專題3圓中的重要模型之圓幕定理模型

圓哥定理是一個(gè)總結(jié)性的定理，是對(duì)相交弦定理、切割線定理、割線定理、弦切角定理、托勒密定理

以及它們推論的統(tǒng)一與歸納?？赡苁窃?9世紀(jì)由德國數(shù)學(xué)家施泰納CSteiner）或者法國數(shù)學(xué)家普朗克雷

（Poncelet）提出的。圓幕定理的用法：可以利用圓幕定理求解與圓有關(guān)的線段比例、角度、面積等問題。

模型1.相交弦模型

條件：在圓。中，弦AB與弦C。交于點(diǎn)E,點(diǎn)E在圓。內(nèi)。

結(jié)論：ACAE-ABDEP—=_PEC?EDEB?EA。

EBED

例1.（2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模）如圖，點(diǎn)A,C,D,8在。。上，AC=BC,ZACB=90°.若CD=4,

tanZCBD=1,則的長是.

例2.（2023?山東濟(jì)寧一模）如圖，邊長為6的等邊三角形ABC內(nèi)接于回。，點(diǎn)。為AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、C

除外），2。的延長線交回。于點(diǎn)￡,連接CE.（1）求證（2）當(dāng)8=2隹＞時(shí)，求CE的長.

例3.（2023?江西宜春?統(tǒng)考模擬預(yù)測）閱讀與思考：九年級(jí)學(xué)生小剛喜歡看書，他在學(xué)習(xí)了圓后，在家里突

然看到某本數(shù)學(xué)書上居然還有一個(gè)相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等）,

下面是書上的證明過程，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

(2)小剛又看到一道課后習(xí)題，如圖2,是。O的弦，P是上一點(diǎn)，AB=10cm,fi4=4cm,OP=5cm,

求。。的半徑.

圖2

模型2.雙割線模型

條件：如圖，割線CH與弦CF交圓0于點(diǎn)E和點(diǎn)Go

結(jié)論：“CEGfCHFP—=—!?EC2FCGC?HC

CHCF

例1.（2023?遼寧葫蘆島?一模）已知：如圖，PAB、尸CD是回。的割線，PA=4cm,AB=6cm,CD=3cm.

貝cm.

例2.（2023?四川成都?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，A4B為。。的割線，且B4=AS=3,P。交。。于點(diǎn)C,

若尸C=2,則。。的半徑的長為.

例3.（2022?河南洛陽?統(tǒng)考一模）我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：相交、相切、相離.當(dāng)直線與圓有

兩個(gè)公共點(diǎn)（即直線與圓相交）時(shí)，這條直線就叫做圓的割線.割線也有一些相關(guān)的定理.比如，割線定

理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的距離的積相等.下面給出了不完整的定理"證

明一"，請補(bǔ)充完整.

己知：如圖①，過。。外一點(diǎn)尸作。。的兩條割線，一條交。。于A、8點(diǎn)，另一條交。。于C、D點(diǎn).

求證：PAPB=PCPD.

證明一：連接AD、BC,回/A和/C為80所對(duì)的圓周角，0.

又m,0.即尸=

研究后發(fā)現(xiàn)，如圖②，如果連接AC、BD,即可得到學(xué)習(xí)過的圓內(nèi)接四邊形的C.那么或許割線定理也

可以用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)來證明.請根據(jù)提示，獨(dú)立完成證明二.

證明二：連接AC、BD,

模型3.切割線模型

條件：如圖，CB是圓。的切線，CA是圓。的割線。

結(jié)論：ACBDfCABPq=8pCB2=CD2CA

CACB

例1.（2023?江蘇南通?中考模擬）如圖，已知出是。。的切線，A為切點(diǎn)，PC與。。相交于8.C兩點(diǎn),

PB=2cm,BC=8cm,則PA的長等于（）

A.4cmB.16cmC.20cmD.2小cm

例2.（2023?河南鄭州?一模）復(fù)習(xí)鞏固，切線：直線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相切，我們把

這條直線叫做圓的切線，這個(gè)點(diǎn)叫做切點(diǎn).

割線：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)這條直線和圓相交，我們把這條直線叫做圓的割線.

切線長：過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長.

閱讀材料：《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面

幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓幕定

理（切割線定理）內(nèi)容如下：

切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng).

為了說明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補(bǔ)充完整,

并寫出證明過程.

己知：如圖，A是回0外一點(diǎn)，.求證：

例3.（2022?河南駐馬店?校考二模）在數(shù)學(xué)課上，當(dāng)老師講到直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，張明同學(xué)突發(fā)奇想,

特殊線與圓在不同的位置情況下會(huì)有怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？于是在課下他查閱了老師推薦他的《幾何原本》,

這本書是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作.它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，

被廣泛地認(rèn)為是歷史上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分最成功的教科書.其中第三卷命題36-2圓基定理（切割線定理）

內(nèi)容如下：切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長比例

中項(xiàng).（比例中項(xiàng)的定義：如果。、6、c三個(gè)量成連比例即a:/?=6:c,則6叫做。和c的比例中項(xiàng)）

⑴為了說明材料中定理的正確性，需要對(duì)其進(jìn)行證明，下面已經(jīng)寫了不完整的"已知"和"求證"，請補(bǔ)充完整，

并寫出證明過程.已知：如圖，A是圓。外一點(diǎn)，AB是圓。的切線，直線ACQ為圓。的割線.

求證：__________________證明：.

⑵已知AC=2,CD=4,則A3的長度是.

模型4.弦切角模型

A

D

~B

條件：如圖，CB是圓。的切線，48是圓。的直徑。

結(jié)論：1）^CBD~ACABI>—=_PCB?=CD?CA；

CACB

2）ACBDfBADt*—=—PBD2=AD?CD；3）^BAD~^CABP—=—PBA1=AD?AC

ADBDCABA°

例L（2023?河南三門峽?統(tǒng)考二模）小銳同學(xué)是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好者，他在一本數(shù)學(xué)課外讀物上看到一個(gè)課

本上沒有的與圓相關(guān)的角一弦切角（弦切角的定義：把頂點(diǎn)在圓上，一邊與圓相切，另一邊和圓相交的角叫

做弦切角），并嘗試用所學(xué)的知識(shí)研究弦切角的有關(guān)性質(zhì).

（1）如圖，直線A2與回。相切于C點(diǎn)，D,E為回。上不同于C的兩點(diǎn)，連接CE,DE,CO.請你寫出

圖中的兩個(gè)弦切角;（不添加新的字母和線段）

（2）小銳目測NOCB和/DEC可能相等，并通過測量的方法驗(yàn)證了他的結(jié)論，你能幫小銳用幾何推理的方

法證明結(jié)論的正確性嗎？

己知：如圖，直線A3與回。相切于C點(diǎn)，D,E為圓上不同于C的兩點(diǎn)，連接CE,DE,CD.

求證：ZDCB=ZDEC.（3）如果我們把上述結(jié)論稱為弦切角定理，請你用一句話概括弦切角定理.

例2.（2023?河南洛陽?統(tǒng)考三模）人類會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)是在2000多年前，由我國的墨子給出

圓的概念：”圓，一中同長也.”意思是說，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等，這個(gè)定義比古希臘數(shù)學(xué)

家歐幾里得給圓下的定義要早100多年.與圓有關(guān)的定理有很多，弦切角定理就是其中之一.我們把頂點(diǎn)

在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾弧所對(duì)

的圓周角度數(shù).

⑴如圖1,AB是的切線.點(diǎn)C,￡＞在上.求證：ZADC=ZCAB;(2)如圖2,CE是。。的切線.連

接AE交。。于點(diǎn)。，A8為。。的直徑.若BC=2,。。的半徑為5,求ZJE的長.

例3.(2023?四川綿陽?九年級(jí)統(tǒng)考期中)定義：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切

角.如圖1,AC為OO的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，AB為。O內(nèi)一條弦，NC4B即為弦切角.

⑴古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的《幾何原本》是一部不朽的數(shù)學(xué)巨著，全書共13卷，以第1卷的23個(gè)定義、5

個(gè)公設(shè)和5個(gè)公理作為基本出發(fā)點(diǎn)，給出了119個(gè)定義和465個(gè)命題及證明.第三卷中命題32一弦切角定

理的內(nèi)容是:"弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對(duì)的圓心角度數(shù)的一半,等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角度數(shù)

如下給出了弦切角定理不完整的"已知"和"求證"，請補(bǔ)充完整，并寫出"證明”過程.

已知：如圖2,AC為。O的切線，點(diǎn)A為切點(diǎn)，A3為。。內(nèi)一條弦，點(diǎn)。在。。上，連接。4,OB,BD,

AD.求證：ABAC=ABDA.證明：

(2)如圖3,A3為。。的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)C是。。上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作8，至于點(diǎn)￡),CD交于E,

連接OE,OC,AE.若位)=10,AE=2g求弦CE的長.

圖1圖2圖3

模型5.托勒密定理模型

4

B

C

條件：如圖，AB,C￡＞是圓。的兩條弦；結(jié)論：AB2CDAD2BCAC2BD

例L（2023?山西晉中?九年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀以下材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：托勒密（H?；貨_）（公元90年?

公元168年），希臘著名的天文學(xué)家，他的著作《天文學(xué)大成》被后人稱為"偉大的數(shù)學(xué)書"，托勒密有時(shí)把

它叫作《數(shù)學(xué)文集》，托勒密從書中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理.

托勒密定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積等于兩組對(duì)邊乘積之和.

圖3

圖1圖2

下面是該結(jié)論的證明過程：證明：如圖2,作=交BD于點(diǎn)、E.

A5BE

^AD=AD^^ABE=ZACD（依據(jù)1）EAABE^AACD（依據(jù)2）0—=—^ABCD=ACBE

ACCD

^AB=AB^^CB=ZADE

0ZBAE=ZCAD0ZBAE+ZEAC=ACAD+AEAC即ABAC=NEAD0Z\ABC^Z\AED

SADBC=ACED^ABCD+AD-BC=AC{BE+ED}

SABCD+ADBC=ACBD

任務(wù)：（1）上述證明過程中的"依據(jù)1""依據(jù)2”分別是指什么？

依據(jù)1：,依據(jù)2：.

3

（2）如圖3,四邊形ABCD內(nèi)接于。。，AC為。。的直徑，AD=5,tanZACB=-,點(diǎn)。為AC的中點(diǎn),

4

求的長.

例2.（2023?江蘇鹽城?九年級(jí)統(tǒng)考期中）【舊知再現(xiàn)】圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角一.

如圖①，四邊形ABC。是。。的內(nèi)接四邊形，若AB=BD,ZABD=40。，則/3CD=_。.

A

AAA

圖①圖②圖③圖④

【問題創(chuàng)新】圓內(nèi)接四邊形的邊會(huì)有特殊性質(zhì)嗎？

如圖②，某數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行深入研究發(fā)現(xiàn)：AB>CD^BC>DA=AC'BD

證明：如圖③，作=交BD于點(diǎn)、E.

0NBAE=ZCAD,ZABD=ZACD,團(tuán)NABE^NACD,

團(tuán)爺=黑即=（請按他們的思路繼續(xù)完成證明）

/iCz

【應(yīng)用遷移】如圖④，已知等邊AABC外接圓。。，點(diǎn)P為BC上一點(diǎn)，且尸B=g,PC=1,求總的長.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1.（2023山東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖AB與圓。相切于A,D是圓。內(nèi)一點(diǎn)，DB與圓相交于C.已知BC

=OC=3,OD=2,AB=6,則圓的半徑為

2.（2022秋?浙江寧波?九年級(jí)校考期中）如圖，兩個(gè)同心圓，過大圓上一點(diǎn)A作小圓的割線，交小圓于B、

C兩點(diǎn)，且圖中圓環(huán)的面積為4萬，貝!JAB-AC=.

4.（2023?重慶九年級(jí)期末）如圖，從圓外一點(diǎn)尸引圓的切線上4,點(diǎn)A為切點(diǎn)，割線PZ53交。。于點(diǎn)。、B.已

知P4=12,PD=8,則S^ABP-SGAP=

4.（2023?浙江杭州?模擬預(yù)測）如圖，過點(diǎn)尸引圓的兩條割線和PCD,分別交圓于點(diǎn)A,8和C,。，連

PAPCPAPCPApr>

結(jié)AC,即，則在下列各比例式中，@—；②而=W；③筌=焉，成立的有（把

1DrUrDrDACDLJ

你認(rèn)為成立的比例式的序號(hào)都填上）.

5.（2023,浙江紹興?模擬預(yù)測）四邊形ABOC內(nèi)接于圓，對(duì)角線交點(diǎn)為E,AB=AC=4,AE=2,若BE、CE

都是整數(shù)，則BE的值為.

6.（2023?廣東珠海?統(tǒng)考一模）如圖，為正AABC的外接圓，P為劣弧3c上任一點(diǎn)，CP的延長線和A3

的延長線交于點(diǎn)。.（1）求N3PC；（2）求證：AC2=CPCD.

A

O

D

7.（2023?廣東汕頭??？家荒＃┤鐖D，A3是。。的直徑，點(diǎn)C,D在。。上，AO平分過點(diǎn)。作AC

的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E,交A3的延長線于點(diǎn)孔連接30.

（1）求證：Eb是。。的切線；（2）求證：AB\AB-AE）=ACBF{3）^AB=10,AC=6,求的長.

8.（2023?云南昆明?統(tǒng)考一模）如圖，尸是以。為圓心的兩個(gè)同心圓外一點(diǎn)，過P點(diǎn)的兩條直線分別與大圓

。交于A、B、C、。四個(gè)點(diǎn)，其中一條直線交小圓。于尸點(diǎn)，P為線段。的中點(diǎn)，ZP=ZADP,CELPA,

垂足為E.⑴求證：尸D為小圓。的切線；⑵若7^=7,AB=10,求大圓。的半徑.

CE3

9.（2023?廣東揭陽?統(tǒng)考一模）歐幾里德，古希臘著名數(shù)學(xué)家.被稱為“幾何之父".他最著名的著作《幾何

原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛地認(rèn)為是歷史上最成功的教科書.他在第三

卷中提出這樣一個(gè)命題：”由已知點(diǎn)作直線切于已知圓”.

0

如圖1,設(shè)點(diǎn)尸是已知點(diǎn)，圓。是已知圓，對(duì)于上述命題，我們可以進(jìn)行如下尺規(guī)作圖：

①連接。尸，作線段。尸的中點(diǎn)A；②以A為圓心，以A0為半徑作圓A,與圓。交于兩點(diǎn)。和R；

③連接尸。、PR,貝尸R是圓。的切線.⑴按照上述作圖步驟在圖1中補(bǔ)全圖形；

(2)為了說明上述作圖的正確性，需要對(duì)其證明，請寫出證明“P。、依是圓。的切線”的過程；

⑶如圖2,連接。。并延長交圓。于點(diǎn)8,連接BR,已知理=2,PQ=245,求圓。的半徑.

10.(2023?山東聊城,九年級(jí)統(tǒng)考期中)頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角.如

圖①所示：出切回。于點(diǎn)A,AB是回。的一條弦，就是回。的一個(gè)弦切角.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：弦切角等于它

夾弧所對(duì)的圓周角.根據(jù)下面的"已知"和"求證"，寫出"證明"過程，并回答后面的問題.

(1)如圖1,9是回。的切線，A為切點(diǎn)，AC為直徑，SR48夾弧所對(duì)的圓周角為團(tuán)C.求證：SPAB=SC.(2)

如圖2,B4是回。的切線，A為切點(diǎn)，SR4B夾弧所對(duì)的圓周角為回。.求證：0B4B=0￡>.

(3)如圖3,為半回。的直徑，。為圓心，C,。為半回。上兩點(diǎn)，過點(diǎn)C作半回O的切線CE交的延

長線于點(diǎn)E,若CE0A。，且BC=1,AB=3,求。E的長.

11.(2023?黑龍江綏化?統(tǒng)考中考真題)如圖，為回。的直徑，且MV=15,MC與N￡>為圓內(nèi)的一組平行

弦，弦A8交MC于點(diǎn)”.點(diǎn)A在楊上，點(diǎn)8在"c上，ZOND+ZAHM=9Q°.

c

B

\N

⑴求證：MH?"=〃7?3”.⑵求證：AC=BC.（3）在回。中，沿弦ND所在的直線作劣弧N。的軸對(duì)稱圖

3

形，使其交直徑跖V于點(diǎn)G.若sin/CMN=g,求NG的長.

12.（2022?湖南長沙?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)E,點(diǎn)F

在邊AD上，連接￡F.⑴求證：AABEsADCE；

AFFE

(2)當(dāng)ZDFE=2ZCDB時(shí)，貝U-一——+----；----1------

ABADABADAF

.（直接將結(jié)果填寫在相應(yīng)的橫線上）

⑶①記四邊形ABC。，△ABEACDE的面積依次為尻&㈤，若滿足石=質(zhì)+￡,試判斷，AABEACDE

的形狀，并說明理由.②當(dāng)OC=CB，AB=m,AD=^C￡?=p時(shí)，試用含機(jī)，”，p的式子表示.

13.（2023春?北京通州?九年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試）在與圓有關(guān)的比例線段探究學(xué)習(xí)中，某興趣小組發(fā)現(xiàn)有三種

不同情況，并完成了情況一的證明.請你選擇情況二或者情況三中的一種情況進(jìn)行證明.AB,C,D為0。

上的點(diǎn)，直線AB,CD相交于點(diǎn)尸.

證明

情況一點(diǎn)P在團(tuán)0內(nèi)時(shí)，連接AC,BD（如圖1）：

情況二點(diǎn)尸在回。外時(shí)情況三當(dāng)點(diǎn)A和點(diǎn)3重合時(shí)

ZA=ZD,ZAPC=/DPB?△APCS/\DPB

ApCP（如圖2）：（如圖3）

團(tuán)一=—,^APBP=CPDP

DPBP

14.（2023?遼寧大連?模擬預(yù)測）如圖1,AABC內(nèi)接于OO,點(diǎn)。為圓外A3上方一點(diǎn),連接AZ）,若NC=NBAD.

（1）求證：AD是。。的切線；⑵如圖2,連接。瓦若tan乙430=；,AC=6后,BC=8,求。。的半徑.（注:

本題不允許使用弦切角定理）

15.（2023秋?山西呂梁?九年級(jí)?？计谀╅喿x與思考：閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

米勒定理

米勒（1436T476）是德國的數(shù)學(xué)家，是歐洲最有影響的數(shù)學(xué)家之一，米勒發(fā)表的《三角全書》，是使得三角

學(xué)在歐洲取得獨(dú)立地位的第一部系統(tǒng)性著作.下面是米勒定理（又稱切割線定理）的證明過程

已知：如圖1,Bl與。O相切于點(diǎn)A,尸3與。。相交于點(diǎn)8,C.

求證：PA1=PBPC.

證明：如圖2,連接AC,OA,OC.

I3R4為。。的切線，^OALPA,EIZl+Z2=90o.

SOA=OC,回/2=13.

0ZO+Z2+Z3=18O°,13/0+2/2=180°.

0AC=AC，0?O72B,02/3+2/2=180°,

圖3

任務(wù)：⑴請完成剩余的證明過程⑵應(yīng)用：如圖3,上4是。。的切線，PC經(jīng)過。。的圓心O,S.PB=OB=2,

割線PZ組交O。于點(diǎn)。，E,PE=5,求PD的長.

16.（2023?江蘇?九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)：

弗朗索瓦?韋達(dá)，法國杰出數(shù)學(xué)家.第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘累，帶

來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步，在歐洲被尊稱為"代數(shù)學(xué)之父".他還發(fā)現(xiàn)從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，

切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)（切割線定理）.

如圖1,P是。。外一點(diǎn)，尸C是的切線，R4是。O的一條割線,與GO的另一個(gè)交點(diǎn)為B,則PC2=PAPB.

證明：如圖2,連接AC、BC,過點(diǎn)C作。。的直徑。，連接AD.

EIPC是。。的切線，EIPC_LCD,0ZPCD=90°,BPZPCB+ZBCD=90°.

任務(wù)：⑴請按照上面證明思路寫出該證明的剩余部分.

⑵如圖3,上4與。。相切于點(diǎn)A,連接尸。并延長與交于點(diǎn)8、C,ZP=NBAD,BC=8,AP=3BP,

連接CO.①CD與AP的位置關(guān)系是.②求3。的長.

17.（2022?山西?三模）閱讀與思考：請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).

人們在研究圓與直線的位置和數(shù)量關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)存在這樣一個(gè)關(guān)系：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線

長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)構(gòu)成的兩條線段長的比例中項(xiàng).這個(gè)幾何關(guān)系也叫圓的切割線定理.喜歡探究的

小明嘗試給出了該定理的如下證明：

已知：如圖1,P為回。外一點(diǎn)，切線抬與圓相切于點(diǎn)A,割線P8C與圓相交于點(diǎn)8,C.

求證：P^=PBPC.證明：如圖2,連接AB,AC,BO,AO.

回/N切回。于點(diǎn)A,即/B4B+NQ4B=90°.

SOA=OB,^ZOAB=ZOBA.

0ZOAB+ZOBA+ZO=180°,02Z（MB+ZO=18O°.........

任務(wù)：⑴請幫助小明補(bǔ)充完成以上證明過程.（2）如圖，割線PDE與圓交于點(diǎn)D,E,B.PB=BC=4,PD=5,

連接BE,過點(diǎn)C向下作CF〃成交PE的延長線于點(diǎn)尸，求EF的長.

A

18.（2023?河南周口??？既＃╅喿x與思考

整，并給出證明.

已知：如圖，A是。。外一點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線交于點(diǎn)8,C,.求證：AE2=

19.（2023?廣東九年級(jí)期中）探究問題:

A

圖E

（1）閱讀理解：①如圖A,在AABC所在平面上存在一點(diǎn)P,若它到AASC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)

P為AABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為44BC的費(fèi)馬距離.

②如圖8,若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則有AB-CD+3Cn4=AC3r>,此為托勒密定理.

知識(shí)遷移：①請你利用托勒密定理解決如下問題：如圖C,已知點(diǎn)尸為等邊“WC外接圓的8c上任意一

點(diǎn).求證：PB+PC^PA；②根據(jù)（2）①的結(jié)論，我們有如下探尋AABC（其中ZBAC,4RC