專題2圓中的重要模型之隱圓模型

隱圓是各地中考選擇題和填空題、甚至解答題中?？碱}，題目常以動態(tài)問題出現(xiàn)，有點、線的運動，

或者圖形的折疊、旋轉(zhuǎn)等，大部分學(xué)生拿到題基本沒有思路，更談不上如何解答。隱圓常見形式：動點定

長、定弦對直角、定弦對定角、四點共圓等，上述四種動態(tài)問題的軌跡是圓。題目具體表現(xiàn)為折疊問題、

旋轉(zhuǎn)問題、角度不變問題等，此類問題綜合性強，隱蔽性強,很容易造成同學(xué)們的丟分。本專題就隱圓模型

的相關(guān)問題進行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。

模型1、動點定長模型（圓的定義）

若尸為動點，且4B=AC=AP,則8、C、P三點共圓，A圓心，AB半徑

圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定值的所有點構(gòu)成的集合.

尋找隱圓技巧：若動點到平面內(nèi)某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.

例L（2023?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，及△403的一條直角邊在x軸上,

點A的坐標(biāo)為（-6,4）；RtCOD中，ZCOD=90°,0￡>=4后ZD=30°,連接BC,點M是BC中點，連

接AM.將RtCOD以點。為旋轉(zhuǎn)中心按順時針方向旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段A"的最小值是（）

A.3B.6A/2-4C.2713-2D.2

例2.（2023?廣東清遠(yuǎn)?統(tǒng)考三模）如圖，在RtZXABC,ZACB=90°,E為AC邊上的任意一點，把沿

2E折疊，得到△BEE,連接AF.若5c=6,AC=8,則AF的最小值為

CB

例3.（2022?北京市?九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABC。中，AE、”分別是BC,CO的中垂線，ZEAF=80°,

NCBD=30°,則NABC=—,ZADC=

例4.（2023上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖，正方形ABCO中，AB=6,E是BC的中點.以點C為

圓心，CE長為半徑畫圓，點P是、C上一動點，點廠是邊上一動點，連接AP,若點。是AP的中點，

連接M,FQ,則8尸+尸。的最小值為.

模型2、定邊對直角模型（直角對直徑）

固定線段所對動角/C恒為90°,則A、B、C三點共圓，為直徑

尋找隱圓技巧：一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.

例1.（2023?山東?統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，ZABC=ZBAD=90°,AB=5,AD=4,AD<BC,

點E在線段3C上運動，點廠在線段AE上，NADF=NBAE,則線段8尸的最小值為.

例2.（2023上?江蘇蘇州?九年級校考階段練習(xí)）如圖，以G（0,l）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A,8兩

點，與y軸交于C,。兩點，點E為G上一動點，作CFLAE于點?當(dāng)點E從點B出發(fā)，順時針旋轉(zhuǎn)到

點D時，點廠所經(jīng)過的路徑長為（）

2百

D.-----71

3

例3.（2022?內(nèi)蒙古?中考真題）如圖,。是ABC的外接圓，AC為直徑，若43=2百，3c=3,點P從3

點出發(fā)，在,內(nèi)運動且始終保持NCBP=NBAP，當(dāng)C,P兩點距離最小時,動點P的運動路徑長為.

例4.（2023?廣東?九年級課時練習(xí)）如圖，AACB中，CA=CB=4,/ACB=90。，點P為CA上的動點，

連8P,過點4作4加工82于當(dāng)點尸從點C運動到點A時，線段的中點N運動的路徑長為（）

C.6兀D.2兀

模型3、定邊對定角模型（定弦定角模型）

固定線段所對同側(cè)動角/P=/C,則A、B、C、尸四點共圓

根據(jù)圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相.

尋找隱圓技巧：AB為定值，/尸為定角，則尸點軌跡是一個圓.

1.（2023?四川自貢,統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過原點。和點4（4,0）的動直線6夾角NOB4=30。，點

“是OB中點，連接4W,貝UsinNQ4M的最大值是（）

例2.（2023?廣東深圳,校考模擬預(yù)測）如圖，在邊長為6的等邊.四。中，點E在邊AC上自A向C運動，

點尸在邊CB上自C向B運動，且運動速度相同，連接2瓦A尸交于點P,連接CP,在運動過程中，點尸的

運動路徑長為（）

例3.（2023?成都市?九年級專題練習(xí)）如圖所示，在扇形A03中，04=3,ZAOB=120°,點C是A8上的

動點，以BC為邊作正方形BCDE,當(dāng)點C從點A移動至點B時，求點。經(jīng)過的路徑長.

D

例4.（2023上?湖北武漢?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，回。的半徑為2,弦的長為2石，點C是優(yōu)弧

上的一動點，BD0BC交直線AC于點Z）,當(dāng)點C從她BC面積最大時運動到BC最長時，點。所經(jīng)過的路徑

長為.

模型4、四點共圓模型

四點共圓模型我們在上一專題中已經(jīng)詳細(xì)講解了，本專題就不在贅述了。在此就針對幾類考查頻率高的模

型作相應(yīng)練習(xí)即可。

1）若平面上A、B、C,。四個點滿足/4BC+/ADC=180。，則A、B、C、。四點共圓.

條件：1）四邊形對角互補；2）四邊形外角等于內(nèi)對角.

2）若平面上A、B、C、D四個點滿足/ADB=/ACB,則A、B、C、。四點共圓.

條件：線段同側(cè)張角相等.

例1.（2023?安徽阜陽?九年級?？计谥校┤鐖D，。為線段BC的中點，點A,C,。到點O的距離相等，則媯

與團C的數(shù)量關(guān)系為（）

D

A.ZA=ZCB.?A2?CC.ZA-ZC=90°D.ZA+ZC=180°

例2.（2023?山西臨汾?九年級統(tǒng)考期末）如圖在四邊形ABC。中，ZADB=ZACB=90°,若ZZMC=30。，則

例3.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?校聯(lián)考一模）如圖，菱形ABCD的邊長為12,—8=60。，點E為3C邊的中點.點M

從點E出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點8運動，點N同時從點A出發(fā)，以每秒2個單位的速度向點。運動，

連接MN,過點C作CHJ_肱V于點H.當(dāng)點M到達(dá)點8時，點N也停止運動，則點H的運動路徑長是（）

例4.（2023.江蘇九年級期末）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90,BC=3,AC=4,點P為平面內(nèi)一點,

S.ZCPB=ZA,過C作CQLCP交PB的延長線于點Q,則CQ的最大值為（）

例5.（2023?河南周口??？既＃┰冢珹BC中，C4=CB,M是.ABC外一動點，滿足？C4M2cBM180?,

若NCM4=60。，MA=4,MB=2,則MD的長度為

課后專項訓(xùn)練

1.（2023上?江蘇南通?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，等邊三角形A8C與等邊三角形EFB共端點8,BC=2,

BF=6,繞點B旋轉(zhuǎn),SBCF的最大度數(shù)（）

c

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（2023上?安徽六安,九年級?？计谀┤鐖D，是等邊三角形，45=2,點尸是一ABC內(nèi)一點，且

ZBAP-ZCBP=30°,連接CP,則CP的最小值為（）

C.2-。D.V3-1

2

3.（2023?廣西?中考模擬）如圖所示，四邊形ABCD中，DC0AB,BC=1,AB=AC=AD=2.則BD的長為（）

A.714B.而C.372D.

4.（2023上?浙江杭州?九年級校聯(lián)考期中）如圖，點。在線段A3上，04=2,OB=6,以。為圓心，Q4為

半徑作O,點M在I。上運動，連接MB,以MB為一邊作等邊連接AC,則AC長度的最小值為

A.2g+2B.2^13-2C.4后+2D.4后-2

5.（2023上?江蘇無錫?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A,C,N的坐標(biāo)分別為（-3,0）,

（3,0）,（6,8）,以點C為圓心，3為半徑畫C,點P在上運動，連接AP,交CC于點Q,點M為線段

。尸的中點，連接肱V,則線段睦V的最小值為（）

y

N

P

A.7B.10c.3V2D.V73-1

6.（2023上?浙江麗水?九年級統(tǒng)考期中）如圖，是半圓。的直徑，點C在半圓。上，AB=4,ZCAB=60°,P

是弧8c上的一個動點，連結(jié)AP,過點C點作?！辏?，鈣于點。，連結(jié)3。，在點尸移動的過程中.（1）

AC=；（2）的最小值是.

7.（2023上?山東日照?九年級?？计谥校┤鐖D，ABC中，AC=5,BC=4^,ZACB=60°,過點A作3C的

平行線/，尸為直線/上一動點，。為△APC的外接圓，直線3P交，。于E點，則AE的最小值為

8.（2023上?江蘇連云港?九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=S,BC=5,N是矩形ABC。內(nèi)一

點，4CN=/a）N,點四是AD邊上的動點，則的最小值為

9.（2023.湖北九年級期中）如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=16,3c=12,點尸在以至為直徑

的半圓上運動，由點3運動到點A,連接CP,點M是CP的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為

10.（2023?廣東?九年級課時練習(xí)）如圖，扇形AOB,且OB=4,ZAOB=90°,C為弧AB上任意一點，過C

點作CDLOB于點D,設(shè)AODC的內(nèi)心為E,連接OE、CE,當(dāng)點C從點B運動到點A時，內(nèi)心E所經(jīng)

過的路徑長為.

11.（2023上?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形ABCD中，已知4?=3,BC=4,點尸是3C邊上

一動點（點P不與點8,C重合），連接管，作點8關(guān)于直線管的對稱點連接CM,則CM的最小值

12.（2023上?江蘇連云港?九年級統(tǒng)考期中）如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZBAC^9Q°,AB=AC=4,

點。是AC邊上一動點，連結(jié)以AO為直徑的圓交于點E,則CE長度的最小值是.

13.（2023?遼寧大連?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在RtABC中，AB=4,D為AB上一點，BD=2AD,E為

AC上一點，AE=3CE,連接BE、CD交于點0,則一AOB的最大面積是.

14.（2021?廣東?統(tǒng)考中考真題）在ABC中，ZABC=90o,A5=2,BC=3.點O為平面上一個動點，

NADB=45。，則線段8長度的最小值為.

15.（2023?浙江?一模）如圖，在RJABC中，NACB=90。，AB=2.分別以AC、BC為斜邊，向三角形外

作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形3CE,則△ACD和△3CE面積之和為；連接則

線段BD的最大值為.

16.（2022?廣東?九年級專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，^\BAD=^iBCD=90°,EIACD=30o,AD=2,E

是AC的中點，連接?！陝t線段DE長度的最小值為.

17.（2023陜西中考模擬）如圖，在等邊ABC中，=6,點尸為AB上一動點，PDL3C于點。，PELAC

于點E,則DE的最小值為

18.（2023上?江蘇宿遷?九年級統(tǒng)考期中）如圖1,點E是。直徑A3上一點，AE=2,BE=8,過點E作

弦點G在go上運動，連接CG.⑴求CD的長.⑵如圖2,連接AG,作/DCG的角平分線交AG

于點F,在點G運動的過程中，物的長度是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不會發(fā)生變化,

請求出其值.⑶如圖3,過點B作于"，連