吉林省長春市中考一輪復習三角形

知識點1三角形初步

1.三角形的定義：

由3條不在同一直線上的線段，首尾順次連接組成的封閉圖形稱為三角形.如下的圖形就是

一個三角形.

2.三角形的各組成部分：

(1)邊：組成三角形的三條線段就是三角形的三條邊；

(2)頂點：三角形任意兩邊的交點均為三角形的頂點；

(3)通常情況下，我們用三角形的三個頂點加以一個來表示一個三角形，在表示三

角形時，三個字母之間并無順序關系.如上圖中，此三角形可以表示為，MBC或3AC或△

CBA.

(4)內角：三角形兩邊所夾的角，稱為三角形的內角,簡稱角.例如上圖△ABC中，NA,

NB,NC都是三角形的內角.

3、其他概念與定理

三角形內角和定理：三角形的內角之和為180°.

三角形外角定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和.

三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

三角形中邊角關系：大邊對大角，等邊對等角.

高：頂點到對邊的距離叫做三角形的一條高.

三角形角平分線的性質：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

中線：三角形頂點到對邊中點的連線叫三角形的中線.中線把原來整個三角形分成兩個面積

相等的小三角形.

4、三角形分類：

‘銳角三角形

Q）按角分：三角形-直角三角形

鈍角三角形

'普通三角形

（2按邊分：三角形等腰三角形

等邊三角形

5、三角形的特性：穩(wěn)定性

知識點2等腰三角形

等腰三角形的概念與性質

1、等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.相等的兩邊叫做三角形的腰，第三

邊叫做三角形的底.

2、等腰三角形的性質

①等腰三角形的腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等（簡記為"等邊對等角"）

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，稱為"三線合一"

知識點3等邊三角形

等邊三角形：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫正三角形.

等邊三角形的性質：

①三邊相等

②三個內角相等,都是60°

③它是軸對稱圖形，對稱軸分別是三邊上的高.

知識點4直角三角形

直角三角形定義：有一個角為90。的三角形，叫做直角三角形.

1、直角三角形的性質：

性質1:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方(勾股定理).

性質2:在直角三角形中，兩個銳角互余.

性質3:在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊

的中點)

性質4:直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積.

性質5:在直角三角形中，如果有一個銳角等于30。用B么它所對的直角邊等于斜邊的一半；

在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30。.

2.勾股定理

(1)勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊的平方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

(2)勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中.

(3)勾股定理公式a2+b2=c2的變形有:a2=c2-b2,b2=c2-a2Rc2=a2+b2.

(4)由于a2+b2=c2>a?,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

3.勾股定理的逆定理：

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形就是直

角三角形.

對應訓練

一'單選題

1.下列各組數(shù)作為三角形的三邊長，不能構成直角三角形的是（）

A.6,9,12B.5,12,13

C.1,V2,V3D.0.3,0,4,0.5

2.如圖，在AABC中，D為BC邊上一點，Zl=Z2,z3=Z4,ZBAC=108°,

則ADAC的度數(shù)為（）

A.75°B.80°C.84°D.86°

3.△ABC中，中線AD,BE相交于點F,若△AEF的面積為2,則△ABC的面積為（）

A.12B.13C.14D.15

4.如圖所示，在AABC中，/ACB=90。，ZB=15°,DE垂直平分AB,交BC于點E,

AC=3cm,則BE等于（）

A.6cmB.5cmC.4cmD.3cm

5.在△力BC中，AB=2n-5,AC=4,BC=13,貝切的取值范圍是（）

A.n<11B.7<n<11C.9<n<17D.n>7

6.等腰三角形的兩條邊長分別為5和6,則這個等腰三角形的周長是（）

A.11或16B.16C.17D.16或17

7.如圖，在△ABC中，AB=5,AC=11,點。在AC上，若BD=CD=6,4E平分NB4C,

則4E的長為（）

4C.5D.6

8.如圖，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,點E為AC的中點，連接DE,若△ABC

的周長為20cm,則ACDE的周長為（)

A

B.12cmC.14cmD.16cm

9.如圖，Rt△4BC中，乙ACB=90°,乙B=30°,CD是斜邊43上的高，AD=3,貝的

長是（）

9C.6D.3

10.在△43。中，AC7,BC4,M是4B上的一點，若△力CM的周長比△BCM的周

長大3,根據(jù)下列尺規(guī)作圖痕跡可以得到符合條件的CM的是（

A.

11.如圖，在△ABC中，AB=AC,乙4=40。，分別以點A、C為圓心，以適當?shù)拈L度

為半徑畫弧，過兩弧的交點作直線交ZB于點。，連接CD；再如圖所示作射線BP,交CD

于點P.根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結論錯誤的是（）

A.AD=CDB.AABP=乙CBPC.乙PBC=乙4D.乙BPC=115°

12.如圖，“今有竹高兩丈五尺，末折抵地，去本五尺，問折者高幾何？”意思是：一根

竹子，原來高兩丈五尺（一丈為十尺），蟲傷有病，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵

地，抵地處離原竹子根部五尺遠，則折斷處離地面的高度為（）

A.12尺B.13尺C.15尺D.25尺

13.如圖，在△ABC中，CD平分NACB,交AB于點D,BE平分Z力BC,交CD于點E,AE的

延長線交BC于點F,若4B=AC=5,BC=6,△BEF與△ABE的面積比為（）

C.D.4

5

二'填空題

14.如圖，在△ABC中，AC=6,按以下步驟作圖：①分別以B,C為圓心，以大于

：BC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交AC于D,連接BD.

若BD=4,則AD=.

16.如圖，在△ABC中，^ABC=90°,ZACB=60。，BD1AC,垂足為D.若AB=6,

則DC的長為.

17.如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD的邊AB、CD上的點，AF與DE相交于點P,

2

BF與CE相交于點Q,若Sup。=17cm2,S^BQC^27cm,則陰影部分的面積為

18.如圖，已知BOB=60。，點P在。4邊上，OP=8cm，點M、N在邊

OB±,PM=PN,若MN=2cm,則OM=cm.

0

19.如圖，在4ABe中，Z.BAC=120°，分別作AC,AB兩邊的垂直平分線PM、

PN,垂足分別是點M、N.以下說法正確的是（填序號）.

①NP=60°；@AEAF=NB+NC；③PE=PF；④點P到點B和點C的

距離相等.

20.如圖，DE是△ABC中AC邊的垂直平分線,若BC=8,AB=10,則仆EBC的周長

是.

21.如圖，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線,分別交BC,AC于D,E,AE=4cm,

△ABC的周長為14cm,則△ABC的周長為cm.

22.借助如圖所示的“三等分角儀”等三等分某些度數(shù)的角，這個“三等分角儀”由兩根有

槽的棒OA,OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉動，C點固定，OC=CD=DE,

點D,E可在槽中滑動.若NBDE=75。，則NCDE=°.

23.如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=5cm,AB的垂直平分線交AB于點D,交AC

于點E,△BCE的周長為12cm,則^ABC的周長為cm.

A

24.如圖，已知AZBC中，BD、CE分別是乙4BC、乙4cB的平分線，BD、CE交于點0,

三'解答題

25.如圖，在△ABC中，點。在BC邊上，BD=AD=AC,E為CD的中點.若

NB=35。，求乙CAE的度數(shù).

26.如圖，F(xiàn)A1EC,垂足為E,ZF=40°,ZC=20°,求/FBC的度數(shù).

27.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,ZA=90。，BD是△ABC的角平分線，DE1BC

于點E,EC=4cm,求BC的長度.

28.如圖，鐵路上A,B兩點相距25km,C,D為兩村莊，1于點A,CB1于

點B,若D4=10km,CB=15km,現(xiàn)要在AB上建一個周轉站E,使得C,D兩村到

E站的距離相等，則周轉站E應建在距A點多遠處？

29.如圖，在△ABC中，AD為AABC的高，CE為△ABC的角平分線，CE交AD于

點G,ZB=50°,ZAEC=80°,求NCAD的大小.

BD

30.如圖，馬路一邊有一根5.4m長的電線桿被一輛貨車從離地面1.5巾處撞斷裂，倒下

的電線桿頂部的是否會落在離它底部3.8m遠的快車道上？說明理由.

31.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小方格邊長均為1,△ABC的頂點在格點上，判斷△ABC

的形狀，并說明理由.

四、綜合題

32.如圖，在AABC中，AC=6,D為BC邊上一點，且CD=1,AD=V37,BD=5,

點E是AB邊上的動點，連接DE.

(1)求AB的長；

(2)當ABDE是直角三角形時，求AE的長.

33.如圖，在等腰三角形4BC中，底邊BC=回，D是4C上一點，連接

BD,BD=5,CD=2.

(1)求證：4BDC是直角三角形;

(2)求AB邊的長度.

34.如圖，點O是等邊△ABC內一點，點D是△ABC外一點，ZAOB=110°,ZBOC

=a,ABOC^AADC,連接OD.

(1)求證：AOCD是等邊三角形；

(2)當a=150。時，試判斷AAOD的形狀，并說明理由;

(3)當(1=/人013,AO=8cm時，求OC的長度.

35.一架長為10米的梯子AB,頂端B靠在墻上，梯子底端A到墻的距離AC=6

米.

(1)求BC的長；

(2)如圖梯子的頂端B沿墻向下滑動3米，問梯子的底端A向外移動了多少米?

36.如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都是1.

B

(1)線段AB的長度是；

(2)請在網(wǎng)格中畫出線段AC=逐，BD=2y[2,且C,D為4B右側的格點(網(wǎng)格線

的交點)；

(3)以48、AC,BO三條線段為邊能否構成直角三角形，并說明理由.

37.如圖，AD是△ABC的邊BC上的高，NB=60。，ZC=45°,AC=6.求：

.

Hnc

(1)AD的長；

(2)AABC的面積.

答案

L【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】B

11.【答案】C

12.【答案】A

13.【答案】A

14.【答案】2

15.【答案】55

16.【答案】V3

17.【答案】44cm2

18.【答案】3

19.【答案】①②④

20.【答案】18

21.【答案】22

22.【答案】80

23.【答案】19

24.【答案】55°

25.【答案】解：?:BD=AD,48=35。,

"BAD=CB=35°,

J.^ADE=匕BAD+ZB=70°,

*：AD=AC,

：.Z.C=/LADE=70°,

*：AD=AC,E為CD的中點，

：.AE1DC,

J./.AEC=90°,

：.LEAC=90°-ZC=20°.

26.【答案】解：VZC=20°,ZAEC=90°,

.\ZA=90o-ZC=70o,

JZFBC=180°-ZF-ZA=180o-40o-70o=70°,

JZFBC=180°-ZFBA=110°.

27.【答案】解：vAB=AC,乙4=90°,

???乙ABC=ZC=45°,

vBD是4ABe的角平分線，DE1BC,乙4=90。,

???AD=DE,

???乙DEC=90°,ZC=45°,

???乙EDC=45°,

??.DE—EC,

???EC—4cm,

??.AD=DE=4cm,

在RtADEC中，根據(jù)勾股定理，得CD=y/DE2+CE2=4V2cm,

AC=(4+4V2)cm，

AB=AC=(4+4V2)cm,

在RtA/BC中，根據(jù)勾股定理，得：BC=y/AB2+AC2=(4>/2+8)cm

28.【答案】解：設E點在距A點xkm處,

則AE長為xkm,BE長為(25-x)km.

vDALAB,DAE是直角三角形.

由勾股定理，WDF2=AD2+AE2=102+x2.

同理，在RtACBE中，CE2=CB2+BE2=152+(25-%)2,由題意，得DE=CE,即

DE2=CE2..

102+x2=152+(25一久)2,

解得久=15.

答：E應建在距A點15km處.

29.【答案】解：,.?/B=5O°,NAEC=8O°,

ZBCE-300

；CE平分NACB,

.?./ACB=2/BCE=60°

VADXBC,

ZADC=90°,

，ZCAD=90°-60°=30°

30.【答案】解：不會落在離它的底部3.8M遠的快車道上，理由如下：

'：AB=1.5(m),

=BC=AC—AB=3.9(m)

，在RtABAG中由勾股定理得AC】=V3.92-1.52=3.6(m)

V3.6<3.8,

???電線桿頂部不會落在離它的底部3.8m遠的快車道上.

31.【答案】解：△ABC是直角三角形.

理由：由勾股定理，得AB=722+32=舊；

BC=V42+62=2V13;

AC—V82+I2=V65.

'：AB2=13,BC2=52,AC2=65,

：.AB2+BC2=AC2,

.二△ABC是直角三角形.

32.【答案】(1)解：在△47。中，

222

"：AC=62=36,CD=I2=i,AD2=(737)=37,

：.AC2+CD2=AD2,

...△ACD是直角三角形，且NC=90。,

,:BD=5,

：.BC=CD+BD=1+5=6,

在RtAACB中，AB=yjAC2+BC2=V62+62=6近

(2)解：'：AC=BC=6,NC=90°,

i

:.乙B=ABAC=2X(180°-ZC)=45°,

若△BOE是直角三角形，如下圖，可分兩種情況分析:

①當NBD第=90。時，△BDEi是等腰直角三角形，且BD=DEr=5,

222

在RtABD%中，BE1=JBD+DE^=V5+5=5A/2-

.??g=AB-BE1=6V2-5V2=V2;

②當N8殳。=90。時，是等腰直角三角形，設6%=。％=K,

222

在RtABD%中，BE2+DE2=BD,即/+/=52,

解得久=±^V2,

Vx>0,

?'?x=V2

?'-BE2=|V2，

c7

^AE2=AB_BE2=6V2-|V2=^V2.

綜上所述，AE的長為/或彳魚.

33.【答案】(1)證明：；BC=V29,BD=5,CD=2,

CD2+BD2=4+25=29=BC?,

."BDC是直角三角形

(2)解：設腰長4B=4C=%.

??,在Rt/ADB中，AB2=AD2+BD2,

/=(久_2)2+52,

解得％=?，

即：AB=汽=M

34.【答案】(1)解：,.?△BOC義△ADC,

AOC=OD,NOCB=NACD,

JNOCD=NACB,

VAABC為等邊三角形，

???ZACB=60°,

???ZOCD=60°,

/.△OCD是等邊三角形；

(2)解：AAOD是直角三角形，理由如下：

VAOCD是等邊三角形，

.\ZODC=ZCOD=60o,

VABOC^AADC,

.\ZADC