杭二中單招數學試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|1<x<3}，B={x|-2<x<4}，則集合A∩B等于？

A.{x|-1<x<3}

B.{x|1<x<4}

C.{x|-2<x<3}

D.{x|1<x<4}

2.函數f(x)=log?(x+1)的定義域是？

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-∞,+∞)

D.(-2,+∞)

3.已知點P(x,y)在直線y=2x+1上，則點P到原點的距離的最小值是？

A.1/2

B.1

C.√5/2

D.√5

4.若向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，則向量a·b等于？

A.11

B.10

C.9

D.8

5.函數f(x)=sin(x+π/4)的周期是？

A.2π

B.π

C.π/2

D.4π

6.不等式|2x-1|<3的解集是？

A.(-1,2)

B.(-1,4)

C.(-2,1)

D.(-2,4)

7.已知等差數列{a_n}中，a?=1，d=2，則a?的值是？

A.9

B.10

C.11

D.12

8.拋擲一枚均勻的硬幣，出現正面的概率是？

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1

9.若直線l的斜率為-3，且過點(1,2)，則直線l的方程是？

A.y=-3x+5

B.y=-3x-1

C.y=3x-1

D.y=3x+5

10.已知圓O的半徑為2，圓心在原點，則圓O上一點P(x,y)到直線x-y=0的距離是？

A.2/√2

B.√2

C.1/√2

D.2

二、多項選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數中，在其定義域內是奇函數的有？

A.f(x)=x3

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x2+1

D.f(x)=log?(-x)

2.關于拋物線y=ax2+bx+c，下列說法正確的有？

A.當a>0時，拋物線開口向上

B.拋物線的對稱軸是直線x=-b/2a

C.當a<0時，拋物線的頂點是函數的最大值點

D.拋物線與x軸總有兩個交點

3.下列不等式中，解集為空集的有？

A.x2-4x+4>0

B.|x-1|+|x+1|<0

C.2x+1>3x+2

D.(x-1)(x+2)<0

4.已知三棱錐S-ABC，下列條件中能確定該三棱錐體積的有？

A.底面ABC的面積及側棱SA的長度

B.頂點S到底面ABC的距離及三條側棱的長度

C.兩個側面SAB和SAC的面積及它們之間的夾角

D.底面ABC的面積及棱SA在底面ABC上的投影長度

5.下列命題中，正確的有？

A.若a>b，則a2>b2

B.若a>b，則log?(a)>log?(b)

C.若a2>b2，則a>b

D.若a>b>0，則√a>√b

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數f(x)=2x-1，則f(f(2))的值是________。

2.已知點A(1,2)和點B(3,0)，則向量AB的模長是________。

3.不等式組{x|1<x<4}∩{x|-2<x<3}的解集是________。

4.在等比數列{a_n}中，若a?=3，q=2，則a?的值是________。

5.若圓心在原點，半徑為5的圓與直線3x+4y+k=0相切，則k的值是________。

四、計算題（每題10分，共50分）

1.計算：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)

2.解方程：2cos2θ+3sinθ-1=0(0≤θ<2π)

3.已知函數f(x)=x2-4x+3，求函數在區(qū)間[1,4]上的最大值和最小值。

4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且a=3，b=4，c=5。求角B的正弦值sinB。

5.計算：∫[0,1](3x2+2x+1)dx

本專業(yè)課理論基礎試卷答案及知識點總結如下

一、選擇題答案及解析

1.B

解析：A∩B={x|x∈A且x∈B}={x|1<x<3且1<x<4}={x|1<x<3}

2.A

解析：對數函數的定義域要求真數大于0，即x+1>0，解得x>-1

3.B

解析：點P到原點的距離為√(x2+y2)=√(x2+(2x+1)2)=√(5x2+4x+1)

令g(x)=5x2+4x+1，則g(x)的最小值為42-4×5×1=4-20=-16，故最小值為0

當x=-4/10=-2/5時取到，此時距離為1

4.A

解析：a·b=3×1+4×2=3+8=11

5.A

解析：正弦函數的周期為2π，平移不改變周期

6.A

解析：|2x-1|<3等價于-3<2x-1<3，解得-2<2x<4，即-1<x<2

7.C

解析：a?=a?+(5-1)d=1+4×2=1+8=9

8.A

解析：均勻硬幣出現正面和反面的概率均為1/2

9.A

解析：直線方程點斜式為y-y?=m(x-x?)，代入得y-2=-3(x-1)，即y=-3x+5

10.B

解析：點P到直線x-y=0的距離為|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)=|1×x+(-1)×y+0|/√(12+(-1)2)=|x-y|/√2

圓上點滿足x2+y2=4，當x=y時，x2+x2=4，即2x2=4，x2=2，x=±√2

代入距離公式得距離為|√2-√2|/√2=0或|√2-(-√2)|/√2=2√2/√2=2

最小距離為0，對應點(√2,√2)或(-√2,-√2)，此時x=y

代入距離公式驗證：|√2-√2|/√2=0，|(-√2)-(-√2)|/√2=0

故最小值為√2

二、多項選擇題答案及解析

1.ABD

解析：奇函數滿足f(-x)=-f(x)

A.f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數

B.f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數

C.f(-x)=(-x)2+1=x2+1≠-f(x)，不是奇函數

D.f(-x)=log?(-(-x))=log?(x)=-log?(1/x)=-f(x)，是奇函數

2.ABD

解析：拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為x=-b/2a

A.當a>0時，開口向上，正確

B.對稱軸為x=-b/2a，正確

C.當a<0時，開口向下，頂點是最大值點，錯誤

D.判別式Δ=b2-4ac決定交點個數

若Δ>0，有兩個交點；Δ=0，有一個交點；Δ<0，無交點

故不總是有兩個交點，錯誤

3.B

解析：

A.x2-4x+4=(x-2)2≥0，解集為R

B.|x-1|+|x+1|表示數軸上x到1和-1的距離之和，最小值為2，不可能小于0，解集為?

C.2x+1>3x+2等價于-x>1，即x<-1，解集為(-∞,-1)

D.(x-1)(x+2)<0，解集為(-2,1)

4.ACD

解析：

A.V=1/3×底面積×高=1/3×(1/2×2×3)×2=2，可以確定

B.若三條側棱共線，無法確定體積，錯誤

C.V=1/3×S?×S?×sinθ，可以確定，正確

D.V=1/3×底面積×高=1/3×(1/2×2×3)×√(22+32)=√13，可以確定，正確

5.BD

解析：

A.若a=1，b=-2，則a>b但a2=1<b2=4，錯誤

B.若a>b>0，則0<a/b<1，對數函數單調遞增，log?(a)<log?(b)，正確

C.若a=-3，b=-2，則a2=9>b2=4但a<-b，錯誤

D.對正數，開方函數單調遞增，正確

三、填空題答案及解析

1.5

解析：f(f(2))=f(2×2-1)=f(3)=2×3-1=6-1=5

2.2√2

解析：|AB|=√((3-1)2+(0-2)2)=√(22+(-2)2)=√(4+4)=√8=2√2

3.(1,3)

解析：{x|1<x<4}∩{x|-2<x<3}={x|1<x<3}

4.48

解析：a?=a?q3=3×23=3×8=24

5.±20

解析：圓心到直線距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)=|0×3+0×4+C|/√(32+42)=|C|/5

d=r=5，|C|=25，故C=±25

四、計算題答案及解析

1.12

解析：lim(x→2)(x3-8)/(x-2)=lim(x→2)[(x-2)(x2+2x+4)]/(x-2)

=lim(x→2)(x2+2x+4)=22+2×2+4=4+4+4=12

2.θ=π/6,5π/6

解析：2cos2θ+3sinθ-1=0

2(1-sin2θ)+3sinθ-1=0

-2sin2θ+3sinθ+1=0

2sin2θ-3sinθ-1=0

(2sinθ+1)(sinθ-1)=0

sinθ=-1/2或sinθ=1

當sinθ=-1/2時，θ=7π/6或11π/6

當sinθ=1時，θ=π/2

在[0,2π)內，解為θ=π/6,5π/6,7π/6,11π/6

3.最大值=7,最小值=-1

解析：f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1

頂點為(2,-1)，對稱軸x=2

區(qū)間[1,4]關于x=2對稱

f(1)=1-4+3=0,f(4)=16-16+3=3

最大值為max{f(1),f(4)}=max{0,3}=3

f(2)=-1,f(0)=0,f(4)=3

最小值為min{f(0),f(2),f(4)}=-1

4.sinB=3/5

解析：cosB=(a2+c2-b2)/(2ac)=(9+25-16)/(2×3×5)=18/30=3/5

sin2B=1-cos2B=1-(3/5)2=1-9/25=16/25

sinB=4/5或sinB=-4/5

由勾股定理知a<b<c，B為銳角，sinB>0

故sinB=4/5

5.9

解析：∫[0,1](3x2+2x+1)dx=[x3+x2+x]∣[0,1]

=13+12+1-0=1+1+1=3

知識點分類總結

一、函數與方程

1.函數基本概念：定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性

示例：判斷函數f(x)=x3的奇偶性

解：f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數

2.函數性質應用：求定義域、值域、單調區(qū)間

示例：求函數f(x)=√(x-1)的定義域

解：x-1≥0，x≥1，定義域為[1,+∞)

3.函數方程：求函數解析式、解函數方程

示例：若f(x+y)=f(x)+f(y)，求f(0)

解：令x=y=0，f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0)=0

二、三角函數

1.基本三角函數：sin,cos,tan的定義、性質、圖象

示例：求函數f(x)=2sin(3x+π/4)的周期

解：周期T=2π/|ω|=2π/3

2.三角恒等變換：和差化積、積化和差、倍角公式、半角公式

示例：化簡sin(α+β)cosβ-sin(α-β)cosβ

解：sin(α+β)cosβ-sin(α-β)cosβ

=sinαcos2β+cosαsinβcosβ-sinαcos2β+cosαsinβcosβ

=2cosαsinβcosβ

3.解三角方程：求方程的解集

示例：解方程2cos2θ-sinθ+1=0

解：2(1-sin2θ)-sinθ+1=0

-2sin2θ-sinθ+3=0

sinθ=-1或sinθ=3/2（無解）

三、數列

1.等差數列：通項公式、前n項和公式、性質

示例：若{a_n}是等差數列，a?=2,a?=8，求a??

解：a?=a?+4d，8=2+4d，d=3/2

a??=a?+9d=2+9×3/2=14

2.等比數列：通項公式、前n項和公式、性質

示例：若{b_n}是等比數列，b?=1,b?=16，求b?

解：b?=b?q3，16=1×q3，q=2

b?=b?q2=1×4=4

3.數列求和：錯位相減法、裂項相消法

示例：求和S_n=1+3+5+...+(2n-1)

解：這是首項為1，公差為2的等差數列

S_n=n×(首項+末項)/2=n×(1+2n-1)/2=n2

四、解析幾何

1.直線方程：點斜式、斜截式、一般式、兩點式

示例：求過點(1,2)且平行于直線3x+4y-5=0的直線方程

解：平行直線斜率相同，原線斜率-3/4

y-2=-3/4(x-1)，即3x+4y-11=0

2.圓的方程：標準方程、一般方程、幾何性質

示例：求圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心和半徑

解：配方(x-2)2+(y+3)2=16

圓心(2,-3)，半徑4

3.圓與直線位置關系：相離、相切、相交

示例：判斷直線x-y+1=0與圓(x-1)2+(y+2)2=4的位置關系

解：圓心(1,-2)，半徑2

圓心到直線距離d=|1-(-2)+1|/√(12+(-1)2)=4/√2=2√2

d=r，相切

五、不等式

1.解不等式：一元一次、一元二次、含絕對值、分式不等式

示例：解不等式|x-1|<2

解：-2<x-1<2，-1<x<3

2.不等式性質：傳遞性、同向不等式性質、不等式乘除性質

示例：若a>b>0，c<0，則ac2>bc2

證明：a>b>0?ac>bc?ac2>bc2

3.不等式證明：比較法、分析法、綜合法、放縮法

示例：證明a2+b2≥2ab

證明：(a-b)2≥0?a2-2ab+b2≥0?a2+b2≥2ab

六、極限與導數初步

1.極限計算：代入法、因式分解法、有理化法、重要極限

示例：lim(x→0)(sinx/x)

解：標準極限，結果