第04講空間向量及其運算的坐標表示

T模塊導航—素養(yǎng)目標?

模塊一思維導圖串知識1.了解空間直角坐標系，理解空間向量的坐標表示；

模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）2.掌握空間向量運算的坐標表示；

模塊三核心考點舉一反三3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應用；

模塊四小試牛刀過關測4.掌握空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，能運

用公式解決問題.

模塊一思維導圖串知識

空間直角坐標系空間直角坐標系的定義

右手直角坐標系的定義

空間中點和向量的坐標的定義

空間向量的坐標表示4個特殊位置的點的坐標

空間向量及其

空間中點的對稱點的坐標

運算的坐標表示

空間向量的坐標運算

空間向量的坐標運算空間向量都與垂直

空間向量的長度、夾角公式

空間兩點的距離公式

6模塊二基礎知識全梳理-----------------------------

知識點1空間直角坐標系

1、空間直角坐標系的定義：在空間選定點o和一個單位正交基底｛7,7,弓，以點o為原點，分別以元的

方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：X軸軸、Z軸，它們都叫作坐標軸.這時我們就

建立了一個空間直角坐標系。￥，。叫作原點，7,工不都叫作坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫作坐

標平面，分別稱為O孫平面，0yz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分.

2、右手直角坐標系的定義：在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，

若中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.如無特別說明，我們建立的坐標系都是右手

直角坐標系.

知識點2空間向量的坐標表示

1、空間中點和向量的坐標的定義：在空間直角坐標系。WZ中Z；）,左為坐標向量，對空間任意一點對

應一個向量近，且Z點的位置由向量方唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數(shù)組

（x,y,zj,?OA=xa+yb+zc.

在單位正交基底f,7?，耳下與向量方對應的有序實數(shù)組（x,y,z）,叫作向量力在空間直角坐標系。孫z中

的坐標，記作0Z=（x,y,z）.（x,y,z）也叫點Z在空間直角坐標系中的坐標，記作/（x,y,z）,其中x叫

做點Z的橫坐標，y叫做點/的縱坐標，z叫做點Z的豎坐標.

2、幾類特殊位置的點的坐標

（1）x軸上的點的坐標為（%,0,0）

（2）歹軸上的點的坐標為（0,y,0）

（3）z軸上的點的坐標為（0,0,z）

（4）。孫平面內的點的坐標為（x,y,0）

（5）Ozx平面內的點的坐標為（x,0,z）

（6）0yz平面內的點的坐標為（O,y,z）

3、空間中點的對稱點的坐標：設點尸（x,y,z）為空間直角坐標系中的點，則

（1）與點尸關于原點對稱的點是＜（-x,-y,-z）

（2）與點尸關于x軸對稱的點是鳥（x,-y,-z）

（3）與點尸關于y軸對稱的點是6（-x,y,-z）

（4）與點尸關于z軸對稱的點是q（-x,-y,z）

（5）與點尸關于。孫平面對稱的點是E（x,y,-z）

（6）與點尸關于Ozx平面對稱的點是片（x,-y,z）

（7）與點尸關于。yz平面對稱的點是，（-x,y,z）

【注意】對稱點問題常常采用“關于誰對稱，誰就保持不變，其余坐標相反”這個結論.

知識點3空間向量的坐標運算

1、空間向量的坐標運算：若a=（xi，%,zj,b=（x2,y2,z2）,貝!］：

（1）a+b=（Xj+x2,y1+y2,z1+z2）；

（2）a—b=（x1-x2,y1—y2,z1—z2）；

（3）26Z=（2X1,2J/1,2Z1）（2G7?）；

（4）a-b=xTx2+yxy2+zxz2

2、空間向量平行和垂直：若〃二（再,必,zj,石二%,為/2）,貝11

（1）4%，2

a//b<^a=Xb<^xi=Ax2,%二（%外?。。）

（2）a-Lboa-b=0ox1x2+yry2+zxz2=0

3、空間向量的長度、夾角公式：若￡二（%,%，%），石=（乙,%也），則

（1）|a|=yja-a—Ja；+或+a；，\b|=\lb-b—Qb；+“+42,

一1五++a2b2+a3b3/一K13

（9）cos<a?b>=--------=/2233=5。06。0）

\a\-\b\（a；+w+a；yb*q+b；

【注意】（1）夾角公式可以根據(jù)數(shù)量積的定義推出：

—————?-*f—*■Q,）,,..,,

a-b=\a\\b\cos<a-b>^>cos<a-b>=————,其中。的范圍是[0,兀]

\a\-\b\

（2）<AC,BD>=0^<ACJ）B>=7u-3^<CA,BD>=7r-0^<CA,DB>=0.

（3）用此公式求異面直線所成角等角度時，要注意所求角度與9的關系（相等，互余，互補）。

4、空間兩點的距離公式

若4（國,％,馬）,B（x2,y2,z2）,則

①/B=。B—。/=（X2，y2，Z2）一（X],乃,Zl）=（X2—Xl，y2一必,Z2—Zl）

即：一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.

②I函==，（》2—X]）2+（了2—，1）2+（Z2—Z]）2>

或^A.B=（X2-Xj+（%-必）+（Z2-Zj-

模塊三核心考點舉一反三

考點一空間向量與點坐標的表示考點五空間向量垂直的坐標表示

考點二空間中點的對稱問題考點六空間向量夾角的坐標表示

空間向量及其運

算的坐標表示

考點三空間向量運算的坐標表示考點七空間向量模長的坐標表示

考點四空間向量平行的坐標表示考點八投影向量的坐標表示

考點一：空間向量與點坐標的表示

1.（23-24高二下?江蘇南京?期中）已知點8（3,-1,0）,方=（-2,-5,3）,則點A坐標為（）

A.(1,-6,3)B.(5,4,—3)C(.(—1,6,-3)D.(2,5,-3)

【答案】B

【解析】設/(X),2),

則方=(3-X,-1-y,-z)=(-2,-5,3)，

3-x=-2x=5

所以-l-v=-5,解得,y=4,

-z=3z=-3

所以點A坐標為（5,4,-3）.故選:B.

【變式1-1］（23-24高二上?北京?期中）已知點/(-2,3,0),5(1,3,2),~AP=2AB?則點P的坐標為（）

A.(4,3,4)B.(-4,-1,-4)C.(-1,6,2)D.(-5,3,-2)

【答案】A

【解析】設尸（x/,z）,則萬=（x+2/—3,z）,又通=（3,0,2）,

因為=2萬，所以（x+2,y-3,z）=2（3,0,2）,

x+2=6x=4

所以y-3=0,解得，y=3,即尸(4,3,4).故選：A

z=4z=4

【變式1-2］（22-23高二上?云南臨滄?月考）在平行六面體98-4埒莖）1中，衣=（2,3,4）6（7,2,4）,

則點4的坐標為（）

A.（-1,3,6）B.（-3,-1,0）C.（1,-1,-2）D.（1,-1,0）

【答案】B

【解析】設點4的坐標為（a,b,c）,貝IJ由福=%，得（一1一凡2-44-C）=（2,3,4）,解得4=-3,b=-1,。=0,

則點4的坐標為（T-l,0）,故選：B.

【變式1-3］（23-24高二上?青海海東?月考）（多選）如圖，在長方體O4BC-O'H2'C'中，04=1,OC=3,

且OE=,，下列向量坐標表示正確的是（）

。。=2,點E在線段N。的延長線上,

2

B.9=(1,0,2)

D.EC=總*

【答案】BC

【解析】在空間直角坐標系。-到z中,0(0,0,0),0(0,0,2),C(0,3,0),

*(1,3,2),

對于A,因為。（0,0,0）,C（0,3,0）,所以反=（0,3,0）,故A不正確；

對于B,因為C（0,3,0）,*（1,3,2）,所以函=（1,0,2）,故B正確;

對于C,因為"（1,3,2）,所以而jg,3,2],故C正確；

對于D,因為C（0,3,0）,-0,0；所以反=g,3,0）故D不正確.

故選：BC.

考點二：空間中點的對稱問題

例2.（23-24高二下?四川綿陽?開學考試）在空間直角坐標系。孫Z中，點可（3,-2,-1）關于原點對稱

的點的坐標為（）

A.（-3,-2,1）B.（3,-2,1）C.（-3,2,-1）D.（-3,2,1）

【答案】D

【解析】點可（3,-2,-1）關于原點對稱的點的坐標為（-3,2,1）,故選：D.

【變式2-1]（23-24高二下?甘肅?期中）在空間直角坐標系。-初z中，點（1,-2,3）關于x軸對稱的點的坐標

為（）

A.(-1,2,-3)B.(1,2,-3)C.(1,-2,-3)D.(-L-2.-3)

【答案】B

【解析】點(1,-2,3)關于x軸對稱的點的坐標為(1,2,-3).故選：B

【變式2-2](23-24高二上?河北石家莊?月考)點尸(-3,8,-5)關于平面對稱的點的坐標是()

A.(3,—8,—5)B.(—3,8,5)C.(3,8,5)D.(-3,—8,5)

【答案】B

【解析】點尸(-3,8,-5)關于平面xOy對稱的點的坐標是(-3,8,5).故選：B

【變式2-3](23-24高二下?江蘇連云港?期中)在空間直角坐標系中，點/(2,1,1)關于了生平面對稱的點的

坐標為()

A.(-2,1,1)B.(2,-1,1)C.(2,1,-1)D.(2,-1,-1)

【答案】A

【解析】在空間直角坐標系中，點42,U)關于平面對稱點的坐標為(-2,1,1).故選：A.

考點三：空間向量運算的坐標表示

例3.(23-24高二上?江西贛州?期中)在空間直角坐標系中，向量￡=6=(1,0,2),則￡/=

()

A.(2,-2,3)B.(-2,2,-3)C.(0,2,1)D.(0,-2,-1)

【答案】D

【解析】由題意可得:?！?(1,一2,1)-(1,0,2)=(0,-2,-1).故選：D.

【變式3-1](23-24高二上?天津?期末)已知空間向量2=(1,2,-3),6=(2,-1,1),則￡-2否=()

A.(-3,4,-5)B.(5,0,-5)C.(3,1,-2)D.(-1,3,-4)

【答案】A

【解析】由題意空間向量@=(1,2,-3),6-(2,-1,1),

則3-2坂=(1,2,-3)-2(2,T,1)=(1,2,—3)—(4,-2,2)=(-3,4,-5).故選:A.

【變式3-2］（23-24高二上?福建福州?期中）（多選）已知向量1=（1』,-2）石=（1,-3,-3）,則下列結論正確

的是（）

A.a+b=（2,-2,-5）B.q-6=（0,-2,1）

C.a-b=4D.同=6

【答案】AC

【解析】因為@=（1,1,-2）,3=（1,-3,-3）,則存+4（2,-2,-5）,故A正確；

）一行=（0,4,1）,故B錯誤；

5.&=lxl+lx（-3）+（-2）x（-3）=4,故C正確；

同=-71+1+4=屈,故D錯誤；故選：AC

【變式3-3](23-24高二上?新疆?月考)已知￡=(2,3,-1),5=(-1,0,3),c=(0,1,2).

(1)求鼠(23-3%)的值；

⑵(淮.(*.

【答案】(1)-13；(2)12

【解析】(1)由刃=(-1,0,3),工=(0,1,2)可得25=(-2,0,6),3c=(0,3,6).

26-3c=(-2,-3,0),故鼠儂-3號=-4-9+0=-13

(2)a—(2,3,—1),b=(—1,0,3),c—(0,1,2)

可得Z+1=(l,3,2),^+c=(-l,l,5),

故R+可?僅+可=-1+3+10=12

考點四：空間向量平行的坐標表示

例4.（22-23高二上?河南平頂山?月考）已知a=。,-2,4）,則下列向量中與“平行的是（）

A.（1,1,1）B.（-2,4,-8）C.（2,-3,5）D.（-2,-3,5）

【答案】B

1-24

【解析】對于A,因為:?？?。：，所以A不正確；

1-24

對于B,因為不=下=)，所以B正確；

-24-8

1-24

對于C,因為彳片=*二,所以C不正確；

2-35

1-74

對于D,因為不片二片二，所以D不正確.

-2-35

故選：B.

【變式4-1](23-24高二下?甘肅蘭州?期中)已知向量益=(1,。,-2),%=(-3,6,6),若4&C三點共線，

貝!|。-6=()

A.-8B.-2C.2D.8

【答案】A

【解析】因為4&C三點共線，所以而與前共線，又向量方=(1.-2),刀=(-3,6,9，

所以口=9=2,所以。=一2,6=6,所以。一6=-8.故選：A

1a-2

【變式4-2](23-24高二上?廣東中山?期中)已知向量1=(T0,3),B=(1,T,1)I=(T2X,1),若(，-3)〃，，

則實數(shù)x=()

1111

A.-B.——C.-D.——

4422

【答案】A

【解析】a-b=(—2,1,2),c=(~l,2x,l),

因為(1—3)//',所以二'=1=;，解得尤=：.故選：A.

-2124

【變式4-3](23-24高二上?廣東江門?期中)已知向量2=(2,1,1),Z；=(0,-1,-1),若(￡+")〃(￡/),貝！M=

()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】C

【解析】因為Z=(2,l,l),Z；=(O,-1,-1),

所以￡+=(2,1,1)+%(0,—1,-1)=(2,1—/1,1一㈤，

a-^=(2,1,1)-(0,-1,-1)=(2,2,2),

因為(a+Ab)//(a-b),

2I-；1-2

所以;=—=—，解得/=-1，故選：C

222

考點五：空間向量垂直的坐標表示

例5.(23-24高二上?北京?期中)已知向量1=(x,l,-2)5=(021),則的位置關系是()

A.垂直B.平行C.異面D.不確定

【答案】A

【解析】因為向量N=(x,l,-2)石=(0,2,1),

所以3石=0xx+2xl+lx(-2)=0,所以Z_LB，故選：A.

【變式5-1](23-24高二下?廣西桂林?開學考試)下列四對向量中，垂直的是()

A.a=(2,0,1),&=(-1,1,-2)B.2=(2,1,3),3=(-1,-1,1)

C.2=(4,0,6),6=(2,0,3)D.a=(3,1,1),&=(-1,-2,2)

【答案】B

【解析】對A,因為73=-2-2=-4片0,故兩向量不垂直，故A錯誤；

對B,因為鼠刃=_2_1+3=0，故兩向量垂直，故B正確；

對C,因為小石=8+18=2620，故兩向量不垂直，故C錯誤；

對D,因為￡不=-3-2+2=-3/0，故兩向量不垂直，故D錯誤；

故選：B.

【變式5-2](23-24高二下?江蘇泰州?期末)已知1(2,-1,3),1(-4,2,x),且貝”二()

510

A.2B.3C.—D.—

23

【答案】D

【解析】因為5=(2,-1,3),3=(—4,2,x),且所以展3=2x(—4)+(—l)x2+3x=0,

解得x=g.故選：D

【變式5-3]（23-24高二上?山東青島?期末）已知向量3=（1,1,0）,不=（一1乂,2）,且73+5彼與2”行互相

垂直，則實數(shù)力等于（）

33737

A.-B.w或1C.0或wD.0或1

【答案】C

【解析】7a+=7(1,1,0)+5(-1,A,2)=(2,7+52,10),

25-&-2(1,1,0)-(-1,2,2)=(3,2-2,-2),

由7a+55與23—各互相垂直，W(75+5^)-(25-^)=2X3+(7+52)X(2-A)+10X(-2)=0,

3

解得4=0或2=(.故選：C.

考點六：空間向量夾角的坐標表示

6.(23-24高二上?湖南衡陽?期末)已知￡=(1,0,1),b=(x,l,2),且鼠刃=3,則向量1與3的夾角

為()

57r27rTC兀

A.—B.—C.—D.一

6336

【答案】D

【解析】

向量2=(1,0,1),b=(x,l,2),由鼠刃=3，得X+2=3,解得尤=1,3=(1,1,2),

—―/7?h3、/3一一7T

因止匕cos〈a,b〉==——=/---/=—，而〈〃》)￡[0,乃],貝！)〈。,6〉二一，

1671|Z?|+1x+1+426

所以向量々與g的夾角為￡.故選：D

6

【變式6-1]（23-24高二上?安徽?期中）在空間直角坐標系中，已知點8（2,0,0）,C（0,l,3）,

則cos(C4c邛=()

口2療「V7D.近

A.國1D.------------Vz?----

427340

【答案】A

【解析】依題意，G4=(l,l,-4),而=(2,-1,-3),

故瓦瓦=2-1+12=13，

|C4|=V1+1+16=3^,\CB\=V4+1+9=V14,

13近

cos（CA,CB）=CA-CB13

故選：A

|C3||CB|-3A/2XV14

【變式6-2］（23-24高二上?江蘇南京?期末）已知）=（1,-2,-1）、分=（-1戶-1,1）,且3與B夾角為鈍角，則

x的取值范圍是（）

A.（0,+??）B.（0,3）C.（3,+00）D.（0,3）u（3,+co）

【答案】D

【解析】因為樸=（1,一2,-1）、且2與B夾角為鈍角,

則心役<0且3與B不反向，

若小B<0,貝il-2（x-l）-lxl<0,解得x>0,

若3與B反向，設3=高（/<0）,貝c，解得（=?，

—1=［x=3

綜上可得X的取值范圍是（0,3）口（3,+8）.故選：D

【變式6-3］（23-24高二上?廣東珠海?月考）已知向量0=（1,1,0）,3=（加,0,2）,cos，3）=-*,若向量

"添與2*3所成角為銳角，則實數(shù)上的范圍是.

【答案】（-&）U（g,+8）

rrrr_____

【解析】由向量。=（1,1,0）,b=（m,0,2）,可得==亞,口=J加2+4,

/_,/Tna-bmV10

因為cos@3-得，可得雨=瓦而二=一次，解得"i

所以3=（-1,0,2）,所以Z+瘍=（1-后,1,2肩與21+/=（1,2,2）,

又因為向量：+添與2a+B所成角為銳角，

所以（a+左bj（2a+6）=l-左+2+4左>0,解得上>-1,

若向量與23+3共線，則一=；=勺，解得《=:，

所以實數(shù)人的范圍是（T；）U（g,+s）.

故答案為：(-l,；)U(；,+8).

考點七：空間向量模長的坐標表示

7.(22-23高二上?云南臨滄?月考)已知向量方=(5,0,72),則向=()

A.5B.12C.13D.17

【答案】C

【解析】因為向量4=(5。-12),則同=/2+02+(-12『=13.故選:C.

【變式7-1](23-24高二上?四川南充?期末)已知向量4=(一2,1,-1),元=(1,1,2),則忻+司=.

【答案】V6/6I

【解析】由題意可得而+元=(T2,1),所以|而+司=J(T)2+2?+4=&.故答案為:46.

【變式7-2](23-24高二上?廣東惠州?月考)在空間直角坐標系中，Z(-1,2,0),點3(-1,1,2)關于>軸的對

稱點為C,則|就產()

A.V5B.VilC.3D.V10

【答案】C

【解析】因點析-1,1,2)關于y軸的對稱點為2),A-1,2,0),

貝U就=(2,-1,-2),故|%|="22+(-1)2+(一2)2=3.故選：C.

【變式7-3](23-24高二上?江西?月考)已知刀=(1,2,3),X=(見6)-2),若點4瓦。共線，則園=()

A.V14B.2714C.3V14D.9m

【答案】C

【解析】因為點4民。共線，所以而與就共線，

所以卜9彳，解得。=一2,b=-4,

故就=(—2,T,—6),5C=^C-Z8=(-3,-6,-9),

考點八：投影向量的坐標表示

(23-24高三下?上海浦東新?月考)空間向量3=(0],-1)在3=(1,2,3)上的投影向量為()

【答案】A

b1

【解析】與B方向相同的單位向量為同=布°r,

由3=(0,1,-1),1=(1,2,3),貝!|@/=0+2-3=-1，|^|=Vl2+22+32=V14,

a-bb-11「1

所以向量方在向量B上的投影向量為下「同=7高,%彳。=一/r.故選：A.

【變式8-1](23-24高二上?云南昭通?期末)已知空間向量)=(2,1,-3),則向量7在坐標平面xOz上的投影

向量是()

A.(0,2,1)B.(2,1,0)C.(0,1,-3)D.(2,0,-3)

【答案】D

【解析】若a=(2,1,-3)起點為原點，則終點為(2,1,-3),

該點在平面xOz上投影坐標為(2,0,-3),

所以向量方在平面xOz上的投影向量是(2,0,-3).故選：D

【變式8-2](23-24高二下?河北邢臺?月考)已知點4(2,2,3),5(1,0,1),向量就=(1,-1,2),則向量打在

向量篇上的投影向量為()

A.[-]，一§,一§JB.(-4,-8,-8)C.GnJD.(4,8,8)

【答案】C

【解析】因為點](2,2,3),5(1,0,1),則刀=(-1,-2,-2),且就=(1,-1,2),

所以配=就_方=(2,1,4),

BCABAB(-2-2-8)(-1,-2,-2)(488>

則向量就在向量焉上的投影向量為干仁.國—3—X—3―故選：C

【變式8-3](22-23高二上?云南臨滄?月考)已知點N(3,l,0),8(2,3,0),C(-l,-l,l),O(3,3,l),則向量亂在

向量而上的投影向量的模為.

【答案】巫

22

【解析】點4(3,1,0),3(2,3,0)<(-1,-1,1),。(3,3,1),

—?/\—>/\~A~D7-^ri4B-CDA/FO

故48=(-1,2,0),CD=(4,4,0),所以cos/8,CD=網(wǎng).回=而，

所以向量市在向量而上的投影向量的模網(wǎng)cos麗麗=不義吟=1.

6模塊四小試牛刀過關測-------------------------------

一、單選題

1.(23-24高二上?廣東揭陽?月考)在空間直角坐標系中，若/(1,-1,3),方=(5,0,2),則點B的坐標為()

A.(-4,-1,1)B.(6,—1,5)

C.(4,1,-1)D.(6,—1,-1)

【答案】B

【解析】因為-1,3),方=(5,0,2),

設5(x,y,z),故A8=(x),z)-(l,-l,3)=(x-l,y+l,z-3),

故(x-l)+l,z-3)=(5,0,2),解得x=6,y=-l,z=5,

故8(6,-1,5).故選:B

2.(23-24高二下?重慶?期中)空間直角坐標系中，已知-1,3),則點A關于j，Oz平面的對稱點的坐標

為()

A.(1,1,-3)B.(1,-1,3)C.(1,1,3)D.(-1,1,3)

【答案】B

【解析】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得：

/(-1,-1,3)關于yOz平面的對稱點的豎坐標和縱坐標不變，橫坐標相反，

即所求的坐標為故選：B

3.(23-24高二上?河北石家莊?期中)已知向量)=石=(1,-3,-3),則￡%=()

A.(1,3,6)B.-3C.4D.10

【答案】D

【解析】因為向量3=-2)3-3),

所以3法=1'1+(-1)，卜3)+卜2yb3)=10,故選：D

4.(23-24高二上?河南?月考)已知空間三點Z(U,1),5(-1,0,4),C(2,-2,3),則與與刀的夾角為()

5冗

D.

T

【答案】C

【解析】VZB=(-2,-1,3),百=(-1,3,-2)

2-3-6

142

???結合向量夾角范圍易知：元與聲的夾角為5.故選：C.

5.(23-24高二上?重慶九龍坡?期末)已知向量。=(1,1,⑹方=(-3,2,0),貝1J&+B在讓的投影向量為()

313忖

222

\/

’32逑'

【答案】c

【解析】0"=(-3,2,0),石+各=(-2,3,打，

a+b\-a=-2x\+3'x.1+41x拒=3同=#+『+(上『=2,

一、一

(a+b)-a1a=21,血)=333vp

萬+5在3上的投影向量為故選：C.

7

6.(23-24高二上?河南開封?期中)設x,yeR,a=(1,1,1),b=(\,y,z),c=(x,-4,2),且"丁，(〃工,

貝儂+3|=()

A.2V2B.MC.3D.3亞

【答案】D

【解析】因為a=(l,l,l),c=(x,-4,2)且，

所以a,c=x—4+2=0,解得x=2,

所以工=(2,-4,2),

又因為g=(1,%z),工=(2,-4,2)=2(1,-2,1)且行〃)

所以了=-2,z=l,所以6=(1,-2,1),

所以2l+1=(3,0,3),

所以|2￡+司=Jii=3近，故選：D.

二、多選題

7.（23-24高二上?河南南陽?期末）已知空間直角坐標系。-肛z中，點/（3,0,5）,5（2,3,0）,C（0,5,0）,

則下列各點在平面NBC內的是（）

A.D（4,-l,2）B.￡（3,2,0）

C.F(-l,4,5)D.G(l,2,5)

【答案】BCD

【解析】益=(-1,3,-5),衣=(-3,5,-5),刀，又不共線，設尸為平面N3C內一點，

貝！］xAB+yAC=AP=(-x,3x,-5x)+(-3%5%-5V)=(-x-2>y,3x+5y,-5x-5y),

-x-3j=1

ID=(1,-1,-3),由于3x+5y=-l無解，所以。不在平面NBC內.

-5x-5y=-3

-x—3y=0

赤=(O,2,-5),由<3x+5y=2,解得x=|,y=-g,所以￡在平面NBC內.

—5x—5)——5

-x-3y=-4

AF=(-4,4,0),由<3x+5y=4,解得x=-2,y=2,所以廠在平面48c內.

-5x-5y=0

AG=(-2,2,0),由于方=2就，所以G在平面48C內.故選：BCD

8.（23-24高二上?青海西寧?期中）向量1=（2X,1,3）,B=（1,-2%9）,若方〃石，則（)

131-_1-

A.x=—B.y——C.u=-bD.a=-b

5232

【答案】BC

2x—4

【解析】因為值〃B，所以M=由題意可得<I=-2外，

3=92

1131-

所以4=:7，則2故選：BC

三、填空題

9.（23-24高二上?內蒙古呼倫貝爾?月考）已知，=（1,0,1）3=（-2,-1,1）］=（3,1,0）,則"B+2”

【答案】(9,3,0)

【解析】因為3=(1,0,1),1=(-2尸1,1),3=(3,1,0),

所以3-B+23=(1,0,1)-(-2,-1,1)+2(3,1,0)=(9,3,0).故答案為：(9,3,0).

10.(23-24高二