搶分秘籍12幾何圖形中的課本再現(xiàn)問題

<?00

目錄

【解密中考】總結常考點及應對的策略，精選名校模擬題，講解通關策略（含押題型）

【題型一】三角形中的課本再現(xiàn)問題【題型二】平行四邊形中的課本

再現(xiàn)問題

【題型三】矩形中的課本再現(xiàn)問題【題型四】菱形中的課本再現(xiàn)問

題

【題型五】正方形形中的課本再現(xiàn)問題【題型六】圓中的課本再現(xiàn)問題

考情分析：幾何圖形中的課本再現(xiàn)問題綜合題是全國中考的熱點內容，更是全國中考的

必考內容.每年都有一些考生因為知識殘缺、基礎不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因導致失

分.

i.從考點頻率看，高頻考點為圓切線性質、特殊四邊形（矩/菱/正方）證明計算、全等/相

似三角形、幾何變換（旋轉/平移），占比15%-20%,新定義題型（如“準互余圖形”）近年增

多，側重知識遷移.

2.從題型角度看，選擇填空考基礎概念（如軸對稱識別、角度計算）；解答題含課本例題改

編的證明（如切線證明）、計算（扇形面積）、綜合探究（函數(shù)+幾何動態(tài)）及實際應用題

（測量建模）.

備考策略：回歸課本吃透例題推導，對習題變式訓練；掌握“手拉手”等模型，總結解題

模板；規(guī)范步驟防跳步，建錯題本分類復盤；限時訓練基礎題，分析真題把握新定義趨勢,

提升圖形拆分能力.

6地型特訓提分-----------

【題型一】三角形中的課本再現(xiàn)問題

【例1】（2025?江西九江?模擬預測）

試卷第1頁，共18頁

1.追本溯源

題（1）來自課本中的習題，請你完成解答，并利用（1）中得到的結論解答題（2）.

（1）如圖1,在△4BC中，ZACB=90°,CD_LAB,垂足為D

結論應用

（2）如圖2,在菱形ABCD中，過點C作CE1,交的延長線于點￡,過點“作好」,

垂足為尸，且E尸交8c于點G.

圖2

①若AB=5,BG2+CG2=18,求EG的長;

②若48=9,8G=1,求。尸的長.

藕I技I巧三角形課本再現(xiàn)題解題技巧：先判定理（全等/相似、特殊三角

形性質），挖隱含條件（公共邊/角、平行線角）.輔線用倍長中線、角平分線垂線、中位

線.套“一線三垂直”等模型，拆復雜圖形.計算設元列方程，用三角函數(shù)簡算，規(guī)范步驟

防漏條件.

【例2】（2025?江西新余?一模）

2.【課本再現(xiàn)】

（1）如圖1,AABD,都是等邊三角形，分別連接5C,BE,CD,BE與CD有什

么數(shù)量關系？請證明；

【特殊感知】

試卷第2頁，共18頁

(2)數(shù)學興趣小組的同學繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：若一個三角形的已知條件符合全等的判定定理，

則此三角形可求解；

在圖1中，AB=2y/3,NB/E=150。，AE=2,則龐=；

【類比應用】

(3)如圖2,在四邊形中，4ABC=15°,AADC=60°,AD=DC,AB=2,

BC=M，求8。的長；小穎同學發(fā)現(xiàn)運用旋轉可得到圖1中類似的圖，運用(2)的方法

即可求的長，請你幫小穎求的長；

(4)如圖3,在四邊形42。中，ZABC=75°,ZADC=6Q°,CD:AD=2A,AB=C，

BC=1,直接寫出AD的長.

【變式1](2025?江西?模擬預測)

3.課本再現(xiàn)

想一想

你能猜想出三角形兩邊中點的連線與第三邊有怎樣的關系？能證明你的猜想嗎？

連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.

三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

定理證明

(1)已知：如圖①，OE是△4BC的中位線.延長。E至點尸，使FE=DE,連接CF.

求證：DE〃BC且DE==BC.

2

知識運用

(2)如圖②，在正方形/BCD中，E為/。的中點，G、F分別為AB、CD邊上的點，若

AG=2,DF=3,ZGEF=90°,求G尸的長.

(3)如圖③，在四邊形/BCD中，4=105。，ZD=120°,E為AD的中點，G,尸分別

為48,CD邊上的點，若NG=3近，DF=2,NGEF=90°,求GP的長.

試卷第3頁，共18頁

【變式2］（2024?江西九江?三模）

4.課本再現(xiàn)

（1）將兩個等腰直角三角形3B=AC,FG=AG）按如圖1所示的方式擺放（圖中所有

的點、線都在同一平面內），則與△/￡）￡相似的三角形有一.（填序號）

①―②ABAE；@^CDA.

類比遷移

（2）將兩個等腰直角三角形（=/C,斯=。尸）按如圖2所示的方式擺放，點。在邊3C

上.

①求證：ABCG=BDDC.

②如圖3,若。是2C的中點，。廠與48交于點G,DE與4c交于點、H,CH=8,BG=9,

連接G”,求G”的長.

拓展應用

（3）如圖4,在△4BC中，4=45。，點、D,E分別在邊BC,NC上，且

AD=AE,ZDAE=90°,若AB=3?，CE=4,求CZ）的長.

【變式3］（2024?江西宜春?模擬預測）

5.【課本再現(xiàn)】“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”是直角三角形的一條重要性質定

理.如圖1,在Rt^4BC中，ZACB=90°,點。是的中點.求證：CD=\AB.

2

下面是兩位同學兩種添加輔助線的方法：

小明：如圖2,延長CD至點E,使。E=CD,連接/E,BE；

小華：如圖3,取8C的中點￡,連接DE；

試卷第4頁，共18頁

(1)請你選擇其中一位同學的方法完成證明，聰明的你也可以利用圖1用其他方法完成證

明.

圖1圖2圖3

【遷移應用】(2)如圖4,△4BC中，BD,CE是高,求證：B,C,D,E四點共圓.

【拓展提升】(3)如圖5,在五邊形43CDE中，ZABC=ZAED=90°,NBAC=NEAD,F

為C￡＞的中點，求證：BF=EF.

【題型二】平行四邊形中的課本再現(xiàn)問題

【例1】(2024?江西吉安?一模)

6.課本再現(xiàn)

在學習了平行四邊形的概念后，進一步得到平行四邊形的性質：平行四邊形的對角線互相平

分.

A

A

AD

0/X/￡

)Z----------------2E

圖1圖2

(1)如圖1,在平行四邊形中，對角線NC與AD交于點O,求證：OA=OC,

OB=OD.

知識應用

(2)在△ABC中，點P為5c的中點.延長N8到。，使得式)=/C,延長NC到E,使得

CE=AB,連接。E.如圖2,連接8E,若NB/C=60。，請你探究線段BE與線段/P之間的

數(shù)量關系.寫出你的結論，并加以證明

試卷第5頁，共18頁

巧平行四邊形課本再現(xiàn)題解題技巧：活用性質（對邊/角/對角線）

與判定（如一組對邊平行且相等）.連對角線分全等三角形，構中位線或倍長中線.拆圖

形為平行四邊形+三角形，矩菱正問題用特性.計算用勾股、面積法，倒推條件，規(guī)范邏

輯.

【例2】（2024?江蘇揚州?一模）

7.如圖①?⑧是課本上的折紙活動.

【重溫舊知】

上述活動，有的是為了折出特殊圖形，如圖①、③和⑧；有的是為了發(fā)現(xiàn)或證明定理，如

圖④和⑦；有的是計算角度，如圖②；有的是計算長度，如圖⑤和⑥.

（1）圖③中的△/BC的形狀是；圖④的活動發(fā)現(xiàn)了定理“”（注：填寫

定理完整的表述）；圖⑤中的8尸的長是；

【繼續(xù)探索】

（2）如圖，將一個邊長為4的正方形紙片ABC。折疊，使點/落在邊5c上的點石處，點

E不與B、C重合，兒W為折痕.折疊后的梯形肱VFE的面積是否存在最小值？若存在，請

試卷第6頁，共18頁

求出最小值；若不存在，請說明理由.

【變式1](2023?江蘇鹽城?二模)

8.【回歸課本】我們曾學習過一個基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線

段成比例.

【初步體驗】

(1)如圖1,在△4BC中，點D在上，E在/C上，DE//BC.若AD=1,AE=2,

Ap

DB=L5,則EC=_,—=_；

(2)已知，如圖1,在△4BC中，點。￡分別在48、AC±,宜DE〃BC.求

證："DES"BC.

證明：過點E作的平行線交8c于點尸

請依據(jù)相似三角形的定義(如果兩個三角形各角分別相等，且各邊對應成比例，那么這兩個

三角形相似)和上面的奉本事頭，補充上面的證明過程；

【深入探究】

(3)如圖2,如果一條直線與△4BC的三邊48、BC、C4或其延長線交于D、F、E點，

AFRDCP

那么若,之,三是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由；

ECDAFB

(4)如圖3,在中，D為3C的中點，AE:EF:FD=4:3A.貝lj

AG\GH\AB=_.

試卷第7頁，共18頁

【題型三】矩形中的課本再現(xiàn)問題

[例1](2024?江西吉安?模擬預測)

9.【課本再現(xiàn)】

思考我們知道，矩形的對角線相等，反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形

嗎？

【定理證明】

(1)如圖1,已知：在中，對角線/C、AD相交于。，且=求證：口ABCD

是矩形.

【知識應用】

(2)如圖2,AD是△N8C的中線，AE//BC,且/連接DE,CE.

①求證：AB=DE；

②當△/8C滿足什么條件時，四邊形/OCE是矩形？并說明理由.

矩形課本再現(xiàn)題解題技巧：用矩形性質(四角直角、對角線相

等)證線段/角相等.連對角線得全等直角三角形，遇中點構中位線.結合勾股定理計算

邊長，面積法求高.判定先證平行四邊形，再證直角或對角線等，拆圖形為三角形或坐標

試卷第8頁，共18頁

系問題，規(guī)范步驟防漏條件.

【例2】(2024?江西吉安?三模)

10.課本再現(xiàn)

矩形的定義有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

定義應用

(1)如圖1,已知：在四邊形4BCD中，N4=NB=NC=9Q。,

用矩形的定義求證：四邊形是矩形.

(2)如圖2,在四邊形中，ZA=ZB=90°,E是的中點，連接。E,CE,且

DE=CE,求證：四邊形是矩形.

拓展延伸

(3)如圖3,將矩形N8C。沿?！暾郫B，使點A落在8c邊上的點尸處，若圖中的四個三角形

都相似，求美的值.

圖1圖2圖3

【變式1】

11.課本再現(xiàn)

思考

我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：對角線相等的平行四邊形是矩形.

定理證明

(1)為了證明該定理，小賢同學畫出了圖形(如圖1),并寫出了“已知”和“求證”，請你從

矩形的定義出發(fā)完成證明過程.

已知：在口/8CD中，對角線/C=8。，交點為O.

求證：口/BCD是矩形.

應用定理

試卷第9頁，共18頁

(2)如圖2,在菱形/BCD中，E,F,G,H分別為42,BC,CD,￡%的中點.

求證：四邊形EFGH是矩形(用“課本再現(xiàn)”中的矩形判定定理證明).

拓展遷移

(3)如圖3,四邊形4BCD的對角線NC,3。相交于點。，且/C12D,E,F,G,H

分別為AD,AB,BC,CD的中點.若4C=6,BD=8,求四邊形砂G”的面積.

【變式2】

12.課本再現(xiàn)

思考

我們知道，矩形的對角線相等.反過來，對角線相等的平行四邊形是矩形嗎？

可以發(fā)現(xiàn)并證明矩形的一個判定定理：

對角線相等的平行四邊形是矩形.

定理證明

圖2

(1)為了證明該定理,小明同學畫出了圖形(如圖1),并寫出了“已知”和“求證”，請你完

成證明過程.

已知：在平行四邊形中，AC,20是它的兩條對角線，AC=BD.

求證：平行四邊形/BCD是矩形.

知識應用

如圖2,在平行四邊形48co中，對角線/C,BD相交于點。，S.ZOBC=ZOCB.

(2)試判斷四邊形的形狀，并說明理由.

(3)過8作于E,ZCBE=3ZABE,BE=3,求NE的長.

試卷第10頁，共18頁

【變式3］（2025?江西南昌?一模）

13.課本再現(xiàn)：

定理：有三個角是直角的四邊形是矩形.

定理證明：

為了證明該定理，小穎同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了“已知”"求證”，請你完成證明過

程.

圖1

（1）已知：如圖1,在四邊形/BCD中，N4=NB=NC=90。,求證：四邊形是矩

形.

知識應用：

（2）如圖2,在四邊形48co中，ZA=ZD=90°,BE平分/ABC,交AD于點E,

AB=AE,尸是8c上的一點，且EF=EC,過點C作CP_LM,交BE于點尸，過點P作

PMJ.BC千點、M.

①求證：四邊形是矩形.

RP

②若AE=3DE,求左的值.

【題型四】菱形中的課本再現(xiàn)問題

【例1】

14.課本再現(xiàn)

思考

我們知道.菱形的對角線互相垂電.反過來,對角線瓦柏垂發(fā)

的平行四邊形是芟形嗎？可以發(fā)現(xiàn)并證明荽形的一個判定定理：

對角級U相垂仃的平行四邊形是晏形.

定理證明

（1）為了證明該定理，小明同學畫出了圖形（如圖1）,并寫出了“已知”和“求證”，請你完

成證明過程.

試卷第11頁，共18頁

已知：在口/BCD中，對角線6。_L/C,垂足為0.

求證：平行四邊形428是菱形.

證明：???四邊形48CA是平行四邊形，

BO—DO,

又，；BD工AC,垂足為。，

???/C是8。的垂直平分線，

???平行四邊形/BCD是菱形.

知識應用

（2）如圖2,在口/BCD中，對角線/C和8。相交于點。，AD=5,AC=S,BD=6.

①求證：口/BCD是菱形;

1op

②延長3C至點￡,連接OE交CD于點方，若NE）/ACD,求力的值.

2EF

技I巧菱形課本再現(xiàn)題解題技巧：用菱形性質（四邊相等、對角線垂

直平分且平分角）證全等/垂直.連對角線得直角二角形，用勾股定理計算.判定先證平

行四邊形，再證鄰邊相等或對角線垂直.遇中點構中位線，面積用對角線乘積一半.規(guī)范

步驟，拆圖形為三角形，注意角平分線與對稱特性.

【例2】（2024?江西九江?二模）

15.課本再現(xiàn)

如圖1,四邊形48CZ）是菱形，48=30。，BD=6.

（1）求ZC的長.

應用拓展

（2）如圖2,E為幺B上一動點,連接。E,將DE繞點。逆時針旋轉120。，得到。尸，連

接EF.

試卷第12頁，共18頁

①直接寫出點。到EF距離的最小值；

②如圖3,連接。/，CF,若△OCP的面積為6,求BE的長.

【變式1］（2024?江西吉安?一模）

16.課本再現(xiàn)

菱形的四條邊都相等，菱形的對角線互相垂直.

定理證明

（1）如圖1,已知四邊形/BCD為菱形，前面已證菱形的四條邊相等，請進一步證明對角

線AC上BD.

知識應用

（2）如圖2,已知四邊形為菱形，等腰AMG的頂點E在8c上，底邊FG交CD邊

于點點M為尸G的中點，點N為4D與的交點，豆DM=DN.

①求證：ACLFG,

4

②若AB〃EF,AE//FG,sinABAC=-,AE=2,求EG的長.

【題型五】正方形形中的課本再現(xiàn)問題

【例1】（2024?江西景德鎮(zhèn)?三模）

17.【課本再現(xiàn)】北師大版九年級上冊數(shù)學課本第21頁有這樣一道題:

試卷第13頁，共18頁

圖1圖2圖3

(1)如圖1,在正方形48C。中，E為CD邊上一點,尸為2C延長線上一點，且CE=CF.

BE與。尸之間有怎樣的關系？請說明理由.

【類比探究】

AR?

(2)如圖2,在矩形/8C。中，點￡在。。邊上，連接"，尸為延長線上一

BC4

點，連接。尸，EF,且BE的延長線垂直于。尸，垂足為點H.

RF

①求有三的值；

DF

②求sin/EFC的值.

【拓展應用】

(3)如圖3,在(2)的條件下，平移線段。尸，使它經(jīng)過8E的中點〃，交AD于點交

BC于點、N,連接酒，若MN=3冊,sin/ENC=g,請你求出8c的長.

正方形課本再現(xiàn)題解題技巧：用四邊相等、直角、對角線垂直

相等且平分角的性質證全等/垂直.連對角線得等腰直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)

計算.判定先證矩形+鄰邊相等或菱形+直角.借旋轉/對稱構全等，遇中點連中線，規(guī)范

步驟分階段證明，拆圖形為三角形或坐標系問題.

【例2】(2024?江西九江?模擬預測)

18.【課本再現(xiàn)】

(1)如圖1,四邊形是一個正方形，￡是2C延長線上一點，且/C=EC,?IJZDAE

的度數(shù)為

【變式探究】

(2)如圖2,將(1)中的A/BE沿/E折疊，得到延長C。交于點尸，若

AB=2,求8戶的長.

試卷第14頁，共18頁

【延伸拓展】

(3)如圖3,當(2)中的點E在射線2C上運動時，連接笈8，與4E交于點、P.探究:

當EC的長為多少時，D,P兩點間的距離最短？請求出最短距離.

【變式1](2024?廣西南寧?二模)

19.幾何探究

【課本再現(xiàn)】

(1)如圖1,正方形/BCD的對角線相交于點。，點。又是正方形44co的一個頂點，而

且這兩個正方形的邊長相等，邊4。與邊相交于點E,邊C。與邊相交于點尸.在實

驗與探究中，小新發(fā)現(xiàn)無論正方形44G。繞點。怎樣轉動，/瓦。尸,跖之間一直存在某種

數(shù)量關系，小新發(fā)現(xiàn)通過證明尸即可推導出來.請幫助小新完成下列問題：

①求證ABFO；

②連接斯，則NE,C￡E尸之間的數(shù)量關系是.

【類比遷移】

(2)如圖2,矩形/BCD的中心。是矩形44。。的一個頂點，4。與邊相交于點及

與邊C8相交于點尸，連接環(huán)，矩形44c0可繞著點。旋轉，猜想尸之間的數(shù)

量關系，并進行證明；

【拓展應用】

(3)如圖3,在RtZ\/C8中，ZC=90°,^C=6cm,SC=8cm,直角ZED尸的頂點。在邊48

的中點處，它的兩條邊。￡和DF分別與直線AC,BC相交于點E,F/EDF可繞著點。旋轉,

當NE=4cm時，請直接寫出線段CF的長度.

試卷第15頁，共18頁

【題型六】圓中的課本再現(xiàn)問題

【例1】（2025?江西?二模）

20.【課本再現(xiàn)】

（1）如圖1,PA,分別與。。相切于42兩點，/尸=70。，則/C=（）

A.70°B.55°C.110°D.140°

【變式探究】

（2）如圖2,PA,P8分別與。。相切于/,8兩點，若NC=NP.

①求/C的度數(shù)；

②若/C=4,3C=5,求S陰影部分.

斑技I巧圓課本再現(xiàn)題解題技巧：活用垂徑定理（作弦心距）、圓周角定

理（找同弧角）、切線性質（連半徑證垂直）.遇切線連半徑，弦問題作垂線，構直角三角

形用勾股.弧長/面積套公式，圓內接四邊形用對角互補.規(guī)范步驟，借輔助線轉化為三

角形問題，注意隱含等弧/等角條件.

【例2】（2024?江西吉安?二模）

21.課本再現(xiàn)

（1）如圖1,是。。的直徑，它所對的圓周角有什么特點？你能證明你的結論嗎?

知識應用

試卷第16頁，共18頁

(2)如圖2,A,B,C三點均在。。上，CO的延長線交43于點。，若。。的直徑為8,

AC=4立,00=3,求助的長.

【變式1](2024?江西南昌?模擬預測)

22.課本再現(xiàn)

推論直徑所對的圓周角是.

(1)補全課本再現(xiàn)中橫線上的內容.

知識應用

(2)如圖，△ABC內接于。O,。是。。的直徑N3的延長線上一點，NDCB=NOAC.

①求證：CD是。。的切線；

②過圓心。作8c的平行線交。C的延長線于點￡,若AB=CE=4,求CO的長.

【變式2】

23.【課本再現(xiàn)】如下，是人教版九年級上冊課本102頁的第12題：(完成該題，并解答習

題改編)

12.如圖，為。。的直徑，C為。。上一點，4D和過點C的切線互相垂直，垂足為

D.求證：NC平分17)/8.

試卷第17頁，共18頁

【課本開發(fā)】一次數(shù)學課上，鄧老師引導同學們一起對課本習題進行改編.

(1)如下是同學小安改編的題目：

如圖1,為。。的直徑，C為。。上一點，/。，。。于點。，/C平分/ZX42.求證：CD

是。。的切線.請你利用所學知識解答同學小安改編的題目.

(2)同學小耿在同學小安的基礎上進行了如下改編：

如圖2,連接8c,4)交。。于點￡,若/3=10,DE=2,求CD,Q?的長.請你利用所學

知識解答同學小耿改編的題目.

試卷第18頁，共18頁

1.(1)證明見解析；(2)①理；②5

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，菱形的性質，勾股定理，正確應用相似三角

形的判定與性質是解題的關鍵.

(1)證明列出比例式即可求證；

(2)①由(1)可得：EG-=BG-CG,(BG+CG)2=BG2+CG2+2BGCG=25,代

7

ASG2+CG2=18,即可求角星5G?CG=7；

2

②由GE2=3GXCG=8,再由勾股定理可得＞￡=J5G2+G^2=3,證明△￡G5sZ\"4,

13

則卞二不不，求出"尸=4，那么。尸=9—4=5?

AF3+9

【詳解】(1)證明：,?,CO,4B,ZACB=90°,

ZCDB=ZADC=90°,

NACD+NA=ZACD+/BCD=90。,

；,/A=/BCD,

???△ADCs叢CDB,

ADCD

??布—訪‘

--CD2=ADBD；

(2)①解：???四邊形/BCD是菱形，

：.BC=AB=5,AD//BC,

：,BG+CG=5,

???EF1AD,

???EGIBC,

-CE1AB,

???由(1)可得：EG?=BGCG,

???5G+CG=5,

??.(BG+CG)2=BG2+CG2+2BG?CG=25,

BG2+CG2=18,

7

???BGCG=—,

答案第1頁，共46頁

②???四邊形Z8C。是菱形，

??.AB=AD=BC=9,

.?.CG=9—1=8,

??,GE?=BGxCG=8,

???GE=2V2，

?*-BE=^BG2+GE2=3，

??.BG//AF,

:.AEGBsMFA,

BGBE

,,布一布’

13

3+9"

???AF=4,

??.。尸=9—4=5.

2.(1)BE=CD,見解析(2)2^/7(3)VlO(4)叵

3

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的性質，證明△/。。且△/砂(SAS)即可得證.

(2)過點E作四，交6%延長線于點"，利用直角三角形的性質，勾股定理解答即

可.

(3)不妨將△OCB繞點。順時針旋轉60。到△D4E,連接5E,根據(jù)等邊三角形的判定和性

質，圓周角，四邊形內角和定理，勾股定理解答即可.

(4)不妨將繞點。逆時針旋轉60。到。E,使得。氏。5=2:1,連接的，CE,過點￡

作交5。延長線于點N,利用三角形相似的判定和性質，三角函數(shù)解答即可.

【詳解】(1)解：???△45。和均是等邊三角形，

??.AB=AD,AE=AC/BAD=ZCAE=60°,

??.ABAD+ABAC=/CAE+ABAC,

：.ZDAC=ZBAE,

AD=AB

-.?<NDAC=NBAE,

AC=AE

答案第2頁，共46頁

.,.△/CD^A/E3(SAS),

:.CD=BE.

(2)解：過點E作交力延長線于點M,

???NBAE=150°,

ZMAE=30°,

■■■AE=2,

;.ME=gaE=l,AM=1AE。-ME。=C,

■■■AB=2道,

BM=AB+AM=3y/3,

???BE=<BM。+ME。=728=277，

故答案為：2幣.

(3)解:由NO=DC,

不妨將△DCB繞點。順時針旋轉60。到AZME,連接BE,過點E作EGLN8,交加延長

線于點G,

則ZRDE=60°,BD=ED,AE=CB,ZBCD=ZEAD,

.??△3￡>￡是等邊三角形，

BD=BE,

?：/ABC=75。,ZADC=60°,

/BAD+/BCD=360°-(/ABC+ZADC)=225°,

??./BAD+NEAD=225。,

??./BAE=360°-(/BAD+ZEAD)=135°,

ZGAE=180°-NBAE=45。，

；?NGAE=/AEG=45。,

：,GA=GE,

答案第3頁，共46頁

vAB=2,BC=6，

???EA=C，

：.GA=GE=AEsinA50=l,

BG=AB+AG=3,

???BE=^BG2+GE2=A=BD?

（4）解：不妨將8。繞點。逆時針旋轉60。到。E,使得。E:D5=2:1,連接BE,CE,過

點、E作EN上BC,交5C延長線于點N,

則NBDE=60°,

-ZADC=60°,

???ZADC-ZBDC=NBDE-ABDC,

??.ABAD=/ECD,

?：DE:DB=2:1,CD:AD=2

DECD

,?麗―茄’

DEBD

,?五一茄’

ABADS^ECD,

BDBA

：/BAD=/ECD,

,~ED~~EC~2

,?AB=4i，BC=1,

??EC=2也,

vZABC=75°,ZADC=60°,

/BAD+/BCD=360°-(ZABC+NADC)=225°,

???/BCD+/ECD=225。,

/BCE=360°-(Z5CD+/ECD)=135°,

ZNCE=180°-/BCE=45。，

答案第4頁，共46頁

：,/NCE=/NEC=45。，

.?.NE=NC=C￡sin45°=2,

:,BN=BC+CN=3,

???BE=yjBN2+NE2=V13?

DBI

??,/BDE=60°,cos/BDE=cos60°==—,

DE2

??.NDBE=9。。,

tan6003

【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，三角函數(shù)的應用,

等腰直角三角形的性質，等邊三角形的性質等知識，掌握相關知識是解題的關鍵.

3.(1)證明見解析

(2)5

(3)V34

【分析】(1)先利用SAS證明△/￡>￡名△口?￡,于是可得4D=C/，ZADE=ZF,由內錯

角相等兩直線平行可得AD//CF,進而可得BD=CF,結合BD//CF,可證得四邊形BCFD

為平行四邊形，于是可得。尸〃8C,DF=BC,再結合。E=g。尸，即可得出結論；

(2)取G廠的中點連接延長巫、GA交于點H,由正方形的性質可得

ZGAE=ZFDE=90°,由鄰補角互補可得=180。-/G/E=90。，進而可得

NHAE=NFDE,由E為/。的中點可得4E=,利用ASA可證得,于是

可得/〃=￡>尸=3,EH=EF,由三角形的中位線定理可得￡N=；G〃=g(/G+N")=g,

由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得則G尸=2EM,由此即可求出G歹

的長；

(3)取G尸的中點N,連接EN,延長GE到點M，使得GE=EM,連接DM,由E為

答案第5頁，共46頁

的中點可得=利用SAS可證得A/￡G之ADEM,于是可得。Af=NG=30，

NEDM=NA=105。,過點M作尸，交ED的延長線于點。，連接MF,由鄰補角互

補可得N4DQ=180O-N4DC=60。，進而可得=N￡ZMf-N4D0=45。，由直角三角

形的兩個銳角互余可得NQ地>=90°-/。。"=45。，于是可得/0MD=NQDM,由等角對

等邊可得％=。。，由勾股定理可得。河2+。》=?！?=18,于是可得郵=QD=3,

QF=QD+DF=5,在RtAMQ9中，根據(jù)勾股定理可得上m=JQM?+。尸2=取,由三角

形的中位線定理可得酎=」披=叵，由直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可得

22

EN=-GF,則G尸=2EN,由此即可求出G尸的長.

2

【詳解】(1)證明：在△/0￡與在中，

AE=CE

<ZAED=ZCEF,

DE=FE

.."DE知CFE（SAS）,

AD=CF,/ADE=/F,

：.AD//CF,

又4D=BD,

BD=CF,

?/BD//CF,

二?四邊形3CED為平行四邊形,

/.DF//BC,DF=BC,

\-DE=-DF,

2

:.DE〃BC且DE==BC；

2

(2)解：如圖，取G尸的中點"，連接EN,延長在、GA交于點、H,

四邊形是正方形,

答案第6頁，共46頁

ZGAE=ZFDE=90°,

ZHAE=180°-ZGAE=180?！?0°=90°,

/.NHAE=ZFDE,

???￡為/。的中點，

AE=DE,

在AHAE和l\FDE中，

AHAE=ZFDE

<AE=DE,

ZHEA=/FED

:.AHAE%FDE(ASA),

AH=DF=3,EH=EF,

為族的中點，M為G廠的中點,

.1EM為AFG”的中位線，

.,.EM=；G8=g(/G+/H)=；x(2+3)=g,

ZGEF=9Q°,且從■為Gr的中點，

:.EM=-GF,

2

:.GF=2EM=2x-=5-

2

(3)解：如圖，取G尸的中點N,連接EN,延長GE到點使得GE=EM,連接。M,

￡為/。的中點,

AE=DE,

在△4EG和ADEM中,

AE=DE

<ZAEG=ADEM,

GE=ME

答案第7頁，共46頁

.?."EG也ADEA/(SAS),

,-.DM=AG=372,ZEDM^ZA=iO5°,

過點M作尸，交FD的延長線于點0,連接MF,

ZMQD=90°,

?1?ZADC=120°,

NADQ=180°-NADC=180°-120°=60°,

ZQDM=ZEDM-ZADQ=105°-60°=45°,

ZQMD=90°-ZQDM=90°-45°=45°,

ZQMD=ZQDM,

：.QM=QD,

又+m=0河2=(3近)2=18,

：.QM=QD=3,

:.QF=QD+DF=3+2=5,

在尸中，根據(jù)勾股定理可得：

MF=^QM2+QF1=732+52=734,

???E為GM的中點，N為G尸的中點，

:.EN為/\GMF的中位線，

-,EN=-MF=^~,

22

vZGEF=90°,且N為GP的中點，

：.EN=-GF,

2

GF=2EN=2x叵=V34.

2

【點睛】本題主要考查了三角形中位線定理的證明及應用，全等三角形的判定與性質

(SAS、ASA),平行四邊形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質，直角三角形斜邊中

線等于斜邊的一半，直角三角形的兩個銳角互余，等角對等邊，內錯角相等兩直線平行，線

段中點的有關計算，利用鄰補角互補求角度，線段的和與差等知識點，熟練掌握三角形的中

位線定理是解題的關鍵.

4.(1)②③；(2)①證明見詳解，②5；(3)8

【分析】(1)由△NBC和都是等腰直角三角形，得/8=/C=ND4￡=45。，繼而利

答案第8頁，共46頁

用“兩角對應相等，兩三角形相似”得△ED4s,△DAEsWCA；

(2)Q)證明△45Z)s△/)CG,則---=---，即45?CG=BD?DC；②)由

DCCG

△BDGs^CHD,得至UBO2=BG,C〃=8X9=72,求得BD=66,可求

AB=BC-sinC=12=ACf再運用勾股定理可求=5；

(3)在。。上取一點尸，連接環(huán)，使/。也=45。，由LABDs^DFE,求得。尸=6,

再證明△O￡Cs2k￡7?c,得到。爐=c_F.CZ),則有42=C*Cb+6),即可求解.

【詳解】(1)解：???△/5C和△4Cb都是等腰直角三角形，

：?/B=/C=NDAE=45°,

vADEA=AAEB,ZDAE=ZB,

:.AEDAsAEAB,

同理可證：ADAEsADCA,

故答案為：②③；

(2)①證明：v^BAC=ZDFE,AB=AC,DF=EF,

???/B=/C=45°,/ADE=/E=45°,

???NADC=ZADE+ZCDG,NADC=ZB+/BAD,ZB=/ADE=45°,

/BAD=ZCDG,

:,AABDsADCG,

ABBD

''~DC~~CG'

??.AB-CG=BDDC；

②解：同①可證：ABDGsMHD,

---=----,即BG,CH-BD-CD,

CDCH

???BD=CD,

???BD?=BGCH=8x9=72,

解得：BD=642(舍負)，

???BC=2BD=\20,

??.AB=BC^mC=U=AC,

.??/G=3"=4,

?*-GH=ylAG2+AH2=5；

答案第9頁，共46頁

(3)解：在。C上取一點尸，連接斯，使NDFE=45。,

?-?是的等腰直角三角形，N4DE=45°=ZAED,AD=AE,NDAE=90°,

???cosZADE=—=—,

DE2

同上可證：/\ABDs/\DFE,

.ABAD

"DF~DE~2'

■■DF=42AB=72x372=6,

???NAED=ZDFE=45°,

ZDEC=NEFC=135°,

X-."zc=zc,

ADECSAEFC,

CEDC

?‘斤一正’

???CE2=CF-CD

,-.42=CF(CF+6),

解得：CF=2或CF=-8(舍)，

CD=DF+CF=8.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，解直角三角形的相關計算，三角

形的外角定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵在于發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的相似，正確添加輔

助線是解題的關鍵.

5.(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析

【分析】(1)小明的方法：先證明四邊形/CBE是平行四邊形，再證明四邊形是矩形，

利用矩形的性質得出結論即可；小華的方法：根據(jù)三角形的中位線定理，推出DE垂直平分

BC,進而得出結論即可；其他方法：分別取2c的中點瓦/C的中點尸，連接DE，DF,

利用三角形的中位線定理和矩形的判定和性質，即可得出結論；

(2)取2c邊的中點。，連接ODOE,利用斜邊上的中線，推出OB=OC=OD=OE,即

可得證；

(3)取NC的中點“，的中點N,連接兒不，NF,MB,NE,利用斜邊上的中線，三角

答案第10頁，共46頁

形的中位線定理，證明AMM*AME,即可得出結論.

【詳解】（1）解：若選擇小明的方法：如圖2,延長8至點使DE=CD,連接

AE,BE,

又???點。是的中點，即40=3。，

二四邊形/C5E是平行四邊形，

NACB=90°,

四邊形/C8E是矩形，

AB=CE,

■：CD=DE=-CE,

2

：.CD=-AB；

2

若選擇小華的方法：如圖3,取8C的中點E,連接。￡,

又?.?點。是的中點，

???。￡是△4BC的中位線，

:住1/2,

；.NACB=NDEB=90°,

.???！晔?c的垂直平分線，

CD=BD,

■.■BD=-AB,

2

.-.CD=-AB.

2

其他方法：如圖1,分別取8C的中點E,/C的中點R連接。E,DF,

又???點。是48的中點，

：.DE,DF,訪是ZUBC的中位線,

.■.CE//A：,DF//BC,EF^-AB,

2

答案第11頁，共46頁

???四邊形CEDF是平行四邊形,

又?；NACB=90°,

二平行四邊形CEDF是矩形，

CD=EF,

2

：.CD=-AB,

2

(2)證明：如圖4,取8C邊的中點O,連接ODOE,

■：BD,CE是△ABC的高，

ZBDC=ZBEC=90°,

又???(？是3c邊的中點，

.OD=OB=OC=-BC,OE=OB=OC=-BC,

:22

OB=OC=OD=OE,

■-B,C,D,E四點在以點。為圓心，8C為直徑的同一個圓上.

(3)如圖，取NC的中點M,4D的中點N,連接MRNF,MB,NE.

?：AABC=ZAED=90°,

???根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質及中位線的性質，

可得：MF=-AD=NE,NF=-AC=MB,MF//AD,NF//AC,

22

ZDNF=ZCAD=ZCMF.

???BM=AM,

答案第12頁，共46頁

ZMBA=NCAB,

ZBMC=ZMBA+ZCAB=2ZCAB.

同理可證ZDNE=2NDAE.

又"B4C=ZEAD,

/BMC=ZEND

ZBMC+ZCMF=ZFND+ZEND,即ZBMF=ZENF,

：.AMBF'NFE(SAS),

???BF=FE.

【點睛】本題考查斜邊上的中線，三角形的中位線定理，平行四邊形的判定和性質，矩形的

判定和性質，全等三角形的判定和性質，四點共圓等知識點，熟練掌握相關知識點，并靈活

運用，是解題的關鍵.

6.(1)證明見解析；(2)BE=2AP,證明見解析

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，等邊三角形

的性質與判定等等：

(1)由平行四邊形的性質得到=AD//BC,證明之AOCB(ASA),即可證明

OA=OC,OB=OD；

(2)過點B作BH〃AE交DE于H,連接PH,CH,則ZDBH=ABAC=60°,先證明“DE

是等邊三角形，得到/。=60。，DE=DA,進而證明是等邊三角形，得到

BH=BD=DH,接著證明四邊形/38C是平行四邊形，得到Na,BC互相平分，貝U

AH=2AP,證明絳ED8(SAS),得到BE=N”,則=

【詳解】證明：(1)???四邊形是平行四邊形，

AD=BC,AD//BC,

ZOAD=ZOCB,ZODA=ZOBC,

.-.△0