備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練(全國通用)

專題32三角形壓軸綜合問題

一、解答題

1.(2022?青海?中考真題)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂

點(diǎn)連接起來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

⑴問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△ABC和△4DE是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE；

圖1

(2)解決問題：如圖2,若AACB和ADCE均為等腰直角三角形，N4CB=ADCE=90。，點(diǎn)A,D,E在同一

條直線上，CM為ADCE中DE邊上的高，連接BE,請判斷NAEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量

關(guān)系并說明理由.

圖2

2.(2022?遼寧大連?中考真題)綜合與實(shí)踐

問題情境：

數(shù)學(xué)活動課上，王老師出示了一個(gè)問題：如圖1,在AABC中，。是AB上一點(diǎn)，乙4DC=AACB.求證乙4CD=

/.ABC.

獨(dú)立思考：

(1)請解答王老師提出的問題.

實(shí)踐探究：

(2)在原有問題條件不變的情況下，王老師增加下面的條件，并提出新問題，請你解答.“如圖2,延長C4

至點(diǎn)E,使CE=BD,BE與CD的延長線相交于點(diǎn)F,點(diǎn)G,H分別在BF,BC上，BG=CD,ABGH=乙BCF.在

圖中找出與BH相等的線段，并證明.”

問題解決：

（3）數(shù)學(xué)活動小組河學(xué)時(shí)上述問題進(jìn)行特殊化研究之后發(fā)現(xiàn)，當(dāng)NB4C=90。時(shí)，若給出AdBC中任意兩

邊長，則圖3中所有已經(jīng)用字母標(biāo)記的線段長均可求，該小組提出下面的問題,請你解答.“如圖3,在（2）

的條件下，若NBAC=90。，AB=4,AC=2,求的長.”

E

E

L

HH

圖1圖2圖3

3.（2022?山東青島?中考真題）【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形.

例如：如圖①.在AZBC和△中，分別是BC和9L邊上的高線,且貝1]A4BC和

△是等高三角形.

AA1A

A二

BDCB'D'CBDCBDC

圖①圖②圖③

【性質(zhì)探究】

如圖①，用S-BC，SAA，B，C，分別表示AA8C和△48'C'的面積.

則S-BC

"：AD=A'D'

?'^AABC-^^A'B'C=BC:B'C.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1汝口圖②，〃是△4BC的邊BC上的一點(diǎn).若BD=3,DC=4,貝US-BD：=；

(2)如圖③，在△力BC中，D,E分別是BC和4B邊上的點(diǎn).若BE:4B=1:2,CD-.BC=1:3,S^ABC=1,則

S^BEC=----------------------，S&CDE=----------；

(3)如圖③，在AaBC中，D,E分別是8C和4B邊上的點(diǎn)，若BE:4B=1:M,CD-,BC=l:n,S^ABC=a,

貝“SACOE=----------------

4.(2022?山東煙臺?中考真題)

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1,△ABC和△AOE都是等邊三角形，連接8。，CE.求證：BD=CE.

⑵【類比探究】如圖2,△ABC和AAOE都是等腰直角三角形，ZABC^ZADE^90°.連接8D,CE.請

直接寫出器的值.

CE

(3)【拓展提升】如圖3,△ABC和△相＞￡都是直角三角形，ZABC^ZADE^9Q°,且得=,=不連接加＞，

DCDE4

CE.

①求子的值；

CE

②延長CE交8。于點(diǎn)F,交AB于點(diǎn)G.求sin/BRT的值.

5.(2022.廣西?中考真題)已知NM0N=a，點(diǎn)A,2分別在射線OM,ON上運(yùn)動，AB=6.

圖①圖②圖③

(1)如圖①，若a=90。,取AB中點(diǎn)。，點(diǎn)A,8運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)。也隨之運(yùn)動，點(diǎn)A,8,。的對應(yīng)點(diǎn)分別為4,

連接判斷與?！辏?有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

(2)如圖②，若a=60。，以AB為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形ABC,求點(diǎn)。與點(diǎn)C的最大距離：

(3)如圖③，若a=45。，當(dāng)點(diǎn)A,8運(yùn)動到什么位置時(shí)，△40B的面積最大?請說明理由，并求出AAOB面

積的最大值.

6.(2022?山東濰坊?中考真題)【情境再現(xiàn)】

甲、乙兩個(gè)含45。角的直角三角尺如圖①放置，甲的直角頂點(diǎn)放在乙斜邊上的高的垂足。處，將甲繞點(diǎn)。

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角到圖②位置.小瑩用作圖軟件Geogebra按圖②作出示意圖，并連接如圖③

所示，AB交H0于E,AC交0G于F,通過證明△OBE三△02F,可得。E=。尸.

請你證明：AG=BH.

【遷移應(yīng)用】

延長G4分別交所在直線于點(diǎn)P,D,如圖④，猜想并證明DG與的便罩關(guān)系.

【拓展延伸】

小亮將圖②中的甲、乙換成含30。角的直角三角尺如圖⑤，按圖⑤作出示意圖，并連接H8,4G,如圖⑥所

示，其他條件不變，請你猜想并證明4G與的婺軍關(guān)系.

7.(2022?遼寧錦州?中考真題)在△718C中,AC=BC,點(diǎn)。在線段48上，連接CD并延長至點(diǎn)E,使DE=CD,

過點(diǎn)E作EF14B,交直線4B于點(diǎn)F.

圖1匕圖2備用圖

(1)如圖1,若乙4cB=120。，請用等式表示2C與EF的數(shù)量關(guān)系：.

(2)如圖2.若NACB=90。，完成以下問題：

①當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)尸位于點(diǎn)A的異側(cè)時(shí)，請用等式表示力C,4D,DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

②當(dāng)點(diǎn)。，點(diǎn)歹位于點(diǎn)A的同側(cè)時(shí)，若。尸=1,力。=3,請直接寫出47的長.

8.(2022.北京?中考真題)在A4BC中，乙4c8=90。，。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，連接BD,DC,延長DC到點(diǎn)E,

使得CE=DC.

(1)如圖1,延長BC到點(diǎn)F,使得CF=BC,連接4F,EF,若AF1EF,求證：BDLAF；

(2)連接2E,交的延長線于點(diǎn)H,連接CH,依題意補(bǔ)全圖2,若力=人域+用等式表示線段CD與

CH的數(shù)量關(guān)系，并證明.

9.(2022?福建?中考真題)已知△ABC三△￡)￡?￡1,AB^AC,AB>BC.

(1)如圖1,CB平分NACD求證：四邊形A2OC是菱形；

(2汝口圖2,將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于/BAC),BC,的延長線相交于點(diǎn)R

用等式表示/ACE與NE尸C之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

(3)如圖3,將(1)中的△CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于NABC),若=求NAO2的

度數(shù).

10.(2022?山東威海?中考真題)回顧：用數(shù)學(xué)的思維思考

AAA

E

圖1圖2圖3

⑴如圖1,在△ABC中，AB^AC.

①BD,CE是△ABC的角平分線.求證：BD=CE.

②點(diǎn)。，E分別是邊AC,AB的中點(diǎn)，連接8D,CE.求證：BD=CE.

（從①②兩題中選擇一題加以證明）

（2）猜想：用數(shù)學(xué)的眼光觀察

經(jīng)過做題反思，小明同學(xué)認(rèn)為：在AABC中，AB=AC,。為邊AC上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)A,C重合）.對于

點(diǎn)。在邊AC上的任意位置,在另一邊上總能找到一個(gè)與其對應(yīng)的點(diǎn)E,使得BD=CE.進(jìn)而提出問題：

若點(diǎn)。，E分別運(yùn)動到邊AC,AB的延長線上，8。與CE還相等嗎？請解決下面的問題：

如圖2,在AABC中，AB=AC,點(diǎn)D,E分別在邊AC,AB的延長線上，請?zhí)砑右粋€(gè)條件（不再添加新的

字母），使得BD=CE,并證明.

（3）探究：用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)

如圖3,在AABC中，AB=AC=2,NA=36。，E為邊A8上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），尸為邊AC延

長線上一點(diǎn).判斷8尸與CE能否相等.若能，求CF的取值范圍；若不能，說明理由.

11.（2022?貴州銅仁?中考真題）如圖，在四邊形4BCD中，對角線4c與BD相交于點(diǎn)。，記△COD的面積為

S「△4。3的面積為52.

（1）問題解決：如圖①，若ABHCD,求證：?=需

>2U/i'UD

（2）探索推廣：如圖②，若48與CD不平行，（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說

明理由.

（3）拓展應(yīng)用：如圖③，在。力上取一點(diǎn)E,使0E=0C,過點(diǎn)E作EF||CD交。。于點(diǎn)尸，點(diǎn)H為4B的中

點(diǎn)，0H交EF于點(diǎn)G,且OG=2GH,若詈=|，求費(fèi)值.

①②③

12.(2022?湖北武漢?中考真題)已知CD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E,歹分別在邊4C,BC上,4。==n,

AADE^t.BDF的面積之和為S.

(1)填空：當(dāng)N力CB=90。，DEIAC,DF1BC時(shí)，

①如圖1,若NB=45°,m=5A/2>貝!In=,S=；

②如圖2,若NB=60°,m=4A/3,貝!Jn=,S=；

(2)如圖3,當(dāng)N2CB=NEDF=90。時(shí)，探究S與機(jī)、〃的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：

(3)如圖4,當(dāng)NACB=60°,4EDF=120°,m=6,n=4時(shí)，請直接寫出S的大小.

13.(2022?黑龍江?中考真題)△ABC和AADE都是等邊三角形.

⑴將44DE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，連接BD,CE并延長相交于點(diǎn)尸(點(diǎn)尸與點(diǎn)A重合)，有PA+PB=

PC(或PA+PC=PB)成立；請證明.

(2)將AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，連接瓦)，CE相交于點(diǎn)P,連接B4,猜想線段用、PB、PC之

間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；

(3)將AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，連接8。，CE相交于點(diǎn)P,連接B4,猜想線段抬、PB、PC之

間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出結(jié)論，不需要證明.

14.(2022?陜西?中考真題)問題提出

(1)如圖1,4。是等邊AABC的中線，點(diǎn)尸在4D的延長線上，且AP=2C,貝!UAPC的度數(shù)為.

問題探究

(2)如圖2,在△ABC中，C2=CB=6,zC=120°.過點(diǎn)A作2P||BC,5.AP=BC,過點(diǎn)尸作直線/1BC,

分別交AB、BC于點(diǎn)。、E,求四邊形OEC4的面積.

問題解決

(3)如圖3,現(xiàn)有一塊AABC型板材，乙4cB為鈍角，ZSXC=45°.工人師傅想用這塊板材裁出一個(gè)△ABP型

部件，并要求NBAP=15。,42=4C.工人師傅在這塊板材上的作法如下：

①以點(diǎn)C為圓心，以C4長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)連接CD；

②作CD的垂直平分線/,與CD于點(diǎn)E；

③以點(diǎn)A為圓心，以北長為半徑畫弧，交直線/于點(diǎn)P,連接力P、BP,得AABP.

請問，若按上述作法，裁得的AABP型部件是否符合要求？請證明你的結(jié)論.

15.(2022?湖南岳陽?中考真題)如圖,ADBE的頂點(diǎn)B重合，AABC=乙DBE=90°,ABAC=

乙BDE=30°,8C=3,BE=2.

一圖3

(1)特例發(fā)現(xiàn)：如圖1,當(dāng)點(diǎn)。，E分別在28,BC上時(shí)，可以得出結(jié)論：,=______,直線力D與直線CE的

CE

位置關(guān)系是;

(2)探究證明：如圖2,將圖1中的ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。恰好落在線段力C上，連接EC,(1)中

的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展運(yùn)用：如圖3,將圖1中的ADBE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)瞋19。<戊<60。)，連接2D、EC,它們的延長

線交于點(diǎn)F,當(dāng)=時(shí)，求ta￡60°—a)的值.

16.(2022?湖北十堰?中考真題)已知乙4BN=90。，在N力BN內(nèi)部作等腰△ABC,AB=AC,4BAC=

a(0°<a<90°).點(diǎn)。為射線BN上任意一點(diǎn)(與點(diǎn)B不重合)，連接力D,將線段力。繞點(diǎn)4逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得

到線段4E,連接EC并延長交射線BN于點(diǎn)F.

,>

BFDNBFDNK-EEN

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,當(dāng)a=90。時(shí)，線段B尸與CF的數(shù)量關(guān)系是一

(2)如圖2,當(dāng)0。<戊<90。時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；

(3)若a=60。，AB=4V3，BD=m,過點(diǎn)E作EPlBN,垂足為P,請直接寫出P。的長(用含有小的式子

表示).

17.(2022?湖南湘潭?中考真題)在△ABC中，ABAC=90,>,AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)4過點(diǎn)B、C分別作1的

垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E.

8圖③》

(1)特例體驗(yàn)：

如圖①，若直線1BC,AB=AC=0,分別求出線段BD、CE和DE的長；

(2)規(guī)律探究：

①如圖②，若直線I從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)4旋轉(zhuǎn)a(0<a<45。)，請?zhí)骄烤€段8。、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說

明理由；

②如圖③，若直線2從圖①狀態(tài)開始繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)。(45。<戊<90。)，與線段8C相交于點(diǎn)請?jiān)偬骄€

段B。、CE和DE的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

(3)嘗試應(yīng)用：

在圖③中，延長線段BD交線段AC于點(diǎn)F,若CE=3,DE=1,求

18.(2022?江蘇揚(yáng)州?中考真題)如圖1,在A4B。中,NB4C=90。,NC=60。，點(diǎn)。在BC邊上由點(diǎn)C向點(diǎn)B運(yùn)

動(不與點(diǎn)B、C重合)，過點(diǎn)。作DE14D,交射線于點(diǎn)E.

(1)分別探索以下兩種特殊情形時(shí)線段4E與BE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

①點(diǎn)E在線段4B的延長線上且BE=BD；

②點(diǎn)E在線段力B上且EB=ED.

(2)若4B=6.

①當(dāng)案=爭寸,求4E的長;

②直接寫出運(yùn)動過程中線段4E長度的最小值.

19.（2022.河北?中考真題）如圖，四邊形4BCZ）中，ZABC=90°,NC=30。，AD=3,AB=28，

?！ǎ?。于點(diǎn)”.將AP。/與該四邊形按如圖方式放在同一平面內(nèi)，使點(diǎn)尸與A重合，點(diǎn)8在上，其

中/。=90°,NQPM=30°,PM=4同

（1）求證：△PQM"4CHD；

（2）APQW從圖1的位置出發(fā)，先沿著BC方向向右平移（圖2）,當(dāng)點(diǎn)尸到達(dá)點(diǎn)。后立刻繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)（圖3）,當(dāng)邊旋轉(zhuǎn)50。時(shí)停止.

①邊P。從平移開始，到繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)結(jié)束，求邊P。掃過的面積；

②如圖2,點(diǎn)K在8”上，且BK=9-4舊.若APQM右移的速度為每秒1個(gè)單位長，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的速度

為每秒5。，求點(diǎn)K在△PQM區(qū)域（含邊界）內(nèi)的時(shí)長；

③如圖3.在APOM旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)尸。，9分別交BC于點(diǎn)E,F,若BE=d,直接寫出b的長（用含

d的式子表示）.

20.（2022?山西?中考真題）綜合與實(shí)踐

問題情境：在MAA2C中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板即尸中/￡1加=90。，將三角板的直角

頂點(diǎn)。放在放AA8C斜邊BC的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊。E,。/分別與邊43,

AC交于點(diǎn)M,N,猜想證明：

（1）如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊A8的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形AMON的形狀，并說明理

由；

問題解決：

(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)NB=NMDB時(shí)，求線段CN的長；

(3)如圖③，在三角板旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時(shí)，直接寫出線段AN的長.

21.(2022?湖北武漢?中考真題)問題提出：如圖(1),△48c中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，延長BC至點(diǎn)

E,使。E=延長ED交4B于點(diǎn)F,探究空的值.

(1)先將問題特殊化.如圖(2),當(dāng)NBAC=60。時(shí)，直接寫出第的值；

(2)再探究一般情形.如圖(1),證明(1)中的結(jié)論仍然成立.

問題拓展：如圖(3),在△ABC中，AB=AC,。是AC的中點(diǎn)，G是邊上一點(diǎn)，||=；(n<2),延長BC至

點(diǎn)E,使DE=DG,延長ED交4B于點(diǎn)F.直接寫出胎的值(用含兀的式子表示).

22.(2022.江西?中考真題)問題提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動中提出這樣一個(gè)問題：將足夠大

的直角三角板PEFQP=90。,NF=60。)的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心。處，并繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直

角三角板PEF與正方形4BCD重疊部分的面積變化情況(己知正方形邊長為2).

圖一圖二圖三備用圖

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1,若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)。尸與。B重合時(shí)，重疊部分的

面積為;當(dāng)。F與BC垂直時(shí)，重疊部分的面積為；一般地，若正方形面積為S,在旋

轉(zhuǎn)過程中，重疊部分的面積S1與S的關(guān)系為；

⑵類比探究：若將三角板的頂點(diǎn)/放在點(diǎn)。處，在旋轉(zhuǎn)過程中，OE,OP分別與正方形的邊相交于點(diǎn)M,N.

①如圖2,當(dāng)=CN時(shí)，試判斷重疊部分AOMN的形狀，并說明理由；

②如圖3,當(dāng)CM=CN時(shí)，求重疊部分四邊形。MCN的面積(結(jié)果保留根號)；

(3)拓展應(yīng)用：若將任意一個(gè)銳