第31講高考題中的解答題二（立體幾何）空間向量與空間角、距離問題(一)線面角以空間幾何體為載體考查線面角是高考命題的重點(diǎn).空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，利用空間向量求線面角是高考熱點(diǎn)，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.[典例](2022·全國(guó)甲卷)在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)證明：BD⊥PA；(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．方法技巧利用空間向量求線面角的解題模型針對(duì)訓(xùn)練(2022·百師聯(lián)盟開學(xué)考)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四邊形A1ADD1為矩形，且平面A1ADD1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB＝AD＝A1A＝eq\f(1,2)CD，∠DAB＝eq\f(π,2)，M，E分別為AD1，B1C的中點(diǎn)．(1)證明：ME∥平面DCC1D1；(2)求AE與平面B1BCC1所成的角的正弦值．(二)平面與平面的夾角以空間幾何體為載體考查平面與平面的夾角是高考命題的重點(diǎn).空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，利用空間向量求平面與平面的夾角是高考熱點(diǎn)，通常以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等.[典例]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△PAB為正三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD，PM＝MD.(1)求證：BP∥平面ACM；(2)求平面MBC與平面DBC夾角的余弦值．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)(1)在平面ACM內(nèi)找與PB平行的線；(2)建立坐標(biāo)系，利用向量法求解遷移點(diǎn)(1)把線面平行問題轉(zhuǎn)化為線線平行問題；(2)把求兩平面夾角問題轉(zhuǎn)化為求兩法向量的夾角問題障礙點(diǎn)不會(huì)建系．本題不能直接建系，需根據(jù)側(cè)面PAB⊥底面ABCD，作交線AB的垂線，可得平面ABCD的垂線，從而建立坐標(biāo)系方法技巧利用空間向量平面與平面所成角的解題模型針對(duì)訓(xùn)練1．(2022·新高考Ⅱ卷)如圖，PO是三棱錐P-ABC的高，PA＝PB，AB⊥AC，E為PB的中點(diǎn)．(1)證明：OE∥平面PAC；(2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值．2.(2022·岳陽(yáng)質(zhì)檢)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別是棱AA1，CC1上的點(diǎn)，AD＝C1E＝eq\f(1,3)AA1，A1C1＝B1C1.(1)求證：平面DEB1⊥平面A1ABB1；(2)若直線B1D與平面ABC所成的角為45°，且A1B1＝eq\r(2)A1C1，求平面DB1E與平面BB1E夾角的正弦值．命題點(diǎn)(三)距離問題[典例](2022·菏澤一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面圓周上，AF⊥DE，F(xiàn)為垂足．(1)求證：AF⊥DB；(2)當(dāng)直線DE與平面ABE所成角的正切值為2時(shí)，①求二面角E-DC-B的余弦值；②求點(diǎn)B到平面CDE的距離．方法技巧向量法求點(diǎn)到平面的距離的步驟針對(duì)訓(xùn)練(2022·北京房山區(qū)二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.在底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，AD＝CD＝1，BC＝2.(1)求證：AC⊥平面PAB；(2)若平面PAB與平面PCD的夾角等于eq\f(π,3)，求點(diǎn)B到平面PCD的距離．[課時(shí)驗(yàn)收評(píng)價(jià)]綜合性考法針對(duì)練——空間向量與空間角、距離問題1.三棱錐P-ABC中，PA＝4，AB＝2eq\r(3)，BC＝2，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱PC上(端點(diǎn)除外)．過直線DE的平面α與平面PAB垂直，平面α與此三棱錐的面相交，交線圍成一個(gè)四邊形．(1)在圖中畫出這個(gè)四邊形，并寫出作法(不要求證明)；(2)若PE＝3EC，求點(diǎn)C到平面α的距離．2.(2022·泰安一模)如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝eq\r(3).(1)求證：平面ABE⊥平面ABC；(2)求平面ABE與平面BCE夾角的余弦值．3.(2022·鹽城模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝13，AB＝8，BC＝6，AB⊥BC，AB1＝B1C，D為AC中點(diǎn)，平面AB1C⊥平面ABC.(1)求證：B1D⊥平面ABC；(2)求直線C1D與平面AB1C所成角的正弦值．4.(2022·湖北調(diào)研)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F(xiàn)分別為線段PB，BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)若E為線段PB的中點(diǎn)，證明：平面AEF⊥平面PBC；(2)若BE＝eq\r(2)BF，且平面AEF與平面PBC所成角的余弦值為eq\f(\r(7),14)，試確定點(diǎn)F的位置．5.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，垂足D在直線A1B上．(1)求證：BC⊥A1B.(2)若AD＝eq\r(3)，AB＝BC＝2，在線段AC上找一點(diǎn)P，使二面角A-A1B-P的余弦值是eq\f(\r(21),7).(三)立體幾何中的綜合問題(一)立體幾何中的折疊問題對(duì)立體幾何中的折疊問題，要求學(xué)生要有較強(qiáng)的空間想象力和準(zhǔn)確的計(jì)算運(yùn)算能力，才能順利解答.從實(shí)際教學(xué)和考試來看，學(xué)生對(duì)這類題看到就頭疼.分析原因，首先是學(xué)生的空間想象力較弱，其次是學(xué)生對(duì)這類問題沒有形成解題的模式和套路，以至于遇到類似的題目便產(chǎn)生畏懼心理.[典例](2022·齊齊哈爾一模)已知平面四邊形ABCM由等腰△MAC和Rt△ABC組成，AB⊥BC，MA＝MC，O為AC上的點(diǎn)且OA＝OC＝BC＝2(如圖1所示)，將等腰△MAC沿AC折起，點(diǎn)M折至點(diǎn)D位置，使得平面DAC⊥平面ABC(如圖2所示)．(1)求證：DO⊥AB；(2)若點(diǎn)E在棱DC上，且滿足DE＝2EC，平面EAB和平面ABC所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，求四面體ABCD的體積．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)通過面面垂直的性質(zhì)證明DO⊥平面ABC，進(jìn)而證明DO⊥AB遷移點(diǎn)建立坐標(biāo)系，寫出兩個(gè)平面的法向量，通過銳二面角的余弦值求出參數(shù)，進(jìn)而計(jì)算四面體ABCD的體積方法技巧畫好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決．針對(duì)訓(xùn)練(2022·石家莊一模)如圖1，在梯形ABCD中，∠BAD為直角，AD∥BC，AB＝AD＝eq\f(1,2)BC＝2eq\r(2)，如圖2，將三角形ABD沿BD折起至PBD.(1)若平面PBD⊥平面BCD，求證：PB⊥PC；(2)設(shè)E是PC的中點(diǎn)，若二面角E-BD-C為30°，求平面PBD與平面BCD夾角的大?。?二)立體幾何中的探究性問題與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或兩平面的夾角滿足特定要求時(shí)的存在性問題.處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)有些是題中已給出，設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，然后探究這樣的點(diǎn)是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷.[典例](2022·濟(jì)南期末)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，E，F(xiàn)，分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，G為棱DD1上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：B，E，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)是否存在點(diǎn)G，使得平面GEF⊥平面BEF？若存在，求出DG的長(zhǎng)度；若不存在，說明理由．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]切入點(diǎn)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系遷移點(diǎn)假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)G，根據(jù)題意列方程求解方法技巧解決立體幾何中探索性問題的基本方法(1)通常假設(shè)問題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在或結(jié)論成立，再在這個(gè)前提下進(jìn)行推理，如果能推出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，并可進(jìn)一步證明，否則假設(shè)不成立．(2)探索線段上是否存在滿足條件的點(diǎn)時(shí)，一定注意三點(diǎn)共線的條件的應(yīng)用．針對(duì)訓(xùn)練如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝a，點(diǎn)P在AB上，PE∥BC交AC于E.PF∥AC交BC于F.沿PE將△APE翻折成△A′PE，使平面A′PE⊥平面ABC；沿PF將△BPF翻折成△B′PF，使平面B′PF⊥平面ABC.(1)求證：B′C∥平面A′PE；(2)設(shè)eq\f(AP,PB)＝λ(λ>0)，是否存在λ，使得二面角C-A′B′-P的大小為30°？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(三)立體幾何中的最值問題立體幾何中的最值問題主要有三類，一是距離長(zhǎng)度的最值問題；二是面體積的最值問題；三是在最值已知的條件下，確定參數(shù)其他幾何量的值.從解答思路看，有幾何法利用幾何特征和代數(shù)法應(yīng)用函數(shù)思想、基本不等式等兩種，這兩種解答思路都需要我們正確揭示空間圖形與平面圖形的聯(lián)系，并有效地實(shí)施空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換.要善于將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，這一步要求我們具備較強(qiáng)的空間想象能力，熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征及有關(guān)計(jì)算公式.[典例]如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1＝2，點(diǎn)D在邊BC上，E為B1C1的中點(diǎn)．(1)如果D為BC的中點(diǎn)，求證：平面BA1E∥平面C1DA；(2)設(shè)銳二面角B1-AC1-D的平面角為α，eq\o(CD,\s\up7(→))＝λeq\o(CB,\s\up7(→))，λ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，當(dāng)λ取何值時(shí)，cosα取得最大值？方法技巧角度與距離取值范圍問題的求解策略極端化在考察空間幾何體中的運(yùn)動(dòng)對(duì)象時(shí)，直接考慮它的極端情形，如它的起點(diǎn)位置與終點(diǎn)位置，從中得出一般性的結(jié)論，從而達(dá)到解決問題的目的函數(shù)化將所有待解決的立體幾何中的最值問題通過代數(shù)化轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量或多個(gè)變量的函數(shù)問題，運(yùn)用函數(shù)求最值的方法來解決立體幾何中的最值問題．此外，用變量表示出立體幾何待求的問題后，也常用均值不等式的方法加以解決．立體幾何問題的函數(shù)化，常用方法是建立平面直角坐標(biāo)系或空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)中的變量表示幾何對(duì)象的變化針對(duì)訓(xùn)練1.如圖所示，在棱錐P-ABC中，BC⊥平面PAC，PA⊥AB，PA＝AB＝4，且E為PB的中點(diǎn)，AF⊥PC于F，當(dāng)AC變化時(shí)，三棱錐P-AEF體積的最大值是()A.eq\f(2\r(2),3) B．eq\r(2)C.eq\f(4\r(2),3) D．eq\f(5\r(2),3)2.(2022·棗莊三模)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，A1D⊥底面ABCD，AB＝AA1＝2AD＝2，∠DAB＝60°.(1)證明：AD⊥A1B；(2)設(shè)點(diǎn)P為線段DC1上一點(diǎn)(異于D，C1)，當(dāng)DP為何值時(shí)，平面A1PB與平面AA1D1D夾角的余弦值最大？綜合性考法針對(duì)練——立體幾何中的綜合問題1．(2022·濟(jì)南模擬)如圖，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，將△ACD沿AC折起，使得點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，PB＝eq\r(3).(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)求直線PC與平面ABC所成角的正弦值．2.(2022·濰坊二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝CD＝1，PA與平面ABCD所成角為30°，M為PB上一點(diǎn)且CM⊥PA.(1)求證：PA⊥DM；(2)設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l，在l上取點(diǎn)N使eq\o(PN,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→))，Q為線段PN上一動(dòng)點(diǎn)，求平面ACQ與平面PDC所成二面角的余弦值的最大值．3．(2022·東北師大附中二模)如圖①所示，平面五邊形ABCDE中，四邊形ABCD為直角梯形，∠B＝90°且AD∥BC，若AD＝2BC＝2，AB＝eq\r(3)，△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，現(xiàn)將△ADE沿AD折起，連接EB，EC得如圖②的幾何體．(1)若點(diǎn)M是ED的中點(diǎn)，求證：CM∥平面ABE；(2)若EC＝2，在棱EB上是否存在點(diǎn)F，使得平面ADE與平面ADF的夾角為60°？若存在，求出點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．4．(2022·馬鞍山三模)如圖所示，四棱錐P-ABCD，底面在以AC為直徑的圓O上，PO⊥圓O，△ABD為等邊三角形，AC＝4，PO＝eq\r(2).(1)求證：平面PBD⊥平面PAB；(2)線段PB上是否存在一點(diǎn)M使得直線PA與平面AMC所成角的正弦值為eq\f(\r(21),21)？若存在，求出eq\f(PM,PB)；若不存在，請(qǐng)說明理由．5.如圖，在斜三棱柱BCE-ADF中，側(cè)面ABCD⊥側(cè)面ABEF，AB＝AD＝AF＝2，∠ADC＝∠AFE＝60°，M為CD上的動(dòng)點(diǎn)．(1)當(dāng)M為CD的中點(diǎn)時(shí)，證明：EM⊥BF；(2)求EM與平面BCE所成角的正弦值的取值范圍．大題專攻——“立體幾何”大題的規(guī)范解題路徑立體幾何問題重在“建”——建模、建系立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計(jì)算相結(jié)合，以某個(gè)幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深．解決這類題目的原則是建模、建系．建?！獙栴}轉(zhuǎn)化為平行模型、垂直模型、平面化模型及角度、距離等的計(jì)算模型，有時(shí)也需建立函數(shù)模型；建系——依托于題中的垂直條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解．[解題示范][典例](2021·新高考Ⅰ卷)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O為BD的中點(diǎn)．(1)證明：OA⊥CD.(2)若△OCD是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小為45°，求三棱錐A-BCD的體積．[關(guān)鍵點(diǎn)撥]1．利用法向量求解空間角的關(guān)鍵在于“四破”2．解答立體幾何問題，應(yīng)具備以下5點(diǎn)思維(1)由于空間圖形問題往往可轉(zhuǎn)化為平面圖形問題加以解決，因此要注意平面幾何知識(shí)在解題中的靈活運(yùn)用．例如，證線線平行可以利用三角形、梯形的中位線性質(zhì)定理，還可以利用比例關(guān)系；證線線垂直可以利用菱形、正方形的對(duì)角線互相垂直，還可以利用勾股定理的逆定理．(2)立體幾何中證明有關(guān)平行或垂直問題時(shí)，由于大多數(shù)問題主要考查的是有關(guān)判定定理在證題中的靈活運(yùn)用，所以我們要優(yōu)先考慮對(duì)應(yīng)的判定定理去尋找證題思路．(3)立體幾何中證明有關(guān)平行或垂直問題時(shí)，若對(duì)應(yīng)的判定定理不便于運(yùn)用，則應(yīng)該及時(shí)考慮其他的證題思路．例如，要證線面平行，可以先證面面平行，再利用面面平行的性質(zhì)；要證明線面垂直，可以先證面面垂直，再利用面面垂直的性質(zhì)．(4)分析、解決有關(guān)立體幾何問題時(shí)，往往需要考慮數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、轉(zhuǎn)化思想在解題中的靈活應(yīng)用．(5)由于立體幾何解答題側(cè)重考查空間向量法在解題中的靈活運(yùn)用，所以必須熟練掌握利用空間向量法求解空間角的具體過程．(2022·全國(guó)乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．“立體幾何”大題規(guī)范增分練1.(2022·福州3月質(zhì)檢)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，且AC＝BC＝3B