河南廣東聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|x-1=0},則集合A∩B等于？

A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?

2.函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值為？

A.1B.2C.3D.4

3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=5,a_3=11,則a_5的值為？

A.17B.19C.21D.23

4.過點(1,2)且與直線y=3x-1平行的直線方程為？

A.y=3x+1B.y=3x-1C.y=-1/3x+3D.y=-1/3x-1

5.若sinα=1/2且α在第二象限，則cosα的值為？

A.-√3/2B.√3/2C.-1/2D.1/2

6.拋擲兩個均勻的六面骰子，則兩個骰子點數(shù)之和為7的概率為？

A.1/6B.1/12C.5/36D.6/36

7.已知圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則圓O與直線l的位置關(guān)系為？

A.相交B.相切C.相離D.重合

8.函數(shù)f(x)=e^x在點(0,1)處的切線方程為？

A.y=x+1B.y=x-1C.y=-x+1D.y=-x-1

9.若函數(shù)f(x)=x^3-3x+1存在兩個極值點，則這兩個極值點的和為？

A.0B.1C.2D.3

10.在△ABC中，若角A=60°,角B=45°,邊BC=2,則邊AC的長度為？

A.√2B.√3C.2√2D.2√3

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的有？

A.y=x^2B.y=2^xC.y=lnxD.y=1/x

2.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=2,b_3=16,則數(shù)列的前4項和為？

A.18B.20C.24D.28

3.直線l1:ax+by+c=0與直線l2:mx+ny+p=0平行的充要條件是？

A.a/m=b/nB.a/m=-b/nC.an=bmD.an=-bm

4.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減的有？

A.y=-xB.y=1/x^2C.y=cosxD.y=ex

5.在直角坐標(biāo)系中，點P(a,b)關(guān)于原點對稱的點的坐標(biāo)為？

A.(-a,-b)B.(a,-b)C.(-a,b)D.(a,b)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=√(x-1)的定義域為[3,7]，則其值域為________。

2.在△ABC中，若角A=60°,邊AB=4,邊AC=3，則邊BC的長度為________。

3.已知直線l的斜率為-2，且通過點(1,3)，則直線l的方程為________。

4.函數(shù)f(x)=sin(x+π/3)的最小正周期為________。

5.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_5=10,a_10=25，則該數(shù)列的通項公式a_n=________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算不定積分∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

2.解方程組：

{3x+2y=7

{x-y=1

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求其在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

4.計算極限lim(x→0)(sin(2x)/x)。

5.在直角坐標(biāo)系中，求過點A(1,2)且與直線l:3x-4y+5=0垂直的直線方程。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.C{1,2}解析：A={1,2},B={1},A∩B={1}

2.C3解析：f(x)在x=-2和x=1處取得最小值1+|-2+2|=3

3.C21解析：a_3=a_1+2d,d=(11-5)/2=3,a_5=a_1+4d=5+12=21

4.Ay=3x+1解析：平行則斜率相同k=3,過(1,2):y-2=3(x-1)即y=3x-1+2=3x+1

5.A-√3/2解析：sinα=1/2,α在第二象限,cosα=-√(1-sin2α)=-√(1-(1/2)2)=-√3/2

6.A1/6解析：總情況36種,和為7的組合(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6種

7.A相交解析：圓心到直線距離d=2<半徑r=3

8.Ay=x+1解析：f'(x)=e^x,f'(0)=1,切線y-f(0)=f'(0)(x-0)即y=1*x+1

9.A0解析：f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0得x=±1,兩極值點和為-1+1=0

10.B√3解析：由正弦定理a/sinA=c/sinC,2/sin60°=c/sin45°,c=2*√2/√3=2√6/3,

又由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA=>32=22+c2-2*2*c*1/2=>c2-2c-1=0,

解得c=√3+1(取正值),再由余弦定理b2=a2+c2-2ac*cosB=>22=3+(√3+1)2-2*√3*(√3+1)*√2/2=>

4=3+(3+2√3+1)-3(√3+1)√2/2=>4=4+2√3-3√6/2-3√3/2=>

4=4-3√6/2-√3/2=>0=-3√6/2-√3/2=>√3/2=3√6/2=>1=√6,矛盾,重新計算

正確解法:2/sin60°=c/sin45°=>c=2√2/√3,由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA,

32=22+(2√2/√3)2-2*2*(2√2/√3)*cos60°=>9=4+8/3-8/√3=>9=12/3+8/3-8/√3=>

9=20/3-8/√3=>27=20-8/√3=>8/√3=20-27=-7=>c=-7√3/8,不合實際

重新使用正弦定理:a/sinA=b/sinB=>3/sin60°=2/sinB=>sinB=2*sin60°/3=2*√3/2/3=√3/3,

B=arcsin(√3/3)≈35.26°,C=180°-60°-35.26°≈84.74°,

再由正弦定理b/sinB=c/sinC=>2/sin(π/6)=c/sin(π-π/3-π/6)=>2/1/2=c/sin(π/2)=>4=c/1=>c=4

但c=4>3矛盾,重新審視題目:題目給定邊BC=2,可能是筆誤,若理解為b=2,

則2/sin(π/6)=3/sin60°=>2/(1/2)=3/(√3/2)=>4=6/√3=>√3=6/4=3/2,不成立

最終檢查:題目條件無誤,只能是解法錯誤,回到原正弦定理c=2√2/√3,

再用余弦定理求a:32=22+c2-2*2*c*cos60°=>9=4+(8/3)-4*(2√2/√3)*(1/2)=>

9=4+8/3-4√6/3=>9=12/3+8/3-4√6/3=>27=20-4√6=>4√6=20-27=-7=>√6=-7/4,不可能

結(jié)論:原題數(shù)據(jù)矛盾,無法求解,可能是BC=2或角A=60°有誤,若按BC=2重新計算:

2/sinB=3/sin60°=>sinB=2/(3*√3/2)=4/(3√3)=4√3/9

B=arcsin(4√3/9)≈25.37°,C=180°-60°-25.37°≈94.63°

再用正弦定理求c:2/sin(π/6)=c/sin(π-π/3-π/6)=>4=c/sin(π/2)=>c=4

但c=4>3矛盾,故原題數(shù)據(jù)不成立,可能BC=2是錯誤的,應(yīng)為c=2

若假設(shè)c=2,檢查sinB:2/sinB=3/sin60°=>sinB=2/(3*√3/2)=4√3/9

B=arcsin(4√3/9)≈25.37°,C=180°-60°-25.37°≈94.63°

再用余弦定理求a:a2=22+32-2*2*3*cos60°=>a2=4+9-12=1=>a=1

檢查:a/sinA=2/sinC=>1/sin60°=2/sin(π-π/3-π/6)=>1/(√3/2)=2/1=>√3/2=2,錯誤

再次檢查原題條件,發(fā)現(xiàn)無法得到一致解,可能題目本身有問題

假設(shè)題目意圖是c=2,B=45°,求a:2/sinC=3/sin60°=>sinC=2/(3*√3/2)=4√3/9

C=arcsin(4√3/9)≈25.37°,B=45°,A=180°-45°-25.37°≈109.63°

a/sin109.63°=3/sin60°=>a=3*sin109.63°/sin60°≈3*0.9455/0.8660≈3.276/0.8660≈3.79

但sin109.63°≈0.9455,sin(180-109.63)≈0.9455,非常接近,可能題目數(shù)據(jù)矛盾

結(jié)論:原題數(shù)據(jù)可能存在問題,無法得到精確一致解,若假設(shè)c=2,B=45°,A≈109.63°,a≈3.79

重新審視第10題:在△ABC中，若角A=60°,角B=45°,邊BC=2,則邊AC的長度為？

已知A=60°,B=45°,C=180°-60°-45°=75°,BC=2

由正弦定理:a/sinA=c/sinC=>AC/sin60°=BC/sin75°=>AC/(√3/2)=2/sin(45°+30°)

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)*(√3/2)+(√2/2)*(1/2)=(√6+√2)/4

AC/(√3/2)=2/((√6+√2)/4)=8/(√6+√2)=8(√6-√2)/(6-2)=2(√6-√2)

AC=(√3/2)*2(√6-√2)=√3(√6-√2)=√18-√6=3√2-√6

檢查選項:無對應(yīng)選項,可能題目數(shù)據(jù)或選項有誤,或計算有誤

檢查sin75°計算:sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)*(√3/2)+(√2/2)*(1/2)=(√6+√2)/4

AC=(√3/2)*2*(√6-√2)=√3(√6-√2)=3√2-√6

若假設(shè)題目意圖是求BC=2時AC的值,計算結(jié)果為3√2-√6,不在選項中

可能題目本身存在矛盾或數(shù)據(jù)錯誤,無法給出標(biāo)準(zhǔn)答案

二、多項選擇題答案及解析

1.B,C{2^x,lnx}解析:y=x^2在(-∞,0)單調(diào)減,(0,+∞)單調(diào)增;y=2^x單調(diào)增;

y=lnx單調(diào)增;y=1/x單調(diào)減

2.C,D{24,28}解析:q=(b3/b1)=(16/2)=8,b1=2,b2=2*8=16,b3=16*8=128,

b4=128*8=1024,S4=b1(1-q^4)/(1-q)=2(1-8^4)/(1-8)=2(1-4096)/(-7)=2*(-4095)/(-7)=8190/7

但q=8過大,可能題目b3=8,q=4,b1=2,b2=16/8=2,b3=2*4=8,b4=8*4=32,

S4=2(1-4^4)/(1-4)=2(1-256)/(-3)=2*(-255)/(-3)=170,可能題目b3=4,q=2,

b1=2,b2=4,b3=8,b4=16,S4=2(1-2^4)/(1-2)=2(1-16)/(-1)=2*15=30,可能題目b3=2,

q=2,b1=2,b2=4,b3=8,b4=16,S4=2(1-2^4)/(1-2)=2(1-16)/(-1)=2*15=30

若b1=2,b3=8,q=2,b2=4,S4=2+4+8+16=30

若b1=2,b3=4,q=2,b2=2,S4=2+2+4+8=16

若b1=2,b3=2,q=2,b2=1,S4=2+1+2+4=9

最可能b3=8,q=2,S4=30

3.A,D{a/m=b/n,an=-bm}解析:平行則方向向量共線,(a,b)∥(m,n)=>an=bm

且不能重合,即c≠λp,但λp=c,故不能有an=bm同時c=λp,應(yīng)為an=λbm,λ≠0

若λ=-1,則an=-bm,故充要條件為an=-bm(或an=λbm,λ≠0),即D正確

但一般平行條件為斜率相同,即a/m=b/n(m,n≠0),故A也正確

4.A,B{y=-x,y=1/x^2}解析:y=-x是y'=(-1)x^0=-1,在R上單調(diào)減;

y=1/x^2是y'=(2x)/x^4=2/x^3,在(0,+∞)上y'<0單調(diào)減,在(-∞,0)上y'>0單調(diào)增

故只在(0,+∞)單調(diào)減,A正確,B正確;y=cosx是周期函數(shù),在(0,π/2)單調(diào)減,

在(π/2,π)單調(diào)增,不是單調(diào)減;y=ex是y'=ex>0,在R上單調(diào)增,B錯誤

5.A,C{(-a,-b),(-a,b)}解析:關(guān)于原點對稱,(x,y)→(-x,-y),故為(-a,-b)

三、填空題答案及解析

1.[4,8]解析:x-1≥0,x≥1,定義域[1,7],f(x)在[1,7]上遞增,

f(1)=√0=0,f(7)=√6,值域[√0,√6]=[0,√6]≈[0,2.45],題目[4,8]錯誤,

可能原題f(x)=√(x+1),定義域[-1,6],f(-1)=0,f(6)=√7≈2.65,值域[0,√7]

若f(x)=√(x-2),定義域[2,7],f(2)=0,f(7)=√5≈2.24,值域[0,√5]

若f(x)=√(x-3),定義域[3,7],f(3)=0,f(7)=√4=2,值域[0,2]

若f(x)=√(x-4),定義域[4,7],f(4)=0,f(7)=√3≈1.73,值域[0,√3]

若f(x)=√(x-5),定義域[5,7],f(5)=0,f(7)=√2≈1.41,值域[0,√2]

若f(x)=√(x-6),定義域[6,7],f(6)=0,f(7)=√1=1,值域[0,1]

若f(x)=√(x-1),定義域[1,7],f(1)=0,f(7)=√6≈2.45,值域[0,√6]

最可能原題f(x)=√(x-1),值域[0,√6],題目[4,8]錯誤

若題目[4,8]正確,則f(x)=√(x-3),定義域[3,7],f(3)=0,f(7)=2,值域[0,2]

2.√7解析:由余弦定理a2=b2+c2-2bc*cosA=>32=22+c2-2*2*c*cos60°=>

9=4+c2-4*c/2=>9=4+c2-2c=>c2-2c-5=0=>c=(2±√(4+20))/2=(2±√24)/2=1±√6

取c=1+√6,a2=b2+c2-2bc*cosA=>32=22+(1+√6)2-2*2*(1+√6)*1/2=>

9=4+(1+2√6+6)-4(1+√6)/2=>9=11+2√6-2(1+√6)=>

9=11+2√6-2-2√6=>9=9,正確,c=1+√6

3.y=-2x+5解析:斜率k=-1/(-2)=1/2,過(1,3):y-3=1/2(x-1)=>y=1/2x+5/2

4.2π解析:T=2π/|ω|=2π/1=2π(ω=1)

5.a_n=3n-1解析:d=a5-a4=10-a4,a10=a5+5d=25,25=10+5d=>d=3,

a_n=a1+(n-1)d=>a_n=5+(n-1)*3=5+3n-3=3n+2

但a_5=10,a_5=a1+4d=10=>a1=10-16=-6,a_n=-6+3(n-1)=-6+3n-3=3n-9

若a_5=10,a_10=25,a5=a1+4d=10,a10=a1+9d=25=>5d=15=>d=3,

a1=10-12=-2,a_n=-2+3(n-1)=-2+3n-3=3n-5

四、計算題答案及解析

1.∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫(x^2/x+1+2x/x+1+3/x+1)dx

=∫(x-1+1/x+1+2(x+1-1)/x+1+3/x+1)dx

=∫(x-1/x+1+1/x+1+2-2/x+1+3/x+1)dx

=∫(x/x+1-1/x+1+1/x+1+2-2/x+1+3/x+1)dx

=∫(x/x+1+2)dx-∫(1/x+1)dx

=∫xdx/x+1+2xdx-∫dx/x+1

=∫(x+1-1)/(x+1)dx+2xdx-∫dx/x+1

=∫(1-1/(x+1))dx+2xdx-∫dx/x+1

=∫1dx-∫dx/x+1+2xdx-∫dx/x+1

=x-ln|x+1|+x^2-∫dx/x+1

=x-ln|x+1|+x^2/2-∫1/(x+1)dx

=x-ln|x+1|+x^2/2-ln|x+1|+C

=x+x^2/2-2ln|x+1|+C

2.解方程組:

{3x+2y=7①

{x-y=1②

由②得x=y+1,代入①:3(y+1)+2y=7=>3y+3+2y=7=>5y=4=>y=4/5

x=4/5+1=9/5

解為(x,y)=(9/5,4/5)

3.f(x)=x^3-3x^2+2,f'(x)=3x^2-6x

f'(2)=3(2)^2-6(2)=3*4-12=12-12=0

4.lim(x→0)(sin(2x)/x)=lim(x→0)(2*sin(2x)/2x)=2*lim(u→0)(sinu/u)=2*1=2

5.直線l:3x-4y+5=0,斜率k_l=3/4

所求直線斜率k=-1/k_l=-4/3

過點(1,2):y-2=(-4/3)(x-1)=>3(y-2)=-4(x-1)=>3y-6=-4x+4

=>4x+3y=10

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷知識點總結(jié)如下

一、選擇題考察知識點

1.集合運算:交集、并集、補(bǔ)集,元素與集合關(guān)系

2.函數(shù)性質(zhì):單調(diào)性、奇偶性、周期性,最值

3.數(shù)列:等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式、求和公式

4.直線方程:點斜式、斜截式、一般式,平行與垂直關(guān)系

5.三角函數(shù):三角函數(shù)定義、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、解三角形

6.概率統(tǒng)計:古典概型、幾何概型

7.解析幾何:直線與圓的位置關(guān)系、切線方程

8.微積分:導(dǎo)數(shù)定義、求導(dǎo)法則、極限計算

9.向量:向量運算、向量共線條件

二、多項選擇題考察知識點

1.函數(shù)單調(diào)性判斷

2.等比數(shù)列求和

3.直線平行條件

4.函數(shù)單調(diào)區(qū)間判斷

5.點關(guān)于原點對稱坐標(biāo)

三、填空題考察知識點

1.函數(shù)定義域與值域

2.解三角形

3.直線方程求解

4.三角函數(shù)周期性

5.等差數(shù)列通項公式

四、計算題考察知識點

1.有理函數(shù)積分

2.線性方程組求解

3.函數(shù)求導(dǎo)

4.極限計算

5.直線方程求解

各題型所考察學(xué)生的知識點詳解及示例

一、選擇題

1.集合運算:如{1,2}∩{1}={1},{x|x^2=1}={-1,1}

2.函數(shù)單調(diào)性:如y=x^2在(-∞,0)單調(diào)減,(0,+∞)單調(diào)增

3.數(shù)列求和:如等差數(shù)列求和公式S_n=n(a1+a_n)/2,等比數(shù)列S_n=a1(1-q^n)/(1-q)

4.直線關(guān)系:如斜率k=(y2-y1)/(x2-x1),平行k1=k2,垂直k1*k2=-1

5.三角函數(shù):如sin(π/2)=1,cos(-α)=cosα,sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

6.概率計算:如古典概型P(A)=m/n,幾何概型P(A)=L(A)/L(S)

7.解析幾何:如直線與圓相切則圓心到直線距離