2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)壓軸之面積問題一比值轉(zhuǎn)化法》

專項(xiàng)測試卷帶答案

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

1.如圖，已知二次函數(shù)％=收5片。)與一次函數(shù)為=履-2的圖象相交于A,5兩點(diǎn)，其中

A(T，T).

(1)求△Q43的面積；

⑵當(dāng)-”尤＜2時(shí)，求力的最值；

(3)當(dāng)"T時(shí)，描述X的增減性.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=&+法+3與X軸交于點(diǎn)4(-2,0),8(4,0),與y軸

交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)/從點(diǎn)A出發(fā),沿線段以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)，

沿線段8C以每秒1個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)

動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒.

①求的面積S與/的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最值；

②當(dāng)創(chuàng)W的面積最大時(shí)，在第二象限的拋物線上，是否存在點(diǎn)E,使得力CE：SBMN=50：9,

若存在，請(qǐng)求點(diǎn)石的橫坐標(biāo)，若不存在，說明理由.

3.在平面直角坐標(biāo)系％Oy中，已知拋物線2=/+版-3與％軸交于A、5兩點(diǎn)，OB-3OA,

與y軸交于。點(diǎn)，對(duì)稱軸是X=1,。為拋物線頂點(diǎn).

⑴求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)D的坐標(biāo).

(2)連接A。，交y軸于點(diǎn)E,尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).。是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)點(diǎn)，

是否存在以bE,P,。為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若存在，求出尸點(diǎn)坐標(biāo)；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖，點(diǎn)尸在第四象限的拋物線上，連接AP、BE交于點(diǎn)、G,設(shè)w=4,則取有最

°BGP

大值還是最小值？取的最值是多少？

(4)已知點(diǎn)。和又關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)N在直線上運(yùn)動(dòng)，求MN+￥BN的最小

值..

4.拋物線y=-/+6x+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,已知A(TO),8(4,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,尸為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作y軸平行線，交拋物線于點(diǎn)，當(dāng)3DC的面積

最大時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)和即C面積的最大值；

(3)如圖2,拋物線頂點(diǎn)為召，ETUx軸于F點(diǎn)，加(八。)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段用上一

點(diǎn).若/MNC=90。，請(qǐng)寫出實(shí)數(shù)機(jī)的變化范圍，并說明理由.

5.已知拋物線：'=/_2如+02+24(。為常數(shù))，該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為M.

斗

Ox

⑴若。=2,求頂點(diǎn)"的坐標(biāo)；

(2)將拋物線上先向右平移優(yōu)(%>0)個(gè)單位，再向上平移〃(〃>0)個(gè)單位后得到拋物線

其頂點(diǎn)為叱，與％軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)5(點(diǎn)4在點(diǎn)5的左側(cè))，且點(diǎn)附在直線/：>=尤+1上，

若AB=272,m+n=7,求Q的值；

⑶在(2)的條件下，點(diǎn)尸為直線/下方拋物線U上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線//與直線/交于點(diǎn)。

和點(diǎn)。(點(diǎn)。在點(diǎn)D的左側(cè))，當(dāng)△PCD面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PCD面積的

最大值.

6.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線股加+法+4與X軸交于點(diǎn)3(2,0)和點(diǎn)C(TO).。為第一

象限的拋物線上一點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求4把面積的最大值；

⑶若點(diǎn)八G分別為線段3、上一點(diǎn)，且四邊形A"如是菱形，直接寫出。的坐標(biāo).

7.如圖，將拋物線小片12平移，得到的新拋物線4經(jīng)過點(diǎn)4(。，-3)和3(6,。).在第三象

限內(nèi)新拋物線4上取點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)/在原拋物線右上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為

(1)求新拋物線4的表達(dá)式；

(2)若由/〃求點(diǎn)/的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)〃在第三象限內(nèi)新拋物線乙上移動(dòng)，試探究四邊形,池的面積是否為定值？若

是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)求出它的最大值.

8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=J+6x+c與％軸交于A(T,O),B(2,O)兩點(diǎn)，

與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)。在直線BC下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)。作y軸的平行線交3c于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)。

的橫坐標(biāo)為K請(qǐng)寫出/關(guān)于才的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量方的取值范圍；

(3)連接入。，交BC于點(diǎn)F,求M的最大值.

°AAEF

9.如圖1,拋物線與％軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸在入軸上方

的拋物線上.

⑵求以A,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值；

⑶如圖2,若直線如與直線BC相交于點(diǎn)V,且警■=；,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

10.如圖，已知拋物線廣皿2+法+C經(jīng)過點(diǎn)A(_3,0),c(o,4)兩點(diǎn),且與X軸的另一個(gè)交點(diǎn)為

⑴求拋物線的表達(dá)式；

(2)已知點(diǎn)”是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)&WBC的周長最小時(shí)，求“點(diǎn)的坐標(biāo).

(3)〃是第二象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為機(jī)，求四邊形如co面積S的最大

值及此時(shí)。點(diǎn)的坐標(biāo).

11.拋物線與X軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C.已知4-3,0),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,4),

點(diǎn)尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵如圖1,點(diǎn)尸在線段AC上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)(不與A,C重合)，過點(diǎn)尸作垂

足為。，尸￡＞交AC于點(diǎn)E.作垂足為F，求！？斯的面積的最大值；

⑶如圖2,點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱軸/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在拋物線上，是否存在點(diǎn)尸，使得

以點(diǎn)A,P,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的

坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

12.如圖，A、B為一次函數(shù)y=f+5的圖象與二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象的公共點(diǎn)，點(diǎn)A、

B的橫坐標(biāo)分別為0、4.尸為二次函數(shù)y=d+"+c的圖象上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AB的下

(1)求瓦C的值;

(2)若于點(diǎn)“，求：的最大值.

13.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)，=—+法+。與X軸交于A,5兩點(diǎn)，對(duì)稱軸

為直線尤=2,與y軸交點(diǎn)為點(diǎn)C(0，-5),點(diǎn)。為拋物線上任意一點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在直線2c下方的拋物線上時(shí)，連接8交BC于點(diǎn)E,求需最大值.

14.如圖，已知拋物線股加+法+c與X軸交于點(diǎn)人_1,0),3(3,0),與y軸交于點(diǎn)c(o,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在點(diǎn)尸，過點(diǎn)p作PE垂直于X軸交X軸于點(diǎn)E,交直線

于點(diǎn)。求尸尸的最大值；

(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)使直線AM與>軸所夾銳角是ZACO的2倍？若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

15.已知二次函數(shù)y=/+2x-3的圖象與X軸的交于A,8兩點(diǎn)，與>軸交于點(diǎn)C.

(1)求A,2兩點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)。在第三象限內(nèi)的拋物線上，過點(diǎn)。作x軸垂線交AC于點(diǎn)E,求QE的最大值；

⑶在(2)的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)N,使以，N,反。為頂點(diǎn)的四邊形是平行

四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

1.(D3

(2?的最小值為T,最大值為0

(3)當(dāng)*<-2時(shí)，乂隨工的增大而增大；當(dāng)x>2時(shí)，%隨工的增大而減小

【分析】此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的

圖象和性質(zhì)，

(1)首先利用待定系數(shù)法求出一2,然后聯(lián)立求出“2,T),然后求出一次

函數(shù)與>軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角形面積公式求解即可；

(2)首先求出二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合圖象求解即可；

(3)首先根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出點(diǎn)5關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-21),然后

結(jié)合圖象求解即可.

【詳解】(1)解：將A(TT)代入得a=-l

?.%=—x

將A(—1，-1)代入力=辰-2,得一1=-左一2

/.k=-l

y2=-x—2

聯(lián)立得，["=*即*=*2

??光2—x—2—0

解得%=T,馬=2

將％=2代入/=-22=-4

，B(2,T)

當(dāng)x=0時(shí)，一次函數(shù)%=-》-2=-2

?*.△043的面積=；x2x[2-(-1)]=3；

(2)當(dāng)x=0時(shí)，％=。，當(dāng)x=2時(shí)，X=-4,

，由圖象可得，當(dāng)-1642時(shí)，-4<y<o,

即％的最小值為T,最大值為0;

(3)—

，對(duì)稱軸為y軸，

*/3(2,T)

???點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,T)

由圖象可得，當(dāng)”-4時(shí)，

當(dāng)x<-2時(shí)，X隨％的增大而增大；

當(dāng)x>2時(shí)，％隨％的增大而減小.

2.⑴>=-#+%+3

⑵①5=椅/+2，最大值是。②E點(diǎn)橫坐標(biāo)是2-1&.

【分析】(1)將點(diǎn)A、B分別代入y=a?+法+3,解方程即可;

(2)①過點(diǎn)N作M/LAB于點(diǎn)H.利用BHNsBOC,得HN=*.用珀勺代數(shù)式表示出AAffiN

的面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；

②首先求得"BCE=5,設(shè)E(a,-|/+Ja+3),直線8E的解析式為y=,3E交丁軸于點(diǎn)尸,

o4

解得況的解析式為「融+2比+蓊+2),得到小*+2)],CF=-1?,利用

oZ、乙JZ

S8CE'xjfaAG-aQS解得：a=2-^^~,進(jìn)而得到E點(diǎn)坐標(biāo)6-1.

，，3V/

【詳解】(1)把點(diǎn)A(-2,0),8(4,0)分別代入尸加+法+3得:

4。一2b+3=0

16〃+46+3=0

3

a=—

解得38

b=-

[4

,該拋物線的解析式為：k[/+2+3；

o4

(2)①由題意知，AM=3t,BN=t,

:.MB=6—3/,

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),

在Rt3OC中，BC=4￥7^=5,

如圖1,過點(diǎn)N作于點(diǎn)H.

NH//CO

BHNsBOC,

HNBNRnHNt

OCBC135

3

/.HN=-t.

5

*.?A(—2,0),8(4,0),

.*?AB=6,

ii3999Q

22

SMRN=-MBxHN=-(6-3t)x-t=——t+-t=——(?-l)+—,

MBN2251051010

當(dāng)AMBN存在時(shí)，0<t<2,

???當(dāng)f=l時(shí),SMBN最)<=而.

7=-、人之，運(yùn)動(dòng)1秒使AMBN的面積最大，其最大面積是\；

②存在；理由如下：

由①知SMBN最大=，

0q.BCE.-0Q.BMN——5J0U-Q”,

?v—5

-a.BCE-J,

aa

設(shè)E(a,-3),直線BE的解析式為丁=履+〃，BE交了軸于點(diǎn)尸,

o4

圖2

0=4左+〃

代入得：323,

—aH—Q+3=ak+n

l84

k=--(a+

8、

解得：

3/小

=押+2)

33

二3￡的解析式為y=--(a+2)x+—(a+2),

oZ

令x=0,則y=,(a+2),

貝|］尸［。,1°+2)］,

33

:.CF=3——(。+2)=——a,

22

13

二SBCE=-X(_—^)X(4-?)=5,

解得：a=2-手或2+W(不合題意，舍去),

???E點(diǎn)橫坐標(biāo)是2-孚.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形

的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的

判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.(1)拋物線的表達(dá)式為尸X2-2X-3,點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4);

(2)存在,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,5)或(-2,5)或(2,-3)；

(3).有最小值，最小值為U；

(4)3

【分析】(1)先求得A(-l,0),5(3,0),再利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為產(chǎn)-2/2,求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-2),設(shè)

P(m,m2-2m-3),。(1,t),分5E為邊和BE為對(duì)角線兩種情況，利用平行四邊形的性

質(zhì)即可求解；

(3)設(shè)P(加，￡-2〃-3),求得直線4P、5E的表達(dá)式，聯(lián)立即可求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，三

角形的面積公式得到修能?，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(4)過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)H,推出HN*BN,得到MN+與BN=MN+NH,當(dāng)M、N、

“在同一直線上時(shí)，取得最小值，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解:???05=304,

???設(shè)A(/,0),則5(3或，0),

...對(duì)稱軸是X=1,

**2f

"I,

???4(-1,0),5(3,0),

「mu，解得："，

拋物線的表達(dá)式為尸2-2尤-3,

當(dāng)％=1時(shí)，y=l-2-3=-4,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,4)；

(2)解:VA(-1,0),5(3,0),D(l,4),

設(shè)直線AD的表達(dá)式為y-kx+c,

一上+c=0k=-2

,解得

k+c=4c=-2

???直線AD的表達(dá)式為尸2%-2,

當(dāng)％=0時(shí),y--2,

???點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-2),

???尸是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。是拋物線對(duì)稱軸上一個(gè)點(diǎn),

①當(dāng)5E為邊時(shí)，PQ//BE且PQ=BE,

當(dāng)E對(duì)應(yīng)。，由(0,-2)變?yōu)?1,要向右平移1個(gè)單位，

則當(dāng)5(3,0)對(duì)應(yīng)尸(加，蘇-27〃-3),也要向右平移1個(gè)單位，即祖=3+1=4,

??—2/77—3=5,

二?尸(4,5)；

當(dāng)E對(duì)應(yīng)尸，5對(duì)應(yīng)。,由(3,0)變?yōu)?1,0，向左平移2個(gè)單位,

則由(0,-2)變?yōu)?加，/一2加一3),也向左平移2個(gè)單位,

m=0-2—2,

m2-2m-3=5，

/.P(-2,5)；

②當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，BE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(竽，")，即《，-1)，

???P。的中點(diǎn)坐標(biāo)也為(彳，-1),

...=.?.冽=2,貝I］療-2初一3=-3,

.”(2,-3)；

綜上，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(4,5)或(-2,5)或(2,-3)；

(3)解：???點(diǎn)尸在第四象限的拋物線上，AP.BE交于點(diǎn)G,

設(shè)P(W2,m2-2m-3),其中0＜機(jī)＜3,

設(shè)直線AP的表達(dá)式為y-cx+d,

,/A(-l,0),P(JTI,m2-2m-3),

-3,解得:c=m-3

d=m-3

/.直線AP的表達(dá)式為y-(m-3)x+m-3,

同理求得直線BE的表達(dá)式為y=1x-2,

y=(m-3)x+m-3

聯(lián)立方程組，得：2,

IF一29

3-3m

X-

3m-ll

解得：V24-8m

y=

3m-ll

.24—8m

??先二藐K'

*/0<?2<3,

，24-8心0,3m-ll<0,

?24-8m

■■----------<0,

3m-11

S|I

=_2_----

*-ABAyp\--AB-\yG\

|%I8m-2424-8m

=——=---------+(-------------m*22+2m+3)

|-yG|3m-113m-ll

8

-3m2+8m+3

425

令A(yù)z=-3m2+8m+3=-3(m--)2+-,

V-3<0,

425_L=2

...當(dāng)m=可時(shí)，Z取得最大值w，W取得最小值為25一25,

33T

?3有最小值，最小值為If.

(4)解：當(dāng)％=0時(shí)，y--3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(0,-3),

???點(diǎn)5的坐標(biāo)為(3,0),

???05=3,0。=3,

???AOBC是等腰直角三角形，

/OBC=/OCB=45°,

同理求得直線BC的表達(dá)式為yr-3,

..?點(diǎn)。和"關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

???點(diǎn)"的坐標(biāo)為(2,-3),

過點(diǎn)N作軸于點(diǎn)”，

N050=45°,

???^BHN是等腰直角三角形，

J.HN^BN,

2

MN+—BN=MN+NH,

2

???當(dāng)V、N、”在同一直線上時(shí)，+取得最小值，

MN+與BN的最小值為3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，拋物線與三角形面積計(jì)算，二

次函數(shù)的性質(zhì)求最值問題，拋物線與平行四邊形綜合等，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解題的關(guān)鍵.

4.(l)y=-x2+3x+4

(2)尸(2,2),8DC面積的最大值為8

⑶一3腔/理由見詳解

Oo

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

(2)根據(jù)題意得到c(。，4),直線3c的解析式為y=T+4,設(shè)尸(p,-p+4)(O<p<4),則

必，_/+30+4),則5皿=5儂+5呀=-2(0-2『+8,結(jié)合二次函數(shù)最值的計(jì)算方法即可求解;

(3)分類討論：如圖所示，點(diǎn)”在直線所左邊時(shí)，過點(diǎn)C作砂，可證,“Ws.MTC,

得緇=黑，由此列式，根據(jù)一元二次方程根的判別式可解；當(dāng)加=1時(shí)，點(diǎn)”與點(diǎn)尸重

1N11Z7CZ

合，點(diǎn)N與點(diǎn)H重合，由NF"C=90?？傻迷摲N情況符合題意；如圖所示，當(dāng)點(diǎn)M在直線砂

左邊時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，過點(diǎn)C作同理得SM質(zhì)，—=—,由此列

CN"NFMF

式求解即可.

【詳解】(1)解:拋物線y=*+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A,B,C,已知4(-1,0),8(4,0),

.f-(-l)2-Z?+c=0

\-42+4b+c=0，

解得,仁，

???拋物線解析式為y=-/+3X+4；

(2)解：拋物線解析式為y=-Y+3x+4,當(dāng)X=O時(shí)，y=4,

C(o,4),

設(shè)直線BC的解析式為y=履+4(%豐0),

4k+4=0,

解得，k=-\,

直線BC的解析式為y=-尤+4,

..?點(diǎn)尸為線段BC上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作了軸平行線，交拋物線于點(diǎn)，

???設(shè)P(，—"+4)(。＜。＜4),貝|。(“一。2+3。+4),

DP=-p2+3/?+4-(-/＞+4)=-/?2+4/?,

?Q—v-I-V

??2BDC-2CDP丁2BDP

=~DPXp+gDP^XB-xp)

=^DPXB

=；x(_p2+4p)x4

=-2(—)2+8,

*/-2<0,

當(dāng)p=2時(shí)，3曲的面積最大，最大面積為8,

...y=-2+4=2,即尸（2,2）；

（3）解：-*彳理由如下，

拋物線解析式為yT+3x+4=-.|j+m,

如圖所示，點(diǎn)”在直線所左邊時(shí)，過點(diǎn)C作S，￡產(chǎn),

;拋物線頂點(diǎn)為E,EFLx軸于F點(diǎn)，/（列0）是X軸上一動(dòng)點(diǎn),

3325

/.OF=CH=-,OC=FH=4,MF=——m,EF=——

224

丁ZMNC=90°,

/.ZFMN=900-ZFNM=ZHNC,ZMFN=ZNHC=90°,

MFNsNHC,

.MFFN

??加一而'

3

.2~m_FN

*?4ZRV=T?

2

設(shè)FN=n,

整理得，n2-4n-^m+^=0,

???關(guān)于〃的方程有解，

A=（-4）2-4x^-|m+|^>0,

解得，根"I

6

a_

當(dāng)根=］時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)產(chǎn)重合，點(diǎn)N與點(diǎn)H重合,

.?/me=90°,

：.4MNC=90。，符合題意;

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)”在直線EF左邊時(shí)，若點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，過點(diǎn)C作

一3259

同理,MF=m--9HN=--4=-9ZHCN+ZHNC=ZHNC^ZMNF=90°,

，/HCN=/MNF,旦/CHN=ZNFM=90。,

:,CNHs-NMF,

?CHNH

39

解得，〃

o

綜上所述，-

o8

【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)與

圖形面積，二次函數(shù)與角度的計(jì)算方法，相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.

5.(1)(2,4)

(2)。=-4

(3)△PCD面積的最大值：，此時(shí)尸

【分析】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的平移，二次函數(shù)與面積綜合；

(1)由"爐-26+/+2a=(x“y+2a得到拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,2a),把a(bǔ)=2代入計(jì)算即可;

(2)平移后得到拋物線解析式為y=(x”-〃7『+2a+〃，則頂點(diǎn)為“S+九2a+〃)，代入

/:y=x+l得到a=〃2+li,再根據(jù)AB=2在%+〃=7,列方程求解即可;

（3）在（2）的條件下,小沖（尤+3）2-2,先聯(lián)立拋物線和直線/求出。（-2,-1）,C（-3,-2）,

過尸作軸交直線/于Q,設(shè)尸（M?+3）、2）,貝則尸0=-/-5.6,

5。=。20（尤0-%）=-52一之一3,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可.

22

【詳解】（1）角牟：*.*y=x—2ax+a+2a=（<x—a^+2a9

???拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（。，2"），

當(dāng)。=2時(shí)，頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為（2,4）；

（2）解：將拋物線y=（尤-4+2”先向右平移機(jī)（m>0）個(gè)單位，再向上平移"（">0）個(gè)單

位后得到拋物線解析式為y=（%-。-根）2+2〃+”,

???頂點(diǎn)為“（4+租，2。+”），

?點(diǎn)AT在直線/：y=x+l上,

?>2a+n=a+m+\,

整理得〃=加+1-〃,

令y=^x—a—m）2+2a+n=0角牟得x=a+m±J—2a—n,

?I丁=（%_〃_/+2々+"與無軸交于點(diǎn)A即0）和點(diǎn)B（XB,0）（點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)）,

??xA=a+加—J—2〃—〃，xB=〃+加+\/—2a一〃，

??AB—2,^2—Xg一—2J-2a-1,

整理得2a+〃=-2,

a=m+l-n

聯(lián)立，2a+〃=-2,解得,n=6?

m+n=7a=-4

（3）解:在（2）的條件下,L'：y=（x+3）2-2,

y=（x+3）~-2x=-2x=-3

聯(lián)立,解得或

y=%+l>=Ty=-2

???拋物線V與直線/交于點(diǎn)。和點(diǎn)。（點(diǎn)。在點(diǎn)D的左側(cè)）,

Z.0(-2,-1),C(-3,-2),

過尸作尸。人軸交直線/于。,如圖,

PQ=f+l-k+3)2-2]=-/-5/-6,

22=+

?*,SPCD=-^PQ\xD-xc)=^x^-2+3)-^-t-5;-6)=-^f+g，

.,?當(dāng)時(shí)，力必=:最大，止匕時(shí)小m

6.⑴y=-2f+2x+4

(2)2

1195

⑶。￥532

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與幾何圖形面積，二次函數(shù)與

特殊四邊形的綜合，掌握待定系數(shù)法，二次函數(shù)與圖形面積，特殊四邊形的綜合運(yùn)用

技巧是關(guān)鍵.

(1)根據(jù)題意得到4(。，4),由拋物線與x軸的交點(diǎn)可設(shè)y=a(x-2心+1),將點(diǎn)40,4)代入,

運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；

(2)如圖所示，過點(diǎn)。作軸于點(diǎn)M,交于點(diǎn)N,運(yùn)用待定系數(shù)法可得直線A3

的解析式為，=-2%+4,設(shè)點(diǎn)。(租2毋+27九+4乂0＜加＜2),則點(diǎn)N(列-2祖+4),所以

DN=—2m2+2m+4—(—2m+4)=—2m2+4m,由S=；DNxOB=；x2x(—2/+4〃。=—2(加—1)~+2,結(jié)^■二

次函數(shù)最大值的計(jì)算方法即可求解；

(3)設(shè)DQ,-2d+2f+4),G(t,-2t+4),則DG=(-2產(chǎn)+2/+4)-(-2/+4)=-2產(chǎn)+4/,根據(jù)菱形的性質(zhì)

得至l」AD=DG,由此列式得產(chǎn)+(-2/+2/+4-4)2=(_2〃+旬2,解方程即可求解.

【詳解】(1)解：拋物線了=加+版+4,

當(dāng)x=o時(shí),y=4,

4(0,4),

拋物線與x軸交于點(diǎn)網(wǎng)2,0),C(-l,0),

.,.設(shè)y=a(x-2)(x+l),將點(diǎn)4(0,4)代入，

得：-2a=4,

解得：a=-2,

y——2(x—2)(%+1)——2/+2%+4；

,該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-2/+2x+4；

(2)解：。為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，如圖所示，過點(diǎn)。作方^軸于點(diǎn)加，交于

點(diǎn)、N,

設(shè)直線48的解析式為'=履+6,

?14(0,4),3(2,0),

J2Z+匕=0

"[b^4'

解得:仁2，

直線AB的解析式為y=-2X+4,

設(shè)點(diǎn)Z)(機(jī)—2/+2m+4)(0〈根<2),貝U點(diǎn)N(M,—2m+4),

DN=-2m2+2m+4-(-2m+4)=-2m2+4m,

22

SABD=|f)?/xOB=1x2x(-2m+4m)=-2(m-l)+2,

'：-2<0,

，當(dāng)加=1時(shí)，一ADB面積的最大值為2；

(3)解:設(shè)匹,-2產(chǎn)+2f+4),G(t,-2t+4),

DG=(-2?+2?+4)-(-2z+4)=-2r+4g

四邊形AfUD是菱形，

:.AD=DG,

t2+(—2/+2%+4—4)2=(—2/+41)2,

解得：4=。，％2=?,

O

（8321

7.⑴，=%-尤-3

（2）4,一：

（3）四邊形加如r的面積是定值，這個(gè)定值為15

【分析】本題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)圖象的平移，運(yùn)用待定系數(shù)法

求函數(shù)拭，正確求出函數(shù)關(guān)系式是解答本題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)平移后新拋物線4的表達(dá)式為y=#+bx+c,再把A（0,-3）和3（6,0）代入解析式,

解出關(guān)于"c的方程組即可；

（2）求出拋物線右的頂點(diǎn)。（。⑼平移到拋物線L的頂點(diǎn)。僅,T）,得到平移方式，設(shè)

獷卜；病1,則M卜+21蘇-4],運(yùn)用待定系數(shù)法求出W和的解析式，根據(jù)W//BM可

得;加+2=:加+1，求出優(yōu)的值即可解答；

4m4

（3）連接“，AB,W,證明M'M±AB,求出?,*S四邊加MBM，=S/\AMH+++/XBMH

=15,可得結(jié)論.

【詳解】（1）解：拋物線小，=：/平移得到新拋物線右,

設(shè)新拋物線4的表達(dá)式為y=^x2+bx+c,

把A（。,-3）和3（6,。）代入可得：；1；+66+C=0，

14

解得仁，

，新拋物線L2的表達(dá)式為y=一x-3；

（2）解：新拋物線4的表達(dá)式為y=%2r-3=；（尸2）2一4,

二拋物線右的頂點(diǎn)。（0，。）平移到拋物線L的頂點(diǎn)。（21）,

二拋物線4平移得拋物線4的平移方式為：向右平移2個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位,

...設(shè)河'（根,;根2],貝|J知（根+2,1根2_4）,

設(shè)也的解析式為、=空+4,它過4（0,-3）和"）,；一1,

=-3

則I12，

I4

解得匕=\m+~,

4m

設(shè)8河解析式為、=口+白，它過3（6,0）和+2,；蘇-41，

6k2+%=0

人J（m+2）%2+打=；加2—4，

解得左2=%+1,

AMV/BM,

1—3=1—m+?l,

4m4

:.m=39

經(jīng)檢驗(yàn)：加=3是原方程的根，

17

當(dāng)機(jī)=3時(shí),m+2=5,—m2—4=——,

川5,一￡|；

(3)解：連接“，AB,MM',設(shè)和交于點(diǎn)H,和的交點(diǎn)為E,

設(shè)8的解析式為y=3,它過。(2,T),

則叫=-4,

解得收=-2，

OD的解析式為y=-2元；

設(shè)AB的解析式為y=k4x+b4,它過A(0,-3)和8(6,0),

人16&+仇=0，

L=1

解得4-2,

%4=-3

.,.設(shè)的解析式為y=gx-3,

y=-2x

聯(lián)立方程組.1

y=—x-3

I2

6

x=一

解得，,

）=一

06=6,

是直角三角形,

:.OD±AB,

平移過程中，點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)。，點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為次,

OD//M'M,OD=M'M,

:.M'M±AB,

一S四邊=S/XAMH+SgMH++S叢BMH

=-M'HAH+-MHAH+-M'HBH+-MHBH

2222

=-AH+^-MMBH

22

=--M'M-AB=-ODAB

22

=-XV22+42X732+62=15

2

二四邊形AMB”的面積是定值，這個(gè)定值為15.

8.⑴y=/-x-2

(2)/=-/+2《0</<2)

(3)|

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)及其圖象的性質(zhì)、求一次函數(shù)的解析式、相似三角

形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，是掌握分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

（1）用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；

(2)先求出C(0,-2),再用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式為產(chǎn)x-2可得出。區(qū)2T_2),

Eg),從而可得/=r>E=—2_dT_2)=T2+2,,再求出自變量取值范圍即可；

(3)分四種情形：當(dāng)0</<2時(shí)，作AG〃。已交BC于G,可得出一。?s二AGE,從而器=器,

A.rACr

進(jìn)而得出器=中=-*-1『+:，進(jìn)一步得出結(jié)果；當(dāng)x<-1，-1。<。和x>2時(shí)，可得出

AF333

沁沒有最大值.

【詳解】(1)解：:拋物線y=f+"+c與X軸交于A(-i,o),8(2,0)兩點(diǎn)，

l-b+c=0b=-l

，解得:

4+2Z?+c=0c=-2

???該拋物線的解析式為：>=/7-2.

(2)解：二次函數(shù)y=/-x-2中，令x=0,則y=-2,

C(0,-2),

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+m,

將3(2,。)，C(。,-2)代入得到：［,二二°,

IIII—一乙

k=\

解得

Im=-2

直線BC的解析式為：y=x-2,

???過點(diǎn)。作y軸的平行線交BC于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t,

D(t,t~—t—2^,E(t,t—2^,

I=DE=t_2_(產(chǎn)_/_2)=—t~+,

???點(diǎn)。在直線3C下方的拋物線上,

I——f2+2f(0<1<2).

(3)解：如圖1：

G圖1

當(dāng)0</<2時(shí)，作AG〃。石交BC于G

；?DEFsAGF,

?DFDE

??布—而，

把％=-1代入y=x-2得：尸-3,

:.AG=3,

?DF—?2+2/1/\21

??——(t1)+,

AF33V73

.?.當(dāng)x=l時(shí)，冬有最大值;，

/\rJ

?SDEF_DF

-SAEF^AF^

???沁有最大值!；

°AAEFD

如圖2,當(dāng)/>2時(shí),此時(shí)工=產(chǎn)-—2-(?-2)=r-2r,

'G圖2

AF33()3’

?L>1時(shí)，產(chǎn)-2邛逍著/的增大而增大,

沒有最大值,

?0?隼?沒有最大值;

/\r

如圖3,

1/八21

=§（'T一§，

當(dāng)T<t<0時(shí)，/一2汝隨著力的增大而減小,

'?隼■沒有最大值；

/\r

???沁沒有最大值;

0/\AEF

如圖4,

沒有最大值.

綜上所述：當(dāng)0</2時(shí)，泮有最大值］

°AAEF°

9.6、=-尤+3

（2）T

"3-717A/17-P

（3）。,4）或（2,3）或

2'2

1乙乙）

【分析】本題考查了二次函數(shù)綜合、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的性質(zhì)與

判定，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

(1)先求出點(diǎn)A,B,。的坐標(biāo)，設(shè)直線的解析式為丫=履+6,代入點(diǎn)B,。的坐標(biāo)，

利用待定系數(shù)法即可求解；

⑵設(shè)P1T+2f+3),分2種情況①點(diǎn)尸在直線BC上方；②點(diǎn)尸在直線2c下方，利用割

補(bǔ)法表示出以4B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形面積，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值，

再比較2種情況的最大值的大小即可得出答案；

(3)設(shè)網(wǎng)/，才+2i3),分2種情況①點(diǎn)尸在直線BC上方；②點(diǎn)尸在直線下方，過點(diǎn)A、

尸分別作y軸的平行線，交直線3C于點(diǎn)￡)、E,得出+3),AD=4,通過證明PEMs_ADM,

得到雋=2=1，結(jié)合圖形列出方程，解出/的值即可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)?

/IJLXN

【詳解】(1)解:令y=0,則-Y+2X+3=0,

解得：%=一1,%=3,

8(3,0),

令x=0,貝!]y=-x2+2x+3=3,

.?.C(0,3),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+6,

代入3(3,。)和C(。,3),得[￡;二°,

ILZ—J

解得:

直線BC的解析式為y=-尤+3.

(2)解:由(1)得，A(-l,0),3(3,0),C(0,3),

:.OA=\,OB=OC=3,

設(shè)「k,-〃+2/+3),

①若點(diǎn)尸在直線BC上方,則0</<3,

如圖，連接AC、CP、PB、OP,

一S四邊形ABPC-SOBp+Socp+SA0C

=；X3X(—?+2/+3)

~\—x3x/H—x3x1

22

39乙

=——t2+-t+6

22

2

3375

22

-卜，

,??當(dāng)%時(shí)，S四邊形.PC有最大值；

2o

②若點(diǎn)P在直線8C下方，則-

如圖，連接釬、CP、OP,

一S四邊形ABCP~SOAP+Socp+SBOC

二;x1x(-/+2/+3)+gx3x(-/)+:X3X3

11乙

=——t2——1+6

22

2

149

2

???當(dāng)仁時(shí)，S四邊形ABCP有最大值￥；

Zo

7549

—〉—,

88

二以A,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值為等.

(3)解:由(1)得，直線BC的解析式為廣-尤+3,A(-1,O),

設(shè)？9,-/+2/+3),

①若點(diǎn)尸在直線3C上方，則0。＜3,

如圖，過點(diǎn)A、P分別作，軸的平行線，交直線3C于點(diǎn)。、E,

.?.￡>(-1,4),

.\AD=4,

PE〃AO〃y軸，

PEMsADM

.PEPM_1

,AD~AM~29

:.PE=-AD=2,

2

/.-1?+2/+3-(-1+3)=2,

解得：%=1，%=2,

二點(diǎn)P的坐標(biāo)為(L4)或(2,3)；

②若點(diǎn)P在直線2C下方，則

如圖，過點(diǎn)A、尸分別作y軸的平行線，交直線3C于點(diǎn)。、E,

PE〃AO〃y軸，

:._PEMS_A￡）M

.PEPM_1

,AD~AM~29

:.PE=-AD=2,

2

/.—t+3-（-』+2/+3）=2,

解得：4=三普（舍去），1土手，

二點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［乎，當(dāng)T；

二綜上所述，點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（1,4）或（2,3）或［三叵，早’.

\7

4R

10.⑴y=_丁2_§X+4

⑵?1,|）

（3）四邊形面積S的最大值為胃，此時(shí)點(diǎn)

【分析】（1）把點(diǎn)4（-3,0）,點(diǎn)C（0,4）的坐標(biāo)帶入y=o?+bx+c,再根據(jù)對(duì)稱軸x=_2=T,

解出“，b,c,即可；

（2）設(shè)直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E,設(shè)直線AC的解析式為：尸丘+6（人0）,把點(diǎn)A,

點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，求出解析式，再根據(jù)點(diǎn)E在AC上，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；根據(jù)直線x=T垂

直平分A8,則=EA=EB-根據(jù)等量代換，三角形三邊的關(guān)系，則M4+MCNAC,

當(dāng)點(diǎn)M在直線AC上，則M4+MC有最小值，根據(jù)C.BC=MB+MC+BC,BC是定值，即可；

（3）根據(jù)題意，則點(diǎn)。［根,-#-|根+4）,過點(diǎn)。作DGU軸交AC于點(diǎn)小則點(diǎn)山，2+4）,

求出。尸的值，根據(jù)四邊形ABC。面積S為：S的+SABC,且

S2

ADC=~^AGXDF+-XOGXDF=-?.m-6m,當(dāng)機(jī)=一萬時(shí)，%wc有最大值；再根據(jù)以極=8,即

當(dāng)根=-1時(shí)，四邊形MCZ）面積S有最大值，最后根據(jù)點(diǎn)。在-11+4,即可.

【詳解】（1）解：:拋物線y=*+bx+c經(jīng)過點(diǎn)4（-3,0）,C（0,4）兩點(diǎn),

-36+4=0

[c=4

?.?對(duì)稱軸為直線x=-l,

?.x-T一2丁a,

b=2a,

a=—4

3

解得：“=T

c=4

???拋物線的解析式為：,=-$2-|x+4.

（2）解：設(shè)直線AC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)E,

設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b（k^0）,

0=-3k+b

b=4

k-i

解得：3,

b=4

.二直線AC的解析式為：y=3+4；

???點(diǎn)《t)

直線x=T垂直平分AB,

:?MA=MB,EA=EB

MA+MC=MB+MC,EB+EC=EA+EC=AC,

當(dāng)點(diǎn)”與點(diǎn)E重合時(shí)，MA+MC=AC,此時(shí)M4+MC有最小值,

/.MB+MC=MA+MC=EB+EC=AC,止匕時(shí)MB+MC的值最小，

VCMBC=MB+MC+BC,BC是定值

???當(dāng)點(diǎn)加1-1，野時(shí)，c儂=M8+MC+8C有最小值，

.?.力，!].

（3）解：過點(diǎn)。作AGA軸交AC于點(diǎn)尸，

設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為加，

,,,D^m,-^m2~^m+4^,^[相，1根+4),

.548.(4八4.

..DF=——m2——m+4-—m+4=——m2-4m,

33(3J3'

'：四邊形A5CD的面積=S-+S△板，S^^^xAGxDF+^xOGxDF,

2

；.SAnr=-xAGxDF+-xOGxDF=-xOAxDF=-x3x\--m-4m],

ADC2222I3J,

??sADC=-6m=-2\m+-\+—,

當(dāng)根=1時(shí)，s*有最大值，SVADC=|,

\?SABC=gxABxOC-8,

二.當(dāng)根=-|?時(shí)，四邊形ABCD面積S有最大值為：|+8=y,

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何的綜合，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，

兩點(diǎn)間線段最短，等腰三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解

題的關(guān)鍵.

11.（l）y=-x2-2x+3

364

⑶存在，（2,-5）或（工一5）或（一2,3）

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的表達(dá)式，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，一次函數(shù)的表達(dá)

式，一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，三角形面積最值問題，判定平行四邊形求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等知

識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)并靈活應(yīng)用.

（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)假設(shè)拋物線頂點(diǎn)式表達(dá)式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出拋物線表達(dá)式；

（2）求出二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，求出一次函數(shù)圖象的表達(dá)式，根據(jù)一次

函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷出等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)，斜邊最大時(shí)面積

最大，假設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出斜邊長度，從而得出最長斜邊，即可求出最大面

積；

（3）根據(jù)平行四邊形的判定定理，分別以AC為平行四邊形的邊和對(duì)角線來進(jìn)行分類討

論，對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，

假設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：;拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（T考，

???假設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=a(x+l)2+4,

將A(-3,0)代入得，

0=?(-3+1)2+4,

解得＜2=-1,

二?拋物線的表達(dá)式為y=-(x+l)2+4=-f-2x+3；

(2)解:令x=o,則y=3,

令。=0,則-X2-2X+3=0,

解得%=-3,々=1,

.?.4(-3,0),5(1,0),C(0,3),

假設(shè)直線AC的表達(dá)式為廣質(zhì)+3,

將4(-3,0)代入得,0=-3Z+3,

解得左=1,

二.直線AC的表達(dá)式為尸x+3,

；OA=OC=3,

.?YWE是等腰直角