考點(diǎn)12解三角形（精講）【題型解讀】【知識(shí)必備】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形面積公式：S△ABC＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)；S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB；【題型精講】【題型一已知邊角元素解三角形】必備技巧已知邊角元素解三角形技巧正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程，通過解方程求得未知元素．例1（2021·全國(guó)高考真題）在中，已知，，，則（）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長(zhǎng)度的方程，解方程即可求得邊長(zhǎng).【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點(diǎn)睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個(gè)角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對(duì)角，解三角形．例2(2021·吉林高三模擬)在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則__．【答案】5【解析】因?yàn)椋?，，所以由正弦定理，可得，解得．故答案為?例3（2021·全國(guó)高考真題（理））記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負(fù)值舍去）.故答案為：.【跟蹤精練】1．（2021·天津紅橋高三期末）在中，若，，，則∠B=（）A． B．C． D．【答案】C【解析】在中，，，，由正弦定理可得，即，解得，因?yàn)?，所以或，又，所以，所以；故選：C2．（2021·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí)）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，若C＝60°，a＝5，b＝8，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．20 B．30 C．40 D．25【答案】A【解析】根據(jù)余弦定理，c2＝a2+b2﹣2abcosC＝52+82﹣5×8＝49，所以c＝7則△ABC的周長(zhǎng)為20．故選：A．3.(2021·陜西高三三模)已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊，，，，則的面積為__________.【答案】【解析】由于，，，∵，∴，，由余弦定理得，解得，∴的面積.故答案為：.【題型二已知邊角關(guān)系解三角形】必備技巧已知邊角關(guān)系解三角形正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化，解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系，也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系．例4（2019天津理15）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.【解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，得，又由，得，即.又因?yàn)椋玫剑?由余弦定理可得.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，從而，，故.例5（2019?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知，，則A．6 B．5 C．4 D．3【答案】A【解析】的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，，，解得，．故選：．【跟蹤精練】1．（2019?新課標(biāo)Ⅰ）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．設(shè)．（1）求；（2）若，求．【解析】（1）的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．設(shè)．則，由正弦定理得：，，，．（2），，由正弦定理得，解得，，，．2.（2021·北京高考真題）已知在中，，．（1）求的大小；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長(zhǎng)度．①；②周長(zhǎng)為；③面積為.【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見解析．【分析】（1）由正弦定理化邊為角即可求解；（2）若選擇①：由正弦定理求解可得不存在；若選擇②：由正弦定理結(jié)合周長(zhǎng)可求得外接圓半徑，即可得出各邊，再由余弦定理可求；若選擇③：由面積公式可求各邊長(zhǎng)，再由余弦定理可求.【解析】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長(zhǎng)，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中線的長(zhǎng)度為：.【題型三判斷三角形形狀】必備技巧判斷三角形形狀的方法（1）化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系．（2）化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．例6（2021·湖北·大冶市第一中學(xué)高三月考）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足(b+a+c)(a+b－c)=3ab，2cosAsinB=sinC，則△ABC是（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】由有,由余弦定理有：，又角，所以.又，即，所以則，即,又，所以,即，故為等邊三角形.故選：D例7（2021·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí)）在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，則的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】因，則有，即，可得，此時(shí)，有，所以是等邊三角形.故選：C【題型精練】1.（2021·江蘇?。┰谥?，，，則一定是A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【解析】中，，,故得到，故得到角A等于角C，三角形為等邊三角形.故答案為D.2.（2021·四川成都市·雙流中學(xué)高三開學(xué)考試）在中，若，則是（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【解析】將，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：，把代入得：，整理得：，即或，，為三角形內(nèi)角，，，即，則為直角三角形，故選：A.【題型四解三角形實(shí)際應(yīng)用】方法技巧解三角形實(shí)際應(yīng)用從實(shí)際問題中抽象出距離、高度、角度等數(shù)學(xué)問題，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．例8（2021屆山東省六地市部分學(xué)校高三3月線考）泉城廣場(chǎng)上矗立著的“泉標(biāo)”，成為泉城濟(jì)南的標(biāo)志和象征．為了測(cè)量“泉標(biāo)”高度，某同學(xué)在“泉標(biāo)”的正西方向的點(diǎn)A處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，沿點(diǎn)A向北偏東前進(jìn)100m到達(dá)點(diǎn)B，在點(diǎn)B處測(cè)得“泉標(biāo)”頂端的仰角為，則“泉標(biāo)”的高度為（）A．50m B．100m C．120m D．150m【答案】A【解析】如圖,為“泉標(biāo)”高度,設(shè)高為米，由題意,平面,米,，．

在中,,在中,,

在中,，,，,

由余弦定理可得，

解得或(舍去),故選：B.【題型精練】1.（2021·山東濟(jì)南月考）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝m.【答案】100eq\r(6)【解析】由題意，在△ABC中，∠BAC＝