第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與數(shù)學(xué)模型

?例題解析

例27機(jī)械系統(tǒng)如圖2-1所示，?)為外力,M，%為質(zhì)量，一和以為阻尼系數(shù),

A為彈性系數(shù)。求以質(zhì)量M的速度均和位移為為輸H，七)為輸入時(shí)的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解：先畫出以M和此的受力圖如圖2-2。

根據(jù)圖列出如下方程:

2-2,中i

M河+〃[(匕_=r

B2—

M^V2+kxy=/?!(%—%)K

r一q

M2

82。)③⑴

零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，并整理得:

圖2-2

消去中間變量匕⑶得

憶S+d+4

匕(S)=-----------------=——R(S)

(M|S+:+,)(%$+4+?)-b;

/s

所以，以Vi⑶為輸出，R(s)為輸入的傳遞函數(shù)是

、匕⑸+b2+k

=

G(s)=-------=----------------------------2;-------------------^―

R(s)(M,s+b,+b2)(M2s+b,s+k)-bfs

若輸出為Mi的位移X”則由于sXi(s)=%($),故其傳遞函數(shù)為

X1(s)1V,(5)MS2+bs+k

G（5）=------=--------2[

22

R(s)sR(s)+4+b2)(M2S+b[s+k)-b；s

例2-2如圖2-3所示的RC電路，試畫出其結(jié)構(gòu)圖，并求出其傳遞函數(shù)。

RIR2

o-----1O

C112<s)

U“s)

Ui(s)U(s〉C2

OQ

圖2-3

解:輸入為Yi（o）,輸出為Y°（o）,其他參數(shù)如圖所示根據(jù)電路定律得值接寫成頻譜形式

）

“⑻-。（5）4=/?。?/p>

/1（5）-Z2（5）=/（5）

/（s」=U（s）

[U(s)—U°(s)]!=/2(S)

A2

2⑸自嗎⑸

上述五個(gè)式子結(jié)構(gòu)如圖2-4

Yo(o)

圖2-4

將輸入量Yi(o)置于最左邊，輸出量Y°(o)置于最右邊，將各子結(jié)構(gòu)圖按邏輯連接起來,

構(gòu)成系統(tǒng)完整的結(jié)構(gòu)圖，如圖2-5所示。

圖2-5

為了求出傳遞函數(shù)，需將此結(jié)構(gòu)圖等效變換如圖2-6和2-7

所以傳遞函數(shù)為：

4⑻]

G(s)=

UjG)(R]Gs+1)(R2c2s+1)+R1C2s

圖2-6

圖2-7

例2-3系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-8所示,求傳遞函數(shù)。

R(s)C(s)

解：用結(jié)構(gòu)圖2-9等效變換法求解。

圖2-9

得傳遞函數(shù)為

G]G2G3G4

G“(s、)=-C----"--)

RG)l-G,G,H,+GG,G3G4H3

例2-4用結(jié)構(gòu)圖等效變換法，求圖2TO所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù).

RG)

圖2-10結(jié)構(gòu)圖

解:

圖2-11

得傳遞函數(shù)為《史=(G1+G3)G2

R(s)1+G2(H2G,+77,)

例2-5結(jié)構(gòu)圖如圖272所示，求包?。

RG)

圖2-12

等效方法一:

圖2-13

解得G(S)=9DG。2G3G4

R(s)1+G2G3H3+G3G4H4+G。2G3H2—G。2G3G4Hl

等效方法二:

R(s)

圖2-14

結(jié)果同上。

例2-6某系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖275所示，試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)且宜。

R(s)

圖2-15

解:

圖276

圖2-18

R⑸C(s)

圖2-19

>I

圖2-20

所以,

G⑸嗡=1

例2-7系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-21所示，求出。

圖2-21

解：用等效變換法求解。

圖2-22

圖2-23

R(s)C(s)

圖2-24

C(s)

圖2-25

RG)C(S)

圖2-26

所以

GGGGH

G(s)=-----\2~3-31

R(s)1+d+G+G2+GXG2-G3和兄

C(s)

例2-8系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-27所示。試求上2C⑸。2（5）。2⑸

R2G），R\（S）'Kw

圖2-27

解：用結(jié)構(gòu)圖等效變換法求解。如圖2-28和2-29。

圖2-29

計(jì)算32和￡區(qū)時(shí)令R2（S）=0,有:

叫（S）&（S）

圖2-30

圖2-31

G]G2G3

所以

G(s)_________________1_GIG.

R、G)]+(G[G2G4G5W”2)

l-GG1+G,G)

(l+GJGG2G3

1+G4-G]G2-G]G2G4+G,G4G5/71/72

…（—哈（鬻心

Go（5）_1-GjG,G21+G4

何=1+（巫^）（星）％）儲

1

\-G}G2G21+G4

_G]G4G5G6也

1+G.-G.Go—GiG->G.+G,GGH,H

IXI4S12X

同理，計(jì)算￡3和CM時(shí)，可令Q(s)=O,方法同上，略。

R式s)6(s)

例2-9系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-32所示，求也。

R(s)

R3C(5)

解法一：由結(jié)構(gòu)圖等效變換求解。

圖2-33

圖2-33

C(s)G、G2G3+G(l+G2G3H2+GH—GGH)

所以,42]]2i

圖2-35

信號流圖為

該信號流圖由兩條前向通路，三個(gè)獨(dú)立回路。

前向通路增益為：

P\-GiG2G3.P?=GA

三個(gè)獨(dú)立回路分別為：

—G2G3HGiH?,+GiG2Hl

所以△=1+G2G3H2+G2H1~G\GiH\

A1=1,△2=△

所以

C（5）1ypAGIG2G3+G4（l+G2G342+G2〃「GGd）

K

K-l+G2G3/72+G2/7,-G1G2771

例270系統(tǒng)如圖2-37所示，用梅遜公式求9此，包。。

R（s）R（s）

圖2-37

解：（1）將圖2-37中各信號端口標(biāo)注出來（圖2-38）,然后依次畫出相應(yīng)得信號流圖。

（圖2-39）

圖2-38

H

?2

圖2-39

(2)求裝,該系統(tǒng)由兩條前向通道，三個(gè)獨(dú)立回路。

R(s)

Pl=G/G2G3,尸2二G4G3

Lx=-G3H2,L2=-G1H1,L3=-GIG2G3HTH?

其中L[和與不接觸。

所以

△=1+G3H2+G1M+G1G2G3H1H2+G3H2G1H1

△i=l,A2=1'^'G\H\

所以

C(5)_G|G2G3+G4G3(14-Gj//1)

l+G3H2+G|H1+G]G2G35/+G3H

求￡①，該系統(tǒng)有兩條前向通路，三個(gè)獨(dú)立回路。

RG)

Pi=1,Pi=-G4G3H2Hl

A=1+G3“2+G|M+GIG2G3MH2+G3"2G]H]

△1=1+G3〃2，△2=1

所以gl+GjHz-GGHM

'R(s)A

例271系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2-40所示，用梅遜公式求馬。

R(s)

圖2-40

解：先將各節(jié)點(diǎn)標(biāo)注出來，然后畫出相應(yīng)的信號流圖如圖2-41,2-42o

該系統(tǒng)有九條前向通路，四個(gè)互相接觸的單獨(dú)回路，分別為：

SSS'SSSS'

p3=="P4=K0d）d）=與

sssss

（-）（—）（-）=5,（-）（-）=i

p5=P6=

5sssSS

86=—s（g）d）=（—&）

=-SK2（-）=-K2,

ssss

.=r（_Kjd）d）=（區(qū)）

sss

—,一半，-a，一呼

所以

+*+等

A尸△2二△3二△4二△5二△6二△7二△8二△9二1

。($)

SSSS

1

例2-12RC網(wǎng)絡(luò)如圖2-43所示，其中

〃1.〃2分別為網(wǎng)絡(luò)的輸入量和輸出量，現(xiàn)要求;

（1）畫出網(wǎng)絡(luò)相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖；

（2）求傳遞函數(shù)S⑸/UG）,并化為標(biāo)

準(zhǔn)形式；

（3）討論元件凡，&，G.C2參數(shù)的選擇

是否影響網(wǎng)絡(luò)的絕對穩(wěn)定性。

解：（1）根據(jù)圖2-43所示列方程：

輸入回路

5=/?/+(/”)丁1)

C2s

輸出回路U)=R、I)+(/[+/))---2)

C25

/內(nèi)=(%+；)，2

中間回路3)

C]S

4_Cs

由式1）24)

。J_,RCs+l

12

C2s

I_RC.

由式3）25)

/|R2cls+1

4=44+(&+上)/

由式2）6)

C2sC2s

由式4),式5),式6)可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-44所示。

圖2-44

(2)用梅遜公式求出:

―Oil—xR]C]Sf凡+—1+—2—X-

R|C,s+l&Gs+l(2Cs)R]C,s+lCs

。2(5)22

RGsI

1+X4'X___

&G$+1C2s

R[R2cle2s2+(/?]+R>)C]S+1

R]R2cle2s2+(R]C、+R、C[+R[G)s+1

(3)元件R,R2.C,.C2參數(shù)均為大于零的常數(shù)，且系統(tǒng)特征多項(xiàng)式是二階，無論RL

&C,C2怎樣取值，系統(tǒng)特征多項(xiàng)式系數(shù)總大于零，故不影響系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性。

例273某系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖2-45所示，R⑸為輸入，尸⑸為擾動(dòng)，。⑸為輸出。試：

(1)畫出系統(tǒng)的信號流圖；

(2)用梅遜公式求其傳遞函數(shù)C(s)/R(s)；

圖2-45

（3）說明在什么條件下，輸出。⑸不受擾動(dòng)P（s）的影響。

解：（1）將圖2-45中各端口信號標(biāo)注出來（圖2-46）,然后依之畫出相應(yīng)的信號流

圖2-47

(2)該系統(tǒng)有四條回路，兩條前向通道。

A=1-[-GIG2/7I-G2G.H2-GQ2G3G4“3-G|G5H3]=

1+GiG2Hi+G2G3H2+G\G2G3G4H3+G、G5H3

p

\=^G2G3G4A1二l

P?=G&A2=l

C(.v)G[G2G3G4+G[G$

R(s)1+G(G2//1+G2G3H2+G]G2G3G4H3+GiG5H3

(3)擾動(dòng)P(s)到輸出C(s)由兩條前向通道。

P}=G3G4A,=1+GIG2H1

P2=-G.H2G5A2=I

C(s)_______G3GKl+GGHJ-Gs/Gs_________

P(.s)1+G[G2H+G2G3H、+G[G2G3G4H3+GiG5

令”2=0,得P⑶不影響c(s)的條件:G4(1+GQ/|)二GR。

P(s)

例274某復(fù)合控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖2-48所示。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖2-48

解:用梅遜公式求解。本題結(jié)構(gòu)圖中有六條前向通路，三個(gè)回路，回路間均有接觸。

,r11TS+\1壯11、,1KKS+1）

A=1-[-----K-------------K一一]=1+—+~2~^~3-

PLH±LLK3+1）

[=K~3=1

SSS

P2=KL與—1

SSS

21窈+11TS+1

A=S---------&=1

111

舄D=s-2——=1A4=1

SS

八Z5+11砧+1

4=-5-------

SS

p&=-s（--）-=-46=1

故

K（TS+1）+Ks+52（75+1）+§3—1（Z51+1）+S2

=1

s'+§2+Ks4-KTS4-K

例2-15系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-49所示，求。⑸依⑶o

圖2-49

解：用梅遜公式求解。本題結(jié)構(gòu)圖有兩條前向通道，六個(gè)回路，其中有一組兩兩互

不接觸回路。

△=1_{一"-G,—G—GG,一(-G)-[-(-G.)])+[-(-0)](一")

=1+7/+G?+G]+G]GcGyH

P{=G{G2A,=1

P2=-G3A2=1-(-//)=1+//

故

GG—(I+”)G3

①($)=

1+G]+G?+H+G|G2—G3H

例2-16系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-50所示，求V(5)/C(.f)o

解法一：C(s)并不是一個(gè)可自由變動(dòng)的獨(dú)立信號，因此直接可以寫出

V(s)/C(s)=%(s)

圖2-50

解法二：利用梅遜公式求解。

C(s)G(s)d(s)G3(s)

RG)A

V（S）G（S）G2（S）G3（S）"3（S）

R(S)A

V(s)=V(s)/R(s)

故="3（S）

C(5)-C(5)//?(5)

例277設(shè)線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖2-51所示。試:

(1)畫出系統(tǒng)的信號流圖；

求傳遞函數(shù)C（$）/R］（s）及C（S）/R2（S）。

圖2-51

解：（1）在結(jié)構(gòu)圖上把需要引出的信號做出標(biāo)記（如圖2-52中的“O”所示），對應(yīng)

畫出信號流圖2-53所示。

（2）利用梅遜公式：當(dāng)用⑸單獨(dú)作用時(shí)，系統(tǒng)有3條前向通道，3個(gè)回路，其中一

組兩兩互不接觸。

圖2-52

C

1

圖2-53信號流圖

J_____——^)1-(--^)(—^")=

A=l-[一（

5+2s+ass+as+2s+2s+as

s+2s(s+a)(s+tz)(s+2)s(s+a)(s+2)

?KT、、K

耳=——A,=1-(-----------)=1+----------

s+2s+ass(s+a)

1K

P?二4=1

s+2(s+〃)

1___K_\_

P\=△3=1

s+2s+as

故

1八K、KK

C(5)_zL^Ai_s+2s(s+a)(s+2)(s+a)s(s+2)(s+a)

而二^^\「KK?k"-

s+2S(S+Q)(s+〃)(5+2)s(s+2)(s+〃)

_____s(s+4-K)_____

s3*s+(a+13)52+3as+3K

以⑸單獨(dú)作用時(shí)對應(yīng)有兩條前向通路。

A1二1

△2=1+

s+ass+2

故

KKT)

-----+---------

C（5）s+as(s+a)K(1+3S+3)

KKK53+(。+3)52+3as+3K

此⑸14

5+25(5+a)(S+Q)(S+2)5(5+2)(.v+a)

例278系統(tǒng)微分方程式如下：

用=匕[，,⑺-。⑺一"3]

X=TT（t）

<2

TX3+￡=占+X2

c（0=k2x3

式中是輸入量；c⑺是輸出量；為，處,工3為中間變量；心廠,匕，％2為常數(shù)。畫出系統(tǒng)

的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C（s）/R（s）。

解：分別對微分方程進(jìn)行拉氏變換可得：

XiK\

尺⑸一C（5）-px.s

X/R(S)=TS

X31

X1+X2Ts+\

C(s)/X.=^~

對每個(gè)方程相應(yīng)做出了結(jié)構(gòu)圖，如圖254所示，連接各子結(jié)構(gòu)圖成為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,

如圖2-55所示。

圖2-54子結(jié)構(gòu)圖

圖2-55

(2)利用梅遜公式求C(s)/R(s):系統(tǒng)有2條前向通路，2個(gè)回路。直接寫出傳遞函

數(shù)：

k島?欣2

2

/(7\+1)7\+1_rk2s+k1k2

麗~~[?k\0?g~"+—+匕伙+匕&

s(7\+l)52(Ty+1)

例2-19若某系統(tǒng)在階躍輸入作用中)=1⑺時(shí)，系統(tǒng)在零初始條件下的輸出響應(yīng)

C(，)=l—/2，+e7試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。

解:先求傳遞函數(shù):

111

C⑸二"C⑺]=不一羊+?Tis2+45+2

G(s)=

R(s)L[r(r)]]s~+3s+2

再求單位脈沖響應(yīng)：

單位脈沖響應(yīng)等于單位階躍響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)或等于傳遞函數(shù)的拉氏變換。

即：

〃Q)=5⑺+2e-2t-el

dt

或

7/、Is+4s+2_i.12、c-2ii

h(t)=L—.........=Lr11------+-----=^(r)+2e2/-e1

s~+3s+2_s+1s+2_

2

例2-20己知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=—二—

s(s+3)

且初始條件為c(O)=-l,c(O)=0o

試求：系統(tǒng)在中)=1⑺作用下的輸出響應(yīng)

c⑺。

解：依題意可畫出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，如圖

2-56所示。

圖

系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)2-56

2

s-+3s+2

對應(yīng)系統(tǒng)微分方程

c(t)+3c(t)+2c⑴=2r(t)

進(jìn)行拉氏變換得

[s2C(s)-$c(O)-c(O)]+3[sC(s)-c(O)]+2c(s)=2R(s)

(s2+3s+2)C(s)=2R(s)+c(O)+sc(O)+3c(0)

故

-s~—3s+2

C(s)=

s~+3s+2s(s+l)(s+2)

42

分解部分分式得c⑸4---------1----------

s+1s+2

故c(1)=l—4/+2?3

J列2-21ConsiderthemechanicalsystemshowninFig.2.1(a)anditselectricalcircuit

匕G)

analogshowninFig.2.16(b).Findthetransferfunctionofthissystem

Thevelocities,V)(/)and匕")，ofthemechanicalsystemaredirectlyanalogoustothenode

voltagesV|(f)andoftheelectricalcircuit.Thesimultaneousequations,assumingthe

initialconditionsarezero,

(2.1)

叫(s)+g+b2M(s)-4匕(s)=R(s)

(S)+(一匕叢

M2SV2b][y2(s)(s)]+kn=0

(2.2)

Theseequationsareobtainedusingtheforceequationsfbrthemechanicalsystemof

Fig.2.1(a).RearrangingEqs,(2.1)and(2.2),weobtain

[MS+(2+b2)]V](S)+(—a)V2(5)=R(S)

(一2)匕(s)+M25+Z?,+-JV2(5)=0

or,inmatrixform,wehave

(M]S+4+4)(-4)仔(叫_坪

(2.3)

(-4)%s+4+—1KG)o

ls)^-

FIGURE2.1

FrictionZ??K

Two-mass

z\

;(fl

2xzMechanicalsystem,

%electriccircuit

Friction/?!analogCi=M|.

C2=M2.L=l/k,

velocity

Ri=l/bi，

—