第八章

立體幾何初步8.2立體圖形的直觀圖

第1課時(shí)

前面我們認(rèn)識(shí)了柱體、錐體、臺(tái)體、球以及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)立體結(jié)構(gòu)．為了將這些具有立體結(jié)構(gòu)的空間幾何體畫在紙上，用平面圖形表示出來，使我們能夠根據(jù)平面圖形想象空間幾何體的形狀和結(jié)構(gòu)，這就需要學(xué)習(xí)直觀圖的有關(guān)知識(shí).

那么什么是直觀圖呢？

直觀圖是觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)空間幾何體獲得的圖形.

畫立體圖形的直觀圖，實(shí)際上是把不完全在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合，用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示.

因此，直觀圖往往與立體圖形的真實(shí)形狀不完全相同.

在立體幾何中，立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.

要畫立體圖形的直觀圖，首先要學(xué)會(huì)畫水平放置的平面圖形.接下來，我們就來學(xué)習(xí)這方面的知識(shí).引入知識(shí)探究

問題1:

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過投影的知識(shí)，你還能想起哪一些?投影平行投影(光線平行)中心投影(光線從一點(diǎn)發(fā)出)斜投影(光線與投影面不垂直)正投影(光線與投影面垂直)

空間幾何體在平行投影與中心投影下都有不同的表現(xiàn)形式，我們常常會(huì)根據(jù)問題的實(shí)際情況，選擇不同的表現(xiàn)形式，其中用中心投影可以得到透視圖，用正投影可以得到三視圖，而用斜投影則可以得到直觀圖。

問題2:

如圖，矩形窗戶在陽光照射下留在地面上的影子是什么形狀?眺望遠(yuǎn)處成塊的農(nóng)田，矩形的農(nóng)田在我們眼里又是什么形狀?

事實(shí)上，若一個(gè)矩形垂直于投影面，投影線不垂直于投影面，則矩形的平行投影是一個(gè)平行四邊形。平行四邊形平行四邊形

由此，我們可以得到直觀圖的斜二測(cè)畫法。斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的步驟①在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O．

畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸相交兩軸交于點(diǎn)O'，且使∠x'O'y'＝45o(或135o)，它們確定的平面表示水平面．ABCDyxOy′x′O′

②已知圖形中平行(含重合)于

x軸或y

軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行(含重合)于x'

軸或y'軸的線段ABCDyxOy′x′O′D′C′B′A′已知圖形中平行(含重合)于x軸的線段,在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變;平行(含重合)于y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度為原來的一半．問題3:

如果原圖中有不平行坐標(biāo)軸的線段，怎么處理？

與坐標(biāo)軸不平行的線段一般通過與坐標(biāo)軸平行的線段(必要時(shí)需作出)確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段.③連接端點(diǎn)，去線成圖

問題3:

你能再說說用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的基本原則嗎？

(2)平行的變化：平行性不變.

原來平行的線，在直觀圖中仍然平行，其中原圖中平行(含重合)于x軸或y軸的線段，在直觀圖中平行

(含重合)于x′軸或y′軸．斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形直觀圖的基本原則(1)角度的變化：水平面坐標(biāo)系中∠x′o′y′=45°(或135°）.(3)長(zhǎng)度的變化：

原圖中平行于(含重合)x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變；

原圖中平行于(含重合)y軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度減半．返回例析例１.用斜二測(cè)畫法畫出下列正六邊形水平放置的直觀圖建立坐標(biāo)系作與坐標(biāo)軸平行的線段例１.用斜二測(cè)畫法畫出下列正六邊形水平放置的直觀圖連接端點(diǎn)，去線成圖例１.用斜二測(cè)畫法畫出下列正六邊形水平放置的直觀圖

例2.用斜二測(cè)畫法畫出AB=2，BC=6,∠BCD=60°的平等四邊形ABCD水平放置的直觀圖解：

在原圖中以B為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系xoy.并建立水平坐標(biāo)系xoy，并使∠xoy=45°

在坐標(biāo)系xoy中作O′C′=6,即B′C′=6.

在原圖中作AH?BC于H，則在B′C′上取點(diǎn)H′使B′H′=2，

在坐標(biāo)系xoy中作A′D′//y′,且A′D′=6

連接B′A′，C′D′，則四邊形A′B′C′D′為所需作的直觀圖

思考2:在利用斜二測(cè)畫法畫直觀圖的過程中，x,y軸起到的作用是什么?

根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，水平放置的圓看起來非常像橢圓，因此我們一般用橢圓作為圓的直觀圖.

因此我們一般用橢圓作為圓的直觀圖.實(shí)際畫圖時(shí)常用如圖所示的橢圓模板

思考1:根據(jù)以上的內(nèi)容，說說你對(duì)斜二測(cè)畫法中的“斜二”二字是如何理解的?從左前側(cè)(或右前側(cè))并斜向下向幾何圖形進(jìn)行投影

思考3:畫直觀圖時(shí)，除多邊形外，還經(jīng)常會(huì)遇見畫圓的直觀圖問題，你能想象出對(duì)于水平放置的圓，利用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖是怎樣的嗎?

在作圖過程中，x,y軸主要起參考系的作用，以便確定各點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.練習(xí)1.用斜二測(cè)畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，下列結(jié)論是

否正確？正確的在括號(hào)內(nèi)畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”.

（1）相等的線段在直觀圖中仍然相等.（

）

（2）平行的線段在直觀圖中仍然平行.（

）

（3）一個(gè)角的直觀圖中仍然是一個(gè)角.（

）

（4）相等的角直觀圖中仍然相等.

（

）×√√×2.用斜二測(cè)畫法畫出下列水平放置的直觀圖(1)矩形；

2.用斜二測(cè)畫法畫出下列水平放置的直觀圖(2)正三角形；

(3)正五邊形

例2.（1）已知正?AOB的邊長(zhǎng)為

a，在原圖上建立如圖所示的直角坐標(biāo)xOy，則利用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖的面積是___________.練習(xí)

一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形(如圖)，則該平面圖形的面積等于（）DO'x'y'課堂小結(jié)

1.什么是直觀圖？2.斜二測(cè)畫法畫水平放置平面圖形的直觀圖的基本原則有哪一些？3.斜二測(cè)畫法畫直觀圖的一般步驟是怎樣的？（2）作平行坐標(biāo)軸的線段（1）建立坐標(biāo)系（一般建兩個(gè)系）（3）連接端點(diǎn)（4）去線成成圖作業(yè)1.教材P111習(xí)題8.2

第2,5題

2.如圖所示，直角梯形A′B′C′D′是水平放置