(2)既非開(kāi)集又非閉集，有界集,聚點(diǎn)集：{(x,y)|1≤x2+y2≤4}，邊界：{(x,y)|x2+y2=1}∪{(x,y)|x2+y2=4}.(3)開(kāi)集、區(qū)域、無(wú)界集，聚點(diǎn)集：{(x,y)|y≤x2}，邊界：{(x,y)|y=x2}.(4)閉集、有界集，聚點(diǎn)集即是其本身，邊界：{(x,y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x,y)|(x+1)2+y2=1}.2.已知f(x,y)=x2+y2-xytan,試求.解：3.已知,試求解：f(x+y,x-y,xy)=(x+y)xy+(xy)x+y+x-y=(x+y)xy+(xy)2x.4.求下列各函數(shù)的定義域： 解：5.求下列各極限： 解：(1)原式=(2)原式=+∞.(3)原式=(4)原式=(5)原式=(6)原式=6.判斷下列函數(shù)在原點(diǎn)O(0，0)處是否連續(xù)：(3)解：(1)由于又，且,故.故函數(shù)在O(0,0)處連續(xù).(2)故O(0,0)是z的間斷點(diǎn).(3)若P(x,y)沿直線y=x趨于(0，0)點(diǎn)，則,若點(diǎn)P(x,y)沿直線y=-x趨于(0，0)點(diǎn)，則故不存在.故函數(shù)z在O(0，0)處不連續(xù).7.指出下列函數(shù)在向外間斷：(1)f(x,y)=; (2)f(x,y)=;(3)f(x,y)=ln(1－x2－y2); (4)f(x,y)=解：(1)因?yàn)楫?dāng)y=-x時(shí)，函數(shù)無(wú)定義，所以函數(shù)在直線y=-x上的所有點(diǎn)處間斷，而在其余點(diǎn)處均連續(xù).(2)因?yàn)楫?dāng)y2=2x時(shí)，函數(shù)無(wú)定義，所以函數(shù)在拋物線y2=2x上的所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(3)因?yàn)楫?dāng)x2+y2=1時(shí)，函數(shù)無(wú)定義，所以函數(shù)在圓周x2+y2=1上所有點(diǎn)處間斷.而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).(4)因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)沿直線y=x趨于O(0,0)時(shí)..故(0，0)是函數(shù)的間斷點(diǎn)，而在其余各點(diǎn)處均連續(xù).8.求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x2y+; (2)s=;(3)z=xln; (4)z=lntan;(5)z=(1+xy)y; (6)u=zxy;(7)u=arctan(x-y)z; (8).解：(1)(2)(3)(4)(5)兩邊取對(duì)數(shù)得故(6)(7)(8)9.已知，求證：.證明：.由對(duì)稱性知.于是.10.設(shè)，求證：.證明：,由z關(guān)于x,y的對(duì)稱性得故11.設(shè)f(x,y)=x+(y-1)arcsin，求fx(x,1).解：則.12.求曲線在點(diǎn)（2，4，5）處的切線與正向x軸所成的傾角.解：設(shè)切線與正向x軸的傾角為α,則tanα=1.故α=.13.求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)z=x4+y4-4x2y2; (2)z=arctan;(3)z=yx; (4)z=.解：(1)由x,y的對(duì)稱性知(2)，(3)(4)14.設(shè)f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2,求解：15.設(shè)z=xln(xy)，求及.解：16.求下列函數(shù)的全微分：(1); (2);(3); (4).解：(1)∵∴(2)∵∴(3)∵∴(4)∵∴17.求下列函數(shù)在給定點(diǎn)和自變量增量的條件下的全增量和全微分：(1)(2)解：(1)(2)18.利用全微分代替全增量，近似計(jì)算：(1)(1.02)3·(0.97)2; (2);(3)(1.97)1.05.解：(1)設(shè)f(x,y)=x3·y2，則故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，則(1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)≈f(1,1)+df(1,1)=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.(2)設(shè)f(x,y)=,則故取,則(3)設(shè)f(x,y)=xy,則df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,則19.矩型一邊長(zhǎng)a=10cm，另一邊長(zhǎng)b=24cm,當(dāng)a邊增加4mm，而b邊縮小1mm時(shí)，求對(duì)角線長(zhǎng)的變化.解：設(shè)矩形對(duì)角線長(zhǎng)為l，則當(dāng)x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1時(shí)，(cm)故矩形的對(duì)角線長(zhǎng)約增加0.062cm.20.1mol理想氣體在溫度0℃和1個(gè)大氣壓的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，體積是22.4L，從這標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下將溫度升高3℃，壓強(qiáng)升高0.015個(gè)大氣壓，問(wèn)體積大約改變多少？解：由PV=RT得V=，且在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，R=8.20568×10-2,ΔV≈dv=-=故體積改變量大約為0.09.21.測(cè)得一物體的體積V=4.45cm3,其絕對(duì)誤差限是0.01cm3，質(zhì)量m=30.80g，其絕對(duì)誤差限是0.01g，求由公式算出密度的絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差.解：當(dāng)V=4.45，m=30.80,dv=0.01,dm=0.01時(shí),當(dāng)v=4.45,m=30.80時(shí).22.求下列復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)或全導(dǎo)數(shù)：(1)求,；（2）z＝,x＝u＋v,y＝u－v,求,；（3）,y＝x3,求;（4）u＝x2＋y2＋z2,x＝,y＝,z＝,求.解：（1）(2)(3)(4).23.設(shè)f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3)解：(1)(2)(3)24.設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，證明：證明:故25.設(shè)，其中f(u)為可導(dǎo)函數(shù)，驗(yàn)證：.證明：∵,,∴26.,其中f具有二階導(dǎo)數(shù)，求解：由對(duì)稱性知，27.設(shè)f是c2類函數(shù)，求下列函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)：(1) (2)(3)解：(1),(2)(3)28.試證：利用變量替換,可將方程化簡(jiǎn)為.證明：設(shè)故29.求下列隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1)，求;(2)，求；(3)，求;(4)，求.解：(1)[解法1]用隱函數(shù)求導(dǎo)公式，設(shè)F(x,y)=siny+ex-xy2,則故.[解法2]方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得故(2)設(shè)∵∴(3)方程兩邊求全微分，得則故(4)設(shè),則30.設(shè)F(x,y,z)=0可以確定函數(shù)x=x(y,z),y=y(x,z),z=z(x,y),證明：.證明：∵∴31.設(shè)確定了函數(shù)z=z(x,y),其中F可微，求.解：32.求由下列方程組所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)：(1)求：(2)求：(3)其中f,g是類函數(shù)，求(4)求解：(1)原方程組變?yōu)榉匠虄蛇厡?duì)x求導(dǎo)，得當(dāng)(2)設(shè)故(3)設(shè)則故(4)是已知函數(shù)的反函數(shù)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得整理得解得方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)得整理得解得33.設(shè)，試求解：由方程組可確定反函數(shù)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得所以方程組兩邊對(duì)y求導(dǎo)，得解得所以.34.求函數(shù)在(2，-1)點(diǎn)的泰勒公式.解：故35.將函數(shù)在(1,1)點(diǎn)展到泰勒公式的二次項(xiàng).解：習(xí)題九1.求函數(shù)u=xy2+z3-xyz在點(diǎn)（1，1,2）處沿方向角為的方向?qū)?shù)。解：2.求函數(shù)u=xyz在點(diǎn)（5,1,2）處沿從點(diǎn)A（5,1,2）到B（9，4，14）的方向?qū)?shù)。解：的方向余弦為故3.求函數(shù)在點(diǎn)處沿曲線在這點(diǎn)的內(nèi)法線方向的方向?qū)?shù)。解：設(shè)x軸正向到橢圓內(nèi)法線方向l的轉(zhuǎn)角為φ，它是第三象限的角，因?yàn)樗栽邳c(diǎn)處切線斜率為法線斜率為.于是∵∴4.研究下列函數(shù)的極值：(1)z=x3+y3－3(x2+y2); (2)z=e2x(x+y2+2y);(3)z=(6x－x2)(4y－y2); (4)z=(x2+y2);(5)z=xy(a－x－y),a≠0.解：（1）解方程組得駐點(diǎn)為（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).zxx=6x－6,zxy=0,zyy=6y－6在點(diǎn)（0，0）處，A=－6，B=0，C=-6，B2－AC=－36<0，且A<0,所以函數(shù)有極大值z(mì)(0,0)=0.在點(diǎn)（0，2）處，A=－6，B=0，C=6，B2－AC=36>0，所以(0,2)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（2，0）處，A=6，B=0，C=－6，B2－AC=36>0，所以(2,0)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（2，2）處，A=6，B=0，C=6，B2－AC=－36<0，且A>0,所以函數(shù)有極小值z(mì)(2,2)=-8.(2)解方程組得駐點(diǎn)為.在點(diǎn)處,A=2e,B=0,C=2e,B2-AC=-4e2<0,又A>0,所以函數(shù)有極小值.(3)解方程組得駐點(diǎn)為（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Zxx=－2(4y-y2), Zxy=4(3－x)(2－y) Zyy=－2(6x－x2)在點(diǎn)（3，2）處，A=－8，B=0，C=－18，B2－AC=－8×18<0,且A<0，所以函數(shù)有極大值z(mì)(3,2)=36.在點(diǎn)（0，0）處，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(0,0)點(diǎn)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（0，4）處，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(0,4)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（6，0）處，A=0，B=-24，C=0，B2－AC>0，所以(6,0)不是極值點(diǎn).在點(diǎn)（6，4）處，A=0，B=24，C=0，B2－AC>0，所以(6,4)不是極值點(diǎn).(4)解方程組得駐點(diǎn)P0(0,0),及P(x0,y0),其中x02+y02=1，在點(diǎn)P0處有z=0，而當(dāng)（x,y）≠(0,0)時(shí)，恒有z>0，故函數(shù)z在點(diǎn)P0處取得極小值z(mì)=0.再討論函數(shù)z=ue-u由，令得u=1,當(dāng)u>1時(shí)，；當(dāng)u<1時(shí)，,由此可知，在滿足x02+y02=1的點(diǎn)（x0,y0）的鄰域內(nèi)，不論是x2+y2>1或x2+y2<1,均有.故函數(shù)z在點(diǎn)（x0,y0）取得極大值z(mì)=e-1(5)解方程組得駐點(diǎn)為zxx=-2y,zxy=a-2x-2y,zyy=-2x.故z的黑塞矩陣為于是易知H（P1）不定，故P1不是z的極值點(diǎn)，H（P2）當(dāng)a<0時(shí)正定，故此時(shí)P2是z的極小值點(diǎn)，且,H（P2）當(dāng)a>0時(shí)負(fù)定，故此時(shí)P2是z的極大值點(diǎn)，且.5.設(shè)2x2+2y2+z2+8xz-z+8=0，確定函數(shù)z=z(x,y)，研究其極值。解：由已知方程分別對(duì)x,y求導(dǎo)，解得令解得,將它們代入原方程，解得.從而得駐點(diǎn).在點(diǎn)（-2，0）處，B2-AC<0，因此函數(shù)有極小值z(mì)=1.在點(diǎn)處，B2-AC<0，函數(shù)有極大值.6.在平面xOy上求一點(diǎn)，使它到x=0,y=0及x+2y-16=0三直線距離的平方之和為最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P(x,y)，P點(diǎn)到x=0的距離為|x|,到y(tǒng)=0的距離為|y|，到直線x+2y-16=0的距離為距離的平方和為由得唯一駐點(diǎn),因?qū)嶋H問(wèn)題存在最小值，故點(diǎn)即為所求。7.求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2與平面x+y-z=1之間的最短距離。解：設(shè)P（x,y,z）為拋物面上任一點(diǎn).則點(diǎn)P到平面的距離的平方為,即求其在條件z=x2+y2下的最值。設(shè)F（x,y,z）=解方程組得故所求最短距離為8.拋物面z=x2+y2被平面x+y+z=1截成一橢圓，求原點(diǎn)到這橢圓的最長(zhǎng)與最短距離。解：設(shè)橢圓上的點(diǎn)為P（x,y,z），則|OP|2=x2+y2+z2.因P點(diǎn)在拋物面及平面上，所以約束條件為z=x2+y2，x+y+z=1設(shè)F（x,y,z）=x2+y2+z2+λ1(z-x2-y2)+λ2(x+y+z-1)解方程組得由題意知，距離|OP|有最大值和最小值，且.所以原點(diǎn)到橢圓的最長(zhǎng)距離是，最短距離是.9.在第I卦限內(nèi)作橢球面的切平面,使切平面與三坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)。解：令∵∴橢球面上任一點(diǎn)的切平面方程為即切平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為，因此切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍的四面體的體積為即求在約束條件下的最小值，也即求xyz的最大值問(wèn)題。設(shè),解方程組得.故切點(diǎn)為，此時(shí)最小體積為*10.設(shè)空間有n個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)為,試在xOy面上找一點(diǎn)，使此點(diǎn)與這n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和最小。解：設(shè)所求點(diǎn)為P（x,y,0），則此點(diǎn)與n個(gè)點(diǎn)的距離的平方和為解方程組得駐點(diǎn)又在點(diǎn)處Sxx=2n=A,Sxy=0=B,Syy=2n=CB2-AC=-4n2<0,且A>0取得最小值.故在點(diǎn)處，S取得最小值.即所求點(diǎn)為.11.已知平面上分別帶有質(zhì)量m1,m2,m3的三個(gè)質(zhì)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)的位置如何才能使該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于p點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為最小。解：該質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于p點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為解上式得駐點(diǎn)因駐點(diǎn)唯一，故轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在點(diǎn)處取得最小值.*12.已知過(guò)去幾年產(chǎn)量和利潤(rùn)的數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)量x(千件)4047557090100利潤(rùn)y(千元)323443547285試求產(chǎn)量和利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系，并預(yù)測(cè)當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到120千件時(shí)工廠的利潤(rùn)。解：在直角坐標(biāo)系下描點(diǎn)，從圖可以看出，這些點(diǎn)大致接近一條直線，因此可設(shè)f(x)=ax+b，求的最小值，即求解方程組把(xi,yi)代入方程組，得解得a=0.884,b=-5.894即y=0.884x-5.894,當(dāng)x=120時(shí)，y=100.186(千元).13.求下曲線在給定點(diǎn)的切線和法平面方程：(1)x=asin2t,y=bsintcost,z=ccos2t,點(diǎn);(2)x2+y2+z2=6,x+y+z=0,點(diǎn)M0(1,-2,1);(3)y2=2mx,z2=m-x,點(diǎn)M0(x0,y0,z0).解：曲線在點(diǎn)的切向量為當(dāng)時(shí)，切線方程為.法平面方程為即.（2）聯(lián)立方程組它確定了函數(shù)y=y(x),z=z(x)，方程組兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得解得在點(diǎn)M0（1，-2，1）處，所以切向量為{1，0，-1}.故切線方程為法平面方程為1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0即x-z=0.(3)將方程y2=2mx,z2=m-x兩邊分別對(duì)x求導(dǎo)，得于是曲線在點(diǎn)（x0,y0,z0）處的切向量為,故切線方程為法平面方程為.14.t(0<t<2π)為何值時(shí)，曲線L：x=t-sint,y=1-cost,z=4sin在相應(yīng)點(diǎn)的切線垂直于平面，并求相應(yīng)的切線和法平面方程。解：,在t處切向量為,已知平面的法向量為.且∥,故解得，相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為.且故切線方程為法平面方程為即.15.求下列曲面在給定點(diǎn)的切平面和法線方程：(1)z=x2+y2,點(diǎn)M0(1,2,5);(2)z=arctan,點(diǎn)M0(1,1,);解：（1）故曲面在點(diǎn)M0(1,2,5)的切平面方程為z-5=2(x-1)+4(y-2).即2x+4y-z=5.法線方程為（2）故曲面在點(diǎn)M0(1,1,)的切平面方程為z-=-(x-1)+(y-1).法線方程為.16.指出曲面z=xy上何處的法線垂直于平面x-2y+z=6,并求出該點(diǎn)的法線方程與切平面方程。解：zx=y,zy=x.曲面法向量為.已知平面法向量為.且∥，故有解得x=2,y=-1,此時(shí)，z=-2.即（2,-1,-2）處曲面的法線垂直于平面，且在該點(diǎn)處的法線方程為.切平面方程為-1(x-2)+2(y+1)-(z+2)=0即x-2y+z-2=0.17.證明：螺旋線x=acost,y=asint,z=bt的切線與z軸形成定角。證明：螺旋線的切向量為.與z軸同向的單位向量為兩向量的夾角余弦為為一定值。故螺旋線的切線與z軸形成定角。18.證明：曲面xyz=a3上任一點(diǎn)的切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體體積一定。證明：設(shè)F(x,y,z)=xyz-a3.因?yàn)镕x=yz,Fy=xz,Fz=xy,所以曲面在任一點(diǎn)M0(x0,y0,z0)處的切平面方程為y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.切平面在x軸，y軸，z軸上的截距分別為3x0,3y0,3z0.因各坐標(biāo)軸相互垂直，所以切平面與坐標(biāo)面圍成的四面體的體積為它為一定值。習(xí)題十1.根據(jù)二重積分性質(zhì)，比較與的大小，其中：（1）D表示以（0，1），（1，0），（1，1）為頂點(diǎn)的三角形；（2）D表示矩形區(qū)域.解：（1）區(qū)域D如圖10-1所示，由于區(qū)域D夾在直線x+y=1與x+y=2之間，顯然有圖10-1從而故有所以（2）區(qū)域D如圖10-2所示.顯然，當(dāng)時(shí)，有.圖10-2從而ln(x+y)>1故有所以2.根據(jù)二重積分性質(zhì)，估計(jì)下列積分的值：（1）;（2）;（3）.解：（1）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有,因而.從而故即而（σ為區(qū)域D的面積），由σ=4得.(2)因?yàn)椋瑥亩始炊裕?）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以故即而所以3.根據(jù)二重積分的幾何意義，確定下列積分的值：（1）（2）解：（1）在幾何上表示以D為底，以z軸為軸，以（0，0，a）為頂點(diǎn)的圓錐的體積，所以（2）在幾何上表示以原點(diǎn)（0，0，0）為圓心，以a為半徑的上半球的體積，故4.設(shè)f(x，y)為連續(xù)函數(shù)，求.解：因?yàn)閒(x，y)為連續(xù)函數(shù)，由二重積分的中值定理得，使得又由于D是以（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓盤，所以當(dāng)時(shí)，于是：5.畫出積分區(qū)域，把化為累次積分：（1）;(2)(3)解：（1）區(qū)域D如圖10-3所示，D亦可表示為.所以(2)區(qū)域D如圖10-4所示，直線y=x-2與拋物線x=y2的交點(diǎn)為（1，-1），（4，2），區(qū)域D可表示為.圖10-3圖10-4所以（3）區(qū)域D如圖10-5所示，直線y=2x與曲線的交點(diǎn)(1，2)，與x=2的交點(diǎn)為(2，4),曲線與x=2的交點(diǎn)為（2，1），區(qū)域D可表示為圖10-5所以.6.畫出積分區(qū)域，改變累次積分的積分次序：（1）;(2);(3);(4);(5).解：（1）相應(yīng)二重保健的積分區(qū)域?yàn)镈：如圖10-6所示.圖10-6D亦可表示為：所以(2)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D：如圖10-7所示.圖10-7D亦可表示為：所以(3)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-8所示.圖10-8D亦可看成D1與D2的和，其中D1：D2：所以.(4)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D為：如圖10-9所示.圖10-9D亦可看成由D1與D2兩部分之和，其中D1：D2：所以(5)相應(yīng)二重積分的積分區(qū)域D由D1與D2兩部分組成，其中D1：D2：如圖10-10所示.圖10-10D亦可表示為：所以7.求下列立體體積：（1）旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,平面z=0與柱面x2+y2=ax所圍；（2）旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2,柱面y=x2及平面y=1和z=0所圍.解：（1）由二重積分的幾何意義知，所圍立體的體積V=其中D：由被積函數(shù)及積分區(qū)域的對(duì)稱性知，V=2，其中D1為D在第一象限的部分.利用極坐標(biāo)計(jì)算上述二重積分得.(2)由二重積分的幾何意義知，所圍立體的體積其中積分區(qū)域D為xOy面上由曲線y=x2及直線y=1所圍成的區(qū)域，如圖10-11所示.圖10-11D可表示為：所以8.計(jì)算下列二重積分：（1）(2)D由拋物線y2=x,直線x=0與y=1所圍；（3）D是以O(shè)(0,0)，A(1，-1)，B(1，1)為頂點(diǎn)的三角形;(4).解：（1）(2)積分區(qū)域D如圖10-12所示.圖10-12D可表示為：所示(3)積分區(qū)域D如圖10-13所示.圖10-13D可表示為：所以9.計(jì)算下列二次積分：解：（1）因?yàn)榍蟛怀鰜?lái)，故應(yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D：0≤y≤1,y≤x≤，如圖10-14所示。圖10-14D也可表示為：0≤x≤1,x2≤y≤x.所以(2)因?yàn)榍蟛怀鰜?lái)，故應(yīng)改變積分次序。積分區(qū)域D分為兩部分，其中如圖10-15所示：圖10-15積分區(qū)域D亦可表示為：于是：10.在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分：(1)(2)D為圓=1所圍成的區(qū)域；(3)D是由=4,=1,及直線y=0,y=x所圍成的在第一象限內(nèi)的閉區(qū)域；(4)D是由曲線=x+y所包圍的閉區(qū)域。解：(1)積分區(qū)域D如圖10-16所示：圖10-16D亦可采用極坐標(biāo)表示為：π≤r≤2π,0≤θ≤2π所以(2)積分區(qū)域D可用極坐標(biāo)表示為：0≤r≤1,0≤θ≤2π.所以：(3)積分區(qū)域D如圖10-17所示.圖10-17D可用極坐標(biāo)表示為：0≤θ≤,1≤r≤2.所以：(4)積分區(qū)域D如圖10-18所示，圖10-18D可用極坐標(biāo)表示為：所以：11.將下列積分化為極坐標(biāo)形式，并計(jì)算積分值：解：（1）積分區(qū)域D如圖10-19所示.圖10-19D亦可用極坐標(biāo)表示為：所以：(2)積分區(qū)域D如圖10-20所示.圖10-20D可用極坐標(biāo)表示為：于是：(3)積分區(qū)域D如圖10-21所示.圖10-21D也可用極坐標(biāo)表示為：.于是：(4)積分區(qū)域D如圖10-22所示.圖10-22D可用極坐標(biāo)表示為：于是:*12.作適當(dāng)坐標(biāo)變換，計(jì)算下列二重積分：(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所圍平面區(qū)域；(2)(3)令x=v,x+y=u;(4)(5)(6)解：(1)積分區(qū)域D如圖10-23所示：圖10-23令xy=u,,則于是：(2)積分區(qū)域D如圖10-24所示。圖10-24令x+y=u,x-y=v,則且-1≤u≤1,-1≤v≤1.于是：（3）積分區(qū)域Dxy:0≤x≤1,1-x≤y≤2-x令x=v,x+y=u,則y=u-v積分區(qū)域Dxy變?yōu)镈uv:0≤v≤1,1≤u≤2.且于是(4)令x=arcosθ,y=brsinθ則積分區(qū)域D變?yōu)镈rθ：0≤θ≤2π,0≤r≤1,于是：(5)令x=rcosθ，y=rsinθ.即作極坐標(biāo)變換，則D變?yōu)椋?≤r≤3,0≤θ≤2π.于是：（6）積分區(qū)域D如圖10-25所示：D可分為D1,D2∪D3,D4四個(gè)部分.它們可分為用極坐標(biāo)表示為。圖10-25D1:0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,D2∪D3:0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,D4:π≤θ≤2π,0≤r≤2于是：13.求由下列曲線所圍成的閉區(qū)域的面積：(1)曲線所圍（a>0,b>0）;(2)曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所圍（x>0,y>0）.解：（1）曲線所圍的圖形D如圖10-26所示：圖10-26D可以表示為：所求面積為：(2)曲線xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x(x>0,y>0)所圍圖形D如圖10-27所示：圖10-27所求面積為令xy=u,,則于是14.證明：(1)(2),D為|x|+|y|≤1;(3),其中D為x2+y2≤1且a2+b2≠0.解：（1）題中所給累次積分的積分區(qū)域D為a≤y≤b,a≤x≤y.如圖10-28所示：圖10-28D也可表示為a≤x≤b，x≤y≤b，于是：(2)令x+y=u,x-y=v，則,且-1≤u≤1,-1≤v≤1,于是(3)令,則當(dāng)x2+y2≤1時(shí)，于是15.求球面x2+y2+z2=y2含在圓柱面x2+y2=ax內(nèi)部的那部分面積。解：如圖10-29所示：圖10-29上半球面的方程為，由得由對(duì)稱性知16.求錐面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面面積。解：由z2=x2+y2,z2=2x兩式消去z得x2+y2=2x，則所求曲面在xOy面上的投影區(qū)域D為：x2+y2≤2x,而故所求曲面的面積為.17.求底面半徑相等的兩個(gè)直交圓柱面x2+y2=R2及x2+z2=R2所圍立體的表面積。解：由對(duì)稱性知，所圍立體的表面積等于第一卦限中位于圓柱面x2+y2=R2內(nèi)的部分面積的16倍，如圖10-30所示。圖10-30這部分曲面的方程為，于是所求面積為.18.設(shè)薄片所占的閉區(qū)域D如下，求均勻薄片的重心。(1)D由所圍成；(2)D是半橢圓形閉區(qū)域：;(3)D是介于兩個(gè)圓r=acosθ,r=bcosθ(0<a<b)之間的閉區(qū)域。解：(1)閉區(qū)域D如圖10-31所示。圖10-31閉區(qū)域D的面積A為所求重心為.(2)因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸，所以=0,又閉區(qū)域D的面積。.所以：所求重心為.(3)閉區(qū)域D如圖10-32所示：圖10-32由于閉區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱，所以,又故所求重心為19.設(shè)平面薄片所占的閉區(qū)域D由拋物線y=x2及直線y=x所圍成，它在點(diǎn)（x,y）處的面密度ρ(x,y)=x2y，求該薄片的重心。解：閉區(qū)域D如圖10-33所示：圖10-33薄片的質(zhì)量為從而所求重心為.20.設(shè)有一等腰直角三角形薄片，腰長(zhǎng)為a，各點(diǎn)處的面密度等于該點(diǎn)到直角頂點(diǎn)的距離的平方，求這薄片的重心.解：建立直角坐標(biāo)系如圖10-34所示。圖10-34由已知ρ(x,y)=x2+y2,且從而即所求重心為.21.設(shè)均勻薄片（面密度為常數(shù)1）所占閉區(qū)域D如下，求指定的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)D:，求Iy;(2)D由拋物線與直線x=2所圍成，求Ix和Iy；(3)D為矩形閉區(qū)域：0≤x≤a,0≤y≤b,求Ix和Iy.解：（1）令x=arcosθ,y=brsinθ,則在此變換下D：變化為：r≤1,即0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,所以(2)閉區(qū)域D如圖10-35所示圖10-35(3)22.已知均勻矩形板（面密度為常量ρ）的長(zhǎng)和寬分別為b和h，計(jì)算此矩形板對(duì)于通過(guò)其形心且分別與一邊平行的兩軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：取形心為原點(diǎn)，取兩旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸，建立坐標(biāo)系如圖10-36所示.圖10-3623.求直線與坐標(biāo)軸圍成的三角區(qū)域（a>0,b>0）對(duì)x軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（面ρ為常數(shù)）.解：所圍三角區(qū)域D如圖10-37所示：圖10-3724.求面密度為常量ρ的勻質(zhì)半圓環(huán)形薄片：對(duì)位于z軸上點(diǎn)M0(0,0,a)(a>0)處單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力F.解：由對(duì)稱性知Fy=0，而故所求引力為：25.化三重積分為三次積分，其中積分區(qū)域Ω分別是：(1)由雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域；(2)由曲面z=x2+y2及平面z=1所圍成的閉區(qū)域；(3)由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域;(4)由曲面cz=xy(c>0)，所圍成的第I卦限內(nèi)的閉區(qū)域。解：(1)積分區(qū)域Ω如圖10-38所示，圖10-38Ω可表示為：故(2)積分區(qū)域Ω如圖10-39所示。圖10-39Ω可表示為：故(3)由消去z得即，所以Ω在xOy面的投影區(qū)域?yàn)閤2+y2≤1，如圖10-40所示。圖10-40Ω可表示為：-1≤x≤1,,x2+2y2≤z≤2-x2故(4)積分區(qū)域如圖10-41所示。Ω可表示為：圖10-41故26.在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分：(1),其中Ω是由曲面z=xy與平面y=x,x=1和z=0所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中Ω為平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的四面體；(3)，Ω是兩個(gè)球：x2+y2+z2≤R2和x2+y2+z2≤2Rz(R>0)的公共部分；(4),其中Ω是由x=a(a>0),y=x,z=y,z=0所圍成；(5),其中Ω是由x2+z2-y2=1,y=0,y=2所圍成；(6),其中Ω是由所圍成。解：(1)積分區(qū)域Ω如圖10-42所示。圖10-42Ω可表示為：(2)積分區(qū)域Ω如圖10-43所示，Ω可表示為：圖10-43故(3)積分區(qū)域Ω如圖10-44所示。圖10-44由方程x2+y2+z2=R及x2+y2+z2=2Rz得兩球的交線為：,且平面把積分區(qū)域Ω分為兩部分，且積分區(qū)域Ω在z軸上的投影區(qū)間為[0,R],記過(guò)上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與Ω相交的平面區(qū)域?yàn)镈1(z),過(guò)上任意一點(diǎn)z的平行于xOy面的平面與Ω的相交的平面區(qū)域?yàn)镈2(z)，則(4)積分區(qū)域Ω如圖10-45所示。圖10-45Ω可表示為：故(5)積分區(qū)域Ω如圖10-46所示。圖10-46Ω在y軸上的投影區(qū)間為[0,2]，故(6)積分區(qū)域Ω如圖10-47所示。圖10-47Ω可表示為：故27.如果三重積分的被積函數(shù)f(x,y,z)是三個(gè)函數(shù)f1(x),f2(y),f3(z)的乘積，即f(x,y,z)=f1(x)·f2(y)·f3(z)，積分區(qū)域?yàn)閍≤x≤b，c≤y≤d,l≤z≤m，證明,這個(gè)三重積分等于三個(gè)單積分的乘積，即證：28.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：(1),其中Ω是由曲面及所圍成的閉區(qū)域；(2),其中Ω是由曲面及平面z=2所圍成的閉區(qū)域.圖10-48解：(1)由及消去得,因而區(qū)域Ω在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)?如圖10-48所示，在柱面坐標(biāo)系下：Ω可表示為：圖10-48故(2)積分區(qū)域如圖10-49所示，在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為圖10-49圖10-49故29.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分：(1)，其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域；(2)，其中Ω由不等式,所確定.解：（1）(2)積分區(qū)域Ω如圖10-50所示，在球面坐標(biāo)系下，Ω可表示為圖10-50故圖10-5030.選用適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)計(jì)算下列三重積分：(1)，其中Ω為柱面及平面z=1,z=0,x=0,y=0所圍成的第I卦限內(nèi)的閉區(qū)域；(2),其中Ω是由球面所圍成的閉區(qū)域;(3),其中Ω是由曲面及平面z=5所圍成的閉區(qū)域；(4)，其中Ω由不等式所確定。解：（1）積分區(qū)閉Ω如圖10-51所示.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算，Ω在柱面坐標(biāo)系下表示為：圖10-51,0≤r≤1，0≤z≤1,故本題也可采用直角坐標(biāo)計(jì)算，在直角坐標(biāo)系下，Ω可表示為：故(2)積分區(qū)域Ω如圖10-52所示。用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下Ω可表示為：圖10-52故(3)積分區(qū)域Ω如圖10-53所示。利用柱面坐標(biāo)計(jì)算，在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：圖10-53故(4)積分區(qū)域如圖10-54所示。利用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：圖10-54故31.利用三重積分計(jì)算由下列曲面所圍成的立體的體積：(1)z=6-x2-y2及；(2)x2+y2+z2=2az(a>0)及x2+y2=z2（含有z軸的部分）；(3)及z=x2+y2;(4)z=及x2+y2=4z.解：（1）曲面圍成的立體Ω如圖10-55所示。在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：圖10-55用柱面坐標(biāo)可求得Ω的體積（2）曲面圍成的立體Ω如圖10-56所示。在球面坐標(biāo)系下Ω可表示為：圖10-56利用球面坐標(biāo)可求得Ω的體積：（3）曲面圍成的立體Ω如圖10-57所示。在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：圖10-57利用柱面坐標(biāo)可求得Ω的體積：(4)曲面圍成的立體Ω如圖10-58所示。在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：圖10-58利用柱面坐標(biāo)可求得Ω的體積：*32.選擇坐標(biāo)變換計(jì)算下列各題：（1）（2）解：（1）令則積分區(qū)域Ω變?yōu)棣?：且故(2)坐標(biāo)變換同（1）。33.球心在原點(diǎn)，半徑為R的球體，在其上任意一點(diǎn)的密度的大小與這點(diǎn)到球的距離成正比，求這球體的質(zhì)量。解：利用球面坐標(biāo)計(jì)算：Ω：則34.利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍立體的重心（設(shè)密度ρ=1）;(1)z2=x2+y2,z=1;(2)(3)z=x2+y2,x+y=a,x=0,y=0,z=0.解：（1）兩曲面所圍立體Ω為一高和底面半徑均為1的圓錐體（如圖10-59所示），其體積v=.在柱面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：r≤z≤1,0≤r≤1,0≤θ≤2π.圖10-59又由對(duì)稱性可知，重心在z軸上，故,所以，所圍立體的重心為.(2)所圍立體Ω如圖10-60所示。其體積.圖10-60在球面坐標(biāo)系下，Ω可表示為：,又由對(duì)稱性知，重點(diǎn)在z軸上，故,故所圍立體的重心為(3)所圍立體Ω如圖10-61所示，在直角坐標(biāo)系下，Ω可以表示為圖10-610≤x≤a,0≤y≤a-x,0≤z≤x2+y2.先求Ω的體積V.故由Ω關(guān)于平面y=x的對(duì)稱性可知。.又故所圍立體的重心為.35.球體x2+y2+z2≤2Rz內(nèi)，各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求這球體的重心。解：用球面坐標(biāo)計(jì)算，在球面坐標(biāo)系下球體可以表示為：0≤r≤2Rcosφ，0≤φ≤,0≤θ≤2π，球體密度ρ=r2,由對(duì)稱性可知重心在z軸上，故，又球體的質(zhì)量從而故球體的重心為.36.一均勻物體（密度為常量）占有的閉區(qū)域Ω由曲面z=x2+y2和平面z=0,|x|=a,|y|=a所圍成。（1）求物體的體積；（2）求物體的重心；（3）求物體關(guān)于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：（1）Ω如圖10-62所示。由對(duì)稱性可知。圖10-62(2)由對(duì)稱性知，而故物體重心為.37.求半徑為a,高為h的均勻圓柱體對(duì)于過(guò)中心，而平行于母線的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（設(shè)密度=1）.解：建立坐標(biāo)系如圖10-63所示，用柱面坐標(biāo)計(jì)算。圖10-6338.求均勻柱體：對(duì)于位于點(diǎn)M0（0，0，a）(a>h)處的單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力。解：由柱體的對(duì)稱性可知，沿x軸與y軸方向的分力互相抵消，故Fx=Fy=0,而39.在均勻的半徑為R的半圓形薄片的直徑上，要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片，為了使整個(gè)均勻薄片的重心恰好落在圓心上，問(wèn)接上去的均勻矩形薄片另一邊的長(zhǎng)度應(yīng)是多少？解：如圖10-64所示，因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸，所以重心必位于y軸上，即，要使重心恰好落在圓心上，必須使,于是必須,而圖10-64由得.即均勻矩形薄片另一邊長(zhǎng)度應(yīng)是.40.求由拋物線y=x2及直線y=1所圍成的均勻薄片（面密度為常數(shù)）c對(duì)于直線y=-1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。圖10-65解：*41.試討論下列無(wú)界區(qū)域上二重積分的收斂性：(1)(2),D為全平面；(3)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)解：（1）當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)故當(dāng)m>1時(shí)，原積分收斂，當(dāng)m≤1時(shí)發(fā)散。（2）由于被積函數(shù)是正的，并且關(guān)于x軸和y軸都對(duì)稱，故由于,故積分當(dāng)p>1時(shí)收斂，p<1時(shí)發(fā)散，p=1時(shí)顯然也發(fā)散，因此.同理有：.由此可知僅當(dāng)p>1且q>1時(shí)收斂，其他情形均發(fā)散。(3)由0<m<|φ(x,y)|≤M,可知積分與積分同時(shí)收斂同時(shí)發(fā)散。由于被積函數(shù)是正的，故由于，當(dāng)0≤y≤1時(shí)，有(若p≥0),(若p<0),故(若p≥0),若p<0，則有相反的不等式。由于,故積分當(dāng)時(shí)收斂，時(shí)發(fā)散，而時(shí)，由知積分也發(fā)散。由此可知：積分，從而積分當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散。*42.計(jì)算積分解：由于而收斂，故收斂，從而，采用極坐標(biāo)有：*43.試討論下列無(wú)界函數(shù)的二重積分的收斂性：(1);(2)解：(1)故當(dāng)m<1時(shí)，原積分收斂，當(dāng)m≥1時(shí)，原積分發(fā)散。（2）由于x2+xy+y2=(當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí))故(當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí))再注意到廣義重積分收斂必絕對(duì)收斂，即知積分與同斂散。由于(當(dāng)(x,y)≠(0,0)時(shí))，采用極坐標(biāo)即得而為常義積分，其值為有限數(shù)，而由此可知：原積分當(dāng)p<1時(shí)收斂，當(dāng)p≥1時(shí)發(fā)散。44.設(shè)A（0，0，a）為球體x2+y2+z2≤R2內(nèi)一質(zhì)量為1的質(zhì)點(diǎn)（0<a<R，球體密度為常數(shù)ρ）,求球?qū)的吸引力。解:45.計(jì)算下列對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分：（1），其中L為圓周x=acost,y=asint(0≤t≤2π);(2),其中L為連接（1,0）及（0，1）兩點(diǎn)的直線段；(3),其中L為由直線y=x及拋物線y=x2所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界；(4)，其中L為圓周x2+y2=a2，直線y=x及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的扇形的整個(gè)邊界；（5），其中為曲線x=etcost,y=etsint,z=et上相應(yīng)于t從0變到2的這段?。唬?），其中為折線ABCD，這里A，B，C，D依次為點(diǎn)（0,0,0）,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；(7)，其中L為擺線的一拱x=a(t-sint)，y=a(1-cost)(0≤t≤2π)；（8），其中L為曲線x=a(cost+tsint),y=a(sint-tcot),(0≤t≤2π)；（9），其中為螺旋線，x=acost,y=asint,z=at(0≤t≤π).解：（1）.(2)L的方程為y=1-x（0≤x≤1）.(3)L由曲線L1：y=x2(0≤x≤1),及L2：y=x(0≤x≤1)組成（如圖1