關(guān)于穩(wěn)定計(jì)算與極限分析1第1頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日2第十三章結(jié)構(gòu)彈性穩(wěn)定§13-1引言§13-2有限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法和能量法§13-3彈性壓桿(無(wú)限自由度體系）的穩(wěn)定——靜力法§13-4彈性壓桿(無(wú)限自由度體系）的穩(wěn)定——能量法§13-7圓環(huán)圓拱的穩(wěn)定§13-5剪力對(duì)臨界荷載的影響§13-6組合壓桿的穩(wěn)定第2頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日31、穩(wěn)定計(jì)算的重要性設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算剛度計(jì)算最基本的必不可少穩(wěn)定性計(jì)算：高強(qiáng)度材料應(yīng)用、結(jié)構(gòu)形式的發(fā)展，結(jié)構(gòu)趨于輕型、薄壁化，更易失穩(wěn)，穩(wěn)定計(jì)算日益重要。2、平衡狀態(tài)的三種情況穩(wěn)定平衡：在某個(gè)平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，恢復(fù)原位。不穩(wěn)定平衡：在某個(gè)平衡狀態(tài)，輕微干擾，偏離原位，干擾消失，不能恢復(fù)原位。中性平衡：由穩(wěn)定平衡到不穩(wěn)定平衡的中間狀態(tài)?！?3-1引言第3頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日42011年11月22日汕尾18.6米的鋼管支撐架體失穩(wěn)傾斜倒塌致6死7傷

第4頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日52011年5月1日內(nèi)蒙古一小學(xué)工程垮塌致6死5傷。調(diào)查認(rèn)為，導(dǎo)致此次事故的直接原因是所采用的原材料、模板腳手架結(jié)構(gòu)體系、地基承載力均不滿足規(guī)范要求，導(dǎo)致該工程模板腳手架失穩(wěn)。

第5頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日6壓桿穩(wěn)定2.穩(wěn)定平衡第6頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日71.不穩(wěn)定平衡第7頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日83、失穩(wěn):隨著荷載的逐漸增大,結(jié)構(gòu)的原始平衡位置由穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)為不穩(wěn)定平衡。這時(shí)原始平衡狀態(tài)喪失其穩(wěn)定性。4、分支點(diǎn)失穩(wěn)（第一類平衡）：完善體系（理想體系）Pl/2l/2P1<Pcr=1<Pcr原始平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的、唯一的P2>PcrΔ原始平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。存在兩種不同形式的平衡狀態(tài)(直線、彎曲）。2>Pcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合理想體系桿是絕對(duì)的直桿壓力和桿軸重合第8頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日9

Pcr

Pcrqcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合

Pcr原始平衡：軸向受壓新平衡形式：壓彎組合原始平衡：平面彎曲新平衡形式：斜彎曲加扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)的變形產(chǎn)生了質(zhì)的改變。即原來(lái)的平衡形式不穩(wěn)定，可能出現(xiàn)新的與原來(lái)平衡形式有質(zhì)的區(qū)別的平衡形式。分支點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：第9頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日105、極值點(diǎn)失穩(wěn)（第二類穩(wěn)定性）：非完善體系：具有初曲率的壓桿承受偏心荷載的壓桿

P

PPΔOPcr(大撓度理論)(小撓度理論)PePe接近于中心壓桿的歐拉臨界荷載極值點(diǎn)失穩(wěn)的特點(diǎn)：非完善體系出現(xiàn)極值點(diǎn)失穩(wěn)。平衡形式不出現(xiàn)分支現(xiàn)象，P-Δ曲線具有極值點(diǎn)。結(jié)構(gòu)的變形形式并不發(fā)生質(zhì)的改變，由于結(jié)構(gòu)的變形過(guò)大,結(jié)構(gòu)將不能正常使用.

對(duì)于工程結(jié)構(gòu)，兩種失穩(wěn)形式都是不允許的。因?yàn)樗鼈兓蚴沟媒Y(jié)構(gòu)不能維持原來(lái)的工作狀態(tài)或使其喪失承載能力，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞。第10頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日11穩(wěn)定問題與強(qiáng)度問題的區(qū)別：強(qiáng)度問題是在穩(wěn)定平衡前提下討論的當(dāng),小變形，進(jìn)行線性分析（一階分析）當(dāng)大變形，進(jìn)行幾何非線性分析（二階分析）重點(diǎn)是求內(nèi)力、應(yīng)力穩(wěn)定問題重點(diǎn)是研究荷載與結(jié)構(gòu)抵抗力之間的平衡；找出變形急劇增長(zhǎng)的臨界點(diǎn)及相應(yīng)的臨界荷載。在變形后的幾何位置上建立平衡方程，屬于幾何非線性分析（二階分析）。非線性分析，疊加原理不再適用。第11頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日12

Plk1、單自由度完善體系的分支點(diǎn)失穩(wěn)EI=∞1）按大撓度理論分析

PθRAPθOAPcrⅠ(穩(wěn)定)Ⅱ(大撓度理論)不穩(wěn)定平衡Ⅱ(小撓度理論)隨遇平衡分支點(diǎn)A處的臨界平衡也是不穩(wěn)定的。對(duì)于這種具有不穩(wěn)定分支點(diǎn)的完善體系，一般應(yīng)當(dāng)考慮初始缺陷的影響，按非完善體系進(jìn)行穩(wěn)定性演算。2）按小撓度理論分析

θ<<1小撓度理論能夠得出正確的臨界荷載,但不能反映當(dāng)θ較大時(shí)，平衡路徑Ⅱ的下降(上升)趨勢(shì)。隨遇平衡狀態(tài)是簡(jiǎn)化假設(shè)帶來(lái)的假象。注:1）平衡方程是對(duì)變形以后的結(jié)構(gòu)新位置建立的。

2）建立平衡方程時(shí)方程中各項(xiàng)應(yīng)是同量級(jí)的，主要力項(xiàng)（有限量）要考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)幾何尺寸的微量變化，次要力項(xiàng)（微量）不考慮幾何尺寸的微量變化。6、兩類穩(wěn)定計(jì)算簡(jiǎn)例第12頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日13

Plk2、單自由度非完善體系的極值點(diǎn)失穩(wěn)EI=∞1）按大撓度理論分析

P

θRAεP/klθOε=0ε=0.1ε=0.210.7850.380.6600.421.371.47π/2P/klεO10.20.6600.10.7850.30.556這個(gè)非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn)。Pcr隨ε增大而減小。第13頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日14

PlkEI=∞2）按小撓度理論分析

PθRAεP/klθO設(shè)：ε<<1，θ<<1ε=0ε=0.1ε=0.2ε=00.40.81.21.610.80.60.40.2各曲線都以水平直線P/kl=1為漸近線,并得出相同的臨界荷載值Pcr=kl對(duì)于非完善體系，小撓度理論不能得出隨著ε的增大Pcr會(huì)逐漸減小的結(jié)論.。第14頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日153、幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)

1）一般說(shuō)來(lái)，完善體系是分支點(diǎn)失穩(wěn)，非完善體系是極值點(diǎn)失穩(wěn)。

2）分支點(diǎn)失穩(wěn)的特征是存在不同平衡路徑的交叉，在交叉點(diǎn)出現(xiàn)平衡形式的二重性，極值點(diǎn)失穩(wěn)只存在一個(gè)平衡路徑，但平衡路徑上出現(xiàn)極值點(diǎn)。

3）只有按大撓度理論才能得出穩(wěn)定問題的精確結(jié)論，但小撓度理論比較簡(jiǎn)單適用，特別是在分支點(diǎn)失穩(wěn)問題中通常也能得出臨界荷載的正確值。但也要注意它的某些結(jié)論的局限性。

4）在實(shí)際結(jié)構(gòu)中難以區(qū)分這兩類失穩(wěn)問題。但分支點(diǎn)失穩(wěn)問題更具有典型性，就失穩(wěn)的突發(fā)性而言，更有必要首先加以研究；另外，在許多情況下，分支點(diǎn)臨界荷載可作為極限荷載的上限考慮。

以下只討論完善體系分支點(diǎn)失穩(wěn)問題，并由小撓度理論求臨界荷載。第15頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日16§13-2有限自由度體系的穩(wěn)定——靜力法和能量法穩(wěn)定計(jì)算最基本最重要的方法靜力法：考慮臨界狀態(tài)的靜力特征。（平衡形式的二重性）能量法：考慮臨界狀態(tài)的能量特征。（勢(shì)能有駐值，位移有非零解）PlABk1、靜力法：利用臨界狀態(tài)平衡形式的二重性，在原始平衡路徑之外尋找新的平衡路徑，確定分支點(diǎn)，由此求臨界荷載。lθ=0，原始平衡θ≠0，新平衡形式特征方程（穩(wěn)定方程）臨界荷載MA=kθ確定體系變形形式(新的平衡形式)的獨(dú)立位移參數(shù)的數(shù)目即穩(wěn)定體系的自由度.PAB轉(zhuǎn)動(dòng)剛度系數(shù)kB′λθEI=∞

用靜力法分析具有n個(gè)自由度的體系時(shí)，可對(duì)新的變形狀態(tài)建立n個(gè)平衡方程，它們是關(guān)于n個(gè)獨(dú)立位移參數(shù)的齊次線性方程，因失穩(wěn)時(shí)n個(gè)位移參數(shù)不全為零，則方程的系數(shù)行列式D應(yīng)等于零，得到穩(wěn)定方程：D=0，它有n個(gè)實(shí)根（特征值），其中最小者即為臨界荷載。第16頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日172、能量法：彈性體系的平衡方程

勢(shì)能駐值原理（對(duì)于彈性體系，在一切微小的可能位移中，滿足平衡條件的位移（真實(shí)位移）使結(jié)構(gòu)的勢(shì)能Π為駐值，即：δΠ=0,Π=應(yīng)變能U+外力勢(shì)能UPMA=kθ22ql=2sin22ql=)cos1(qll-=MA=kθ彈性應(yīng)變能荷載勢(shì)能:應(yīng)用勢(shì)能駐值條件:位移有非零解則:勢(shì)能駐值原理是彈性體系處于平衡的充要條件.但是平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和中性的三種，要判斷平衡屬于哪一種，就必須討論總勢(shì)能與荷載之間的關(guān)系。PlABkB′λθEI=∞第17頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日18總勢(shì)能是位移θ的二次函數(shù)，1）P<k/l，當(dāng)θ≠0，Π恒大于零（Π為正定）(即U>UP表示體系具有足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，壓桿恢復(fù)到原有平衡位置)當(dāng)θ=0，Π為極小值0。對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，真實(shí)的位移使Π為極小值2）P>k/l，當(dāng)θ≠0，Π恒小于零（Π為負(fù)定）(即U<UP表示體系缺少足夠的應(yīng)變能克服荷載勢(shì)能，壓桿不能恢復(fù)到原有位置)

。當(dāng)θ=0，Π為極大值0。原始的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。3）P=k/l，當(dāng)θ為任意值時(shí)，Π恒等于零(即U=UP)

。體系處于中性平衡（臨界狀態(tài)）這時(shí)的荷載稱為臨界荷載Pcr=k/l。θΠP<PcrθΠP>PcrθΠP=Pcr結(jié)論：1）當(dāng)體系處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)時(shí)，其總勢(shì)能必為最小。2）臨界狀態(tài)的能量特征是：勢(shì)能為駐值，且位移有非零解?；虮硎鰹椋涸诤奢d達(dá)到臨界值前后，總勢(shì)能由正定過(guò)渡到非正定。3）當(dāng)體系處于中性平衡P=Pcr時(shí)，如依原始平衡位置作為參考狀態(tài)，必有總勢(shì)能=0。對(duì)于多自由度體系，結(jié)論仍然成立。第18頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日19例1：圖示體系中AB、BC、CD各桿為剛性桿。使用兩種方法求其臨界荷載。lllPkkABCDPkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）靜力法設(shè)變形狀態(tài)求支座反力列變形狀態(tài)的平衡方程（a）如果系數(shù)行列式≠0y1，y2為零，對(duì)應(yīng)原始平衡形式。如果系數(shù)行列式=0y1，y2不為零，對(duì)應(yīng)新的平衡形式。ABCD1-1對(duì)稱問題可利用對(duì)稱性做。第19頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日20Pkky1y2λR1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位置各桿端的相對(duì)水平位移)(1222121+-=yyyyl])([212221221+-+=\yyyyllD點(diǎn)的水平位移彈性支座應(yīng)變能:)(22221+=yykU荷載勢(shì)能:)(222121+--=-=yyyylPPUPl體系總勢(shì)能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP勢(shì)能駐值條件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0,021=??=??yyPP以后的計(jì)算步驟同靜力法能量法步驟:①給出新的平衡形式;②寫出總勢(shì)能表達(dá)式;③建立勢(shì)能駐值條件;④應(yīng)用位移有非零解的條件,得出特征方程;⑤解出特征值,其中最小的即臨界荷載Pcr。第20頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日21])([212221221+-+=\yyyyll)(1222121+-=yyyyl第21頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日22體系總勢(shì)能:])2(2)2[(21222121-++-=+=yPklyPyyPkllUUPP總勢(shì)能Π是位移y1、y2的對(duì)稱實(shí)數(shù)二次型。如果P<kl/3=Pcr，Π是正定的。如果kl/3<

P<kl，Π是不定的。如果P=kl/3=Pcr，Π是半正定的（當(dāng)y1=—y2

時(shí)，Π=0）。如果P=kl，Π是半負(fù)定的（當(dāng)y1=y2

時(shí)，Π=0）。如果P>kl，Π是負(fù)定的。由此可見，多自由度體系在臨界狀態(tài)的能量特征仍然是：在荷載達(dá)到臨界值的前后，勢(shì)能Π由正定過(guò)渡到非正定。（或說(shuō)：勢(shì)能達(dá)極值，位移有非零值）非正定第22頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日23PPllABCk例2：用兩種方法求圖示體系的臨界荷載。并繪其失穩(wěn)曲線。

1、靜力法：兩個(gè)自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程并求解：求失穩(wěn)曲線：實(shí)際失穩(wěn)曲線只是理論上存在的失穩(wěn)曲線第23頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日242、能量法：外力勢(shì)能：PPllABCk2qk()21qq-kλ應(yīng)變能：總勢(shì)能：根據(jù)勢(shì)能駐值條件：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：以下計(jì)算同靜力法。第24頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日25例3：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP第25頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日26例3：用能量法求圖示體系的臨界荷載。兩個(gè)自由度，取θ1θ2

為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。求變性能和外力勢(shì)能：lllEI2EIEI=∞EI=∞ABCPBABCPP當(dāng)桿件上無(wú)外荷載作用時(shí)，桿端力的功=變形能。第26頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日27P例4：用靜力法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個(gè)自由度，取為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。分析受力列平衡方程：由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’第27頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日28P用能量法求圖示體系的臨界荷載。EI=∞兩個(gè)自由度，取為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。由位移參數(shù)不全為零得穩(wěn)定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kB’C’求變性能和外力勢(shì)能：第28頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日29Dl/2EPlCEl/2DlP利用對(duì)稱性求

EI=∞1、正對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖：取θ1為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。PAlllBCDC’1qk02、反對(duì)稱失穩(wěn)取半剛架如圖：取θ1為位移參數(shù)，設(shè)失穩(wěn)曲線如圖。C)(21qq+k0C’第29頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日30靜力法的解題思路:先對(duì)變形狀態(tài)建立平衡方程，然后根據(jù)平衡形式的二重性建立特征方程，再由特征方程求出臨界荷載。不同的是，平衡方程是代數(shù)方程（有限自由度體系）微分方程（無(wú)限自由度體系）xRxylPEI§13-3彈性壓桿(無(wú)限自由度體系）的穩(wěn)定——靜力法1、等截面壓桿第30頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日3123p2pa

ly4.493先由圖解法求出近似解：αl=4.5再由試算法求更準(zhǔn)確的值：22)7.0(lEIp=219.20lEI=22)493.4(lEI=22)(lEIla=2EIPcra=第31頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日32θyx

Pl2l1EI例5：求圖示壓桿的穩(wěn)定方程。解：1）選坐標(biāo)系，取圖示曲線的平衡形式，建立平衡微分方程。M=Py2）求解平衡微分方程3）由邊界條件，可得一組與未知數(shù)（A、

B、θ）數(shù)目相等的齊次方程，位移有非零解系數(shù)行列式應(yīng)等于零，得出特征方程。特征方程：代入邊界條件展開：R=0由整體平衡得R=0第32頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日33剛性支承上等截面直桿的穩(wěn)定EIμ=1μ=0.7μ=2μ=0.5μ=1材料力學(xué)中已導(dǎo)出幾種簡(jiǎn)單支承情況下的軸向壓桿的臨界荷載：長(zhǎng)度系數(shù)μ=2、1、0.7、0.5約束加強(qiáng)，臨界荷載提高。單根壓桿可以看成是某些實(shí)際結(jié)構(gòu)中抽象出來(lái)的力學(xué)模型。0.5l第33頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日34具有彈性支承的等截面直桿的穩(wěn)定PABk

xyll

P3i3ik=6i第34頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日35可能發(fā)生反對(duì)稱失穩(wěn)的計(jì)算簡(jiǎn)圖考慮下端轉(zhuǎn)動(dòng)剛度特性的計(jì)算簡(jiǎn)圖EI1=∞EI1=∞PPPEIEIEIPEIkPEI第35頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日36PPEIEI1EI1lPEIEI1l/2PEI1P或：反對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)PPEIEI1EI1l或：正對(duì)稱失穩(wěn)時(shí)PEIEI1l/2PEI1P第36頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日37PBAPAB注意：對(duì)于某些結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定問題（如局部失穩(wěn)）?？蓪⑵渲袎簵U取出，以彈性支座代替其它部分對(duì)它的作用，同時(shí)由其余部分求出彈性支承的剛度系數(shù)，然后就可按單根壓桿進(jìn)行計(jì)算。第37頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日38例6試求圖示排架的臨界荷載和柱子AB的計(jì)算長(zhǎng)度。

PI1I2=nI1BADCEA=∞A

PBk解：CD桿的作用用彈簧來(lái)代替xyB

Px

yΔR=kΔ1）I2=0，k=0相當(dāng)于懸臂柱，計(jì)算長(zhǎng)度為L(zhǎng)0=2l第38頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日392）I2=∞，k=∞相當(dāng)于上端鉸支、下端固定柱，計(jì)算長(zhǎng)度為L(zhǎng)0=0.7l22)7.0(lEIp=219.20lEIPcr=3）當(dāng)I2=I1π/2<αl<4.493試算法求解:計(jì)算長(zhǎng)度為L(zhǎng)0=1.426l第39頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日40xyl1l2lI1I2

P

Pcr兩段的彈性曲線微分方程：解方程：由系數(shù)行列式等于零得穩(wěn)定方程：y1y22、階梯形壓桿的穩(wěn)定第40頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日41xyl1l2lI1I2

P1

P2例16-4階形桿的穩(wěn)定。（教材P213)解：彈性曲線微分方程：解方程：2Dy1y2

P1

P2第41頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日42位移參數(shù)不全為零，系數(shù)行列式應(yīng)等于零：展開后，得到特征方程：這個(gè)方程只有當(dāng)I2/I1、l2/l1、P2/P1的比值都給定時(shí)才能求解。l1=2l/3l2=l/3I11.5I1

P1

5P1變截面（階形變化或連續(xù)變化）桿件，都可采用能量法較簡(jiǎn)捷地得到滿意的結(jié)果。第42頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日43

2）解平衡微分方程；靜力法解題思路：1）對(duì)新的平衡形式列平衡微分方程；

3）代入邊界條件，得到包含待定參數(shù)的齊次方程組；能量法解題思路：

1）對(duì)于滿足位移邊界條件的任意可能位移求出總勢(shì)能Π；

2）由勢(shì)能駐值條件δΠ=0，得到包含待定參數(shù)的齊次方程組；

3）令系數(shù)行列式等于零，得到特征方程。

4）令齊次方程組的系數(shù)行列式等于零，由此得到特征方程。λ

Pl設(shè)變形曲線為：dxdx§13-4彈性壓桿(無(wú)限自由度體系）的穩(wěn)定——能量法第43頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日44勢(shì)能駐值條件，即令：展開是關(guān)于P的n次方程,其最小根即臨界荷載。上述方法叫里茲法，所得臨界荷載的近似值是精確解的上限。減少自由度相當(dāng)于對(duì)體系施加約束，抗失穩(wěn)能力提高。第44頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日45例7能量法求臨界荷載.解：位移邊界條件為：當(dāng)x=0和x=l時(shí)，y=0l

PEIxy1）設(shè)失穩(wěn)曲線為拋物線(純彎下的撓曲線)

.123166423lEIllEI==01Pacr?10)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=ò￠-=,32)(2132102lEIadxyEIUl=ò￠￠=:,01a=??得由P誤差為22%因?yàn)樗O(shè)撓曲線不滿足力的邊界條件。甚至相差甚遠(yuǎn)，故精度較差。第45頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日46另解：:位移邊界條件為：當(dāng)x=0和x=l時(shí)，y=0l

PEIxy2）設(shè)失穩(wěn)曲線為圖b.102lEIPcr=960)(21225202IElPQdxyPUlP-=ò￠-=,96)(213202EIlQdxyEIUl=ò￠￠=:0=求得由PQ誤差為1.3%如取均布荷載作用下的撓曲線,精度會(huì)更高.如用某一橫向荷載引起的撓曲線作為失穩(wěn)曲線，則體系的應(yīng)變能也可用該荷載的實(shí)功來(lái)代替。第46頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日47另解：位移邊界條件為：當(dāng)x=0和x=l時(shí)，y=0l

PEIxy3）設(shè)失穩(wěn)曲線為正弦線)(4)(212202llPadxyPUlPp-=ò￠-=,)(4)(214202lEIladxyEIUlp=ò￠￠=.:,022lEIPcrpdp==得由4）討論：*正弦曲線是真實(shí)的失穩(wěn)變形曲線，所得結(jié)果是精確解。*拋物線不滿足全部力的邊界條件，精度最差。*如果用某一橫線荷載引起的撓曲線作為失穩(wěn)曲線，則體系的應(yīng)變能也可用該荷載的實(shí)功來(lái)代替。第47頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日48例16-6求均勻豎向荷載作用下的臨界荷載（P218).解:當(dāng)x=0時(shí)，

y=0：x=l時(shí)，設(shè)失穩(wěn)曲線為正弦線,)(64)(214202lEIladxyEIUlp=ò￠￠=lyxqEIxdx微段dx傾斜使該段以上荷載向下移動(dòng)，這部分荷載作功為：所設(shè)失穩(wěn)曲線能否滿足力的邊界條件？第48頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日49另解:當(dāng)x=0時(shí)，

y=0：x=l時(shí)，設(shè)失穩(wěn)曲線為(b)中Q引起的撓曲線.微段dx傾斜使該段以上荷載向下移動(dòng)，這部分荷載作功為：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）第49頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日50xyl

P2I2I2I2例16-7圖示變截面桿的求Pcr解:當(dāng)x=0時(shí)，

y=0：x=l時(shí)，y=0設(shè)變形曲線為三角級(jí)數(shù)：⑴先取第一項(xiàng)作為近似的變形曲線第50頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日51⑵再取前兩項(xiàng)作為近似的變形曲線系數(shù)行列式等于零得到特征方程：兩次計(jì)算結(jié)果相對(duì)差值不到1%，由此可知所得近似結(jié)果的精確程度。第51頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日52考慮剪力時(shí)壓桿的撓度為：y=yM+yQ

M引起撓度Q引起撓度⑴考慮彎矩和剪力影響的撓曲線微分方程：dxhl

PEIABQQdyQg考慮彎矩和剪力影響的撓曲線微分方程：彎矩引起的曲率：剪力引起的曲率計(jì)算：§13-5剪力對(duì)臨界荷載的影響第52頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日53β⑵兩端鉸支的等截面壓桿的臨界荷載：l

PEIABxyy22lEIPep=即歐拉臨界荷載。①修正系數(shù)β<1，故考慮剪力影響時(shí)，臨界荷載降低。三號(hào)鋼：②在實(shí)體桿中，剪力對(duì)臨界荷載影響很小，通常忽略不計(jì)。第53頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日54

Pcr與桿截面的慣性矩成正比，與桿的計(jì)算長(zhǎng)度的平方成反比。為了提高臨界荷載值，可增強(qiáng)桿件的約束，以減小桿的計(jì)算長(zhǎng)度；也可設(shè)法提高慣性矩。大型結(jié)構(gòu)的壓桿常采用組合壓桿的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使兩個(gè)型鋼離開一定的距離，獲得較大的I，增強(qiáng)穩(wěn)定性。為了保證他們能正常工作，在型鋼的翼緣上用一些扣件將它們連起來(lái)?？奂Y條式：斜桿、橫桿與柱肢鉸接。

P綴板式：橫桿與柱肢剛接。

Pdb組合壓桿的臨界荷載不僅與肢桿的橫截面面積有關(guān)，還與扣件的橫截面面積、排列形式和位置有關(guān)。組合壓桿的臨界荷載比截面和柔度相同的實(shí)體壓桿的臨界荷載要小，因?yàn)榻M合壓桿中的剪力影響遠(yuǎn)比實(shí)體壓桿中的大。當(dāng)l/d>6時(shí)可用下式近似計(jì)算Pcr。以組合壓桿情況下的剪力影響代替。它代表單位剪力作用下的切應(yīng)變?chǔ)?。?3-6組合壓桿的穩(wěn)定第54頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日551、綴條式組合壓桿由于肢桿的界面比綴條的截面大的多故只考慮綴條產(chǎn)生的位移。Q=1Q=1δ11gdbαApAq

bzAd第55頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日56斜桿影響橫桿影響①Ap和Aq>>Ad相當(dāng)于肢桿間絕對(duì)剛性聯(lián)結(jié)臨界荷載與慣性矩為I的實(shí)體桿的臨界荷載相同。②Ap和Aq<<Ad相當(dāng)于肢桿間絕對(duì)柔性聯(lián)結(jié)臨界荷載→0。③一般情況下組合壓桿的臨界荷載比截面和柔度相同的實(shí)體壓桿的臨界荷載要小。④斜桿比橫桿對(duì)臨界荷載的影響更大。計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)μ規(guī)范中采用公式第56頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日572、綴板式組合壓桿取剛架為計(jì)算簡(jiǎn)圖1/21/21/21/2

Pdd/2d/2b1/21/21/21/2IdIb設(shè)主肢反彎點(diǎn)在結(jié)間中點(diǎn)，剪力平均分配與兩肢桿。δ11/2δ11/2g隨綴板間距的增大，β2將減小。β2<1第57頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日58（綴板式）；

2

0

2

2

0lllm

d+=計(jì)算長(zhǎng)度系數(shù)規(guī)范中采用公式綜上所述，組合壓桿的臨界荷載計(jì)算與實(shí)體壓桿類似。①先求出相應(yīng)的長(zhǎng)度系數(shù)：（綴條式）aalpm2

2

02cossin1qdAA+=②22)(lEIPcrmp=代入求臨界荷載。第58頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日59

Pcr與桿截面的慣性矩成正比，與桿的計(jì)算長(zhǎng)度的平方成反比。為了提高臨界荷載值，可增強(qiáng)桿件的約束，以減小桿的計(jì)算長(zhǎng)度；也可設(shè)法提高慣性矩。大型結(jié)構(gòu)的壓桿常采用組合壓桿的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使兩個(gè)型鋼離開一定的距離，獲得較大的I，增強(qiáng)穩(wěn)定性。為了保證他們能正常工作，在型鋼的翼緣上用一些扣件將它們連起來(lái)。扣件綴條式：斜桿、橫桿與柱肢鉸接。

P綴板式：橫桿與柱肢剛接。

P1、綴條式組合壓桿失穩(wěn)時(shí)桁架中各桿只引起附加軸力。能量法：ydbθ1θ2組合壓桿的穩(wěn)定(能量法)第59頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日60桁架應(yīng)變能：式中A肢為弦桿面積，A1為上斜綴條面積，A2為下斜綴條面積。一般綴條式組合壓桿的結(jié)間數(shù)較多，可取第60頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日61θ

P第61頁(yè)，共71頁(yè)，星期日，2025年，2月5日62

P

P有交叉綴條的組合壓桿的臨界荷載，仍按上式計(jì)算，但此時(shí)綴條面積要加倍。實(shí)腹桿的臨界荷載

k1組合桿的折減系數(shù)：與綴條和柱肢的截面積比值有密切的關(guān)系。當(dāng)綴條面積很小時(shí)：當(dāng)綴條面積很大時(shí)：一般情況下綴條式組合壓桿的臨界荷載總小于同樣慣性矩的實(shí)腹柱的臨界