第4章計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的經(jīng)典設(shè)計(jì)及仿真

計(jì)算機(jī)具TT很強(qiáng)的數(shù)據(jù)處理能力和邏輯判斷能力，可以靈活地實(shí)現(xiàn)各種控制規(guī)律，因而

廣泛應(yīng)用于各種過程控制中。當(dāng)連續(xù)控制系統(tǒng)已經(jīng)存在，要改為計(jì)算機(jī)控制時(shí)，最直接的方

法就是將原系統(tǒng)的模擬控制器數(shù)學(xué)模型進(jìn)行離散化，轉(zhuǎn)化為可實(shí)現(xiàn)的算法，用計(jì)算機(jī)代替模

擬控制器，構(gòu)成計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)。當(dāng)設(shè)計(jì)新的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)時(shí)，為了借用連續(xù)域系統(tǒng)分析、

設(shè)計(jì)的成熟方法，也經(jīng)常采用先在連續(xù)域中設(shè)計(jì)控制器，再將其離散化，編程熨現(xiàn)其控制律,

達(dá)到設(shè)計(jì)目的。連續(xù)域中設(shè)計(jì)，離散化后實(shí)現(xiàn)，這就是計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)連續(xù)域一離散化設(shè)計(jì)

的基本思想。

4.1連續(xù)域一離散化設(shè)計(jì)

4.1.1模擬化設(shè)計(jì)方法

我們可以從兩個(gè)不同的角度來看待圖4.1的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng).，或者說可以有兩種不同的

理解。當(dāng)從A點(diǎn)觀察時(shí)，它是一個(gè)離散系統(tǒng)，因而可將4點(diǎn)右側(cè)的連續(xù)部分?jǐn)?shù)字化為G(z),

直接在離散域設(shè)計(jì)數(shù)字控制器。(z),這就是將在下一章中講的離散化設(shè)計(jì)。如果從3點(diǎn)觀察

時(shí),則可看作是模擬系統(tǒng)，只要計(jì)算機(jī)運(yùn)算速度和精度足夠高，A/O和O/A位數(shù)足夠高，

采樣周期足夠小，則由于幅值量化引入的誤差、ZO”延時(shí)和計(jì)算延時(shí)等對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)和靜態(tài)

性能的影響可以忽略，這時(shí)可把B點(diǎn)左側(cè)也看作是連續(xù)系統(tǒng)的一部分。也就是說，在已知連

續(xù)對(duì)象時(shí)，先按照經(jīng)典的模擬系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)出連續(xù)控制器。(s),然后將DCs)離散化

并用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)，這種方法稱為模擬化設(shè)計(jì)方法。

圖4.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

一、模擬化設(shè)計(jì)的基本條件

為了使離散化后的力(z)能保持D(.v)的性能，要求計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度和運(yùn)算位數(shù)足夠高,

A/O和。/A的速度和位數(shù)也要足夠高，只有這樣，才不致?lián)p失信息的精度，也不會(huì)產(chǎn)生大

的滯后。通常，這些條件都不難滿足。但是，系統(tǒng)中的保持器(最常用的是零階保持器)會(huì)

使信號(hào)發(fā)生幅值衰減和相位滯后，只有當(dāng)采樣周期足夠小時(shí)，其影響才可忽略，這一點(diǎn)可說

明如下。

設(shè)模擬信號(hào)〃0⑺的頻率特性為〃0(/&),經(jīng)采樣開關(guān)后成為離散信號(hào)，詬⑺的頻率特性

為

U虱論)=不ZUo(j①+jk4)(4.1.1)

/k=-8

這是一個(gè)以采樣角頻率巴.=24/7為周期的連續(xù)頻譜。7是采樣周期；口是模擬角頻率;

已知零階保持器G〃(s)=(l-e一仆)/s的頻率特性為

杵心齡”團(tuán)2(4.1.2)

采樣信號(hào)說⑺作用于零階保持器如圖4.2所示。

3(f)/巾⑴，/.、|w(r)

---/?、———4--?550-------?

%(J①)1--------------〃o(，0)

圖4.2零階保持器的信息傳遞

U*(j(D)=D*(j/)E*(je?(4.1.3)

如⑺經(jīng)零階保持器后的輸出u(t)的頻率特性為

。(旭)=Gh(於)/6①)=*了)e-J〃/22U。(jco+jk心(4.1.4)

g2k=-oo

當(dāng)采樣頻率足夠高時(shí)，由于ZO"的低通濾波特性，除了主頻譜以外，高頻部分全部被

濾掉，則式(4.1.4)可近似為

U(J(o)xsi"；?)0_j(物)(4.1.5)

(0112

當(dāng)W較小時(shí)

sin(iyT/2),

(4.1.6)

a)T/2

式(4.1.6)可進(jìn)一步近似為

U()⑼aUo(J。)(4.1.7)

式(4.1.7)說明，只有當(dāng)采樣頻率?！毂认到y(tǒng)的通頻帶%，大得多時(shí)(OsAlO^.),相角滯

后也不大，約18°,即6一八"/2"一/=1時(shí)，可以忽略掉ZO”的影響，把計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

可以近似看作連續(xù)系統(tǒng)。也就是說，先用連續(xù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法得到O(s)，再在上述條件滿足的

情況下，將。(s)離散化為。(z),并由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)才是可行的。

62

二、連續(xù)域一離散化的基本原理

用連續(xù)域一離散化方法進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，首先還是根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的性能要求，設(shè)計(jì)控制器0(5)，

然后，將D(s)用Tustin或預(yù)修正Tustin變換進(jìn)行離散化，以獲得0(z)。如果在設(shè)計(jì)O(s)時(shí)

忽略了數(shù)字保持潛，O/A中的零階保持器的時(shí)延，則會(huì)使采樣系統(tǒng)其相位穩(wěn)定儲(chǔ)備比連續(xù)系

統(tǒng)的下降，而超調(diào)量增大，致使采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能低于所設(shè)計(jì)的連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。為

了解決這個(gè)問題，我們可以在連續(xù)域?qū)Α)進(jìn)行設(shè)計(jì)時(shí)，必須考慮零階保持器的相位滯后，

然后再對(duì)Z)(s)進(jìn)行離散化。如圖4.3所示。

(?)⑸

圖4.3連續(xù)系統(tǒng)及其對(duì)應(yīng)的多速率采樣系統(tǒng)

由圖4.3(b),離散化后等效的控制器傳遞函數(shù)。(s),當(dāng)采樣頻率較高，在只考慮基

頻分量時(shí)，則可表示為：

_TT

2G)=-XTe~^SD\s)=D\s)e~^S(4.1.8)

采樣開關(guān)D/4保持器

式(4.1.8)表明，D(s)等效為A(s)后，。*($)以較高的頻率離散化，精度較高，滯后減

T

少，性能改善。J于是零階保持器引起的時(shí)延，這說明采用這種連續(xù)域一離散化方法設(shè)計(jì)時(shí),

僅僅將QG)用高速率采樣離散，沒有考慮零階保持器相位滯后的影響。為此，連續(xù)域設(shè)計(jì)時(shí)

就應(yīng)考慮上述時(shí)延的影響，對(duì)。(S)進(jìn)行修正。就是在0(5)設(shè)計(jì)時(shí)，將O/A保持器的時(shí)延

-L1

e2s?用下」近似，加入被控對(duì)象G(s)中。在連續(xù)域進(jìn)行設(shè)計(jì)，求得2d)，再將其離散

化。

控制器離散化后，由于設(shè)計(jì)方法的近似性，還需要對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)字仿真，以驗(yàn)證其

動(dòng)態(tài)性能。

三、連續(xù)域一離散化設(shè)計(jì)步驟

連續(xù)域一離散化設(shè)計(jì)的基本步驟如下：

1)根據(jù)連續(xù)系統(tǒng)方法和具體設(shè)計(jì)要求，選擇合適的采樣頻率以保證變換精度。

2)確定數(shù)字控制器脈沖傳遞函數(shù)。(z)。

可以在先考慮零階保持器時(shí)間延遲效應(yīng)基礎(chǔ)上，用連續(xù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法確定校正環(huán)節(jié)傳遞

函數(shù)，然后采用合適的離散化方法求得。(z)；也可以先設(shè)計(jì)滿足性能的模擬控制器。(s),

將其離散化，再設(shè)計(jì)數(shù)字補(bǔ)償環(huán)節(jié)，補(bǔ)償零階保持器引起的相位遲后效應(yīng)，得到。(z)。

3)檢查計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)性能指標(biāo)是否與連續(xù)系統(tǒng)性能指標(biāo)一致。因?yàn)樵B續(xù)系統(tǒng)是按指

標(biāo)要求設(shè)計(jì)好的，只要兩者性能指標(biāo)一致，才能說離散系統(tǒng)的性能是好的。

4)根據(jù)D(z)編程實(shí)現(xiàn)。

5)必要時(shí)進(jìn)行數(shù)?；旌戏抡妫瑱z驗(yàn)系統(tǒng)設(shè)計(jì)與程序編制的正確性。

以上幾步，關(guān)鍵在第2)步，選用合適的離散變換方法將模擬控制器。(s)離散化成數(shù)字

控制器脈沖傳遞函數(shù)O(z)。下面介紹幾種工程上常用的離散變換方法。

4.1.2離散化方法

這里假定已按連續(xù)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出了滿足要求的D(5),研究將￡>(5)離散化為D(z)的方

法。每種方法的優(yōu)劣，主要看它對(duì)原。(s)性能的近似程度及使用是否方便而定。

一、差分變換法

1.概念

將微分方程離散化為差分方程的方法，就稱為差分變換法。這種方法主要利用最簡(jiǎn)單的

一階差分代替微分，并由此得出一個(gè)S平面與Z平面的轉(zhuǎn)換關(guān)系。事實(shí)上，770離散化就是

用的這種方法。差分變換法有前向差分和后向差分兩種方法。

2.方法

1)一階后向差分

將一階微分用一階后向差分近似代替，有

de(t)e{kT)-e(kT-T)

--------x----------------------------(4.1.9)

dtT

將微分用算子形式表示，則有

/、e(kT)-e(kT-T)

se(t)X--------------------------(4.1.10)

令，="，對(duì)(4.1.10)作z變換，即

64

e(kT)—e(kT-T)

Z[se(t)]=Z

T

(4.1.11)

、1—z-1

sE(z)=——一E(z)

T

由(4.1.11)可得

二^或者(z=—!—)

(4.1.12)

T\-Ts

由(4.1.12)得

=+r_l__111+75

Z7^4=—+—x------(4.1.13)

J^Ts~2221-75

將s=b+JG代入(4.1.13)可得

1+T(b十j(")_1l_Kg?十32)十2""

(4.1.14)

“2-2]-T(a+jco)~2(1-TCF)2+(^T)2

對(duì)式(4.1.14)兩端取模平方

222

11(1+TO-)+(^T)

Z——(4.1.15)

24(1-70-)24-(^7)2

當(dāng)b=0時(shí)，代入式(4.1.14)有

z1」」-而+2叱」小

(4.1.16)

221+(")22

式中生=〃?；?呼是一階后向差分變換對(duì)應(yīng)的數(shù)字角頻率。則有

1-4了？

18,

(O=——tg—(4.1.17)

T2

因此

加)=。(譏上(4.1.18)

T

由式(4』［6)可見'此變換將，平面虛軸。=。)映射到z平面上一個(gè)圓心在，,0),半徑

為［的圓上；由式(4.1.15)可見，將s左半平面(°<0)映射到z平面小圓之內(nèi)(

將

2

s右半平面(b>0)映射到Z平面小圓之外(z=如圖4.4所示。

22

圖4.4一階后向差分變換

2)一階前向差分

將一階微分用一階前向差分近似代替，有

de(t)e(kT+T)-e(kT)

--------X(4.1.19)

dt--------------T

類似一階后向差分，可得

z—1

s=——或者(z=l+7X)(4.1.20)

因此

O(z)=O(以=三(4.1.21)

T

這種方法將S左半平面映射到Z平面上為過(1,0)點(diǎn)垂線的左半部分。如圖4.5所示。因

比，一階前向差分變換有可能產(chǎn)生不穩(wěn)定的。(z),故這種方法在工程中不采用。

圖4.5一階前向差分變換

66

3.一階后向差分變換的特點(diǎn)

①變換公式簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便。

②s左半平面一對(duì)一的映射到z平面上以(L0)為圓心，半徑為，的小圓內(nèi)，不會(huì)產(chǎn)生

22

混疊，但頻率軸產(chǎn)生了畸變。

③若D(5)穩(wěn)定，則D(Z)也穩(wěn)定。

④一階差分變換精度較差，變換后D(z)不保持O(s)的脈沖響應(yīng)和頻率特性。

一階差分變換很少使用，一般只用于微分環(huán)節(jié)的離散化中，如E?？刂破鞯碾x散化。

4.舉例

例4.1已知。(s)=黑工■,用后向差分法設(shè)計(jì)。(z),采樣周期7=0.01s。

0.02s+1

解：由式(4.1.18)可得

“1-21?

0.2x--------+1-1ci

D(z)=￡>Cv)|1-2-'=02s+l0.01=2()z-21

l5=-0.02s+1…1-2-1,2z-1-3

0.02x--------+1

0.01

二、脈沖響應(yīng)不變法

1.概念

脈沖響應(yīng)不變法的變換準(zhǔn)則是使數(shù)字控制器Q(z)的單位脈沖響應(yīng)序列與連續(xù)系統(tǒng)

0(5)的單位脈沖響應(yīng)在采樣點(diǎn)上的采樣值相等。

2.方法

設(shè)連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為。(s),根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)定義

Z)(z)=Zu\t)=^u{kT)z~k(4.1.22)

k=0

式中，”(攵丁)是。(Z)的單位脈沖響應(yīng)序列，也是。(S)單位脈沖響應(yīng)〃?)在采樣時(shí)刻

的值。因此，脈沖響應(yīng)不變法又稱Z變換法。

O(z)=Z[力⑶](4.1.23)

3.特點(diǎn)

①。(z)與。(s)的脈汨響應(yīng)在采樣時(shí)刻相同。

②頻率軸的變換是線性的(口=口T)。

③若0($)穩(wěn)定，則。(z)也穩(wěn)定。這由z=e、r可知，s左半平面映射到z平面的單位圓

內(nèi)，故。(s)極點(diǎn)在S左半平面內(nèi)，則。(z)的極點(diǎn)必在Z平面單位圓內(nèi)。

④Z變換的映射關(guān)系是多值映射關(guān)系，當(dāng)。(s)不是有限帶寬或采樣頻率必不足夠大

(CDs<2^nax)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)頻率混疊現(xiàn)象。

⑤。(Z)的增益隨丁而變換，當(dāng)廠較小時(shí)，需要對(duì)增益進(jìn)行修正。

4.舉例

例42已知",')=*，用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)小)，采樣周期5心

解：由式(4.1.23)可得

D(z)=Z[￡)(5)]=Z

三、階躍響應(yīng)不變法

1.機(jī)念

階躍響應(yīng)不變的變換準(zhǔn)則是使數(shù)字控制器D(z)的單位階躍響應(yīng)序列與連續(xù)系統(tǒng)D(s)

的單位階躍響應(yīng)在采樣點(diǎn)上的采樣值相等。

2.方法

設(shè)D(s)的單位階躍響應(yīng)為u(t),即

U(s)=L[〃0)]=O(s)g

(4.1.24)

分別對(duì)輸入e(，)=l、輸出〃Q)進(jìn)行采樣，如圖4.6所示，則有

圖4.6階躍響應(yīng)不變法

瑞二翌1二(一平?

(4.1.25)

L」l-z-l

1一產(chǎn)

即階躍響應(yīng)不變法相當(dāng)于在D(s)前面加一個(gè)虛擬的零階保持器-------后，再進(jìn)行z

s

變換的結(jié)果。所以階躍響應(yīng)不變法也稱為“具有保持器的脈沖響應(yīng)不變法”，或稱為“具有零

階保持器的Z變換法”(簡(jiǎn)稱“零階保持器法”)。

68

3.特點(diǎn)

①。（z）能保持0（s）的階躍響應(yīng)采樣值，但不能保證脈沖響應(yīng)采樣值不變。

②頻率軸的變換是線性的k（D=coT）.

③若。（s）穩(wěn)定，則僅Z）也穩(wěn)定。

④由于引入虛擬零階保持器，頻率混疊現(xiàn)象比脈沖響應(yīng)不變法減輕，但。（Z）不能保持

D（s）的頻率特性。

⑤。（Z）能保持增益不變。

4.舉例

例4.3已知抽』）=:）?」），用階躍響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)。（Z）,采樣周期7=0.0卜。

0.02s+1

解：由式（4.1.25）可得

D(z)=(l-z-1|Z10z-9.607

竽=（l）z［舟z-0.6065

四、零極點(diǎn)匹配法

1.概念

零極點(diǎn)匹配法的變換準(zhǔn)則是將。（s）在s平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)，依z=e"的關(guān)系，一一

對(duì)應(yīng)地映射為Z平面上的零點(diǎn)和極點(diǎn)。。（5）的增益可根據(jù)某種特征（如。（S）與。（Z）的穩(wěn)

態(tài)增益相等）映射到Z域中。（Z）的增益。因?yàn)檫@種方法是將。（S）的分子、分母方程根對(duì)應(yīng)

映射到Z平面，所以也稱“根匹配法二又由于這種映射是依照Z(yǔ)變換的基本關(guān)系z(mì)=e次，

所以也稱為“匹配z變換法”

2.方法

按以下4個(gè)步驟進(jìn)行：

①將O（s）因式分解為顯根表達(dá)式：

OG)=KSG+ZI)G+Z2)(S+Z/〃)

(4.1.26)

(S+P])(S+P2)(S+P〃)

②按照關(guān)系式z=e",將。（s）的零點(diǎn)4和極點(diǎn)上映射到z平面上，轉(zhuǎn)換關(guān)系為

對(duì)于s域中的實(shí)數(shù)零（極）點(diǎn)s=-a

（s+a）.（1—z-*-"）或（z-e-aT）（4.1.27）

對(duì)于s域中的復(fù)數(shù)零（極）點(diǎn)、s=-a土jb

(s+q-jb)(s+a+jb)-0-2z~[e~aTcoshT+e~2aTz~2)

或(z?一2ze~aTcosbT+e~2aT)(4.1.28)

③若D(s)中〃〉m,即極點(diǎn)數(shù)n大于零點(diǎn)數(shù)機(jī)，此時(shí)可認(rèn)為有個(gè)零點(diǎn)在無(wú)窮遠(yuǎn)處,

由z=e"=e""可知z是①的周期函數(shù)，周期為以=2不。若系統(tǒng)工作在主頻區(qū)，即

--<CD<-,那么Sf8,可以看作與0-±巳對(duì)應(yīng)，即相當(dāng)于Zf—1。也就是說，S平

TTT

面上的無(wú)窮零點(diǎn)，映射為Z平面上的-1點(diǎn)。對(duì)〃-〃?個(gè)無(wú)窮零點(diǎn)，映射為z平面上(z+l)'i〃

因子。有時(shí)還可以補(bǔ)充(z+b)'i〃，其中變量次0<5<1)按D(z)的性能更接近。⑸來選擇。

④零極點(diǎn)匹配法不能保證增益不變，需要對(duì)增益進(jìn)行匹配。在控制系統(tǒng)中最常用的辦法

是，使。(z)與。(s)的穩(wěn)態(tài)增益相等。當(dāng)。(z)分子上補(bǔ)償(z+5)”一〃?時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體要求

(如保持增益不變，或零頻率特性上特征頻率處的幅值、相位相同等)來確定增益及5的值。

D(s)對(duì)應(yīng)O(z)的形式為：

Kjz—6一")心—…(z—e—z/)(z+i)f

D(z)=———————(4.1.29)

(z-e~PiT)(z-6一〃")(z-e~p>,T)

3.特點(diǎn)

①能保證z平面、s平面上零極點(diǎn)位置一一對(duì)應(yīng)。

②若。(s)穩(wěn)定，則D[z)也穩(wěn)定。

③增益不能自動(dòng)保持，需要進(jìn)行匹配?？杀ＷCO(z)與。(s)的穩(wěn)態(tài)增益相等。這對(duì)控制

系統(tǒng)有利，因?yàn)榇蟛糠肿詣?dòng)控制系統(tǒng)對(duì)低頻特性的要求較高，保持低頻時(shí)增益匹配是有利的。

④它只考慮兩平面上零、極點(diǎn)匹配映射，不考慮映射到z平面上零、極點(diǎn)的相對(duì)分布，

因而有時(shí)會(huì)使z平面上零點(diǎn)和極點(diǎn)比較接近，造成頻率響應(yīng)不佳。

⑤。(s)必須以因子形式給出。

4.舉例

例4.4已知。(5)二>一!------,用零極點(diǎn)匹配法設(shè)計(jì)O(z),采樣周期7=ls。

s~+0.2s+1

解：O(s)有一對(duì)復(fù)極點(diǎn)和兩個(gè)無(wú)窮零點(diǎn)=2—()=2。

0(5)-7---------------77---------------7

(5+0.1+J0.995)(5+0.1-J0.995)

根據(jù)式(4.1.28)和式(4.1.29)可得

70

D(z),K/z+1)2_K,(z+1)2

2

z一2ze—。hlcos(0.995xl)+e—2x0.3z2_Q.985z4-0.819

要使3(z)與。(s)的穩(wěn)態(tài)增益相等。則有

。(嘰—

K“z+1)21

22

z-0.985z+0.819-.v+0.25+15=0

Z=1

解得

Kz=0.209

代入式(4.1.29)得

0.209(z+l)2

。⑶=

z2-0.985z+0.819

五、雙線性變換法

1.，念

雙線性變換法也稱Tusiin變換，其實(shí)質(zhì)是數(shù)值積分的梯形法，所以也稱為梯形變換法。

2.方法

將S平面與Z平面的轉(zhuǎn)換關(guān)系s='lnZ展開

T

11z-11(z-1

5=±lnz=-2-+--+(4.1.30)

TTz+131z+U

取級(jí)數(shù)第一項(xiàng)近似，得雙線性變換公式

2z-1_21-z_1

(4.1.31)

]

T77\~T\+Z-

1H---ScT

72+17,V

z=-----=------(4.1.32)

1T2-Ts

1——s

2

?7-1

將中的S直接用s=~—替換，即可得0(5)對(duì)應(yīng)D(z)的形式為:

Tz+1

D(Z)=D(5)|V=2Z-1(4.1.33)

Tz+l

將s=b+JG代入(4.1.32)有

、T.a)T

1+—<T+/-

__2__2_

z(4.1.34)

,T,coT

1---(T-/

22

對(duì)式(4.1.34)兩端取模平方

(4.1.35)

從式(4.1.35)可看出：5?平面的虛軸。=0)映射到z平面的單位圓上(忖=1)；s左半平面

(<T<0)映射到Z平面的單位圓內(nèi)(忖<1);S右半平面。>0)映射到Z平面的單位圓外

(|2|>1);

當(dāng)b=0時(shí)，以S="y,z=e""代入式(4.1.31)有(此表示離散域頻率)

c..coT

227sm—2

(4.1.36)

-7~~百2

2jcos^-T

即

(o=^tg~~~(4.1.37)

由式(4.1.37)可見在雙線性變換3s域和z域頻率釉之間是正切函數(shù)關(guān)系，當(dāng)。從。-8

時(shí)，功從0->萬(wàn)//，即將整個(gè)模擬頻率壓縮在0f不/7之間，而且@越大，這種壓縮越緊

密。帶來了嚴(yán)重的高頻失真，但低頻特性近似程度較好，并且不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。

3.特點(diǎn)

①雙線性變換將s左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)，不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象，但頻率

軸產(chǎn)生了畸變。將s右半平面映射到z平面的單位圓上。

②雙線性變換后階數(shù)不變，且分子分母具有相同的階數(shù)。

③若。(s)穩(wěn)定，則"z)也穩(wěn)定。

④￡>(z)不保持D(s)的脈沖響應(yīng)和頻率特性。

⑤。(z)能保持穩(wěn)態(tài)增益不變。

雙線性變換將s右半平面一對(duì)一單值映射為z平而的單位圓，避免了頻率混疊現(xiàn)象，以

高頻特性的嚴(yán)重畸變?yōu)榇鷥r(jià)，保證了良好的低頻段近似關(guān)系，是一種應(yīng)用最廣泛的離散化方

法，它即適用于離散有限帶寬環(huán)節(jié)，也適用于陽(yáng)散高頻段幅值比較平坦的環(huán)節(jié)。

72

4.舉例

例4.5已知。3)=黑土1，用雙線性變換法設(shè)計(jì)O(z),采樣周期7=0.015。

0.02s+1

解：根據(jù)式(4.1.33)有

“2z-\I

0.2X-------------+1QG

0.01z+18.2z-7.8

。⑸=3=

0.025+1f_2z-ino2z_1iz—0.6

S-T1]U.UZxy---------------+1

了z+i0.01z+1

六、雙線性變換加頻率預(yù)畸變法

1.概念

雙線性變換產(chǎn)生頻率軸畸變，導(dǎo)致頻率特性的腌變，實(shí)際應(yīng)用中常希望進(jìn)行修正，使

D(z)與。(5)在某特征頻率處響應(yīng)不變。

2.方法

考慮到轉(zhuǎn)化為離散頻率時(shí)要被壓縮，因此先將連續(xù)頻率擴(kuò)張，即預(yù)畸變。這樣，擴(kuò)張后

的頻率再被壓縮，結(jié)果正好是原來的頻率，具體作法是:

①將O(s)化成增益與零極點(diǎn)因式形式

0(5，)=K/G+Z1)(S+Z2)G+Z〃J

(4.1.38)

(S+〃])(S+P2)G+P〃)

②將希望的零點(diǎn)和極點(diǎn)(即最關(guān)心的某段頻率或者是主導(dǎo)極點(diǎn)等)，以方=2次皿代

T2

替，即

(s+f(s+Pl]

2pj(4.1.39)

這時(shí)記D")為。(s,pi')。

③進(jìn)行雙線性變換。即1巴。(s,pi')雙線性變換為。(z,pi)。

0(z,pi)fD(s,“J)21-z-1(4.1.40)

s=--------

n+z-1

④確定O(z)的增益。與零極點(diǎn)匹配法中確定增益的方法相似，使。(s)和。(z)的穩(wěn)態(tài)

增益相等。在控制系統(tǒng)中，通常關(guān)心穩(wěn)態(tài)的增益，即s-0及zf1時(shí)二者增益應(yīng)相等。

3.特點(diǎn)

它將雙線性變換法的優(yōu)點(diǎn)得以保持，其不足之處也有所改進(jìn)。

①將S左半平面---對(duì)應(yīng)地映射到Z平面的單位圓內(nèi)，不會(huì)產(chǎn)生頻率混疊現(xiàn)象。

②可以使。(Z)與。(S)的頻率在轉(zhuǎn)折頻率(即作了擴(kuò)張的零點(diǎn)或極點(diǎn)處對(duì)應(yīng)頻率)和零

頻率處(即Sf0,Z-1處)相互匹配。但其它點(diǎn)頻率仍有畸變，特別是在刃之8處，仍

然壓縮在刃z處。

③若o(s)穩(wěn)定，則"Z)也穩(wěn)定。

④D(z)不保持0(5)的脈沖響應(yīng)。

⑤增益不能自動(dòng)保持，需要進(jìn)行匹配?？杀ＷCD(Z)與。(s)的穩(wěn)態(tài)增益相等。

4.舉例

例4.6己知。($)=——,用雙線性變換加頻率預(yù)畸變法設(shè)計(jì)。(z),采樣周期

s+b

T=lso

解：根據(jù)式(4.1.39)有

a

D(s,〃'),,2bT—5kT

b=—tg——2DI

72S+Tg—

T2

再根據(jù)式(4.1.40)有

Kza

D(z)=D(s,6)21-z-,一1

s=--------21-z-~~2~~hT

Tl+z-1

71+zTT2

做低通用，Q(z)與。［s)的穩(wěn)態(tài)增益相等。故有

D(s)ko=D(z)K

即

a________Kza

s+bs=°-2一72”

Tl+z-172

z=l

有

a_Kza

i=T~bT

—tg—

72

74

得

帶入O(z)中得

0（2）=-

-z-1bT1-z~l

七、幾種離散化方法的比較

①除前向差分法外，其余方法都能保持Q(s)的穩(wěn)定性。

②采樣頻率對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果有很大影響。當(dāng)采樣頻率很高時(shí)，各離散化方法的0(z)性能與

連續(xù)。(s)的性能都很接近；當(dāng)采樣頻率較低時(shí)，各離散化方法差異就較大。其優(yōu)劣依次為

雙線性變換(或加預(yù)畸變)一零極點(diǎn)幾配法一后向差分法一脈沖響應(yīng)不變法一階躍響應(yīng)不變

法。

③從選擇原則比較，以雙線性變換法為最常用。若增益匹配是唯一標(biāo)準(zhǔn)，則以零極點(diǎn)匹

配法為好。若要保證特征撅率(如轉(zhuǎn)折頻率或零頻率〕的位置不變，則使用加預(yù)畸變的雙線

性變換法較合適。若要保證沖擊響應(yīng)不變，則以階躍響應(yīng)不變法為好。

4.1.3連續(xù)域一離散化設(shè)計(jì)及仿真舉例

例4-7已知某導(dǎo)彈位置隨動(dòng)系統(tǒng)如圖4.7所示，其中導(dǎo)彈的傳遞函數(shù)可簡(jiǎn)化為二階環(huán)

節(jié)G(s)=」二，用連續(xù)域一離散化方法設(shè)計(jì)一個(gè)導(dǎo)彈計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，Gh(s)=W為

s(s+4)s

零階保持器，試確定數(shù)字控制器。(Z),使系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)為：(1)截至頻率色.Nllmd/S),

相位裕度7250°；(2)調(diào)節(jié)時(shí)間&<0.5s(±5%),峰值時(shí)間，p<1.2s,超調(diào)量

圖4.7導(dǎo)彈位置隨動(dòng)系統(tǒng)

解：第一步分析原系統(tǒng)

這是一個(gè)典型的二階系統(tǒng)，該二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)，如圖4.8所示。

峰值時(shí)間：tf)=1.565；超調(diào)量b=55.8%；調(diào)節(jié)時(shí)間

圖4.8位置隨動(dòng)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線

該二階系統(tǒng)的頻域響應(yīng)，如圖4.9所示。

圖4.9位置隨動(dòng)系統(tǒng)的頻域響應(yīng)曲線

截至頻率Q=10.6(rad/5),相位裕度/=17.7°；

可見，圖4.7所示的導(dǎo)彈位置隨動(dòng)系統(tǒng)如果不加挖制器，則系統(tǒng)的性能指標(biāo)不滿足要求。

第二步選擇采樣頻率

原閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶如區(qū)4.10所示。

76

50

原閉環(huán)系統(tǒng)的頻帶大約為神士16.6(wd/s),現(xiàn)選擇采樣周期7=0.01’,以保證離散化

的精度，即4=24/7=628(%//5),遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的專頁(yè)帶。

第三步在連續(xù)域內(nèi)進(jìn)行等效設(shè)計(jì)

考慮到零階保持器的影響，其近似傳遞函數(shù)為G〃(s)=，一=—!—,于是，問題

，§+10.005s+1

2

就歸結(jié)為將G(s)=—!I—X上120L1和起來看作廣義被控對(duì)象，再根據(jù)給定的性能指標(biāo)

(0.005s+15(5+4))

設(shè)計(jì)校正網(wǎng)絡(luò)。.(s),由于未校正系統(tǒng)的截止頻率、相位裕度均不滿足要求，以及系統(tǒng)對(duì)快

速性的要求，因此可以確定用串聯(lián)超前校正，求得校正裝置的傳遞函數(shù)為

_/、0.2s+1

D(.(s)=------------

八0.02.y+1

該校正網(wǎng)絡(luò)不是唯一的。如圖4.11所示。

圖4.11連續(xù)域內(nèi)設(shè)計(jì)等效數(shù)字控制器

第四步用雙線性變換法確定相應(yīng)的。(z)

該校正網(wǎng)絡(luò)高頻段幅值比較平坦，因而采用雙線性變換法，得到

8.2z-7.8

力(z)=

z-0.6

第五步檢驗(yàn)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的閉環(huán)性能

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如圖4.12所示:

120>'(/)

5(5+4)

圖4.12計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

將圖4.12用Matlab進(jìn)行數(shù)字仿真,時(shí)域響應(yīng)如圖4.13所示。

連續(xù)系統(tǒng)與計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)輸出隨時(shí)間的變化

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

00.10.20.30.40.50.60.70.8

時(shí)間T（單位3）

圖413連續(xù)系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線

其峰值時(shí)間：=0.125；超調(diào)量b=11.6%；調(diào)節(jié)時(shí)間&=0.18s。

頻域響應(yīng)如圖4.14所示。

78

其截至頻率g=22.2(md/s),相位裕度y=57.2%滿足設(shè)計(jì)要求。

仿真程序如下：

clearall;cioseall;

G0=tf(120,conv([l0],[l4]));

figure(1);G=feedback(GO,1);step(G);gridon

figure(2);bode(G0);gridon

figure(3);bode(G);gridon

ts=O.Ol;

Gh=tf(l,[ts/21]);

G=GO*Gh;

Dcs=tf([0.2l],[0.021]);

sysc=G：!：Dcs;

sys=fccdback(sysc,1);

Dcz=c2d(Dcs,ts,'tustin,);

Gcz=c2d(G0,ts/zoh');

syscz=Dcz*Gcz;

sysz=fecdback(syscz,1);

figure(4);step(sys);holdon;step(sysz);gridon

figure(5);bode(syscz);gndon

4.2數(shù)字P/O控制器設(shè)計(jì)及仿真

所謂P/O（Prorlional-Integral-Derivate的簡(jiǎn)稱）控制是指對(duì)偏差進(jìn)行比例、積分、微

分的控制，簡(jiǎn)稱尸控制。

由定義我們可以看出尸〃）控制是基于偏差的控制，它是對(duì)偏差進(jìn)行偏差進(jìn)行比例、積分、

微分運(yùn)算，所以它的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)。因而它在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用也最為廣泛。P/O控

制是應(yīng)用最廣泛，技術(shù)最成熟的控制規(guī)律。實(shí)際運(yùn)行的經(jīng)驗(yàn)和理論的分析都表明，運(yùn)用這種

控制規(guī)律對(duì)許多工業(yè)過程進(jìn)行控制時(shí)，都能得到滿意的效果。

4.2.1模擬以?？刂破骷胺抡?/p>

首先，我們介紹模擬控制。

我們知道尸0控制，它是基于偏差進(jìn)行的控制，而偏差是把設(shè)定值與系統(tǒng)實(shí)際輸出值進(jìn)

行比較得到的。

如果我們記偏差為6（。，系統(tǒng)的設(shè)定值為廣?）,輸出值為‘"），那么它們之間的關(guān)系即

為：

e?）=r（t）-yQ）（或e=r-y）（4.2.1）

得到系統(tǒng)偏差之后，對(duì)偏差分別進(jìn)行比例、積分、微分運(yùn)算，根據(jù)對(duì)象的特性和控制要

求，對(duì)它們進(jìn)行線形組合，形成控制量，如比例控制（P控制）、比例積分控制（P/控制）、

比例微分控制（電＞控制）、積分微分控制（/?？刂疲?、比例積分微分控制（P/Q控制）。在

一般控制系統(tǒng)中，常常采用如圖4.15所示的模擬P0控制：

圖4.15模擬77?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

其中，攵〃為比例系數(shù)，勺為積分系數(shù)，勒為微分系數(shù)，"⑺為控制量，y?）為系統(tǒng)輸

出量。

下面依次介紹三種控制量的特點(diǎn)及其作用。

一、比例控制（此控制）

比例控制是一種最簡(jiǎn)單的控制方法。根據(jù)圖4.15（取掉積分、微分環(huán)節(jié)），我們可以得

到比例控制的方程。同時(shí)根據(jù)自動(dòng)控制原理的知識(shí)m

=kpe(t)+(或者U(s)=kpE(s))(4.2.2)

比例控制器傳遞函數(shù)為

D")=M=kp(4.2.3)

E(s)

其中，際為比例系數(shù)，的為控制量的基準(zhǔn)，也就是6。)=0時(shí)的控制作用。

下面我們來分析一下在比例控制中，當(dāng)系統(tǒng)的偏差為階躍時(shí)，控制量〃(/)的變化規(guī)律。

我們?cè)O(shè)