難點(diǎn)與解題模型10平行線中的常見的四種“拐角”模型

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

題型二：“鉛筆”模型

題型三：“雞翅”模型

題型四：“骨折模型”

期型突跑N&精淮提今

題型一：“豬蹄”模型（含“鋸齒”模型）

「高飛1區(qū)T承

一、“豬蹄”模型

i豬蹄模型的基本特征：一組平行線，中間有一個(gè)點(diǎn)，分別與平行線上的點(diǎn)構(gòu)成“豬蹄”。

豬蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步驟總結(jié)

!步驟一：過豬蹄（拐點(diǎn)）作平行線

步驟二：借助平行線的性質(zhì)找相等或互補(bǔ)的角

步驟三：推導(dǎo)出角的數(shù)量關(guān)系

模型結(jié)論：ZB+ZD=ZDEB.

二、鋸齒模型

已知圖示結(jié)論（性質(zhì)）證明方法

AB

AB〃DENB+NE=NC

上遇拐點(diǎn)做平行

DE線（方法不唯

【典例1-1】（2023?遼寧盤錦?中考真題）如圖，直線/B〃CZ）,將一個(gè)含60。角的直角三角尺EGF按圖中

方式放置，點(diǎn)E在上，近GF、EF分別交CD于點(diǎn)H、K,若NBEF=64°,則NGHC等于（）.

【分析】根據(jù)平行的性質(zhì)可得=跖=64。，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360?？傻?G"=146。，問題

隨之得解.

【詳解】AB//CD,ZBEF=64°,

；.NEKC=NBEF=64。,

'：ZEKC+ZG+ZGEK+ZGHK=360°,ZGEK=60°,NG=90°,

NGHK=146°,

'：ZGHK+ZGHC=180°,

ZGHC=34°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行的性質(zhì)以及四邊形內(nèi)角和為360。，掌握四邊形內(nèi)角和為360。是解答本題的關(guān)

鍵.

【典例1-2］（2020?湖南?中考真題）如圖，已知Zl=30°,N2=35。，則/3CE的度數(shù)為（)

AB

A.70°B.65°C.35°D.5°

【答案】B

【分析】作CF〃/瓦根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得到NFCE=N2,從而可得NBCE的度數(shù)，本

題得以解決.

【詳解】作CF//AB,

：.CF//DE,

：.AB//DE//DE,

：./\=NBCF,ZFCE=Z2,

,.?Zl=30°,Z2=35",

:./BCF=3。。,/FCE=35。,

：.NBCE=65。,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用平行線的性質(zhì)解答.

【典例1-3］（2024?在平區(qū)一模）如圖，AB//EF,ZC=90°,則a,B,7的關(guān)系是（）

C.。+/+/=180。D.B=a+y

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解題的關(guān)鍵.分別過點(diǎn)C、D作NB的平行線,

貨ABIIMNIIPQJIEF,根據(jù)平行線的性質(zhì)得，a=NBCN,ZNCD=ZCDP,ZPDE=y,由

ZBCN+ZNCD=90°,得NBCN+NCDP=90°,再由=,即可得到a+尸一y=90。.

【詳解】如圖，分別過點(diǎn)。、。作N8的平行線，貨AB〃MN”PQ〃EF,

根據(jù)平行線的性質(zhì)得，a=ZBCN,ZNCD=ZCDP,ZPDE=y,

ZCDP+ZPDE=,

:.ZCDP=/3-ZPDE,

又vABCN+NNCD=90°,

:.ZBCN+ZCDP=90°,

即=90。，

故選:A.

【典例1一4】（2024?河南南陽?模擬預(yù)測(cè)）傳統(tǒng)文化如同一顆璀璨的明珠，熠熠生輝，為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，同時(shí)

讓學(xué)生感受中國傳統(tǒng)文化，某校將國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)"抖空竹”引入陽光特色大課間.如圖①是某同學(xué)"抖

空竹"時(shí)的一個(gè)瞬間，小紅同學(xué)把它抽象成數(shù)學(xué)問題：如圖②，已知48〃CD,ZAEC=\31°,ZBAE=57°,

則/DCE的度數(shù)為（）

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)求角度的方法是解題的關(guān)鍵.

如圖，作印〃48,可得NBAE+NDCE=NAEC,所以NDCE=ZAEC-NB4E,由此即可求解.

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)￡作跖〃/3,

FC

???AB//CD,

：.AB//EF//CD,

/BAE=AEF,/DCE=/CEF,

???ZBAE+ZDCE=ZAEF+ZCEF=AAEC=131°，

：.ADCE=AAEC-NBAE=131。-57。=74。，

故選：C.

【典例1-5］（2023?北京西城?統(tǒng)考一模）下面是解答一道幾何題時(shí)兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種,

【分析】利用平行線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)證明即可.

【詳解】方法一

證明：如圖，過點(diǎn)E作MNIIZB,

ZX=^AEM.

'：AB||CD,

：.MN||CD,

:.(C=Z.CEM.

V/-AEC=/-AEM+乙CEM,

Z.AEC=Z.A+Z-C.

方法二證明：如圖，延長TIE,交CD于點(diǎn)F,

'：AB||CD,

；.乙4=/.AFC.

\'^AEC=N4FC+NC,

Z.AEC-Z.A+ZC.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式1-1］（2024?遼寧?模擬預(yù)測(cè)）汽車前照燈的反射鏡具有拋物線的形狀，它們是拋物面（如圖），明亮的

光束是由位于拋物線反射鏡焦點(diǎn)F上的光源產(chǎn)生的，此時(shí)光線沿著與拋物線的對(duì)稱軸平行的方向射出,

若/尸CD=40。，ZFGH=70°,則光線尸C與FG形成的/CFG的度數(shù)為（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到

ZAFC=ZFCD=40P,ZAFG=ZFGH=70P,即可得到ZCFG的度數(shù).

【詳解】解：由題意可知，CF//AB//GH,

ZAFC=ZFCD=4CP,ZAFG=ZFGH=70P,

ZCFG=ZAFC+ZAFG=110°

故選：C

【變式1-2］（2024?湖南長沙?模擬預(yù)測(cè)）如圖，AB//CD,OBLOD,若乙48。=36°,則/ODC的度數(shù)為

（）

A.36°B.54°C.72°D.108°

【答案】B

【分析】本題考查了根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，作。E||CD得/8〃O￡||C。，進(jìn)一步可得

ZBOD=NBOE+NDOE=AABO+ZODC,據(jù)止匕即可求解.

【詳解】解：作OEIICD,如圖所示：

ZBOE=ZABO,ZODC=ZDOE

：.NBOD=ZBOE+ZDOE=ZABO+ZODC

VZABO=36°,NBOD=90°

：.ZODC=ZBOD-ZABO=54°

故選：B

【變式1-3］（2024?甘肅?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,是我國具有自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)、用于探索宇宙的單口徑球面射電望

遠(yuǎn)鏡"中國天眼如圖2,是"中國天眼”接收來自宇宙的電磁波的原理圖，其中EG為豎直方向的饋源（反

射面），入射波/O經(jīng)過三次反射后沿O'H水平射出，且。4〃。'/',已知入射波/O與法線的夾角Nl=35。，

則ZA'0'F=()

/Af

E

F

G

,

彳

圖1圖2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，過點(diǎn)廠作CC〃。/，可得CC//OA//O'A，根據(jù)題意得到ZAOF=70°,

再由平行線的性質(zhì)得到==/。尸O=7(F,得出答案，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：過點(diǎn)/作CC'〃O4,OH為法線,如圖：

圖2

OA//ON,

：.CC//OA//O'A',

???CCVEG,

???CC為法線,

NCFO=ZCFOr,

?：OH為法線,Nl=35。，

"OH=/I=35。,

???//O尸=70。，

???CC//OA,

：.ZAOF=ZCFO=/CFO'=70°,

???CC//O'A',

：./A'O'F=ZCFOr=70°,

故選：A.

【變式1-4］（2024?云南昆明?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知。〃b,若48與2C的夾角為105。，4=55。，則/2的

度數(shù)為（）

A.105°B.125°C.130°D.150°

【答案】C

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及判定，掌握平行線的性質(zhì)及判定是解本題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)B作8。〃*由a〃?？傻眠M(jìn)而可得出/C5D=50。，即可求解.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)B作BD〃a,

C

BD//b,

Z1=ZABD=55°,Z2+ZCBD=180°,

ZABC=105°,

:.NCBD=50。,

.-.Z2=130°.

故選：C

［變式1-5］（2024?江蘇常州?一模）如圖，直線。〃6,點(diǎn)/在直線。上，點(diǎn)C在直線6上，48，BC,若/I=44。,

則Z2=

A

a

b

【答案】46

【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義,熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

過點(diǎn)2作射線2?！?。，再根據(jù)?！?,得出=Z2=ZCBD,再根據(jù)48,8c即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)3作射線8?！ā?，如圖所示,

BD//a,

：.Zl=/ABD,

'：a//b,

：.BD//b,

：.Z2=ZCBD,

ABIBC,

：.ZABC=ZABD+ZCBD=Z1+Z2=90°,

Zl=44°,

Z2=90°-Zl=46°.

故答案為：46.

【變式1-6】問題情境：如圖1,已知乙4PC=108。.^PAB+^PCD^]^.

經(jīng)過思考，小敏的思路是：如圖2,過P作PE〃7IB,根據(jù)平行線有關(guān)性質(zhì)，可得NPHB+NPCD=360。一

AAPC=252°.

問題遷移：如圖3,AD〃BC,點(diǎn)P在射線。M上運(yùn)動(dòng)，N4DP=Na,乙BCP=乙0.

(1)當(dāng)點(diǎn)P在4B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，4CPD、N*N0之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

⑵如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合)，請(qǐng)你直接寫出NCPD、Na、4夕之間

的數(shù)量關(guān)系.

⑶問題拓展：如圖4,MA^//NAn,A】--4-8n_i-4,1是一■條折線段，依據(jù)此圖所含信息，把你

所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，用簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)式子表達(dá)為

【答案】(l)NCPD=Na+N6,理由見解析

(2)ZCPD=Z6-Za^ZCPD=Za-Z6

⑶/4+/有2+...+/4八=/81+/82+...+乙8九—1

【分析】(1)過P作PE〃AD,根據(jù)平行線的判定可得PE〃AD〃BC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(2)過P作PE〃A。，根據(jù)平行線的判定可得PE〃AD〃8C,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解；

(3)問題拓展：分別過人，小…，Am］作直線〃4M,過&,B2,8恒作直線〃4M,根據(jù)平行線的判

定和性質(zhì)即可求解.

【詳解】(1)ZCPD=Za+Z6,理由如下：

如圖，過P作PE〃/W交CD于E,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,N6=NCPE,

：./CPD=/DPE+ZCPE=Na+N6；

(2)當(dāng)P在BA延長線時(shí)，ZCPD=Z6-Za；理由:

如圖，過P作PE〃/W交CD于E,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,Z6=ZCPE,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z6-Za；

當(dāng)P在80之間時(shí)，ZCPD=Za-Z6.理由:

J.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,Z6=ZCPE,

：.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Na-N6.

(3)問題拓展：分別過人，小…，作直線〃4/M,過&,B2,....8G作直線〃4M,

由平行線的性質(zhì)和角的和差關(guān)系得/4+入42+...+乙4。=/&+/&+...+4瓦_(dá)1.

故答案為：/A1+/A2+.“+NAn=/&+/82+.“+N8n_i.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，第(2)問在解題時(shí)注意

分類思想的運(yùn)用.

題型二：“鉛筆”模型

「藉TQ區(qū)r承

從豬蹄模型可以看出，點(diǎn)E是凹進(jìn)去了，如果點(diǎn)E是凸出來，如下圖:

那么，像這樣的模型，我們就稱為鉛筆頭模型。

模型結(jié)論：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母題學(xué)方法】

【典例2-1】（崇川區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知乙4=140°,ZE=120°,則NC的度數(shù)是（）

【分析】過E作所〃求出4B〃EF〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出N/+N/￡F=180°,ZC+ZCEF

=180°,求出N4+N4￡C+NC=360°,代入求出即可.

過￡作跖〃45,

■:ABIICD,

：.AB//EF//CD,

：.ZA+ZAEF=ISO°,ZC+ZCEF=180°,

AZA+ZAEF+ZCEF+ZC=360°,

即N4+N4EC+NC=360°,

VZA=140°,ZAEC=120°，

/.ZC=100°,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確作出輔助線，注意：兩直線平行，同

旁內(nèi)角互補(bǔ).

【典例2-2】（2024春?啟東市校級(jí)月考）如圖，直線〃〃b,Zl=28°,貝！］N3=度，N3+N4+N5=

【分析】過N3的頂點(diǎn)作已知直線的平行線，充分運(yùn)用平行線的性質(zhì)，不難發(fā)現(xiàn)：N3=N1+N2,N3+

N4+N5=360°

【解答】解：如圖所示：過N3的頂點(diǎn)作?！āǎ?/p>

u

：a//bf

C.a//b//c,

???N1=N6,N7=N2,

又N3=N6+N7,

???N3=N1+N2=78°；

又N4+N6=N7+N8=180°

???N3+N4+N5=360°.

【點(diǎn)評(píng)】注意此類題中常見的輔助線：構(gòu)造已知直線的平行線.根據(jù)平行線的性質(zhì)發(fā)現(xiàn)并證明：N3=N

1+Z2；N3+N4+N5=360°.

【典例2-3】請(qǐng)?jiān)跈M線上填上合適的內(nèi)容.

（1）如圖（1）已知AB〃CD,貝（］/5+/。=/5￡。.

ABAB

：.ZFEB=().()

VAB//CD,EFHAB,

，()〃().(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行)

:.NFED=().().

，NB+ND=NBEF+ZFED.

：.NB+ND=NBED.

(2)如圖②，如果A8〃CZ),貝lJZ8+N3￡D+ND=()

【答案】(1)ZB,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF,CD,ZD,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

(2)360°

【分析】(1)過點(diǎn)E作直線即〃48,貝1]/尸￡2=/8,繼而由瓦”CD可得NFED=/D所以

NB+ZD=ZBEF+ZFED,即NB+ZD=/BED；

(2)過點(diǎn)￡作直線M〃/3,則/尸￡3+48=180。，繼而由M〃CE)可得/尸皮>+/。=180。.所以

ZB+ZD+ZBEF+ZFED=360°,即ZB+ZBED+ZD=360°.

【詳解】解：(1)解：過點(diǎn)￡作直線所〃N3.

：.ZFEB=ZB.(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)

'：AB//CD,EF//AB,

：.EF//CD(如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行).

：.4FED=4D(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).

zs+zr>=ZBEF+ZFED.

：.NB+/D=/BED.

故答案為：/B,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，EF,CD,AD,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

(2)解：過點(diǎn)￡作直線即〃/8,如圖.

AB

：.ZFEB+ZB=180°.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

<ABHCD,EF//AB,

J.EF//CD（如果兩條直線和第三條直線平行，那么這兩直線平行）.

AZFED+ZD=180°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

ZB+ZD+ZBEF+ZFED=360°.

：.ZB+ZBED+ZZ)=360o.

故答案為：360°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，平行公理及其推論，熟練掌握平行線判定、性質(zhì)說理是關(guān)鍵.

【典例2-4】如圖，已知AB〃CD.

（1）如圖1所示，Zl+Z2=

⑵如圖2所示，Zl+Z2+Z3=；并寫出求解過程.

（3）如圖3所示，Zl+Z2+Z3+Z4=；

（4）如圖4所示，試探究N1+/2+/3+/4+…+/。=.

【答案】(1)180°;(2)360°；(3)540°；(4)(n-1)xl80°

【分析】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；

（2）過點(diǎn)￡作4B的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1,同理可得答案；

（3）過點(diǎn)E,點(diǎn)F分別作A8的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1,可得答案;

(4)由(2)(3)類比可得答案.

【詳解】解：(1)如圖1,：AB〃CD,

；./1+/2=180。(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)).

故答案為：180°；

(2)如圖2,過點(diǎn)E作A8的平行線EF,

"."AB//CD,

J.AB//EF,CD//EF,

：.Z1+ZAEF=1SO°,ZFEC+Z3=180°,

，/1+/2+/3=360°；

圖4

(3)如圖3,過點(diǎn)E,點(diǎn)F分別作的平行線,

類比(2)可知N1+/2+/3+N4=180°X3=540°,

故答案為：540°；

(4)如圖4由(2)和(3)的解法可知Nl+/2+/3+N4+...+Nn=(n-1)xl800,

故答案為：(n-1)xl80°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì).注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式2?1】(江蘇模擬)如圖，是賽車跑道的一段示意圖，其中45〃。。測(cè)得NB=140。,ZD=120°,

則NC的度數(shù)為()

A.120°B.100°C.140°D.90°

【分析】先作輔助線W〃45,再根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：過點(diǎn)。作CF〃/5,

■:AB//DE,

：.AB//DE//CF,

AZB+Z1=180°，ZD+Z2=180°；

故/8+Nl+/D+/2=360°,即NB+/BCD+/D=360°,

故N8CD=360°-140°-120°=100°.

【點(diǎn)評(píng)】注意此類題要作出輔助線，運(yùn)用平行線的性質(zhì)探求三個(gè)角的關(guān)系.

【變式2-2】問題情境：如圖1,ABWCD,Z.PAB=130°,/.PCD=120°,求UPC的度數(shù).

圖5備用圖1備用圖2

思路點(diǎn)撥：

小明的思路是：如圖2,過P作PE||AB,通過平行線性質(zhì)，可分別求出N71PE、NCPE的度數(shù)，從而可求出乙4PC

的度數(shù)；

小麗的思路是：如圖3,連接4C,通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出NAPC的度數(shù)；

小芳的思路是：如圖4,延長力P交DC的延長線于E,通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出乙4PC

的度數(shù).

問題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的乙4PC的度數(shù)為^。；

問題遷移：

（1）如圖5,AD||BC,點(diǎn)P在射線。M上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙4DP=Za,Z.BCP=邛/CPD、

Na、N0之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、。三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫

出“PD、Na、N夕間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】110；(1)乙CPD=+乙B，理由見解析；(2)乙CPD=乙0一乙a或乙CPD=乙0.—乙B，理由見解

析

【分析】小明的思路是：過P作PEIIAB,構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得乙4PC=110。.

(1)過P作PEII4D交CD于E,推出4DIIPEIIBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出Na=ADPE,A13=ACPE,即可得

出答案；

(2)畫出圖形(分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長線上，②點(diǎn)P在4B的延長線上)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得

出Na=NDPE,4=LCPE,即可得出答案.

【詳解】解：小明的思路：如圖2,過P作PE||48,

：.PE||AB||CD,

：.^APE=180°一"=50°,乙CPE=180°-zC=60°,

J.Z.APC=50°+60°=110°,

故答案為：110；

(1)Z.CPD=Aa+A13,理由如下：

如圖5,過P作PE||4D交CD于E,

\'AD\\BC,

：.AD\\PE\\BC,

.*.Za=乙DPE,乙p=乙CPE,

:?(CPD=Z-DPE+(CPE=乙a+Z■儀

圖5

(2)當(dāng)P在84延長線時(shí)，乙CPD=乙0—乙a；

理由：如圖6,過P作PEII4D交CD于E,

9：AD\\BC,

：.AD\\PE\\BCf

.*.Za=乙DPE,z/?=乙CPE,

圖6

當(dāng)P在8。之間時(shí)，乙CPD=ca—乙

理由：如圖7,過P作PEIL4D交CD于￡

u

：AD\\BCf

：.AD\\PE\\BCf

/.z.a=乙DPE,邛=(CPE,

圖7

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的判定和性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問題的

關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角.

【變式2-3](1)如圖1,及〃〃，求/4+/42+/八3=.(直接與出結(jié)果)

(2)如圖2,〃〃匕，求N4+N42+N43+N4=.(直接與出結(jié)果)

(3)如圖3,/1〃，2，求/4+/42+/4+/4+/45=?(直接與出結(jié)果)

(4)如圖4,/[〃/2，求N4+N/b+...+NAn=.(直接與出結(jié)果)

Aa4

44二小

【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°；(4)(n-1)180°

【分析】(1)過點(diǎn)4作48〃/1，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；

(2)過點(diǎn)(作48〃/」，過點(diǎn)人作A3c〃/」，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解;

(3)根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；

(4)根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：(1)過點(diǎn)人作48〃/1，

⑴

'：h//l2,

A2B//li//121

Q

：.N4+/4A2B=180°,ZA3+ZA3A2B=1S0,

：.ZA1+ZA1A2B+ZA3+ZA3A2B=180°+180°^60°,

故答案是：360。；

(2)過點(diǎn)4作48〃/“過點(diǎn)4作A3c〃/1，

h——

C---

h----------

(2)

?3i〃?

：.A3C//A2B//li//l2,

0

：.ZAi+ZAiAzB^SO,ZA4+ZA4A3B=180°,287\24+/6送2=180°,

?**N4+N>4L424+N八z44+N4=X.A1+X.A1A2B+/LA4+/LA4A3B+BA2A3-^-CA3K2

=180o+180o+180°=540°,

故答案是：540°；

(3)同理可得：/4+/4+/4+/4+/4=180°+180°+180°+180°=720°,

故答案是：720。；

(4)同理可得：N4+/4+...+NAn=(n-1)180°,

故答案是：(n-i)180

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，添加輔助線，構(gòu)造平行線，是解題的關(guān)鍵.

題型三：“雞翅”模型

【典例3-1】(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))抖空竹是我國的傳統(tǒng)體育，也是國家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)之一.明代

《帝京景物略》一書中就有空竹玩法和制作方法的記述，明定陵亦有出土的文物為證，可見抖空竹在民間

流行的歷史至少在600年以上.如圖，通過觀察抖空竹發(fā)現(xiàn)，可以將某一時(shí)刻的情形抽象成數(shù)學(xué)問題：

AB//CD,ZBAE=94°,NDCE=122°,則NE的度數(shù)為()

A.28°B.38°C.18°D.25°

【答案】A

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，延長DC交/E于點(diǎn)F，先利用平行線的性質(zhì)可得=〃尸E=94。,

然后利用三角形的外角性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答.根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：延長DC交/￡于點(diǎn)尸，

AB//CD,

：.NBAE=NDFE=94°,

/DCE是4CEF的一個(gè)外角,

NE=NDCE-NDFE=122°-94°=28°,

故選：A.

【典例3-2】/2〃CD,點(diǎn)P為直線/瓦CD所確定的平面內(nèi)的一點(diǎn).

（1）如圖1,寫出N4PC、ZA.NC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（2）如圖2,寫出N/PC、//、NC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明;

（3）如圖3,點(diǎn)E在射線5/上，過點(diǎn)E作斯〃PC,作/PEG=NPEF,點(diǎn)G在直線CD上，作/BEG

的平分線￡〃交尸。于點(diǎn)X,若/4PC=30。,ZPAB=UO°,求/尸￡〃的度數(shù).

圖1

【答案】（1）ZA+ZC+ZAPC=360°,證明詳見解析；（2）ZAPC=ZA-ZC,證明詳見解析；（3）55°.

【分析】（1）首先過點(diǎn)P作PQ〃AB,結(jié)合題意得出AB〃PQ〃CD,然后由"兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)"進(jìn)

一步分析即可證得/A+/C+/APC=360。；

（2）作PQ〃AB,結(jié)合題意得出AB〃PQ〃CD,根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等"進(jìn)一步分析即可證得NAPC

ZA-ZC；

(3)由(2)知，NAPC=/PAB-/PCD,先利用平行線性質(zhì)得出/BEF=/PQB=110。，然后進(jìn)一步得出

ZPEG=yZFEG,ZGEH=|ZBEG,最后根據(jù)NPEH=NPEG-/GEH即可得出答案.

【詳解】(1)ZA+ZC+ZAPC=360°,證明如下:

如圖1所示，過點(diǎn)P作PQ〃AB,

又：AB〃CD,

PQ〃CD,

NC+NCPQ=180°,

ZA+ZAPQ+ZC+ZCPQ=360°,

即NA+NC+/APC=360°；

(2)ZAPC=ZA-ZC,證明如下:

如圖2所示，過點(diǎn)P作PQ〃AB,

圖2

，NA=NAPQ,

：AB〃CD,

；.PQ〃CD,

；.NC=/CPQ,

：NAPC=/APQ-/CPQ,

.\ZAPC=ZA-ZC；

（3）由（2）知，NAPC=/PAB-/PCD,

VZAPC=30°,ZPAB=140°,

AZPCD=110°,

VAB//CD,

.,.ZPQB=ZPCD=110",

VEF/7PC,

."..ZBEF=ZPQB=110",

VZPEG=ZPEF,

AZPEG=yZFEG,

VEH平分NBEG,

AZGEH=yZBEG,

；.NPEH=/PEG-/GEH

NFEG-gZBEG

22

=yZBEF

=55°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用平行線性質(zhì)與角平分線性質(zhì)求角度的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)

鍵.

【典例3-3】（2023?重慶大渡口?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問題：

如圖，=160°,當(dāng)N4與AD滿足什么關(guān)系時(shí)，BC||DE?

小明認(rèn)為AD—5=20。時(shí)BC||DE,他解答這個(gè)問題的思路和步驟如下，請(qǐng)根據(jù)小明的思路完成下面的作

留與填空：

解：用直尺和圓規(guī)，在的右側(cè)找一點(diǎn)M,使=（只保留作圖痕跡）.

,：/.DAM=ZD,

???①____________

'：^D-ADAB=20°

：.^BAM=②°,

■:乙B=160°,

:.乙B+乙BAM=③°,

二④_____________

：.BC||DE.

所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)“一乙4=20。時(shí)，BC||DE.

【答案】@DE\\AM,②20,③180,@BC\\AM

【分析】首先根據(jù)作一個(gè)角等于已知角進(jìn)行尺規(guī)作圖，然后再題目步驟的引導(dǎo)下，將空白處補(bǔ)充完整即可.

【詳解】解：如圖，通過尺規(guī)作圖得：=

'：^DAM=&D,

：.（1）DE\\AM,

=20°,

=（2）200,

■:乙B=160°,

:.乙B+Z.BAM=（3）180°,

：.BC||DE.

所以滿足的關(guān)系為：當(dāng)AD—N力=20。時(shí)，BC||DE.

故答案為：@DEW，②20,③180,@BC\\AM.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定方法、尺規(guī)作圖（作一個(gè)角等于已知角）等知識(shí)點(diǎn)，平行線判定方法的

熟練掌握是解題關(guān)鍵.

【中考模擬即學(xué)即練】

【變式3-1］如圖，若ABIICD,則/1+/3-/2的度數(shù)為

【答案】180。

【分析】延長EA交CD于點(diǎn)F,則有N2+/EFC=/3,然后根據(jù)可得/1=/EFD,最后根據(jù)領(lǐng)補(bǔ)角及

等量代換可求解.

【詳解】解：延長EA交CD于點(diǎn)F,如圖所示：

E

???ABHCD,

AZ1=ZEFD,

???/2+/EFC=N3,

Z￡FC=Z3-Z2,

ZEFC+ZEFD=180°,

Zl+Z3-Z2=180°；

故答案為180。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］問題探究：

如下面四個(gè)圖形中，ABHCD.

(1)分別說出圖1、圖2、圖3、圖4中，/1與/2、/3三者之間的關(guān)系.

(2)請(qǐng)你從中住造：個(gè)加以說明理由.

3Q尸

如DX2________

CDCDCD

圖1圖2圖3圖4

解決問題:

(3)如圖5所示的是一探照燈燈碗的縱剖面，從位于。點(diǎn)的燈泡發(fā)出兩束光線。2、0C經(jīng)燈碗反射后平

行射出.如果NN8O=57°,ZDCO=44°,那么°,

圖5

【答案】(1)圖1：Z1+Z2=Z3；圖2：Zl+Z2+Z3=360°；圖3：Z1=Z2+Z3；圖4：Zl+Z3=

/2；(2)見解析；⑶101°

【分析】(1)圖1：首先過點(diǎn)尸作尸￡〃/3,由N3〃CD,即可得N3〃P￡〃CD,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)

角相等，即可求得答案；

圖2：首先過點(diǎn)尸作PE〃/3由43〃CD,即可得然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，

即可求得答案；

圖3：由CD,根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案；

圖4：由42〃CD,根據(jù)兩直線平行，同位角線相等，以及三角形外角的性質(zhì)，即可求得答案.

(2)選圖1,過點(diǎn)P作PE//AB,由N3/CO,即可得/3〃尸E〃C￡>,然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，

即可求得答案；

(3)利用圖1結(jié)論進(jìn)行求解

【詳解】⑴圖1：Z1+Z2=Z3；

圖2：Zl+Z2+Z3=360°

圖3：Z1=Z2+Z3；

圖4：Z1+Z3=Z2；

(2)選擇圖1,

如圖所示：過點(diǎn)尸作

:.ABIIEPIICD

：.Z1=ZAPE,/2=/EPC

又：/3=ZAPE+ZEPC

.?.Z1+Z2=Z3；

(3)由圖1可得：ZBOC=ZABO+ZDCO,

又,?ZABO=57°,ZDCO=44°,

Z5OC=57°+44°=101°

【點(diǎn)睛】考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì).解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直

線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等以及兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用與輔助線的作法.

【變式3-3】已知直線AB〃CD,P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接力、PD.

(1)如圖1,已知NA=50。,ZD=150",求NAPD的度數(shù)；

(2)如圖2,判斷/以B、NCDP、NAP。之間的數(shù)量關(guān)系為.

(3)如圖3,在(2)的條件下，AP±PD,ON平分NPDC,若/%N+：NR4B=NAPD,求/4VD的度數(shù).

CD

圖1

【答案】(1)ZAPD=80°；(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°;(3)NAND=45。.

【分析】(1)首先過點(diǎn)P作PQ〃AB,則易得A8〃PQ〃CD,然后由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)以及內(nèi)錯(cuò)角

相等，即可求解；

(2)作PQ〃/IB,易得AB〃PQ〃CD,根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可證得N%B+/CDP-NAPD=180。；

(3)先證明NNOD=L/PAB,NODN=LNPDC,利用(2)的結(jié)論即可求解.

22

【詳解】解：（1）VZ4=50°,ZD=150°,

過點(diǎn)P作PQ//AB,

CD

：.NA=NAPQ=50°,

'：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.ZD+ZDPQ=180°,則/。PQ=180°-150°=30°,

.*?ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=50°+30o=80°；

(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD^180°,

如圖，作PQ〃AB,

:.NPAB=/APQ,

'：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.ZCDP+ZDPQ=180",即ZDPQ=1SO°-ZCDP,

"：ZAPD=ZAPQ.-ZDPQ,

：.NAPD=ZR4B-(180--ZCDP)=NPAB+NCDP-1800；

ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

(3)設(shè)PD交AN于。如圖，

N

P

CD

'：AP±PD,

：.ZAPO=90°,

由題知/R4/V+，/PAB=/APD,即ZPAN+-ZRAB=90°,

22

又?:ZPOA+ZPAN=1800-ZAPO=90°,

：.ZPOA=-ZPAB,

2

"：ZPOA=ZNOD,

：.ZNOD=-ZPAB,

2

平分/PDC,

：.ZODN=-ZPDC,

2

ZAND=180°-ZNOD-ZOD/V=180°-^(ZPAB+ZPDC],

由(2)得/PAB+ZCDP-/APD=180°,

ZPAB+ZPDC=180°+ZAPD,

：.ZAND=180°-1(ZPAB+ZPDC)

=180°-1(180°+Z/1PD)

=180°-1(180o+90°)

=45°,

即4/VD=45°.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義.注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想

的應(yīng)用.

題型四：“骨折模型”

「后T&T卷T*

模型結(jié)論：ZE=ZB-ZD

【中考母題學(xué)方法】

【典例4-1］（2024?黑龍江綏化?中考真題）如圖，AB//CD,AC=33°,OC=OE.貝l］乙4=

【答案】66

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)等邊對(duì)等角可得/￡=/C=33。,

根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得NOOE=66。，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：：OC=OE,ZC=33°,

ZE=ZC=33°,

NDOE=NE+NC=66,

AB//CD,

：.NA=ZDOE=66°,

故答案為：66.

【典例4-2］（2023?四川資陽?中考真題）如圖，AB//CD,AE交CD于點(diǎn)、F,乙4=60。，NC=25。,則

NE=

.4B

【答案】35。/35度

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.先根據(jù)兩直線平行，同位角相等得出NEFD=N/=60。，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和得到ZEFD=ZE+ZC,即可求出ZE的度數(shù).

【詳解】解：???工8〃CD,

NEFD=NA,

■：ZA=60°,

ZEFD=60°,

是ACE尸的外角，

ZEFD=ZE+ZC,

ZC=25°,

ZE=ZEFD-ZC=60°-25°=35°

故答案為：35°

【典例4-3】①如圖1,AB//CD,則/A+NE+NC=180。；②如圖2,AB//CD,則NE=/A+/C；③如

圖3,AB//CD,則/A+NE-/1=180。；④如圖4,AB//CD,則NA=/C+NP.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是

圖1

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④

【答案】C

【分析】①過點(diǎn)E作直線跖〃由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

②過點(diǎn)E作直線EF〃月3,由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；

③過點(diǎn)E作直線EF〃/3,由平行線的性質(zhì)可得出/A+/E-Nl=180。；

④先過點(diǎn)P作直線尸尸〃N5,再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等和同位角相等即可作出判斷.

【詳解】解：①過點(diǎn)E作直線即〃羽，

AB

圖1

,:AB〃CD,：.AB//CD//EF,：.ZA+Z1=18O°,Z2+ZC=180°,

ZA+ZC+ZAEC=360Q,故①錯(cuò)誤；

②過點(diǎn)E作直線EF//AB,

/B

；AB//CD,

：.AB//CD//EF,：.ZA=Z1,Z2=ZC,

AZAEC=AA+Z.C,即/AEC=/A+/C,故②正確;

③過點(diǎn)E作直線EF//AB,

A____B

圖3

AB//CD,：.AB//CD//EF,：.Z4+Z3=180°,Z1=Z2,

AZ/l+Z-4EC-Z2=180°,即/A+/AEC-Nl=180°,故③正確;

④如圖，過點(diǎn)P作直線2F〃/3,

AB

AB//CD,：.AB//CD//PF,

：.Z1=ZFPA,NC=/FPC,

"：ZFPA^ZFPC+ZCPA,

：.Z1=ZC+ZCPA,

'：AB//CD,AZA=Z1,即/A=/C+/CP4故④正確.

綜上所述，正確的小題有②③④.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)