第09講探索與表達(dá)規(guī)律(2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+2種題型+過關(guān)檢測)

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)1.規(guī)律型：數(shù)字的變化類避一.規(guī)骸：數(shù)字的變硬

探索與表

達(dá)規(guī)律

知識(shí)點(diǎn)2.規(guī)律型：圖形的變化類題型二.規(guī)律型：圖形的變像

知識(shí)梳理

知識(shí)點(diǎn)L規(guī)律型：數(shù)字的變化類

探究題是近幾年中考命題的亮點(diǎn)，尤其是與數(shù)列有關(guān)的命題更是層出不窮，形式多樣，它要求在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上去

探究，觀察思考發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

(1)探尋數(shù)列規(guī)律：認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法，通常將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與

前后數(shù)字進(jìn)行簡單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式.

(2)利用方程解決問題.當(dāng)問題中有多個(gè)未知數(shù)時(shí)，可先設(shè)出其中一個(gè)為尤，再利用它們之間的關(guān)系，設(shè)出其他未知

數(shù)，然后列方程.

知識(shí)點(diǎn)2.規(guī)律型：圖形的變化類

圖形的變化類的規(guī)律題

首先應(yīng)找出圖形哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求

解.探尋規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來解決這類問題.

題型歸納

題型一.規(guī)律型：數(shù)字的變化類

1

1.(2024秋?洛寧縣月考)已知一列數(shù)為=2,a2,生，…，它們滿足關(guān)系式％=----，“3=--------------

]—q]一%］一%

當(dāng)。1=2時(shí)，則。2024=()

A.2B.-1C.――D.-

22

【分析】分別計(jì)算出第2、3、4個(gè)數(shù)，據(jù)此得出循環(huán)規(guī)律，進(jìn)一步求解即可.

【解答】解：,已知一*列數(shù)％=2,a2J它們滿足關(guān)系式。2=—-—，。3=―-—，。4=--—，…，4]=2,

1-q1—a21—%

-------=------=11

1—q1—2

1_11

-

l-a2-1-(-1)2

2024=674x3+2,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，掌握數(shù)字的循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.(2024秋?蜀山區(qū)月考)設(shè)。是不為1的有理數(shù)，我們把」一稱為。的差倒數(shù).如-2的差倒數(shù)是」一2的

1-a1-(-2)3

差倒數(shù)是1=T.已知q=5,%是q的差倒數(shù)，火是電的差倒數(shù)，處是火的差倒數(shù)，……，以此類推，則出。24的

值為二.

一4~

【分析】根據(jù)差倒數(shù)的計(jì)算方法，分別求出力,電，4，%，〃5值，找出規(guī)律即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意，e=5,〃=」—=_▲,a3=--二—=3,a4=—二=5,%=」—=—',

1-5435%「a1-54

45

每三個(gè)循環(huán)一次，

2024+3=6742,

%024的值為——>

故答案為：-4.

4

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了定義新運(yùn)算，數(shù)字規(guī)律，找到規(guī)律是關(guān)鍵.

3.(2024秋?玄武區(qū)校級(jí)月考)觀察下列算式：

?22-I2=2+1；

②32-22=3+2；

③42-32=4+3；

④52—42=5+4；

⑤6-52=6+5；

(1)根據(jù)以上規(guī)律寫出第⑧條算式：_92-82=9+8_；

(2)計(jì)算:1002-992+982-972+...+22-12；

(3)計(jì)算：182-192+202-212+222-232+...+20162-20172.

【分析】(1)根據(jù)已知等式得出第〃條算式為5+1)2-/=〃+1+〃，再將〃=8代入可得答案;

(2)利用所得規(guī)律展開得原式=100+99+98+97+…+2+1,再利用高斯求和公式計(jì)算可得；

(3)原式提取符號(hào)得出原式=-(20172-2016?+2015,-2014?+...+212-202+19?-1G),再利用所得規(guī)律變形,最后

利用求和公式計(jì)算可得答案.

【解答】解：⑴①22-12=2+1

@32-22=3+2

③42-32=4+3

(4)52-42=5+4

@62-52=6+5

以此類推可知，第〃條算式為(〃+1)2-〃2=〃+1+”,

則第⑧條算式為9?-8?=9+8,

故答案為：92-82=9+8.

(2)原式=100+99+98+97+…+2+1

100x(100+1)

2

=5050；

(3)182-19z+202-212+222-232+...+20162-20172

=-(20172-20162+20152-2014+...+212-202+192-182)

=-(2017+2016++21+20+19+18)

(2017+18)x(2017-18+1)

一2-

=-2035000.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

題型二.規(guī)律型：圖形的變化類

4.（2024秋?察右前旗校級(jí)月考）觀察下列一組圖形按此規(guī)律，第8圖中五角星的個(gè)數(shù)有（）

☆

☆☆☆

☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆

圖形①圖形②圖形③圖形④

A.43個(gè)B.45個(gè)C.51個(gè)D.53個(gè)

【分析】根據(jù)圖形的順序和數(shù)量，確定數(shù)量關(guān)系即可求解.

【解答】解：第1個(gè)圖形中，有2個(gè)五角星，即1+1=2,

第2個(gè)圖形中,有6個(gè)五角星，即1+2+3=6=1+2+(1+2),

第3個(gè)圖形中,有11個(gè)五角星，BP1+2+3+5=11=14-2+3+(2+3)，

第4個(gè)圖形中,有17個(gè)五角星，即1+2+3+4+7=17=1+2+3+4+(3+4),

第5個(gè)圖形中,五角星的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5+9=24=1+2+3+4+5+(4+5),

第6個(gè)圖形中,五角星的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5+6+11=32=1+2+3+4+5+6+(5+6),

第7個(gè)圖形中,五角星的個(gè)數(shù)為1+2+3+4+5+6+7+13=41=1+2+3+4+5+6+7+(6+7),

(1+ri)nn"+5〃-2

.,.第〃個(gè)圖形中，五角星的個(gè)數(shù)為1+2+3+4++n+（2n-V）=+(2〃-1)=

22

，第8個(gè)圖形中，五角星的個(gè)數(shù)為正當(dāng)心二51,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形規(guī)律，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是

按照什么規(guī)律變化的.

5.（2024?廣安區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，第3個(gè)圖中共有9個(gè)三

角形，…依此類推，第2024個(gè)圖中共有三角形8093個(gè).

【分析】根據(jù)圖形中三角形的個(gè)數(shù)得出規(guī)律：第〃個(gè)圖中共有(4〃-3)個(gè)三角形，然后利用規(guī)律計(jì)算即可.

【解答】解：第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，即4x1-3=1個(gè)三角形，

第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，即4x2—3=5個(gè)三角形，

第3個(gè)圖中共有9個(gè)三角形，即4x3-3=9個(gè)三角形，

???,

所以第〃個(gè)圖中共有(4〃-3)個(gè)三角形，

所以第2024個(gè)圖中共有4*2024-3=8093個(gè)三角形.

故答案為：8093.

【點(diǎn)評(píng)】題考查的是規(guī)律型一圖形的變化類，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

6.(2024秋?姑蘇區(qū)校級(jí)月考)圖①是由若干個(gè)小圓圈堆成的一個(gè)形如正三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以

下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共堆了〃層，將圖①倒置后與原圖拼成圖②所示的形狀，這樣我們可以算出圖①中

所有圓圈的個(gè)數(shù)為1+2+3+...+〃=皿±2

2

靠品打感@@@

第退OO-CXDUOO-OC)OO-W

圖1圖2圖3圖4

如果圖①-④中各有11層.

(1)圖①中共有66個(gè)圓圈;

(2)我們自上而下，在圓圈中按圖④的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,…，則最底層最左邊圓圈的數(shù)是.

(3)我們自上而下，按圖④的方式填上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-21,-20,求圖④所有圓圈中各數(shù)的絕對值之

和.

【分析】(1)根據(jù)圖形中圓圈的個(gè)數(shù)變化規(guī)律求解；

(2)n層時(shí)最底層最左邊這個(gè)圓圈中的數(shù)是第io層的最后一個(gè)數(shù)加1；

(3)由(1)得出圓圈的總個(gè)數(shù)，從而分析出23個(gè)負(fù)數(shù)后，又有多少個(gè)正數(shù).

【解答】解：(1)gxllx(ll+l)=66,

故答案為：66；

(2)|xl0x(10+l)=55,55+1=56,

故答案為：56；

(3)圖4中共有66個(gè)數(shù)，其中23個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)0,42個(gè)正數(shù)，

所以圖4中所有圓圈中各數(shù)的和為：

|-231+1-22|+...+I-1|40+1+2+...+42=

(1+2+3+...+23)+(1+2+3+...+42)

=276+903

=1179.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形的變化類，發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

過關(guān)檢測

一.選擇題

1.按1,1,2,3,5,(),13,…按規(guī)律括號(hào)里應(yīng)該填()

A.7B.9C.5D.8

【分析】根據(jù)規(guī)律“從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和”解答即可.

【解答】解：從第三個(gè)數(shù)開始，每個(gè)數(shù)等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，且3+5=8,

所填的數(shù)為：8.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字變化類規(guī)律探究，找出數(shù)字變化的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

2.等邊△ABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點(diǎn)A、C對應(yīng)的數(shù)分別為。和-1,若△ABC繞頂點(diǎn)沿順時(shí)針方向在數(shù)軸上

連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)1次后，點(diǎn)3所對應(yīng)的數(shù)為1,則連續(xù)翻轉(zhuǎn)若干次后，數(shù)2024對應(yīng)的點(diǎn)為（）

B

____1?????,

-2-1012345

A.點(diǎn)AB.點(diǎn)、BC.點(diǎn)CD.不確定

【分析】根據(jù)隨著翻轉(zhuǎn)點(diǎn)的變化，可找出點(diǎn)的變化周期為3,結(jié)合2024為3的整數(shù)倍余2,可得出數(shù)2024對應(yīng)的點(diǎn)為

C.

【解答】解：翻轉(zhuǎn)1次后，數(shù)1對應(yīng)的點(diǎn)為5,翻轉(zhuǎn)2次后，數(shù)2對應(yīng)的點(diǎn)為C,翻轉(zhuǎn)3次后，數(shù)3對應(yīng)的點(diǎn)為A,

翻轉(zhuǎn)4次后，數(shù)4對應(yīng)的點(diǎn)為3,…，

.??點(diǎn)的變化周期為3.

又?2024+3=674…2,

.?.連續(xù)翻轉(zhuǎn)2024次后，則數(shù)2024對應(yīng)的點(diǎn)為C.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸以及變化類：數(shù)的變化，根據(jù)點(diǎn)的變化，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

3.中國文化博大精深，漢字文化是中國古代文化流傳下來的一份珍貴遺產(chǎn).下列圖形都是由同樣大小的圓點(diǎn)和線段按

照一定的規(guī)律排列組成的篆書簡化“漢”字，其中，圖1中共有12個(gè)圓點(diǎn)，圖2中共有18個(gè)圓點(diǎn)，圖3中共有25個(gè)

圓點(diǎn)，圖4中共有33個(gè)圓點(diǎn)，…，依此規(guī)律，則圖9中共有圓點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A.63B.75C.88D.102

【分析】觀察并比較每兩個(gè)相鄰的“漢字”的相同與不同之處，得出每兩個(gè)相鄰的“漢字”中后一個(gè)“漢字”前半部

分與前一個(gè)“漢字”的前半部分圓點(diǎn)數(shù)量相等，后一個(gè)“漢字”的后半部分的圓點(diǎn)數(shù)總是前一個(gè)“漢字”后半部分頂

部加上圖案序號(hào)多2個(gè)的圓點(diǎn)與底部添加兩個(gè)圓點(diǎn)，進(jìn)而解決該題.

【解答】解：在圖1中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為％=12個(gè).

在圖2中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為％=乂+2+4=18個(gè).

在圖3中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為%=%+2+5=25個(gè).

在圖4中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為%=%+2+6=33個(gè).

以此類推，在圖9中，圓點(diǎn)個(gè)數(shù)為％=%+（2+11）=為+（2+1。）+13

=%+（2+9）+12+13

=y5+（2+8）+11+12+13

=y4+（2+7）+10+11+12+13

=33+9+10+11+12+13

=88.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查規(guī)律型：圖形的變化類，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出所存在的規(guī)律.運(yùn)用特殊到一般的

數(shù)學(xué)思想解決此類規(guī)律題.

4.一只小球落在數(shù)軸上的某點(diǎn)P處，第一次從P處向右跳1個(gè)單位到《處，第二次從［向左跳2個(gè)單位到8處，第

三次從巴向右跳3個(gè)單位到乙處，第四次從A向左跳4個(gè)單位到B處…，若小球按以上規(guī)律跳了（277+5）5為正整數(shù)）

次時(shí)，它落在數(shù)軸上的點(diǎn)￡“+5處所表示的數(shù)恰好是"-7,則這只小球的初始位置點(diǎn)P所表示的數(shù)是（）

A.-10B.-9C.-8D.-7

【分析】根據(jù)題意可以用代數(shù)式表示出前幾個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)，從而可以發(fā)現(xiàn)它們的變化規(guī)律，進(jìn)而求得這只小球的初始

位置點(diǎn)綜所表示的數(shù).

【解答】解：設(shè)點(diǎn)尸所表示的數(shù)是加

則點(diǎn)4所表示的數(shù)是a+1,

點(diǎn)g所表示的數(shù)是a+1-2=。一1,

點(diǎn)鳥所表示的數(shù)是a-l+3=a+2,

點(diǎn)1所表示的數(shù)是a+2-4=a—2,

丁點(diǎn)心+5所表示的數(shù)是"-7,

解得，a=—10,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的代數(shù)式.

5.如圖，一只青蛙在圓周上標(biāo)有數(shù)字的五個(gè)點(diǎn)上跳，若它停在奇數(shù)點(diǎn)上，則下次沿順時(shí)針方向跳兩個(gè)點(diǎn)：若停在偶數(shù)

點(diǎn)上，則下次沿逆時(shí)針方向跳一個(gè)點(diǎn)，若青蛙從2這點(diǎn)開始跳，則經(jīng)過2024次后它停在哪個(gè)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)上（）

A.1B.2C.3D.5

【分析】列出青蛙每次跳動(dòng)后的落點(diǎn)，找出規(guī)律求解即可.

【解答】解：由題意可得：

第一次跳后落在1上；

第二次跳后落在3上；

第三次跳后落在5上；

第四次跳后落在2上；

.??分別在1,3,5,2這4個(gè)數(shù)上循環(huán),

.?.2024+4=506,

應(yīng)落在2上；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)的變換規(guī)律，根據(jù)題意找出變換規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

6.已知整數(shù)％=2、%、%、'，兩足下列條件：q=0,——%=—1°2+2|,%=—1%+3|，...，以

此類推，則出020=()

A.-1008B.-1009

C.-1010D.-1-1010=-1011

【分析】根據(jù)已知規(guī)則分別求出q=2、0、/、%、%、4…，觀察從第二個(gè)數(shù)字開始，如果順序數(shù)為偶數(shù)，最后

的數(shù)值是其順序數(shù)的一半的相反數(shù)，據(jù)此即可求解.

【解答】解：％=0,

%=—Iq+11=-10+11=—1,

%=-I%+21=—|-1+21=—1,

%=-1%+3|=一|_1+31——2,

q=-I%+41=-I—2+41=—2,

%=-I%+51=—|—2+51=—3,

%=~■I%+61=~■I—3+61=—3,

.??,

以此類推，

即a2?=~n'

7090

則為020=---=-1010,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字類規(guī)律探索，找出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵.

7.如圖，按照此規(guī)律，圖形⑥需要（）個(gè)0.

O

O6^

①②③

A.15B.21C.24D.28

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中圓形的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知,

第①個(gè)圖形中，圓形的個(gè)數(shù)為:1=1;

第②個(gè)圖形中，圓形的個(gè)數(shù)為:3=1+2；

第③個(gè)圖形中，圓形的個(gè)數(shù)為:6=1+2+3；

所以第〃個(gè)圖形中，圓形的個(gè)數(shù)為：1+2+3+…+〃=弛土?

2

當(dāng)〃=6時(shí),

修個(gè)）,

即第⑥個(gè)圖形中，圓形的個(gè)數(shù)為21個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)第〃個(gè)圖形中圓形的個(gè)數(shù)為丁是解題的關(guān)鍵.

8.觀察下面點(diǎn)陣圖的規(guī)律，第9幅點(diǎn)陣圖中有（）個(gè)。.

A.18B.28C.32D.36

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中圓圈的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知，

第1幅點(diǎn)陣圖中圓圈的個(gè)數(shù)為：4=lx3+l；

第2幅點(diǎn)陣圖中圓圈的個(gè)數(shù)為：7=2x3+l；

第3幅點(diǎn)陣圖中圓圈的個(gè)數(shù)為：10=3x3+1；

.??,

所以第"幅點(diǎn)陣圖中圓圈的個(gè)數(shù)為（3〃+1）個(gè)，

當(dāng)〃=9時(shí)，

3n+l=28（個(gè)），

即第9幅點(diǎn)陣圖中圓圈的個(gè)數(shù)為28個(gè).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)圓圈的個(gè)數(shù)依次增加3是解題的關(guān)鍵.

9.兩人坐火車外出旅游，希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗.已知火車上的座位排列如下所示，則下列座位號(hào)碼符合

要求的是（）

窗口12過道345窗口

678910

1112131415

A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85

【分析】根據(jù)圖示的規(guī)律可知每個(gè)車廂有15個(gè)座位，被5除余1的數(shù)和能被5整除得座位號(hào)靠窗，再逐項(xiàng)分析.

【解答】解：由題圖中座位得排序規(guī)律可知，每個(gè)車廂有15個(gè)座位，被5除余1的數(shù)和能被5整除得座位號(hào)靠窗.

48,49沒有靠窗的，所以A不符合題意;

62,63之間有過道，不連在一起，所以3不符合題意;

75,76不在同一行，所以C不符合題意.

由于兩個(gè)旅客希望座位連在一起，且有一個(gè)靠窗，可知只有D項(xiàng)符合條件.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了規(guī)律問題，發(fā)現(xiàn)規(guī)律是關(guān)鍵.

10.圖中的問號(hào)處應(yīng)該選哪個(gè)圖形？（）

三0

A.HB.N

【分析】找到前8個(gè)圖形都是中心對稱圖形，每個(gè)圖形的最長線段的指向依次是一，I，/4個(gè)一循環(huán)排列的規(guī)律即

可得答案.

【解答】解：前8個(gè)圖形都是中心對稱圖形，每個(gè)圖形的最長線段的指向依次是一，I，/4個(gè)一循環(huán)排列，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，解題關(guān)鍵是找到規(guī)律.

二.填空題

11.4個(gè)邊長為1s小正三角形擺成圖①，圖①的周長為6c加，接者擺放前4個(gè)圖形如圖所示，按這樣的方式，那么第

⑥個(gè)圖形的周長是26cm.

①②③④

【分析】觀察圖形可以得到后一個(gè)圖形的周長比前一個(gè)圖形的周長多4c機(jī)，進(jìn)行求解即可.

【解答】解：圖①的周長為6cm,

圖②的周長為6+4=10。〃，

圖③的周長為6+4+4=14。",

.?.圖”的周長為：6+4(〃-1)=4〃+2；

.,?第⑥個(gè)圖形的周長是4x6+2=26s；

故答案為：26.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圖形類規(guī)律探究，正確找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

12.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，麗麗在一個(gè)正方形內(nèi)畫正方形，她發(fā)現(xiàn)圖中三角形的個(gè)數(shù)與所畫正方形的數(shù)量之間存在某種規(guī)律,

依此規(guī)律她推斷出第2024個(gè)圖形中正方形與三角形的數(shù)量之和為10121.

【分析】根據(jù)圖形的變化，找出變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.先得出第一個(gè)圖所畫的正方形有1個(gè)，三角形有4個(gè)，第二

個(gè)圖所畫的正方形有2個(gè)，三角形有8個(gè)，第三個(gè)圖所畫的正方形有3個(gè)，三角形有12個(gè)，再歸納即可得到答案.

【解答】解：第一個(gè)圖所畫的正方形有1個(gè)，三角形有4個(gè),

第二個(gè)圖所畫的正方形有2個(gè)，三角形有8個(gè),

第三個(gè)圖所畫的正方形有3個(gè)，三角形有12個(gè),

歸納可得：

第2024個(gè)圖形中所畫的正方形有2024個(gè)，三角形有2024x4=8096個(gè)，

第2024個(gè)圖形中正方形與三角形的數(shù)量之和為1+2024+8096=10121,

故答案為：10121.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，正確地找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

13.已知1=/，1+3=2"1+3+5=32,1+3+5+7=42,,按此規(guī)律，1+3+5++49=625.

【分析】由該一連串的等式可以看出從1開始“個(gè)連續(xù)的奇數(shù)的和等于川，可以得出1+3+5++49是從1開始25

個(gè)連續(xù)的奇數(shù)相加.

【解答】解：由1+3=2?,從1開始連續(xù)2個(gè)奇數(shù)相加；

1+3+5=32,從1開始連續(xù)3個(gè)奇數(shù)相加；

1+3+5+7=42,從1開始連續(xù)4個(gè)奇數(shù)相加；

.?.從1開始25個(gè)連續(xù)奇數(shù)相加的和等于252,即：1+3+5++49=252=625.

故答案為：625.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的規(guī)律型，有理數(shù)的加法，掌握從1開始"個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和為"的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

14.有一個(gè)數(shù)字游戲，第一步：取一個(gè)自然數(shù)4=5,計(jì)算4《3%+1)得％,第二步：算出生的各位數(shù)字之和得％,計(jì)

算巧?(3%+1)得a2,第三步算出a2的各位數(shù)字之和得乙，計(jì)算為?(3%+1)得/；…以此類推，則a202i的值為200.

【分析】根據(jù)題意，可以寫出4，%，%，%，％，%，&，然后即可發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從而可以寫出生⑼

的值.

【解答】解：由題意可得，

々=5,q=5x(3x5+1)=80,

%=8+0=8,a2=8x(3x8+1)=200,

4=2+0+0=2,g=2x(3x2+1)=14,

%=1+4=5,%=5x(3x5+1)=80,

由上可得，每三個(gè)為一個(gè)循環(huán),

2021+3=673......2,

,?02021~"2=200,

故答案為：200.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn).

15.【妙填幻方】如圖①，是一個(gè)3*3的幻方，每行三個(gè)數(shù)，每列三個(gè)數(shù)、每斜對角三個(gè)數(shù)相加的和均相等.

（1）將下列各數(shù)組上的9個(gè)數(shù)分別填入圖②③④所示的3x3方格中，使得每行的三個(gè)數(shù)，每列的三個(gè)數(shù)、每斜對角上

的三個(gè)數(shù)相加的和均相等.

第一組：6,5,4,3,2,1,0,-1,-2；

第二組：9,8,7,6,5,4,3,2,1；

第三組：一8,-6,-4,一2,0,2,4,6,8.

（2）如圖⑤，若要按照以上規(guī)律填成，則九個(gè)數(shù)字之和為90.

【分析】（1）根據(jù)幻方的和的性質(zhì)，一一解答.先確定中央的數(shù)，再把第二個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)（或第六個(gè)數(shù)與第八個(gè)數(shù)）

填在同側(cè)的角里，而后根據(jù)幻方和的性質(zhì)計(jì)算填寫；

（2）根據(jù)幻方性質(zhì)先確定相對角上的數(shù)，再確定剩下的數(shù).

【解答】解：（1）第一組：6,5,4,3,2,1,0,-1,-2；

16-1

024

5-23

幻和：6+5+4+3+2+1+0-1-2=18,

每行、歹U、對角的數(shù)的和：18+3=6,

中央數(shù)：6+3=2

中央數(shù)兩側(cè)相對的數(shù)的和：6-2=4；

第二組：9,8,7,6,5,4,3,2,1；

294

753

618

幻和：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45,

每行、歹!J、對角的數(shù)的和：45+3=15,

中央數(shù)：15+3=5

中央數(shù)兩側(cè)相對的數(shù)的和：15-5=10；

第三組：一8,-6,-4,-2,0,2,4,6,8.

-68-2

40-4

2-86

幻和：-8-6-4-2+0+2+4+6+8=0,

每行、歹I、對角的數(shù)的和：0+3=0,

中央數(shù)：0+3=0,

中央數(shù)兩側(cè)相對的數(shù)的和：0-0=0；

(2)中央的數(shù)是10,

左上角是：10x2—13=7,右上角是：10x2-8=12,

中歹！J上面是：10+8—7=11,下面是：10+7—8=9,

中行左面是：12+10-7=15,右面是：7+10-12=5,

，這九個(gè)數(shù)為：5,7,8,9,10,11,12,13,15,

.,.幻和為：5+7+8+9+10+11+12+13+15=90,

71112

15105

8913

故答案為：90.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了3x3的幻方.熟練掌握幻方的和的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵.

16.用小棒按如圖方式搭圖形.（第一個(gè)圖形用5根小棒搭成），第5個(gè)圖形需用21根小棒,第100個(gè)圖形需要

根小棒.

o3一

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出所需小棒的根數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解:由所給圖形可知，

第1個(gè)圖形所需小棒的根數(shù)為：5=1x4+1；

第2個(gè)圖形所需小棒的根數(shù)為：9=2x4+1；

第3個(gè)圖形所需小棒的根數(shù)為：13=3x4+1；

所以第"個(gè)圖形所需小棒的根數(shù)為（4〃+1）根,

當(dāng)〃=5時(shí)，

4/1+1=21（根），

即第5個(gè)圖形所需小棒的根數(shù)為21根.

當(dāng)“=100時(shí),

4n+l=401(根),

即第100個(gè)圖形所需小棒的根數(shù)為401根.

故答案為：21,401.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)所需小棒的根數(shù)依次增加4是解題的關(guān)鍵.

17.“數(shù)形結(jié)合”是一種重要的數(shù)學(xué)思維，觀察下面的圖形和算式：

1=1=I12

1+3=1=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

解答下列問題：請用上面得到的規(guī)律計(jì)算：1+3+5+7+...+89=2025.

9泰泰泰泰泰

生泰

泰

泰泰泰泰

泰泰泰泰

【分析】根據(jù)規(guī)律解答即可.

【解答】解：1=1=F=（三）2,

1+3=1=22=(—)2,

2

1+3+5+7=16=4?=(——了，

2

1+99

1+3+5+7+9=25=5?9=(—)2,

故1+3+5+7+…+89=(告寄2=45。=2025.

故答案為：2025.

18,白色：8塊13塊18塊

照這樣畫下去，第6個(gè)圖形中黑色有心塊，白色有一塊.第“個(gè)圖形中白色有一塊.(用含〃的式子表示)

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出圖形中黑色和白色的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知,

第1個(gè)圖形中，黑色的塊數(shù)為:1,白色的塊數(shù)為:8=1x5+3；

第2個(gè)圖形中，黑色的塊數(shù)為:2,白色的塊數(shù)為:13=2x5+3；

第3個(gè)圖形中，黑色的塊數(shù)為:3,白色的塊數(shù)為:18=3x5+3；

所以第〃個(gè)圖形中，黑色的塊數(shù)為〃塊，白色的塊數(shù)為(5〃+3)塊.

當(dāng)”=6時(shí),

5〃+3=33(塊)，

即第6個(gè)圖形中，黑色的塊數(shù)為6塊，白色的塊數(shù)為33塊.

故答案為：6,33,(5〃+3).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)黑色和白色個(gè)數(shù)的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

三.解答題

19.(直接寫出結(jié)果)如圖，將小正方體按如圖方式擺放在地上，1個(gè)小正方體有5個(gè)面露在外面，2個(gè)正方體有8個(gè)

面露在外面，那么5個(gè)小正方體有17個(gè)面露在外面,幾個(gè)小正方體有個(gè)面露在外面.

【分析】根據(jù)所給圖形，依次求出正方體露在外面的面的個(gè)數(shù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：由所給圖形可知，

1個(gè)正方體露在外面的面的個(gè)數(shù)為：5=lx3+2；

2個(gè)正方體露在外面的面的個(gè)數(shù)為：8=2x3+2；

3個(gè)正方體露在外面的面的個(gè)數(shù)為：11=3x3+2；

所以“個(gè)正方體露在外面的面的個(gè)數(shù)為(3〃+2)個(gè),

當(dāng)"=5時(shí)，

3〃+2=17（個(gè)），

即5個(gè)正方體露在外面的面的個(gè)數(shù)為17個(gè).

故答案為：17,(3"+2).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圖形變化的規(guī)律，能根據(jù)所給圖形發(fā)現(xiàn)露在外面的面的個(gè)數(shù)依次增加3是解題的關(guān)鍵.

20.觀察下列等式:

第1個(gè)等式：.=^=14

第2個(gè)等式：^=—

22x32~3

1

第3個(gè)等式：a=—=-

33x434

按上述規(guī)律，回答以下問題：

(1)用含〃的代數(shù)式表示第"個(gè)等式為q,=__^_=_;

n(n+1)

(2)求4+/+/++%024的值.

【分析】(1)根據(jù)題目中給出的式子的特點(diǎn)，可以寫出第〃個(gè)等式;

(2)先將題目中的式子變形，然后計(jì)算加減法即可.

【解答】解：(1)由題目中的式子可得，

111

冊=------=-------,

n{n+1)nn+1

故答案為：--一-5

n(n+1)nn+1

(2)q+4+/++。2024

2025

_2024

-2025,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的代數(shù)式.

21.新定義：符號(hào)“了”表示一種新運(yùn)算，它對一些數(shù)的運(yùn)算結(jié)果如下：

運(yùn)算(―):/(-2)=-2-1=-3,/(-1)=-1-1=-2,/(0)=0-1=-1,f(1)=1-1=0,f(2)=2-1=1,

運(yùn)算（二）"（一：）=一3,/（-》=—2,錯(cuò)）=2,宿）=3,

利用以上規(guī)律計(jì)算:

(2)/(-2024)-/(一——)=；

2025------

(3)計(jì)算：/(-2023)+f(-2022)+...+/(-3)+/(-2)+/(-I)+/(0)+/(-1)+/(-1)+/(-^)+

【分析】(1)根據(jù)題中所給等式，發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可解決問題.

(2)根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題.

(3)根據(jù)(1)中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可解決問題.

【解答】解：(1)由題知，

當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，/(x)=x-l；

當(dāng)X為分?jǐn)?shù)時(shí)，/(X)=—.

X

所以/(7)=7-1=6,/(-7)=-7-1=-8,/(-)=7,/(-1)=-7.

故答案為：6,-8,7,-7.

(2)由(1)中結(jié)論可知，

原式=-2024-1-(-2025)=-2025+2025=0.

故答案為：0.

(3)由(1)中結(jié)論可知，

原式=-2024+(-2023)+(-2022)+...+(-2)+(-1)+(-2)+(-3)+(T)+...+(-2024)

=2x[(-2)+(-3)+(T)+…+(-2024)]+(-1)

、[-2+(-2024)]x2023：八

=2X------------------------------------F(―1)

=-2026x2023+(-1)

=-4098599.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)字變化的規(guī)律及有理數(shù)的混合運(yùn)算，能根據(jù)題意發(fā)現(xiàn)當(dāng)x為整數(shù)時(shí)，f(x)=x-U當(dāng)x為分

數(shù)時(shí)，是解題的關(guān)鍵.

X

22.生活中常用的十進(jìn)制是用0~9這十個(gè)數(shù)字來表示數(shù)，滿十進(jìn)一，例：212=2X102+1X10+2；

計(jì)算機(jī)常用二進(jìn)制來表示字符代碼，它是用0和1兩個(gè)數(shù)來表示數(shù)，滿二進(jìn)一，例：二進(jìn)制數(shù)10000轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)：

1X24+0X23+0X22+0x2*+0=16；

其他進(jìn)制也有類似的算法…

(1)【發(fā)現(xiàn)】根據(jù)以上信息，將二進(jìn)制數(shù)“101110”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是46；

(2)【遷移】將八進(jìn)制數(shù)“72”轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)；

(3)【應(yīng)用】在我國遠(yuǎn)古時(shí)期，人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即“結(jié)繩計(jì)數(shù)”，如圖所示是遠(yuǎn)古時(shí)期一位母親

記錄孩子出生后的天數(shù)，在從右向左依次排列的不同繩子上打結(jié)，滿五進(jìn)一，根據(jù)圖示，求孩子已經(jīng)出生的天數(shù).

【分析】(1)根據(jù)二進(jìn)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制的方法列式計(jì)算即可；

(2)仿照二進(jìn)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制的方法進(jìn)行計(jì)算即可；

(3)滿五進(jìn)一，類似于五進(jìn)制數(shù)，仿照二進(jìn)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)101110轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)是1x25+0x24+1x23+1x22+1x21+0=32+0+8+4+2+0=46,

故答案為：46；

(2)7x8'+2=58；

(3)由于滿五進(jìn)一，類似于五進(jìn)制數(shù)，圖示表示的五進(jìn)制數(shù)為132,轉(zhuǎn)化為十進(jìn)制數(shù)為1x52+3x5i+2=42

所以，孩子已經(jīng)出生了42天.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確理解題中二進(jìn)制轉(zhuǎn)換十進(jìn)制的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵.

23.將正方形ABCD（如圖1）作如下劃分,第1次劃分:分別連接正方形ABCD對邊的中點(diǎn)（如圖2）,得線段和EG,

它們交于點(diǎn)Af,此時(shí)圖2中共有5個(gè)正方形；第2次劃分：將圖2左上角正方形再劃分，得圖3,則圖3中共

有9個(gè)正方形.

（1）若把左上角的正方形依次劃分下去，則第5次劃分后，圖中共有21個(gè)正方形.

（2）繼續(xù)劃分下去，第〃次劃分后圖中共有一個(gè)正方形；

（3）能否將正方形ABCD劃分成有2022個(gè)正方形的圖形？如果能，請算出是第幾次劃分，如果不能，需說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】（1）根據(jù)題意找出規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可；

（2）探究規(guī)律，利用規(guī)律即可解決問題；

（3）構(gòu)建方程即可解決問題；

【解答】解：（1）第1次可得5個(gè)正方形，即：1+4=5（個(gè)）,

第2次可得9個(gè)正方形，即：l+4x2=9（個(gè)），

第3次可得13個(gè)正方形，即：1+4x3=13（個(gè)），

.,?第4次可得正方形：1+4x4=17（個(gè)），

第5次可得正方形：1+4x5=21（個(gè)），

故答案為：21；

（2）由（1）得：第〃次可得（4〃+1）個(gè)正方形,

故答案為：（4〃+1）；

（3）不能，

理由：依題意得：4〃+1=2022,

解得：“=505.25,

，是正整數(shù)，

.?.當(dāng)〃=505.25時(shí)不符合題意，

，不能將正方形ABCD劃分成2022個(gè)正方形的圖形.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查規(guī)律型：圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)并掌握從特殊到一般的探究規(guī)律的方法.也考查了一元

一次方程的應(yīng)用.

24.某餐廳中，一張桌子可以坐6人，如果把多張桌子擺在一起，可以有以下兩種擺放方式.

（1）當(dāng)有5張桌子時(shí)，第一種擺放方式能坐22人,第二種擺放方式能坐—人，

（2）當(dāng)有〃張桌子時(shí)，第一種擺放方式能坐—人，第二種擺放方式能坐—人，

（3）一天中午餐廳要接待98位顧客共同就餐（即桌子要擺在一起），但餐廳只有25張這樣的餐桌，若你是這個(gè)餐廳

的經(jīng)理，你打算選擇哪種方式來擺放餐桌？為什么？

【分析】（1）（2）第一種中，只有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多4人.即有〃張桌子時(shí)是6+4（〃-1）=4〃+2,

由此算出5張桌子，用第一種擺設(shè)方式，可以坐4x5+2=22人；

第二種中，有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多2人，即6+2（〃-1）=2〃+4,由此算出5張桌子，用第二種擺設(shè)方

式，可以坐2x5+4=14人.

（2）分別求出〃=25時(shí)，兩種不同的擺放方式對應(yīng)的人數(shù)，即可作出判斷.

【解答】解：(1)當(dāng)有5張桌子時(shí)，第一種擺放方式能坐4x5+2=22人，第二種擺放方式能坐2x5+4=14人;

(2)第一種中，只有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多4人.即有〃張桌子時(shí)是6+4(〃—1)=4〃+2.

第二種中，有一張桌子是6人，后邊多一張桌子多2人，即6+2(〃-1)=2〃+4.

(2)打算用第一種擺放方式來擺放餐桌.

因?yàn)椋?dāng)〃=25時(shí)，4x25+2=102>98

當(dāng)〃=25時(shí)，2x25+4=54v98

所以，選用第一種擺放方式.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查圖形的變化規(guī)律，找出圖形之間的聯(lián)系，得出運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題.

25.用〃，b表示長方形兩條鄰邊的邊長，它們的變化規(guī)律如下表所示.

alcm1234612

b!cm12643

(1)根據(jù)已知的數(shù)據(jù)把表格補(bǔ)充完整.

(2)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)在圖中描出第5個(gè)長方形.

(3)從上面的數(shù)據(jù)中可以看出，長方形面積一定時(shí)，。和b有什么關(guān)系？

a/cm

--

111rnn1rnI---------1I---------1?—?

10LI_____IJJI_____I

9---------1rrnn

8Lj

7---------1rrI---------1i---------1i---------1I---------1

6