面積等量關(guān)系

一階方法突破練

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為4(1，0),B(-3,0),C(-2-5)..點P是y軸上一動

點，若SABP=3S4BC，求點P的坐標(biāo).

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△力8c的頂點坐標(biāo)分別為A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若過點C的一條直線平分.

△ABC的面積,求出這條直線的解析式.

3.如圖，拋物線y=-f+2x+3與x軸交于A,B兩點，與y軸正半軸交于點C,其頂點為E,拋物線的對

稱軸與BC交于點M,在拋物線上是否存在一點Q,使得SQMB=SEMB?若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，

請說明理由.

第3題圖

二階設(shè)問進階練

例如圖，拋物線y=-K2+4x+5與x軸交于A,B兩點，與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點，拋物線

的對稱軸與x軸交于點E.

(1)在x軸上是否存在點F，使得SA0C=^Sc4F?若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

例題圖①

(2)如圖②，在拋物線上是否存在點H，使得S.E=：SBCE?若存在，求出點H的坐標(biāo)；若不存在，請說明理

由；

例題圖②

⑶如圖③，在線段BC上方的拋物線上，是否存在點M(不與點D重合)，使得SBCD=SBCM?若存在，求出點

M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

例題圖③

(4)如圖④，是否存在過點A的直線1與線段BD相交且把四邊形ABDC的面積分為相等的兩部分?若存在，求

直線1的解析式；若不存在，請說明理由；

例題圖④

(5)如圖⑤，若點P為線段BC上方拋物線上一動點(不與B,C重合)，過點P作x軸的垂線交BC于點Q.若線

段PQ將△PBC分成面積比為1：3的兩部分,求點P的坐標(biāo).

例題圖⑤

綜合強化練

1.如圖，已知拋物線y=-/-2x+c與x軸交于A.B兩點，與y軸交于點C(0,3).

⑴求拋物線的解析式及A,B兩點的坐標(biāo)；

⑵若點D在拋物線的對稱軸上，且位于x軸下方，將△ABD沿BD翻折得到.△ABD,若點A/

恰好落在拋物線的對稱軸上，求點4和點D的坐標(biāo)；

(3)(面積平分問題)點P為拋物線上一點，且直線BP把四邊形ABCP分成面積相等的兩部

分，求點P的坐標(biāo).

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖①

冬田用②

2.如圖，已知拋物線y=-%2+bx+c分別與x,y軸交于A,B兩點，直線y=x+3經(jīng)過點A,B,拋物線

的頂點為P.

⑴求拋物線的解析式；

(2)現(xiàn)將拋物線向右平移機(租〉0)個單位，若平移后的拋物線與△4BP有且只有一個公共點時，求m的值；

(3)(面積倍數(shù)問題)在直線AB下方的拋物線上是否存在點Q，使得SABQ=2S.P?若存在，求出點Q的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

作圖區(qū)答題區(qū)

備用圖①

備用圖②

3.如圖，拋物線y=a/+.一g與x軸交于A(-5,O),B(1,O)兩點，與y軸交于點C,以AB為斜邊在x軸的下方

構(gòu)造等腰Rt△ABD,,點P是拋物線上的一個動點，作直線PD交x軸于點E.

⑴求拋物線的解析式;

⑵若點P在直線AC的下方，當(dāng)PD=2PE時，求點P的坐標(biāo)；

(3)(面積比例問題)若點P在直線AC的上方，是否存在這樣的點P,使得對角線PD將四邊形PADC分為面積

比為1：3的兩部分?若存在，請求出點P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

答題區(qū)

備用圖①

備用圖②

考向2面積等量關(guān)系

一階方法突破練

1.解:,??A(l,0),B(-3,0),C(-2,5),，AB=4,設(shè)點P的坐標(biāo)為(0,m)(設(shè)出動點的坐標(biāo)),如解圖，

則SABP=|x4|m|=21nli(表示出動三角形的面積).

由題意可得SMC=［x4x5=10.

2|m|=jxl0,.-.\m\=根據(jù)兩個三角形面積的等量關(guān)系求動點坐標(biāo))，第1題解圖

5T5’

???m=-5或m=-.

.?點P的坐標(biāo)為(0，-1)或(0,|

2.解：如解圖，取AB的中點D,作直線CD(三角形的任何一條中線都平分該三角形的面積)，

■.MCD與ABCD是等底等高的兩個三角形，則直線CD平分AABC的面積,

?.A(-2,0),B(2,4),

.D(0,2),8

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b,將［3,0),口(0,2)代入得｛3々；］)0,解得『J。J過點C且

平分SBC面積的直線CD的解析式為y=-|x+2.'X、等

3.解:存在，第2題解圖

V拋物線y=—-+2%+3與x軸交于A,B兩點與y軸交于點C,頂點為E,，B(3,0),C(0,3),EQ,4),，直線BC的

表達(dá)式為y=-x+3,，M(l,2),EM=2,如解圖，設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點G,過點E與BC平行的直線與拋物線

的交點為Q(同底等高的兩個三角形面積相等),

此時SQMB—SEMB，

設(shè)直線EQ的表達(dá)式為y=-x+m,

將E(l,4)代入得4=-l+m,解得m=5,

，直線EQ的表達(dá)式為y=-x+5,

直線y=-x+5與拋物線y--x2+2x+3交于點Q,

二聯(lián)立］尸。2+3解得IM舍去)｛汽

，點Q的坐標(biāo)為(2,3),

?,-EG=4,EM=2,

.-.GM=EM=2,

設(shè)過點G與BC平行的直線與拋物線的交點為Qx,Q2,此時SQMB=SEMB,

則設(shè)直線GQi(Qz)的表達(dá)式為y=-x+n,將G(l,0)代入得0=-l+n,

解得n=L，直線GQi(Qz)的表達(dá)式為y=-x+l(求出與直線BC平行的直線解析式).

2第3題解圖

,?直線y=-x+l與拋物線y=-x+2x+3交于點QI,Q2,

二聯(lián)立?m，

(y=—x+2%+3

(3+V17

“二

解得當(dāng)=—匕"，

八2

-1+V17

5=

2

綜上所述，點Q的坐標(biāo)為(2,3)或(一，匚尹)或(上棄，芍叵)

二階設(shè)問進階練

例解:⑴存在，

拋物線y=-x2+4x+5與x軸交于A,B兩點，

.-.A(-l,0),B(5,0),

A

■/AOC和"CAF等IWI,且SA0C—~SCAF,

."CAF的底是AAOC底的2倍，

?"AOC的底為AO=1,."CAF的底AF=2,

二當(dāng)點F在A點左側(cè)時,F(-3,0),當(dāng)點F在A點右側(cè)時,F(l,0).

綜上所述，點F的坐標(biāo)為(-3,0)或(1,0)；

⑵存在，

由題意可知,AE=BE,

?.拋物線y=—%2+4*+5與y軸交于點C,

.<(0,5),

???SHAE=|SBCE，且ABCE的底邊BE上的高為5,/.AHAE的底邊AE上的高為3,

①當(dāng)y=3時，一運+4%+5=3,

解得%!=2+V6,X2=2-迷，此時+V6<3)或H(2-V6-3);

②當(dāng)y=-3|時,+4%+5=-3,

解得.％=2-2V3,久2=2+2遍,此時H(2-2遮，一3)或H(2+2百，一3),

綜上所述，點H的坐標(biāo)為((2+訪3)或(2-訪3)或(2-2象-3)或(2+2V3,-3)；

(3)存在，

如解圖①，過點D作BC的平行線交拋物線于點M,連接BM,CMMSBCD=SBCM,

-.D(2,9),B(5,0),C(0,5),f：

，直線BC的解析式為y=-x+5,徽、

,設(shè)直線DM的解析式為y=-x+b,c

將D(2,9)代入解析式得9=-2+b,解得b=ll,/N

XTO<E\BX

二.直線DM的解析式為y=-x+ll,例題解圖①

VM是直線DM與拋物線的交點，

2

.,.令—X+11=—x+4x+5,解得Xi=2(舍去),x2=3,

.-.M(3,8);

⑷存在，

■.B(5,0),D(2,9),

直線BD的解析式為y=-3x+15,

設(shè)直線I的解析式為y=ax+c,且直線I與直線BD的交點為F(m,n),直線AF即為所求,如解圖

②,由點坐標(biāo)易得Spg邊物a"=SA“OC+S梭+SAS￡O=1^5x-+(5+9)x2x-+3x9x-=30,

使SABF=}S四邊形ABDC,

例題解圖②

即^AB-n=15,.-.n=5,

,；F(m,5)在y=-3x+15上,

，5=-3m+15,解得m=y,

(印5)，3

將A(-1,O),F(35)代入Y=ax+c,解得a=盤c=卷,

.?直線I的解析式為丫=葛久一

⑸???線段PQ將WBC分成面積比為1:3的兩部分,

.??警=輛咨=3.

、PQB§bPQB

設(shè)點P坐標(biāo)為(xp,yp),

C巖SPQC_1I1，Q：P_1

④右SPQB_3'/Q.（孫_而）_3'

即q==去解得Xp=.

Xp—Xp35—Xp34

此時點p的坐標(biāo)為（I，貴）；

②若警=3,1帚、=3,

即告=$建=3,解得和=第

此時點P的坐標(biāo)為(?，工).

綜上所述，點P的坐標(biāo)為?芍)或(?翳

三階綜合強化練

1.解:⑴A(-3,O),B(1,O)；

(2)由⑴得,A(-3,O),B(1,O),

，AB=4拋物線的對稱軸為直線x=-l,

如解圖①，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點H,則點H的坐標(biāo)為(-1,0),

.-.AH=BH=2,

由翻折的性質(zhì)得AB=AB=4,

.?.在RfA'BH中，

AH=^AB2-BH2=2V3,

丁點D在x軸下方，

第1題解圖①

A（—1，—2V5）,

tan^ABA=—=V3,

BH

???NABA'=60。，

由翻折的性質(zhì)得NABD=NABD=3^ABA=30。,

；.DH=BH-tanNABD=2Xw==,

.?點D的坐標(biāo)為(-1，-竽)；

(3)【思路點撥】觀察發(fā)現(xiàn)分割后的兩個三角形共底，想到利用高相等，進而作垂線構(gòu)造全等

三角形.

如解圖②，連接AC,BP交于點Q,過點A作AE^BP于點E,過點C作CDBP于點F.連接AP,P

C,BC.

■■■BP平分四邊形ABCP的面積，

11

-BP-AE=-BP-CF,

22

.-.AE=CF,

且NEQA=NFQC,

zAEQ=zCFQ=90°,

.“AEQ學(xué)CFQ(AAS),..AQ=CQ,

二點Q為線段AC的中點,.Q(一|，|).

又出(1,0),二直線BQ的解析式為y=-|x+|.

?.點P為直線BQ與拋物線的交點,

2

二令|"+|=-X-2X+3,解得%!=y,X2=1(舍去).

.,點P的坐標(biāo)為(-￡，H).

2.解：(1)拋物線的解析式為y=—尤2-2久+3;

⑵由⑴得y=rZ—2%+3=-(%+1)2+4,將拋物線向右平移m個單位，

平移后的拋物線解析式為y=-Cx+l-my+4,

1.平移后的拋物線與AABP只有一個公共點，

，平移后的拋物線經(jīng)過點B,

把B(0,3)代入，得3=-(1-mV+4,

解得=2,m.2—。(舍去)，

?.m的值為2;

(3)【思路點撥】設(shè)出點Q的坐標(biāo)，可以先計算出AABP的面積，由SABQ=2S.P，結(jié)合所設(shè)點Q的坐標(biāo)利用三

角形面積公式列方程求解.

存在.設(shè)點Q的坐標(biāo)為(a--a2-2a+3),

分兩種情況：①如解圖①，當(dāng)Q在對稱軸的左側(cè)，過點P作PD_LX軸于點D,過點Q作QElly軸交直線AB

于點E,

E(a,a+3),QE=a+3-[—a2—2a+3^=a2+3a,

SABP=SZPO+S梯形PDOB-SA0B.X4X[(-1)-

(-3)]+ax(3+4)x1——x3x3=3,

，?SABQ=^ABP~6,

???SABQ=^BEQ—^AEQ=~Q^°(XB—%E)~~Q^-

=5(a2+3ci)x(_CL)_5+3a)x(_3—CL)="(ci2+3CL)x3=6,

解得岬=-4,a2=1(舍去),「.Q(-4,-5);

②如解圖②，當(dāng)Q在對稱軸右側(cè)，連接BQ,過點P作PD±x軸于點D,過點Q作QElly軸交直線AB于點

E,同理可得Q(1,O).

綜上所述，點Q的坐標(biāo)為(-4,-5)或Q,0).

3.解：(1)拋物線的解析式為y=：/+?久一g；

(2)/AABD為等腰直角三角形，如解圖①，過點D作DG±x軸于點G,則DG=AG=GB,

:?點D的坐標(biāo)為(-2,-3),

過點P作PM，x軸交于點M,

."EPMSAEDG,

.PM_EP

"DG-ED'

..PD=2PE,

..PM=L

二點P的縱坐標(biāo)為-1,

代入二次函數(shù)解析式可得+蔡％=_1解得X=譚旺

又1?點P在直線AC的下方，

.?點P的坐標(biāo)為(嚀

⑶存在，

設(shè)點P的坐標(biāo)為(小，1巾2+一9)，

?.A(-5,0),D(2-3),C(0,-2I

可得直線AD的解析式為y=-x-5,

直線CD的解析式為y=^x-p

如解圖②，③，過點P作PH±x軸,交直線AD于點H,交直線CD于點N,連接PA,PC,

二點H的坐標(biāo)為(m,-m-5),點N的坐標(biāo)為,*根-募)，

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