18全等三角形雙等腰旋轉(zhuǎn)模型

一、單選題

1.如圖，在AABC中，NACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)（點(diǎn)D與A,B不重合），連結(jié)CD,將線(xiàn)段

CD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段CE,連結(jié)DE交BC于點(diǎn)F,連接BE.當(dāng)AD=BF時(shí)，NBEF的度

數(shù)是（）

A.45°B.60°C.62.5°D.67.5°

2.如圖，AACD和都是等腰直角三角形，ZCAD=ZEAB=9ff,四邊形ABCD是平行四邊形，下列

結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A."CE以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。后與AADB重合

B."CB以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)270。后與△■Q4c重合

C.沿AE所在直線(xiàn)折疊后，△ACE與VADE重合

D.沿AO所在直線(xiàn)折疊后，AADB與VADE重合

3.如圖，AB//CD,NBAC與NACD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)G,軟?，4。于點(diǎn)￡,歹為AC中點(diǎn)，GHLCD

于H,ZFGC=ZFCG.下列說(shuō)法正確的是（）

①AG_LCG；②NBAG=NCGE；?SMFG=SAGFC.④）若NEGH:NECH=2:7,則ZAFG=150°.

A.①③④B.②③C.①②③D.①②③④

4.如圖，在△46C中，是6c邊上的高，NBA氏/C4G=90°,AB=AF,AOAG,連接尸G,交物的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)、E,連接BG,CF,則下列結(jié)論：①6俏5②8人牛③N品尸//微④上微其中正確的有（）

G

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

二、填空題

5.如圖，在等邊中，〃是/C邊上一點(diǎn)，連接被將△氏/繞點(diǎn)6逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△物￡,連

接ED,若8俏10,BD=9,則△力項(xiàng)的周長(zhǎng)是.

6.兩塊等腰直角三角形紙片/如和儂按圖1所示放置，直角頂點(diǎn)重合在點(diǎn)。處，46=13,CD=1.保持

紙片//不動(dòng)，將紙片心切繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0＜。＜90°）,如圖2所示.當(dāng)初與必在同一直線(xiàn)上

（如圖3）時(shí)，則△/歐的面積為.

7.如圖，AABC和ADCE都是等腰直角三角形，ZACB=NECD=90°,NEBO=42。，貝UNAEB=度.

R

三、解答題

8.如圖，在AABC外作兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形，其中NZMB=NC4E=90。，M=AD,AC=AE.連

結(jié)。C,BE交于歹點(diǎn).

E

(1)請(qǐng)你找出一對(duì)全等的三角形，并加以證明;

(2)直線(xiàn)DC,BE是否互相垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)求證：ZDFA=ZEFA；

9.如圖在△/8C和方中，力俏比；陵比；辦/比層90°，將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(0°<ZACIK180o),

連結(jié)初和小

(1)求證：△況Zta△/龍；

⑵試確定線(xiàn)段初和力￡的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系;

10.已知：ZkAOB和△COD均為等腰直角三角形，ZA0B=ZC0D=90°.連接AD,BC,點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接

0H.

(1)如圖1所示，求證：OH=；AD且OHLAD

(2)將繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)到圖2、圖3所示位置時(shí)，線(xiàn)段0H與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明

你的結(jié)論

11.已知出△小6和放△及力的直角頂點(diǎn)。重合，/A0B=NC0D=9Q：且/=如，OOOD.

(1)如圖1,當(dāng)a，分別在04、/上時(shí)，/C與物的數(shù)量關(guān)系是/心如(填“>”或“=")AC與BD

的位置關(guān)系是力0如(填“〃”或“，”)；

(2)將七△然繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)，在》上，如圖2,連接4GBD,求證：AOBD-,

(3)現(xiàn)將此△。切繞點(diǎn)。順時(shí)針繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，如圖3,連接AC,BD,猜想AC與初的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，

并給出證明.

12.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn):

如圖①，AABC與VADE是等邊三角形，且點(diǎn)2,D,E在同一直線(xiàn)上，連接CE,求/3EC的度數(shù)，并

確定線(xiàn)段與CE的數(shù)量關(guān)系.

(2)拓展探究：

如圖②，AABC與VADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,且點(diǎn)8,D,E在同一直線(xiàn)上,

于點(diǎn)尸，連接CE,求23EC的度數(shù)，并確定線(xiàn)段AF,BF,CE之間的數(shù)量關(guān)系.

13.在MAABC中，AC=BC,/ACB=90°,M,N在直線(xiàn)A3上，且MV?=AM?+3儲(chǔ).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)M,N在線(xiàn)段A3上時(shí)，求證：NMCN=49.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)M在&1的延長(zhǎng)線(xiàn)上且點(diǎn)N在線(xiàn)段A3上時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明，若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

14.已知AABC與ADAE都是等腰直角三角形，且/BAC=NDAE=90

求證：(1)AABE^AACD；(2)DC±BE.

D

15.在AABC中，AB=AC,點(diǎn)。是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)(不與8、C重合)，以AD為一邊在AD的右側(cè)作AAQE，

使">=AE,ZDAE=NBAC,連接CE.

(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上，如果/區(qū)4c=90。，貝|NBCE=度.

(2)設(shè)/54C=a,NBCE=0.

①如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上移動(dòng)時(shí)，a、4之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論.

②如圖，當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上移動(dòng)時(shí)，。、月之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

B

DC

16.［發(fā)現(xiàn)］:(1)如圖1.在△/比1中，AB=AC,ZBAC=90°,過(guò)點(diǎn)/作/〃_L8C于點(diǎn)〃，求證：A件三BC.

［拓展］:(2)如圖2.在△/6C和△/龐中，AB=AC,AD=AE,且/掰華/加氏90°，點(diǎn)4B、。在同一條直

線(xiàn)上，為△28C中寬邊上的高，連接則/ZO的度數(shù)為,同時(shí)猜想線(xiàn)段AMCD、龍之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

［應(yīng)用］：(3)在圖3、圖4中.在中，AB=AC,且/曲信90°,在同一平面內(nèi)有一點(diǎn)尸，滿(mǎn)足尸田1,

PB=6,且/藥暝90°,請(qǐng)求出點(diǎn)/到配的距離.

17.如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板和如圖①擺放，連結(jié)陽(yáng)BD.

AAA

(1)如圖①，猜想線(xiàn)段/c與初存在怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；

(2)將圖①中的△儂繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度(如圖②)，連結(jié)/CBD,其他條件不變，線(xiàn)段AC

與物還存在(1)中的關(guān)系嗎？請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并說(shuō)明理由.

(3)將圖①中的△儂繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度(如圖③)，連結(jié)ACBD,其他條件不變，線(xiàn)段AC

與物存在怎樣的關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論.

18.已知：如圖1,AAOB和△COD都是等邊三角形.

(1)求證：①AC=BD；②/APB=60。；

(2)如圖2,在AAOB和ACOD中，OA=OB,OC=OD,NAOB=NCOD=a,則AC與BD間的等量關(guān)系為.

ZAPB的大小為—

19.在我△四C中，/4CB=9Q°,。=或，點(diǎn)2是直線(xiàn)上的一點(diǎn)，連接切，將線(xiàn)段切繞點(diǎn)C逆時(shí)針

旋轉(zhuǎn)90°,得到線(xiàn)段第連接旗.

(1)操作發(fā)現(xiàn)

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段加上時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出血與龍的位置關(guān)系為；線(xiàn)段BD、AB、旗的數(shù)量關(guān)系

為;

(2)猜想論證

當(dāng)點(diǎn)〃在直線(xiàn)四上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖2,是點(diǎn)，在射線(xiàn)上，如圖3,是點(diǎn)，在射線(xiàn)為上，請(qǐng)你寫(xiě)出這兩種

情況下，線(xiàn)段初、AB.旗的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)圖2的結(jié)論進(jìn)行證明；

(3)拓展延伸

若48=5,BD=1,請(qǐng)你直接寫(xiě)出△/龍的面積.

圖1圖2圖3

20.如圖，在AABC中，AB=AC,/A4C=磯0°<a<60。），點(diǎn)。在AABC內(nèi)，BD=BC,ZDBC=60°,

點(diǎn)￡在AABC外，NECB=150°,ZABE=60°.

(1)ZADB的度數(shù)為；

⑵小華說(shuō)△及龍是等腰三角形，小明說(shuō)右4祖是等邊三角形，一—的說(shuō)法更準(zhǔn)確，并說(shuō)明理由;

(3)連接DE,若?！辏?。。石=10,求AD的長(zhǎng).

21.如圖①，CA=CB,CD=CE,ZACB=ZDCE=a,AD,BE相交于點(diǎn)〃，連接CM.

A

(1)求證：BE=ADi

(2)用含a的式子表示"WB的度數(shù)；

⑶當(dāng)夕=90。時(shí)，AD,BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)戶(hù)，Q,連接CP，CQ,PQ,如圖②，判斷A7。的形狀，并證

明.

22.如圖，在AABC中，/ABC為銳角，點(diǎn)D為直線(xiàn)BC上一動(dòng)點(diǎn)，以AD為直角邊且在AD的右側(cè)作等腰

直角三角形ADE,ZDAE=9QP,AD=AE.

①當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上時(shí)，如圖1,線(xiàn)段CE、3。的位置關(guān)系為,數(shù)量關(guān)系為

②當(dāng)點(diǎn)。在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖2,①中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如圖3,如果ABwAC,ZS4CW90。，點(diǎn)。在線(xiàn)段BC上運(yùn)動(dòng).探究：當(dāng)NAC3多少度時(shí)，CELBC2

小明通過(guò)(1)的探究，猜想NACB=45。時(shí)，CELBC.他想過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線(xiàn)，與CB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，

構(gòu)建圖2的基本圖案，尋找解決此問(wèn)題的方法.小明的想法對(duì)嗎？如不對(duì)寫(xiě)出你的結(jié)論；如對(duì)按此方法解

決問(wèn)題并寫(xiě)出理由.

23.如圖，A4如和勿均為等腰直角三角形，/A0B=/C0A9Q：點(diǎn)、C、，分別在邊處、"上的點(diǎn).連

接MBC,點(diǎn)〃為6c中點(diǎn)，連接明

A

A

(1)如圖1,求證：OH=^AD,OHVAD-,

(2)將△皈繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)到圖2所示位置時(shí)，⑴中結(jié)論是否仍成立？若成立，證明你的結(jié)論；若不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

24.如圖1,已知AABC和AEPC都是等邊三角形，且點(diǎn)E在線(xiàn)段AB上.

(1)過(guò)點(diǎn)E作EG〃8C交AC于點(diǎn)G,試判斷的形狀并說(shuō)明理由；

(2)求證：BF//AC；

(3)如圖2,若點(diǎn)D在射線(xiàn)CA上，且ED=EC,求證：AB=AD+BF.

25.如圖，與△&陽(yáng)為等腰直角三角形，/ACB=/DCE=90°,CA=CB,CD^CE,/CAB=/CBA=

45°,/CDE=NCED=45°,連接4?、BE.

E

E

(1)如圖1,若/。2=28°,ZDCB=10°,則/