2023-2025北京高三一模數(shù)學匯編

拋物線

一、單選題

1.（2025北京通州高三一模）已知點廠為拋物線V=4x的焦點，過點尸且傾斜角為;的直線與拋物線交

于48兩點，則|明等于（）

A.16B.6C.—D.4

3

2.（2025北京海淀高三一模）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為產(chǎn)，點在C上，

\MF\=2,貝（）

A.1B.72

C.V3D.2

3.（2025北京石景山高三一模）已知拋物線C:/=8x的焦點為尸，點M在。上，若則

（）

A.%?0,2）B.y0e（O,2）C.x0e（2,-i<o）D.y0e（2,+oo）

4.（2025北京豐臺高三一模）已知拋物線C：/=2川（p>0）的焦點為F,點加在c上.若M的橫坐標為

1,且|“尸|=2,則p的值為（）

A.gB.1C.2D.4

5.（2025北京順義高三一模）已知拋物線C：/=4x的焦點為產(chǎn)，準線為/,過點歹的直線與C交于不同

的兩點A,B,。為坐標原點，直線80與/交于點跖^\AF\=2\FB\,貝限ABM的面積等于（）

A.還B.3&C.9D.2

22

6.（2025北京延慶高三一模）“A=是“直線？=履+2與拋物線/=4x只有一個公共點”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（2024北京延慶高三一模）已知拋物線C：/=8x的焦點為耳，點M在。上.若M到直線x=~4的距離

為7,貝!JIMFU（）

A.4B.5

C.6D.7

8.（2024北京西城高三一模）已知拋物線。與拋物線V=4x關(guān)于直線>=無對稱，則C的準線方程是

()

A.x=-lB.x=—2

C.y=-lD.y=-2

9.（2023北京順義高三一模）已知拋物線y2=2px（p>0）的準線過雙曲線3一丁=］的一個焦點，貝|“=

10.（2023北京海淀高三一模）已知拋物線V=4x的焦點為「點尸在該拋物線上，且尸的橫坐標為4,

貝力「用=（）

11.（2023北京房山高三一模）已知拋物線C:/=?的焦點為產(chǎn)，拋物線C上一點P到點尸的距離為3,

則點尸到原點的距離為（）

C.20D.2石

12.（2023北京豐臺高三一模）已知拋物線。:y=2°吠0>0）的頂點是坐標原點。，焦點為FA是拋物

線C上的一點，點A到x軸的距離為26.過點A向拋物線C的準線作垂線、垂足為8.若四邊形A3。尸

為等腰梯形，則P的值為（）

B.V2D.20

13.（2023北京石景山高三一模）己知正方體ABCZ）-AqGR的棱長為2,點尸為正方形ABCD所在平面

內(nèi)一動點，給出下列三個命題：

①若點尸總滿足PR±g,則動點P的軌跡是一條直線；

②若點尸到直線5耳與到平面CDAG的距離相等，則動點P的軌跡是拋物線；

③若點P到直線DDy的距離與到點C的距離之和為2,則動點P的軌跡是橢圓.

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

14.（2023北京平谷高三一模）已知拋物線C:y2=2px,點。為坐標原點，并且經(jīng)過點尸（1,%）,若點P

到該拋物線焦點的距離為2,貝力。P=（）

A.272B.2A/3C.4D.Vs

二、填空題

15.（2025北京通州高三一模）已知點P（x,y）是曲線。:％2+/=1+網(wǎng)上任意一點，有以下四個結(jié)論：

①曲線C既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；②-1W1,-i<y<i；

③點尸到坐標原點距離的最大值為逝；④曲線C所圍成封閉區(qū)域的面積大于4.

其中正確結(jié)論的序號是.

16.（2025北京東城高三一模）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為F，點M為C上任意一點，且總

有21,則P的一個值可以為.

17.（2025北京西城高三一模）設拋物線C:/=2py的焦點為尸（0,1）,準線為/,則拋物線C上一點

2）至打的距離為.

18.（2025北京房山高三一模）已知尸是拋物線C:/=12y的焦點，則/的坐標為,設A是直線

尸-3上一點，直線AF與拋物線C的一個交點為B,若羽=2防，則點3到無軸的距離為.

19.（2025北京門頭溝高三一模）已知拋物線C:y2=2px（p>0）的焦點為JF,過點尸且垂直于其對稱軸的

直線交C于點M,N,若|MN|=4,則焦點到其準線的距離為.

20.（2025北京平谷高三一模）拋物線/=2尤上一點網(wǎng)吃,%）到準線的距離與到對稱軸的距離相等，則

21.（2025北京朝陽高三一模）己知點"（2,1）在拋物線C:Y=2py（p>0）上,則拋物線C的焦點/的坐標

為;以尸為圓心，|而|為半徑的圓與拋物線C的準線的位置關(guān)系是.（填“相交”“相切”或“相

離”）

22.（2024北京朝陽高三一模）已知拋物線％2=2知（°>0）的焦點為F，準線方程為y=-l,貝U

P=;設。為原點，點?（%,%）在拋物線上，^\OM\=\FM\,則為=.

23.（2024北京東城高三一模）已知拋物線C］：V=4x的焦點為工，則月的坐標為；拋物線

〈：y2=8x的焦點為瑪,若直線y=〃z（〃件0）分別與GC交于P,。兩點；且歸用—|四|=1,則

W=一■

24.（2024北京門頭溝高三一模）已知拋物線C：y?=4x的焦點為F，點加在C上，若眼尸|=3,則加到

直線x=-2的距離為：.

25.（2024北京豐臺高三一模）己知尸是拋物線y2=4x的焦點，A8是該拋物線上的兩點，

|AF|+|BF|=8,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為.

26.（2023北京西城高三一模）己知拋物線丁=2.（「>0）的頂點為。，且過點48.若△OAB是邊長為

的等邊三角形，則—.

27.（2023北京朝陽高三一模）經(jīng)過拋物線V=4y的焦點的直線與拋物線相交于A,2兩點，若|AB|=4,

則AQ4B（。為坐標原點）的面積為.

28.（2023北京石景山高三一模）拋物線C：-=4y的焦點坐標為,若拋物線C上一點M的縱坐

標為2,則點M到拋物線焦點的距離為.

參考答案

1.C

【分析】求出焦點坐標，點斜式求出直線的方程，代入拋物線的方程利用根與系數(shù)的關(guān)系，由弦長公式求

得I明.

【詳解】由題意可得，拋物線的焦點尸(1,0),

由直線的斜角為三，可知直線A2的斜率為6，

二直線AB的方程為y=6(x-1),

設A(%,%),3(乙,%),

聯(lián)立方程卜2=6"T)，可得_10X+3=0,解得占=3,%=:，

[y2=4x-3

由拋物線的定義可知，\AB\=\AF\+\BF\=Xl+l+x2+l=y.

故選：C.

2.C

【分析】根據(jù)拋物線焦半徑公式列出方程，求出p的值，可得出方程，點在曲線上，代入可得解.

【詳解】由拋物線定義知：W=|+f=2-解出。=1，故拋物線C:y2=2無，

又點用@，%]在C上，則C:%2=24=3,帆|=6,

故選：C.

3.C

【分析】首先求出拋物線的準線方程，根據(jù)拋物線的定義求出/的取值范圍.

【詳解】拋物線C：y2=8x的準線方程為％=-2,

又點在C上且同>4,貝i]|MF|=%+2>4,所以％>2,

即飛e(2,+oo),故A錯誤，C正確；

又\=胱,所以y：e(16,+s),所以%?4,M)U(F,T),故B、D錯誤.

故選：C

4.C

【分析】利用拋物線的性質(zhì)：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離求解.

【詳解】由已知可得拋物線的準線方程為x=-5,

拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，

所以|MP|=§+x=f+1=2,解得？=2,

故選：c.

5.A

【分析】根據(jù)|4尸|=2|陽|以及拋物線定義可得直線43的斜率，則可求|相|,以及M坐標，即可得點“

到直線48的距離，最后利用面積公式即可.

【詳解】如圖，過點A3作44,與，/,直線與x軸分別交/與點瓦H,

設網(wǎng)=2四=2m,則網(wǎng)=叫A4j=2m,

BEBB、_1

因則得忸耳=3m,

AE有-2

BBS1

貝|cos/EBB1=■貝iJtanN￡B4=2收,

BE\"3

故直線A3的斜率為20,直線A8的方程為尤=亨、+1,

與y2=4x聯(lián)立得一4=0,解得A（2,2垃）,2

25

則直線OB：y=-2jlx,M同=，得亂卜1,2后）

故點”到直線村的距離1為-4-藤4-4苛1=2區(qū)「

故AABM的面積為工義20乂？=述

222

【分析】求出直線與拋物線有一個交點的等價條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義，即可得出結(jié)論.

fV=Ax+2rc/、

【詳解】由2,，得公*2—4（左一1卜+4=0,

[y=4x

因為直線y=kx+2與拋物線y2=4x只有一個公共點，

所以當左=0時，交點為（L2）只有一個公共點，符合題意；

21

當左W0時，A=［—4（上-1）］—4xk2x4=0,:.k=—,

所以直線、=區(qū)+2與拋物線y=4x只有一個公共點的充要條件是左=0或A=1,

所以A=能推出“直線、="+2與拋物線y2=?只有一個公共點，

直線丁=丘+2與拋物線y2=4x只有一個公共點不能推出次=

“k=，”是“直線>=依+2與拋物線V=4尤只有一個公共點，，的充分而不必要條件，

故選:A

7.B

【分析】根據(jù)拋物線的定義求解.

【詳解】由拋物線C:/=8x可知，準線方程為彳=-2,

因為“到直線x=T的距離為7,

所以M到拋物線準線x=-2的距離為5,

由拋物線定義知，1破1=5.

故選：B

8.C

【分析】由對稱性可得曲線C方程，求出準線方程即可.

【詳解】因為拋物線c與拋物線>2=4無關(guān)于直線y=X對稱，

所以將X，y互換后可得拋物線C方程為無2=4y,即20=4n。=2,

所以C的準線方程為y=苫=-1,

故選：C.

9.C

【分析】求出拋物線V=2px的準線方程和雙曲線丁=1的焦點坐標，由條件列方程求p.

【詳解】拋物線9=2Pxm°）的準線方程為x=_g

雙曲線］一丁=1的左焦點的坐標為（_2,0）,右焦點的坐標為（2,0）,

因為拋物線V=2px的準線過雙曲線1-丁=i的一個焦點，

所以^=2,

所以0=4,

故選：C.

10.D

【分析】直接根據(jù)拋物線焦半徑公式計算得到答案.

【詳解】拋物線y2=4x的準線方程為x=-1,

因為點P在拋物線＞2=4尤上，尸的橫坐標為4,拋物線丁=4尤的焦點為R

所以|尸石等于點P到直線x=-l的距離，

所以|尸尸|=4+1=5,

故選：D.

11.D

【分析】由拋物線的定義，將拋物線C上一點P到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，列方程求出點尸的坐

標，進而得出點尸到原點的距離.

【詳解】拋物線C:y2=4x的準線為x=-l,

由題意，設尸（工,%）,?.-PF=3=x0-（-l）,.-.x0=2,網(wǎng)2,±2垃），

則點P到原點的距離為"^=2白，

故選：D

12.C

【分析】過點A向x軸作垂線、垂足為E.設準線交x軸于D利用幾何法求出直角三角形皿的三邊，利

用勾股定理即可求解.

過點A（不妨設為第一象限點）向x軸作垂線、垂足為E.設準線交x軸于D

因為四邊形A20F為等腰梯形，所以|O@=|AF|,ZFOB=ZOFA.

所以NDOB=NEK4.

又ZBDO=ZAEF=90。,

所以ABDO=AAEF,所以|OD|=FE|=$

所以0同=|DO|+\OF\+\FE\=^-.

所以MM=|DE|=學.

由拋物線的定義可得：|A刊=|AB|=學.

在直角三角形AE尸中，|4目=藪,但尸|=3卜同=%=20.

由勾股定理可得：][+（20）2=]學：，解得：P=2.

故選：C

13.C

【分析】根據(jù)正方體中的線面垂直以及線線垂直關(guān)系，即可確定滿足滿足尸2的動點P的軌跡，從

而可判斷①；利用線線關(guān)系將點線距離轉(zhuǎn)化為點點距離，結(jié)合圓錐曲線的定義即可判斷動點尸的軌跡，即

可得判斷②③，從而可得答案.

【詳解】對于①，如圖在正方體ABCD-AAGR中，連接BR,CR,

在正方體中，因為四邊形CDQG為正方形，所以z）G，CA，

又BC_L平面CDDG,0GU平面CDDC,所以BC_L，

又CD,cBC=C,CD],BCu平面BCD,,所以DQ，平面BCD,,

平面BCRc平面ABCD=3C,/^平面回口^點尸總滿足「，，^^，

所以Pe平面BCR,所以則動點P的軌跡是一條直線，故①正確；

對于②，24c平面ABCD=3,Pe平面"8,則點P到直線2瓦等于尸到8的距離，

又尸到平面CDD￡的距離等于P到DC的距離，

則尸到B的距離等于尸到。C的距離，由拋物線的定義可知，動點尸的軌跡是拋物線，故②正確；

對于③，點尸到直線。，的距離等于P到。的距離，所以P到。的距離與到點C的距離之和為2,即

|PD|+|PC|=2=|DC|,則點P的軌跡為線段。C,故③不正確.

所以正確的命題個數(shù)是2.

故選：C.

14.D

【分析】由焦半徑公式列出方程，求出P=4,得到邸=4,求出|。尸|的長.

【詳解】拋物線準線方程為了=一言，由焦半徑可知：1+^=2,解得：p=2.

則C:y2=4x,此時y：=4,貝U|。尸|=+4=逐.

故選：D

15.①③④

【分析】選項A,用(f,-y),(r,y),(x,-y)代替(x,y)驗證①；取x=；,即可求解方程的根判斷②，根

據(jù)題中條件，得出V+y2的范圍，即可判斷③正確；根據(jù)題意，可分析xe(O,l),y>。時的情況，確定第

一象限部分圖象應在y=l,x=l與坐標軸圍成的正方形外部，對應的面積一定大于1,根據(jù)對稱性，即可

判定④.

【詳解】將代入(r)2+(r)2=i+|(r)(-刈，整理得/+9=1+|孫所以曲線c關(guān)于原點對

稱，

同理將(-％日,(用-、)代入方程整理后其方程不變，故曲線關(guān)于羽y軸對稱，故①正確；

取X=g,則/+；=1+：3，故|y「一g?一|=0,

I+A/131+3(增根已舍去)，因此②錯誤,

---------〉------

44

丫2

因為爐+/=1+回區(qū)1+土+產(chǎn)，當且僅當x=y時，等號成立，所以Y+y2v2,

則曲線上任意一點到原點的距離的最大值為正了7=血；故③正確；

令xe(0,l),y>0可得J_孫+/_]=0,

令/3='2_孫+彳2_],

因為A=4-3f>o,

所以函數(shù)有兩個零點，

又因為〃0)<0,/(l)=x2-x<0,

所以兩個零點一個小于0,一個大于I,

即曲線C上當xe(o,l)時y>l,

同理當y?(0,1)時x>1,

即第一象限部分圖象應在y=1,尤=1與坐標軸圍成的正方形外部，

所以第一象限內(nèi)的面積應大于1；

由圖象的對稱性可得，曲線c所圍成的區(qū)域的面積應大于4,故④正確.

故答案為：①③④

16.2(答案不唯一)

【分析】根據(jù)拋物線性質(zhì)有眼目之與，結(jié)合已知得。22,即可得.

【詳解】由拋物線的性質(zhì)知⑼若，又|炳21,即自lnpN2.

所以P的一個值可以為2.

故答案為：2（答案不唯一）

17.3

【分析】先求出0=2,然后得出拋物線的準線方程，即可得出答案.

【詳解】由題可得4=1,所以0=2,

2

所以準線/：y=T,所以C上一點A（f,2）至IJ/的距離為2+1=3,

故答案為：3.

18.（0,3）1

【分析】由拋物線性質(zhì)可知焦點坐標；過3作5。垂直于直線>=-3,由比例關(guān)系得出3到x軸的距離.

【詳解】拋物線C:x?=12y的焦點尸（0,3）,準線產(chǎn)-3.

過B作垂直于直線產(chǎn)-3于。，則3￡>//y軸.

設直線產(chǎn)-3與>軸交于點C,

....AB2

因為荏=2而，所以|4?|=2忸耳，%下=§，

BDAB2

由皿/y軸得，出=行=葭

??

所以忸必=§pC|=§x6=4,

因此點B到x軸的距離為1.

故答案為：（3,0）;1.

19.2

【分析】求得M，N的縱坐標，進而可求得p=2,可得結(jié)論.

【詳解】拋物線。：/=2/（0>0）的焦點為尸《,0

因為過點尸且垂直于其對稱軸的直線交C于點Af,N,所以無“=/=￡,

將無M=XN=光，代入拋物線方程，可得加=?，班=-。，

所以|MV|=p+0=2p=4,解得。=2,

焦點到其準線的距離為2.

故答案為：2.

20.-/0.5

2

【分析】由拋物線的定義可知，過尸作x軸的垂線垂足是焦點，即可得到答案.

【詳解】拋物線焦點在x軸上，且焦點尸(),0；故拋物線的對稱軸為x軸，

拋物線/=2了上一點P(x0,%)到準線的距離與到對稱軸的距離相等，

由拋物線的定義可知，點尸(%,%)到準線的距離與到焦點的距離相等，

所以，若尸尸，x軸，則垂足為點尸，即

故答案為：!

21.(0,1)相切

【分析】第一空由點在拋物線上代入可得拋物線方程，進而得到焦點坐標；

第二空由兩點間距離公式求出圓的半徑與焦點到準線的距離相比較可得.

【詳解】由題意可得4=2pnp=2,所以4=1,

2

所以拋物線C的焦點F的坐標為(0,1)；

由兩點間距離公式可得|楨|=^(2-0)2+(1-1)2=2,即為圓的半徑，

又焦點到準線的距離為2,

所以|引0|為半徑的圓與拋物線C的準線的位置關(guān)系是相切.

故答案為：(0,1);相切.

22.2-/0.5

2

【分析】借助拋物線的性質(zhì)及其定義計算即可得.

【詳解】由拋物線準線方程為y=T,故P=2,

則％2=4y,尸(0,1),由加(5,%)在拋物線上，

故時|=%+=

^\OM\=\FM\,可得■+此=(%+1)2,

即X：=2%+1=4%,即為=；?

故答案為：2；.

23.(1,0)2

【分析】根據(jù)拋物線的方程即可得出焦點坐標，根據(jù)拋物線的定義求出|P4|,|。鳥|,進而可得出

【詳解】由拋物線G：/=4x,可得K（1,0）,

設P（%，yJ，Q%，％），

則|兩|=百+1,|°&|=%+2,

故|尸耳|—|Q町=%—馬—1=1,所以占一3=2,

所以「。|=可一&=2.

【分析】由拋物線的性質(zhì)得到M到C的準線的距離，然后解出M的橫坐標，最后求出M到直線》=-2的

距離即可.

【詳解】由點M在C上，C：^二以的焦點為尸，準線為x=—l,知/到直線x=T的距離等于

而|MF|=3,故M到直線x=T