2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《全等三角形解答題》專項(xiàng)測試卷(帶答案)

學(xué)校:班級：姓名：考號：

1.如圖，點(diǎn)A,C,B,。在同一條直線上，BE〃DF,ZA=ZF,AB=FD.

(1)求證：4CDFW乙EBA；

⑵若"CD=45。，ZA=8O°,求的度數(shù).

2.如圖，VA5c中，ZC=90%AB=5cm,BC=3cm,若動點(diǎn)尸從點(diǎn)C開始，按C44C的

路徑運(yùn)動，且速度為每秒1cm,設(shè)出發(fā)的時間為/秒.

備用圖備用圖

(1)當(dāng)上時，解將VABC的面積分成相等的兩部分，此時3尸=；

⑵若點(diǎn)尸不與VABC的頂點(diǎn)重合，問f為何值時，點(diǎn)尸在VA2C的角平分線上？

(3)另有一點(diǎn)Q,從點(diǎn)C開始，按C-B-A-C的路徑運(yùn)動，且速度為每秒2cm,若P,Q兩

點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)尸，。中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.當(dāng)直線尸。把VA5c的周

長分成相等的兩部分時，請直接寫出此時/的值.

3.《九章算術(shù)》內(nèi)容十分豐富，全書總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就，其中記錄“出

入相補(bǔ)法”原理如下：如圖，在VA2C中，點(diǎn)D,E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE,過點(diǎn)

A作垂足為尸，延長陽至點(diǎn)G,使DG=W,連接G3,延長FE至點(diǎn)H,使團(tuán)=EE,

連接CH,則四邊形BCHG的面積等于VABC的面積.

(1)求證：BG=CH.

⑵若DE=4,AF=3,求VABC的面積.

(1)如圖1,N是AB延長線上一點(diǎn)，CN與AM垂直，求證：BM=BN；

(2)如圖2,過點(diǎn)B作出^期，尸為垂足，連接CP并延長交A3于點(diǎn)Q,求證：CPBQ=BMPQ.

⑶如圖3,將(1)中的ABCN以點(diǎn)2為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得一CN,C,N對應(yīng)點(diǎn)分別是CW,

E為CM上任意一點(diǎn)，。為8M的中點(diǎn)，連接DE,若3C=6,tanZBCN=-,DE最大值為優(yōu)，

最小值為"，求竺的值.

n

5.【基礎(chǔ)回顧】

(1)如圖1,在VABC中，ABAC=90°,AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,分別從點(diǎn)8,C向直線/

作垂線，垂足分別為，E,求證：△ABD當(dāng)MAE；

【變式探究】

(2)如圖2,在VA5C中，AB=AC,直線/經(jīng)過點(diǎn)A,點(diǎn)O,E分別在直線/上，如果

ZCEA=ZADB=ZBAC,猜想￡>E,BD,CE有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明；

【拓展應(yīng)用】

(3)小明和科技興趣小組的同學(xué)制作了一幅機(jī)器人圖案,大致圖形如圖3所示，以VA2C

的邊AB,AC為——邊向夕卜作AJBAD和其中=NC4E=90。，AB=AD,AC=AE,AG是

邊8C上的高，延長必交必于點(diǎn)石.設(shè)聞汨的面積為跖，的面積為$2,請猜想國，

S2大小關(guān)系，并說明理由.

6.如圖VA5C,AD是N3AC的角平分線，與BC交于點(diǎn)，過點(diǎn)。分別作￡＞人AB,DFJ.AC,

交AB、AC于點(diǎn)E、F,連接E尸，交AD于點(diǎn)。.

(1)試說明AD垂直平分用；

(2)若NB+NC=120。,00=3,則A。的長為多少？

7.如圖，在VABC中，AB=AC,ABAC=9Q°,點(diǎn)。為邊BC上一動點(diǎn)(與點(diǎn)5、。不重合),

連接A。，以AD為一邊在AD右側(cè)作正方形AD￡F,連結(jié)CT.

⑵猜想BC與B的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

8.如圖，已知VA5c是邊長為3的等邊三角形，點(diǎn)。是邊BC上的一點(diǎn)，且即=1,以AD為

邊作等邊VADE,過點(diǎn)E作研//3C,交AC于點(diǎn)P,連接防.

⑴求證：四邊形BDEF是平行四邊形；

(2)比較山環(huán)與%邊形BDEF的大小.并說明理由.

9.如圖①，在VASC中，ZCAB=90°,AD是8C邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)4作

的平行線交也的延長線于點(diǎn)尸，連接

⑴求證：四邊形是菱形.

(2)如圖②.連接CE,若"CB=90。,CE=5,求AB的長.

10.以AB為斜邊在它的同側(cè)分別作Rt^ABC和RtA4BO,其中NC=/D=90。,AC=BC,BC、AD

交于點(diǎn)E.

(1)如圖1,當(dāng)A。平分NC4B時，求證：BE=^CE;

(2汝口圖2,在AD上取一點(diǎn)尸，使得=連接用，過點(diǎn)C作COLAD,分別交A￡＞、FB

于點(diǎn)。、點(diǎn)H.

①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②求證：H是您的中點(diǎn).

11.如圖，在VASC中，AB=AC,N3AC=90。，點(diǎn)。是邊AC上的一動點(diǎn)，CELBD,垂足為

點(diǎn)E,將V3EC沿BC翻折得到△8FC,連接川.

⑴如圖1,①求證：^ABF+^ACF=180°；

②求證：CF+BF=6AF;

(2)如圖2,若A3=AC=2括，當(dāng)點(diǎn)。是AC中點(diǎn)時，求小尸的面積.

12.如圖①，在Rt^ABC中，ZABC=90°,BC=15cm,AC=25cm,在RtADE尸中，ZDFE=90°,EF=9cm,

邊在與BC重合，邊跖在AC上.如圖②，ADE產(chǎn)從圖①所示位置出發(fā)，沿射線6方向勻

速運(yùn)動，速度為lcm/s,。尸,DE分別與AB交于點(diǎn)M,N.設(shè)運(yùn)動時間為f⑸(。<￡<16),解答

圖①圖②

⑴當(dāng)?！复怪逼椒諥C時，求才的值；

⑵當(dāng)才為何值時，點(diǎn)M在/ACB的平分線上？

(3)當(dāng)點(diǎn)N為的中點(diǎn)時，求才的值；

(4)連接防，在運(yùn)動過程中，是否存在某一時刻工使V2CF為等腰三角形，若存在請直

接寫出才的值；若不存在，請說明理由.

13.已知如圖，在等邊VABC中，點(diǎn)D,E分別是邊"，BC上兩點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且

BD=CE,C。與AE相交于點(diǎn)F.

⑴如圖1,求ZAFC的度數(shù);

（2）如圖2,將線段■繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120。后得到AG,連接2G交AE于點(diǎn)K,猜想AK、KE、

社三者的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接CK,當(dāng)CK最小時，請直接寫出臉的值.

14.問題背景（1）在RtAABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC,E,尸分別是邊所在直線上

的兩點(diǎn)，且㈤F=45。.如圖1,過點(diǎn)A作Af/LAF,且=連接3",HE,可以證明

Z^CF^^ABH,再可以證明△⑷卯式請直接寫出BE,CF,所之間的數(shù)量關(guān)系.

嘗試遷移（2）在“問題背景”的條件下，將一E4F繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置，

CF=3,BE-CE=2,求VABC的周長.

拓展創(chuàng)新（3）如圖3,在VA2C中，ZBAC=90°,點(diǎn)D,E在邊8C上，ZDAE=45°,BD=CE,

若仞=5,AE=3①,請直接寫出3c的長.

參考答案

1.⑴見解析

⑵NDBE=125。.

【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì).

(1)由平行線的性質(zhì)求得=再利用ASA即可證明AEbA；

(2)由全等三角形的性質(zhì)求得N/=ZA=80。，利用三角形內(nèi)角和定理求得”=55。，利用

平行線的性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)證明：:5石〃。尸

/.ZFDC=ZABE

在NCDF和AEBA中

ZFDC=ZABE

<FD=AB

ZF=ZA

/.△CDF^AEBA(ASA)；

(2)解：V/^CDF^AEBA

，ZF=ZA=80°

*/N尸CD=45。

/.ZD=180°-80°-45°=55°

丁BE〃DF

NDBE=180°-55°=125°.

2.(1)2,^/13cm；

/c、3―p.48—p.32

(2)吃或"亍或”了

(3)2或6

【分析】(1)勾股定理求出AC的長，根據(jù)三角形的中線平分三角形的面積，得到當(dāng)即

為VA5C的中線時，3尸將VA5C的面積分成相等的兩部分，進(jìn)而得到CP=；AC=2cm,根據(jù)

時間等于路程除以速度求出，，勾股定理求出第即可；

(2)分平分/ABC,CP平分NACB和AP平分N3AC三種情況進(jìn)行討論求解即可；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)尸點(diǎn)在AC上，。在"上，當(dāng)尸點(diǎn)在"上，。在AC上，分別畫

出圖形，列出方程，求得力的值即可.

【詳解】(1)解：ZC=90°,AB=5cm,BC=3cm

/.AC=4cm

???三角形的中線平分三角形的面積

當(dāng)?shù)跒閂ABC的中線時，燈將VABC的面積分成相等的兩部分

CP=-AC=2cm

2

??"2+1=2；

,/ZC=90°

.*?BP=JBC'+CP2=屈c(diǎn)m；

故答案為：2,而cm;

(2)當(dāng)BP平分/ABC時，如圖，作尸則：PC=PD

,?V=S4S

U丁

?AABC-Q"CPOAABP

/.^ACBC=^BCPC+^ABPD=^（BC+AB）PC,gp：3*4=（3+5>PC

當(dāng)CP平分/ACS時，作PDLACPELBC,如圖：貝心PD=PE

CEB

ZACB=90°

?四邊形PQCE為正方形

?CD=PD

q—Q-i-V

UAABC-QABCP丁UAACP

-ACBC=-BCPE+-ACPD=-(BC+ACYPDBP：3x4=(3+4)?尸D

2222V7

?PD若

.CD=—

7

.AD=AC-CD=—

7

在RHADP中，由勾股定理，得：AP=y/AD2+PD2=—

當(dāng)AP平分Z5AC時，作P/UAB,則：PC=PF

同法可得：3X4=(4+5)PC

/.PC=g

"[3+4+5一小若；

綜上：弓或'號或'號?

(3)解：如圖6,當(dāng)P點(diǎn)在AC上，。在A8上

圖6

貝U℃=/cm,BQ=(2t—3^cm

,??直線PQ把VA5C的周長分成相等的兩部分，且VABC的周長為3+4+5=12cm

CP+BC+BQ=|xl2=6cm

「./+3+（2/-3）-6

.?/=2；

如圖7,當(dāng)尸點(diǎn)在AB上，。在AC上

則AP=?-4)cm,AQ=(2r-8)cm

,??直線PQ把VA5C的周長分成相等的兩部分，且VABC的周長為3+4+5=12cm

/.AP+AQ=6cm

.t—4+2/—8—6

.\t=6

???當(dāng)/為2或6秒時，直線P0把VABC的周長分成相等的兩部分.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線平分面積、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形面

積的計(jì)算，正方形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，利用分類

討論進(jìn)行求解是解決問題的關(guān)鍵.

3.⑴見解析

(2)24

【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知

識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為解題的關(guān)鍵.

(1)先證明△ADR%BDG(SAS)可得"=8G,同理可得：CH=AF,再根據(jù)等量代換即可證

明結(jié)論；

(2)先證明祝是VA5C的中位線可得3c=2DE=8,進(jìn)而證明四邊形BCHG為矩形.

可求得矩形BC8G的面積，最后說明SAABC~S矩形BCHG即可解答.

【詳解】(1)證明：?.?點(diǎn)AE分別是MAC的中點(diǎn)

/.AD=BD.

??,在△ADE和AADG中，DF=DG,ZADF=ZBDG,AD=BD

.-.△ADF^ASDG(SAS).

AF=BG.

同理可得：CH=AF.

:.BG=CH.

(2)解：?.?點(diǎn)D,E分別是AB，AC的中點(diǎn)

」.DE是VABC的中位線.

BC=2DE=8.

由(1)可知，BG=AF=HC=3,ZG==XAFD=90°

:.BG=CH,BG//CH.

二四邊形2Q/G為矩形.

S矩形BCRG=BCxBG=8x3=24.^1BC(AF+CH)=|BC-2CH=BCCH

-S^ABC=S矩形BCHG=24.

4.⑴見解析

(2)見解析

⑶蓑

【分析】(1)證明AABM9△CBN,從而得出結(jié)論；

(2)作CD，3c交的延長線于，證明ACPDSAQPB及注AABM,二者結(jié)合可證明結(jié)

論；

（3）點(diǎn)c運(yùn)動軌跡是以3為圓心，為半徑的圓，設(shè)CN上的高是垂足為尸，則尸的

軌跡是以3為圓心，所為半徑的圓，CN運(yùn)動的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，結(jié)合圖

形找出點(diǎn)的最大值，然后根據(jù)垂線段最短可求出的最小值，從而確定小和〃的比

值，進(jìn)一步得出結(jié)果.

【詳解】（1）證明：如圖1,設(shè)■的延長線交CN于。

ZABC=90°

.\ZABC=ZADC=90°

?：AAMB=ACMD

:.ZBAM=ZBCN

在^ABM和Z\CBN中

ZBAM=ZBCN

AB=BC

NABC=/CBN=90。

:.AABM^CBN（ASA）

BM=BN；

（2）證明：如圖2

作交BP的延長線于。

...ZBCD+ZABC=90°+90°=180°

/.CD//AB

.?.△CPDsqpB

CPCD

'~PQ~~BQ

?：BPYAM

:.ZBPM=9Q°

.?.NDBC+ZAMB=90。

???NBAC=90。

ZBAM+ZAMB=90°

:.ZDBC=ZBAM

在△5CO和AABM中

'NDBC=/BAM

<BC=AB

ZBCD=ZABC=90°

/.△BCZ)^AABM(ASA)

:.CD=BQ

CPBM

'~PQ=~BQ

...CPBQ=BMPQ.

(3)解:如圖3

??,點(diǎn)c運(yùn)動軌跡是以n為圓心，比為半徑的圓

設(shè)CN上的高是防，垂足為，則尸的軌跡是以3為圓心，所為半徑的圓

???CN運(yùn)動的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)

當(dāng)E在CB的延長線上時，DE最大

3

?/ZBCN=90°,tanZBCN=—,AB=BC=6

4

39

...BM=BN=BC-tanNBCN=6x—=—

42

。為的中點(diǎn)

19

BD=-BM=-

24

933

:.m=BD+BE=BD+BC=—+6=——

44

9

:BN=—,BC=6

2

CN=YJBN2+BC2=—

2

根據(jù)三角形面積可得：BNXBC=；NCXB尸

2x6

clBNxBC?18

/.BF=----------==——

CN155

T

18927

，n=DE'=BE'—BD=BF—BD=------=——

5420

33

m_4_55

n279，

20

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一點(diǎn)到圓上的距離的最值問題，相似

三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形

和相似三角形.

5.(1)見解析；(2)DE=BD+CE,證明見解析；(3)5=邑，理由見解析

【分析】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì).

(1)根據(jù)垂直定義得ZBZM=ZAEC=90。，貝(jNZMB+/D3A=90。，再根據(jù)/&VC=90。得

ZDAB+ZEAC=90°,由此得ZDS4=N￡AC,進(jìn)而可依據(jù)AAS判定△ABD和全等；

(2)根據(jù)三角形外角性質(zhì)得？EAC?BAC7ADB?DBA,ZADB=ABACZEAC=ZDBA,

進(jìn)而可依據(jù)AAS判定A￡AC和MBA全等得CE=AD,AE=BD,由此可得出OE,BD,CE的數(shù)

量關(guān)系；

（3）過點(diǎn)。作交AH的延長線于點(diǎn)V,過點(diǎn)￡作印,犯于點(diǎn)N,則？AG3?M90?,

進(jìn)而得ZABG+44G=90。，再根據(jù)NBAD=90。得?BAG?DAM90?,由此得?ABG1DAM,進(jìn)

而可依據(jù)AAS判定aMG和ADAM全等，則DM=AG,同理可證明△APC0△硒4得EV=AG,則

DM=EN,然后再根據(jù)三角形的面積公式即可得出5,邑大小關(guān)系.

【詳解】（1）證明：直線/,C￡L直線/

ZBDA=ZAEC=90°

/.ZDAB-hZDBA=90°

,/ABAC=90°

/.ZDAB+ZEAC=90°

ZDBA=ZEAC

在△岫）和△C4E中

ZBDA=ZAEC

</DBA=/EAC

AB=AC

/.AAB￡>^AG4E（AAS）；

（2）解：DE,BD,CE的數(shù)量關(guān)系是：DE=BD+CE,證明如下：

:㈤B是的外角

C.1EAB1ADB?DBA

：.?EAC1BAC1ADB1DBA

*/ZADB=ZBAC

/.ZEAC=ZDBA

在△￡AC和3^4中

ZEAC=/DBA

<ZCEA=ZADB

AB=AC

AEAC^DBA(AAS)

CE=AD,AE=BD

1?DE=AE+AD=BD+CE-

(3)S,§2大小關(guān)系是：si,理由如下:

過點(diǎn)。作/加交4/的延長線于點(diǎn)加過點(diǎn)E作硒，姐于點(diǎn)N,如圖所示:

A1AGB2M90?

，ZABG+ZBAG=90°

*/ZBAD=90°

?BAG1DAM90?

，？ABG?DAM

在AABG和ADAM中

ZAGB=NM

<NABG=ZDAM

AB=AD

AABG^AZMM(AAS)

/.DM=AG

同理可證明：△AGC經(jīng)正NA

EN=AG

/.DM=EN

S]=^AH?DM,Sz=；AH?EN

：.s,=s2,

6.⑴見解析

(2)AO=9

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DE=D尸，ZAED=ZAFD=90°,根據(jù)公共邊AD=AD,

即可證明RtAAED^RtAAFD得出他=AF,根據(jù)三線合一即可證明AD垂直平分EF；

(2)根據(jù)三角形內(nèi)角和可得NBAC=60。，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出43=2DE,

在RSDOE中NOED=30。，貝ljOE=2OD,根據(jù)AD=AO+OD,得出AO=3OD=9,即可求解.

【詳解】(1)(1)解：?.?AD平分，3AC,DE±AB,DF1AC

：,DE=DF,ZAED=ZAFD=90°

^■：AD=AD

RtAAED^RtAAED(HL)

:.AE=AF

又?.?AD平分N3AC

垂直平分所；

(2)VZB+ZC=120°

.,.在VABC中，ABAC=180°-ZB-ZC=60°

?.?AT)平分-3AC

ZBAD=-ABAC=3Q°

2

■.'DE-LAB

:.ZAED^90°

???在RtAAED中,ZADE=60°

Z￡4D=30°

AD=2DE

由(1)知AD垂直平分跖

:./DOE=90。

，在RtZXOOE中，ZOED=90°-ZODE=30°

:.DE=2OD

:.AD=2DE=4OD

又=

:.AO^3OD

QOD=3

AO=3OD=9

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角三

角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解

題的關(guān)鍵.

7.(1)證明見解析；

(2)BCUC,理由見解析.

【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性

質(zhì)等知識，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

(1)由正方形的性質(zhì)得到旬=",ZZMF=90。，根據(jù)ZZMC+NG4F=90。，ZBAD+ZDAC=90°,

得到=即可得出結(jié)論；

(2)由等腰直角三角形的性質(zhì)得到ZABC=ZACB=45。，由全等的性質(zhì)得到ZACF=ZABD=45°,

從而得到NBCF=ZACB+ZACF=90。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：:四邊形山灰為正方形

/.AD=AF,ZDAF=90°

ZDAC+ZCAF=90°

/ABAC=90°

/.Z.BAD+Z.DAC=90°

/.ZBAD=ZCAF

在445。與△ACT中

AB=AC

/BAD=/CAF

AD=AF

/.AABDZ\ACF(SAS)；

(2)解：BCLFC,理由如下:

.AB=AC,ABAC=90°

/.ZABC=ZACB=45°

*/AABD^AACF

ZACF=ZABD=45°

又丁ZACB=45。

/.ZBCF=ZACB+ZACF=90°

:?BCLFC.

8.(1)見解析

(2)SJEF-S平行四邊形BDEF,理由見解析

【分析】(l)連接比，證明vwv。石(SAS),得到所〃5C,證明△砂。是等邊三角形.則

EF=EC=FC=1.即可得到結(jié)論;

(2)作四，跖于H.求出S平行四邊形BDEF和即可得到結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接取,

A

BD

?「△ABC,AAZ汨都是等邊三角形

AB=AC,AD=AE,NBAC=NDAE=ZABC=ZACB=60°.

:./BAD=/CAE.

V^AD=VC4E(SAS)

.\BD=EC=1,ZACE=ZABD=600.

*/EF//BC

ZEFC=ZACB=60°.

.△EFC是等邊三角形.

:.EF=EC=FC=1.

二四邊形BDEF是平行四邊形.

(2)作CHLE尸于H.

QCH1EF,:.ZECH=30°,/CHE=90°,

EH=-EC=-

22

二在RtACEH中，CH=s/CE2-EH2==g

?.?四邊形即EF是平行四邊形

百

S平行四邊形BDEF=BDxCH=

又?.?AF=AC-CF=3-1=2

又是等邊三角形，各邊上的高相等都是日

..SAFF——A.F——x2x———.

“AEF22222

-v=s

…^^AEF~2平行四邊形BDEF?

【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定

和性質(zhì)、勾股定理等知識，證明四邊形如跖是平行四邊形是關(guān)鍵.

9.(1)詳見解析

(2)2710

【分析】⑴可證明△由涇△3(AAS)得到AF=Dfi,再由直角三角形的性質(zhì)證明

AD=BD=DC,進(jìn)而可證明四邊形ADb是平行四邊形，再由AD=DC,即可證明四邊形AD6

是菱形；

(2)先證明四邊形仞b是正方形，得到ZADC=90。，設(shè)AE=DE=x,則CD=9=AD=2x,

由勾股定理可得方程5f=25,解方程求出4。=瓦)=。=26,則45=，5+仍=2如.

【詳解】(1)證明：:石為AD中點(diǎn)

AE=DE

,/AF〃BC

ZDBE^ZAFE

ZDEB^ZAEF

：.ADEB邑AEF(AAS)

AF=DB

,「AD是直角三角形CAB斜邊CB上的中線

/.AD=BD=DC

I.AF=DC

'；AFHDC

四邊形M>C尸是平行四邊形，

,/AD=DC

；?四邊形是菱形.

(2)解：VZFCB=90°,且四邊形AZXy是菱形

???四邊形仞C尸是正方形

ZAZ)C=90°

設(shè)AE=DE=x

貝ICD=BD=AD=2x

CE2=CD2+DE2,CE=5

52=(2x)2

解得戶石(負(fù)根已經(jīng)舍棄)

AD=BD=CD=275

?*.AB=-JAD?+Bb2=2^/10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，直角三角形

的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知正方形的性質(zhì)與判定定理，菱形的判定

定理是解題的關(guān)鍵.

10.(1)見解析

(2)①見解析；②見解析

【分析】⑴過點(diǎn)E作EG，鉆于點(diǎn)G,由角平分線的性質(zhì)得到EC=EG,由5抽/84=黑=卓

BE2

得到=即可證明結(jié)論；

(2)①按照題意補(bǔ)全圖形；②連接CT、CD.證明AACF咨ABaXSAS),得到CFnCZ),由FO=OD

及卷=卷得到m=附即可得到結(jié)論.

UL)n.D

【詳解】(1)證明：如圖1,過點(diǎn)￡作石G,鉆于點(diǎn)G

AD平分NG4B,屆_LAB,NC=90。

:.EC=EG

?/^C=90°,AC=BC

:.ZCAB=ZCBA=45°

EG叵

...sinZCBA=——

BE2

BE=叵EG

BE=yflEC.

(2)①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形;

C

②證明：如圖3,連接3、CD.

C

\-CHLAD,^ADB=90o

圖3

:.CH//BD,ZCAD+ZACO=90°

:.NOCE=NCBD

?.?ZACB=90°

:.ZOCE+ZACO=9Q0

:.NOCE=NCAD

.\ZCAD=ZCBD

在AACF和Z\BCD中

AC=BC,

.?</CAD=/CBD,

AF=BD,

.?.△ACF^ABCD(SAS)

:.CF=CD

?.-CH1AD

:.FO=OD

?.?CH//BD

.FOFH

"0D~HB

:.FH=HB

??.H是FB的中點(diǎn).

【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、解直角三角形、平行線分線段成比例定理、全

等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握解直角三角形和全等三角形的判定是關(guān)鍵.

IL(1)①見解析，②見解析

(2)AAB尸的面積為12

【分析】本題主要考查了解直角三角形、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰

三角形的判定與性質(zhì)、折疊性質(zhì)等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)知識成為結(jié)題的關(guān)鍵.

(1)①由垂線的定義以及翻折的定義可得々FC=N3EC=90。，然后根據(jù)四邊形的內(nèi)角和

定理即可解答；

②如圖，延長陽至點(diǎn)"，使B”=CF,結(jié)合①的結(jié)論可得=尸，再證明AABH/AACF

可得AH=AF、ZHAB^ZFAC,進(jìn)而證明△/￡針是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三

角形的性質(zhì)即可解答；

(2)如圖：過點(diǎn)A作AGL歷于點(diǎn)G,先說明=再根據(jù)正切的定義可得

tan/ABO=槳=孌='進(jìn)而得到隼=；,設(shè)即i則CE=2x,根據(jù)勾股定理列方程可得

x=l,進(jìn)而得到鼾=4豆，再解直角三角形可得AG=4,最后根據(jù)三角形的面積公式即可

解答.

【詳解】(1)證明：①〈BE工CE,

.\ZBEC=90°

?.?△BCF由翻折得到的

.\ZBFC=ZBEC=90°

?.?ZBAC=90。，四邊形AB尸C的內(nèi)角和是360。

.?./A&F+/AC戶=360。一90。一90。=180。.

②如圖，延長用至點(diǎn)H,使BH=CF

由①知，ZABF+ZACF=\^°

由ZABF+ZABH=180°

ZABH=ZACF

\-AB=AC,

:.Z\ABH^/\ACF(SAS)

:.AH=AF,NHAB=NFAC

ZHAB+ZBAF=ZFAC+ZBAF=ZBAC=90°,即ZHAF=90°

「.△/MF是等腰直角三角形

HF=y/2AF,HF=HB+BF=CF+BF

:.CF+BF=y/2AF.

(2)解：如圖：過點(diǎn)A作AG,跖于點(diǎn)G

AB=AC=2y/5,點(diǎn)。是AC中點(diǎn)

ADy/5_1

:.AD=CD=y/5,

~AB~245~2

ZADB=ZEDC,ZBAC=ZDEC=90°,

:.ZABD=ZECD

在RtAABD中，tan^ABD=—=^==-

AB2752

22

由勾股定理得BD=^AB+AD=J(扃+(2肩=5

tanZDCE=—

CE2

QCD=A/5,

設(shè)ED=x,貝|CE=2x

在RSCDE中，由勾股定理得x2+(2x)2=(石『

:.x=\

,.CE=CF=2

BE=BD+DE=5+1=6,gpBF=BE=6

由CF+BF=gF

:.2+6=y[2AF

:.AF=4s[2

由(2)得，△出尸是等腰直角三角形

在RtAAFG中，ZAFG=45°

AG=4V2xsin45°=4

.'.S=-BFAG=-x6x4=12

以22

答：AAM的面積為12.

7

12.(Dy

⑵6

⑶日

7

(4)萬或6或9

【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三

角形的性質(zhì)與判定，平移的性質(zhì)等等，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)線段垂直平分線的定義可得Cb=；AC=12.5cm,據(jù)此可得答案；

(2)連接CM,證明AMCF絲JWCB(AAS),得到CF=BC=15cm,據(jù)此可得答案；

(3)連接班，由平移的性質(zhì)可得DE〃3C,可證明DE垂直平分相，則=導(dǎo)角證

明/EBC=/C,得到BE=CE,則CE=AE=；AB=12.5cm,據(jù)此可得答案；

（4）濟(jì)BF=CF,3c=6和"=b三種情況，根據(jù)等腰三角形的定義討論求解即可.

【詳解】（1）解；如圖所示，垂直平分AC

在圖①中b=9cm

.12.5-95

??J-i~-2；

(2)解：如圖所示，連接CM

?..點(diǎn)”在NACB的平分線上

/.NMCF=/MCB

XVZB=ZMFC=90°,CM=CM

AMCF^AMCB(AAS)

/.CF=BC=15cm

（3）解：如圖所示，連接BE

由平移的性質(zhì)可得DE//BC

"：ZABC=90°,gpAB±5C

DEJ.AB

???點(diǎn)N為AB的中點(diǎn)

。石垂直平分A5

AE=BE

ZEAB=ZEBA

,/NEAB+NC=NEBA+NEBC=9。。

/.ZEBC=ZC

BE=CE

，CE=AE=-AB=12.5cm

2

12.525

在圖①中，*/ZBFC=90°

BF±AC

BG=DF；

由平移的性質(zhì)可得。￡=也

/.DE=BF

/.RUfiGF^RtAZ)FE(HL)

/.FG=EF

???點(diǎn)E與點(diǎn)G重合

?:BF=BC,BG±AC

CG=FG=EF=9cm

DB

AFE(G)C

當(dāng)即=CF時，則點(diǎn)尸在BC的垂直平分線上

?，?同理可得AE=CE==12.5cm

13.(1)120°

(T)AK+DF^KE

(3)石

【分析】(l)先證明△BCJD%C4￡(SAS),得到/BCD=NC4E,ZEFC=ZFCA+ZCAE,求得

ZEFC=ZFCA+ZBCD=ZBCA=60°,再根據(jù)ZAFC=180。-ZEFC=120。，解答即可.

（2）延長班到點(diǎn)“，使得胡=AH,延長EK到點(diǎn)H,使得歐=依，連接S,GR,先證

明A/MG絲AC4F（SAS）,判定ARPHG,再證明”在也AGA^SAS）,^ARG^ADF（AAS）,代換后解

答即可.

（3）以AH為邊在AH的左側(cè)作等邊三角形謝，作AAHX的外接圓O。，利用四點(diǎn)共圓可

以證明點(diǎn)G也在。。上，連接0AM,。民OG,取08的中點(diǎn)/,連接次

設(shè)AB=3a,則ACMBCuAHnAVuHYMSa,過點(diǎn)0作OQ'AH于點(diǎn)。

確定瓜=鼻，從而確定點(diǎn)K在以點(diǎn)/為圓心，以冬為半徑的圓上，連接（，交0/于

點(diǎn)K,根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)K重合時，CK取得最小值，延長必交3。于點(diǎn)匕取8V的

中點(diǎn)w,BW=WV=^BV,ZBAV=ZOAH=ZOHA=30°,由ZABV=60。，則4歷=90。，根據(jù)等

邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：:VABC為等邊三角形

/.BC=CA,ZBCA=ZB=60°

BC=CA

?；[/B=NECA=60。

BD=CE

ABCD^AC4E（SAS）

/.ZBCD=ZCAE

*/ZEFC=ZFCA+ZCAE

ZEFC=ZFCA-^-ZBCD=ZBCA=60°

ZAFC=180°-ZEFC=120°.

（2）解：AK+DF=KE.理由如下：

延長出到點(diǎn)H,使得出=AH,延長￡K到點(diǎn)R,使得EK=KR,連接G〃，GR

*/等邊VA5C

「?AB=BC=CA,ZABC=ZBCA=ZCAB=60°

NC4H=120。，AB=BC=CA=HA

*.*ZFAG=120°,AF=AG

ZFAC=1200-ZCAG=ZGAH

AH=AC

V<ZHAG=ZCAF

AG=AF

△H4G%C4F（SAS）

/.ZACF=ZH,ZAFC=120°=ZAGH

*.*ZBAE=ZRAH,NBAE+NEAC=60°

/.Z/MH+ZH4G=60°

/.ZRAG=6O°

/.ZRAG+ZAGH=180°

/.ARPHG

.BABK1

??-----=------1.

AHKG'

：.BK=KG

BK=KG

,/\ZBKE=ZGKR

KE=KR

：.△BXE之△GM（SAS）

；?BE=GR,ZARG二ZAEB

?/△BCD^AC4E（SAS）

/.ZBDC=ZCEA

ZAEB=ZADF

ZARG=ZADF

ZARG=ZADF

V<ZRAG=ZDFA=60°

AG=AF

；.AARG學(xué)AADF（AAS）

AR=DF

VKR=AK+AR,KR=KE

KE=AK+DF.

（3）解：根據(jù)（2）的證明，得△的G%C4F（SAS）

AC=AH,ZAFC=120°=ZAGH

以AH為邊在AH的左側(cè)作等邊三角形AHX，作AAHX的外接圓。。

ZAXH=60°

ZAXH+ZAGH=180°

???AG,〃,X四點(diǎn)共圓

.?.點(diǎn)G在。。上

連接04,08,08,OG,取08的中點(diǎn)/,連接次，由（2）證明得3K=KG

IK=-OG^-OA

22

設(shè)AB=3a

貝UAC=BC=AH=AX=HX=3a

ZAXH=60°

ZAOH=120°

過點(diǎn)。作。QU”于點(diǎn)。

,/OA=OH

13

/.ZAOQ=60°,AQ=QH=-AH=-a,ZOAH=ZOHA=30°

3

-a

'AO=OH=OG=^=Ca

2

??IK-----a

2

???點(diǎn)K在以點(diǎn)/為圓心，以為半徑的圓上

連接（，交。/于點(diǎn)K,根據(jù)題意，當(dāng)點(diǎn)K與點(diǎn)K，重合時，CK取得最小值

延長04交BC于點(diǎn)V,取BV的中點(diǎn)卬，BW=WV^^BV,Z.BAV=AOAH=AOHA=30°

由ZABV=60°

貝!=90°

AAV=ABsm60°=^a,BV=CV=^BC=1a

222

連接/W,則H￥=goK/W||OV

OV=OA+AV=^—a

2

icR3Q

/.IW=-OV=^-a,BW=WV=-a,CW=BC-BW=-a

2444

VIW\\OV9ZAVB=90°

/.ZBMI=ZAVB=90°

??E"+N=M

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性

質(zhì)，四點(diǎn)共圓的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定

理，熟練掌握性質(zhì)和定理