【課時(shí)訓(xùn)練】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系一、選擇題1．(2018廣州調(diào)研)若點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(4,0)到直線l的距離依次為1和2，則這樣的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條【答案】C【解析】如圖，分別以A，B為圓心，1,2為半徑作圓．依題意得，直線l是圓A的切線，A到l的距離為1，直線l也是圓B的切線，B到l的距離為2，所以直線l是兩圓的公切線，共3條(2條外公切線，1條內(nèi)公切線)．2．(2018合肥調(diào)研)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實(shí)數(shù)a的值是()A．－2 B．－4C．－6 D．－8【答案】B【解析】由x2＋y2＋2x－2y＋a＝0，得(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圓心坐標(biāo)為(－1,1)，半徑r＝eq\r(2－a)，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為eq\f(|－1＋1＋2|,\r(2))＝eq\r(2).所以22＋(eq\r(2))2＝2－a，解得a＝－4.3．(2018浙江金麗衢十二校模擬)過點(diǎn)P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB外接圓的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝5B．(x－4)2＋(y－2)2＝20C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20【答案】A【解析】由題意，知O，A，B，P四點(diǎn)共圓，所以所求圓的圓心為線段OP的中點(diǎn)(2,1)．又圓的半徑r＝eq\f(1,2)|OP|＝eq\r(5)，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.4．(2018西安模擬)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[－3,1]D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)【答案】C【解析】由題意可得圓的圓心為(a,0)，半徑為eq\r(2)，∴eq\f(|a－0＋1|,\r(12＋－12))≤eq\r(2)，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.5．(2018湖北襄陽聯(lián)考)已知點(diǎn)P(1,2)和圓C：x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，過點(diǎn)P作圓C的切線有兩條，則k的取值范圍是()A．RB.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，\f(2\r(3),3)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(3),3)，0))【答案】C【解析】]圓C：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(k,2)))2＋(y＋1)2＝1－eq\f(3,4)k2，因?yàn)檫^點(diǎn)P有兩條切線，所以點(diǎn)P在圓外，從而eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋4＋k＋4＋k2＞0，,1－\f(3,4)k2＞0，))解得－eq\f(2\r(3),3)＜k＜eq\f(2\r(3),3).故選C.6．(2018河北衡水中學(xué)三模)已知圓C：(x－1)2＋y2＝25，則過點(diǎn)P(2，－1)的圓C的所有弦中，以最長弦和最短弦為對角線的四邊形的面積是()A．10eq\r(13) B．9eq\r(21)C．10eq\r(23) D．9eq\r(11)【答案】C【解析】易知最長弦為圓的直徑10.又最短弦所在直線與最長弦垂直，且|PC|＝eq\r(2)，∴最短弦的長為2eq\r(r2－|PC|2)＝2eq\r(25－2)＝2eq\r(23).故所求四邊形的面積S＝eq\f(1,2)×10×2eq\r(23)＝10eq\r(23).7．(2018黑龍江大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)期末)已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A．6－2eq\r(2) B．5eq\r(2)－4C.eq\r(17)－1 D.eq\r(17)【答案】B【解析】圓C1關(guān)于x軸對稱的圓C′1的圓心為C′1(2，－3)，半徑不變，圓C2的圓心為(3,4)，半徑r＝3，|PM|＋|PN|的最小值為圓C′1和圓C2的圓心距減去兩圓的半徑，所以|PM|＋|PN|的最小值為eq\r(3－22＋4＋32)－1－3＝5eq\r(2)－4.8．(2018南昌二模)若圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，則ab的最大值為()A.eq\r(2) B．2C．4 D．2eq\r(2)【答案】B【解析】圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)．化為(x－a)2＋y2＝9，圓心坐標(biāo)為(a,0)，半徑為3.圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)，化為x2＋(y＋b)2＝1，圓心坐標(biāo)為(0，－b)，半徑為1，∵圓C1：x2＋y2－2ax＋a2－9＝0(a∈R)與圓C2：x2＋y2＋2by＋b2－1＝0(b∈R)內(nèi)切，∴eq\r(a2＋b2)＝3－1，即a2＋b2＝4，ab≤eq\f(1,2)(a2＋b2)＝2.∴ab的最大值為2.9．(2018泰安模擬)過點(diǎn)P(3,1)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為()A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0【答案】A【解析】如圖所示：由題意，知AB⊥PC，kPC＝eq\f(1,2)，∴kAB＝－2.∴直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.10．(2018湖南東部六校聯(lián)考)若直線l：y＝kx＋1(k<0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不確定【答案】A【解析】因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圓心坐標(biāo)為(－2,1)，半徑為eq\r(2)，因?yàn)橹本€l與圓C相切，所以eq\f(|－2k－1＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1.因?yàn)閗<0，所以k＝－1.所以直線l的方程為x＋y－1＝0.圓心D(2,0)到直線l的距離d＝eq\f(|2＋0－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<eq\r(3)，所以直線l與圓D相交．11．(2018重慶第二次調(diào)研)已知點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，實(shí)數(shù)k是常數(shù)，M，N是圓x2＋y2＋kx＝0上兩個(gè)不同點(diǎn)，P是圓x2＋y2＋kx＝0上的動(dòng)點(diǎn)，如果M，N關(guān)于直線x－y－1＝0對稱，那么△PAB面積的最大值是()A．3－eq\r(2) B．4C．3＋eq\r(2) D．6【答案】C【解析】依題意，得圓x2＋y2＋kx＝0的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，0))位于直線x－y－1＝0上，于是有－eq\f(k,2)－1＝0，即k＝－2，因此圓心坐標(biāo)是(1,0)，半徑是1.由題意可得|AB|＝2eq\r(2)，直線AB的方程是eq\f(x,－2)＋eq\f(y,2)＝1，即x－y＋2＝0，圓心(1,0)到直線AB的距離等于eq\f(|1－0＋2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，點(diǎn)P到直線AB的距離的最大值是eq\f(3\r(2),2)＋1，∴△PAB面積的最大值為eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(3\r(2)＋2,2)＝3＋eq\r(2).故選C.二、填空題12．(2018天津聯(lián)考)以點(diǎn)(0，b)為圓心的圓與直線y＝2x＋1相切于點(diǎn)(1,3)，則該圓的方程為__________．【答案】x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,2)))2＝eq\f(5,4)【解析】由題意設(shè)圓的方程為x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．根據(jù)條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3－b2＝r2，,\f(|－b＋1|,\r(5))＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝\f(7,2)，,r＝\f(\r(5),2).))∴該圓的方程為x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(7,2)))2＝eq\f(5,4).13．(2018安徽十校聯(lián)考)已知圓C：(x＋2)2＋y2＝4，直線l：kx－y－2k＝0(k∈R)，若直線l與圓C恒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的最小值是________．【答案】－eq\f(\r(3),3)【解析】圓心C(－2,0)，半徑r＝2.又圓C與直線l恒有公共點(diǎn)，所以圓心C(－2,0)到直線l的距離d≤r.因此eq\f(|－2k－2k|,\r(k2＋1))≤2，解得－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3).所以實(shí)數(shù)k的最小值為－eq\f(\r(3),3).14．(2018泰安調(diào)研)已知直線eq\r(3)x－y＋2＝0及直線eq\r(3)x－y－10＝0截圓C所得的弦長均為8，則圓C的面積是________．【答案】25π【解析】因?yàn)橐阎膬蓷l直線平行且截圓C所得的弦長均為8，所以圓心到直線的距離d為兩平行直線距離的一半，即d＝eq\f(1,2)×eq\f(|2＋10|,\r(3＋1))＝3.又直線截圓C所得的弦長為8，所以圓的半徑r＝eq\r(32＋42)＝5.所以圓C的面積是25π.15．(2018福州質(zhì)檢)若直線x－y＋2＝0與圓C：(x－3)2＋(y－3)2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，則eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(CB,\s\up15(→))的值為________．【答案】0【解析】依題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,x－32＋y－32＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))可令A(yù)(3,5)，B(1,3)，∴eq\o(CA,\s\up15(→))＝(0,2)，eq\o(CB,\s\up15(→))＝(－2,0)．∴eq\o(CA,\s\up15(→))·eq\o(CB,\s\up15(→))＝0.16．(2018天津四校聯(lián)考)過點(diǎn)(1，eq\r