專題平行線的判定與性質中常用思想方法 【蘇科版2024】【題型1整體思想求角】1．（23-24七年級·江蘇蘇州·期中）如圖，AB∥EF，∠BAC與∠CDE的角平分線交于點G，且GF∥DE，已知∠ACD=90°，若∠AGD=αA．α=β B．2α+β=90° C．3α+β=90° D．α+2β=90°【答案】B【分析】過D作DP∥EF，連接GC并延長到H，連接AD，根據平行線的性質得到∠PDE=β，利用三角形的內角和定理和平行線的性質得到∠BAC+∠PDC=180°-∠CAD+∠ADA=90°，再根據角平分線的定義證得【詳解】解：過D作DP∥EF，連接GC并延長到H，連接AD，則∵GF∥∴∠F+∠DEF=180°，∴∠PDE=∠F=β，∵∠ACD=90∴∠CAD+∠CDA=90°，∵AB∥∴AB∥DP∴∠BAD+∠ADP=180°，∴∠BAC+∠PDC=180°-∠CAD+∠ADA∵∠BAC與∠CDE的角平分線交于點G，∴∠BAG=∠CAG=12∠BAC∴∠PDC=∠CDE-∠PDE=2∠CDG-β，∴2∠CAG+2∠CDG-β=90°，即2∠CAG+∠CDG∵∠ACH=∠CAG+∠AGC，∠DCH=∠CDG+∠DGC，∴∠ACD=∠CAG+∠CDG+∠AGD，則∠CAG+∠CDG=∠ACD-∠AGD=90°-α，∴290°-α則2α+β=90°，故選：B．【點睛】本題考查了平行線的性質、三角形的內角和定理和外角性質、角平分線的定義，添加輔助線，利用平行線的性質探索角之間的數量關系是解答的關鍵．2．（24-25七年級·上海·期中）對于平面內的∠M和∠N，若存在一個常數k>0，使得∠M+k∠N=360°，則稱∠N為∠M的k系補周角．如若∠M=90°，N=45°，則∠N為∠M的6系補周角．(1)若∠H=110°，則∠H的4系補周角的度數為______(2)在平面內AB∥CD，點E是平面內一點，連接①如圖1，∠D=70°，若∠B是∠E的3系補周角，求∠B的度數．②如圖2，∠ABE和∠CDE均為鈍角，點F在點E的右側，且滿足∠ABF=∠ABEn，∠CDF=∠CDEn（其中n為常數且n<1），點P是∠ABE角平分線BG上的一個動點，在P點運動過程中，請你確定一個點P的位置，使得∠BPD是∠F的k系補周角，并直接寫出此時的【答案】(1)62.5°(2)①∠B=72.5°②k=【分析】（1）設∠H的4系補周角的度數為x°，根據新定義列出方程求解即可；（2）①過E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系補周角，列出∠B的方程，求得∠B的度數；②根據k系補周角的定義先確定P點的位置，再結合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k與n的關系即可求解．本題主要考查平行線的性質與判定，角平分線的定義，新定義．解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質與判定，角平分線的定義，新定義．【詳解】（1）解：設∠H的4系補周角的度數為x°，根據新定義得：110+4x=360，解得x=62.5，∠H的4系補周角的度數為62.5°，故答案為：70；（2）解：①過E作EF∥AB，如圖1，∴∠B=∠BEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∵∠D=70°，∴∠DEF=∠D=70°，∵∠B+70°=∠BEF+∠DEF，即∠B+70°=∠BED，∵∠B是∠BED的3系補周角，∴∠BED=360°-3∠B，∴∠B+70°=360°-3∠B，∴∠B=72.5°；②如圖2，當BG上的動點P為∠CDE的角平分線與BG的交點時，滿足∠BPD是∠F的k系補周角，過點P作PM∥AB，過點F作FN∥AB，如圖2，∵AB∥CD，∴CD∥PM，CD∥FN，∴∠ABP=∠BPM，∠CDP=∠DPM，∠ABF+∠BFN=180°，∠CDF+∠DFN=180°，∴∠ABF+∠BFD+∠CDF=∠ABF+∠BFN+∠CDF+∠DFN=180°+180°=360°，∵∠ABE的平分線與∠CDE的平分線相交于點P，∴∠ABP=12∠ABE∴∠BPD=∠BPM+∠DPM=1∵∠ABF=∠ABEn，∠CDF=∠CDEn（其中∴∠BPD=1∴∠BPD=n∴∠BPD=n∴∠BFD+2∴∠BPD是∠BFD的k系補周角，此時，k=23．（23-24七年級·寧夏石嘴山·期中）如圖，已知AP∥DM，點B，C分別是射線AP，DM上的點，∠D=∠ABC=60°，AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD．(1)求∠MAN的度數；(2)若∠AND=∠ACB，求∠ACB的度數．【答案】(1)60°(2)80°【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義：（1）先由平行線的性質得到∠BAD=180°-∠D=120°，再由角平分線的定義得到∠CAN=12∠CAD（2）先證明∠BAD+∠ABC=180°，得到AD∥BC，則∠ACB=∠CAD，再證明∠CAD=∠BAN，得到∠DAN=∠BAC，則∠DAN=∠BAC=∠NAC=13∠BAD=40°【詳解】（1）解：∵AP∥DM，∴∠BAD=180°-∠D=120°，∵AM，AN分別平分∠BAC和∠CAD，∴∠CAN=1∴∠MAN=∠CAN+∠CAM=1（2）解：∵∠BAD=120°，∠ABC=60°，∴∠BAD+∠ABC=180°，∴AD∥BC，∴∠ACB=∠CAD，∵AP∥DM，∴∠AND=∠BAN，∵∠AND=∠ACB，∴∠CAD=∠BAN，∴∠DAN=∠BAC，∴∠DAN=∠BAC=∠NAC=1∴∠ACB=∠CAD=∠DAN+∠CAN=80°．4．（23-24七年級·廣西河池·階段練習）（1）如圖1，已知AB∥CD，點E在兩平行線的內側，連接AE，CE．若∠EAB=35°，∠ECD=25°，求（2）如圖2，已知AB∥CD，點E在兩平行線的外側，連接AE，CE，若∠EAB=α，①求∠AEC的大小（用含α，β的代數式表示）；②作∠ECD的平分線交AB于點G，連接GE，AG平分∠CGE（如圖3）．若∠AEG=130°，α+β=80°，分別求出α，β的度數．

【答案】（1）60°；（2）①∠AEC=β-α；②α=20°，β=60°【分析】（1）如圖1，過點E作MN∥AB．根據兩直線平行，內錯角相等即可作答．（2）①如圖2，根據平行線的性質，由AB∥CD，得∠EFB=∠ECD=β．根據三角形外角的性質，即可作答．②如圖3，根據平行線的性質，由AB∥CD，得∠1＝∠2．根據角平分線的定義，得∠EAB＝∠1＝12α，∠2＝∠3，那么∠3＝∠EAB＝12α．根據三角形內角和定理，得∠EAB+∠3＝180°﹣∠AEG＝50°，進而求得α＝【詳解】解：（1）如圖1，過點E作MN∥AB．

∵AB∥MN，∴∠AEM=∠EAB=35°．∵AB∥CD，AB∥MN，∴MN∥CD．∴∠MEC=∠ECD=25°．∴∠AEC=∠AEM+∠MEC=35°+25°=60°．（2）①∵AB∥CD，∴∠EFB=∠ECD=β．又∵∠EFB=∠EAB+∠AEC，∠EAB=α，∴∠AEC=∠EFB-∠EAB=β-α．②如圖3，

∵AB∥CD，∴∠1=∠2．又∵CG平分∠ECD，∴∠ECG=∠1=1∴∠ECG=∠2．∵AG平分于∠CGE，∴∠2=∠3．∴∠3=∠ECG=1∵∠AEG=130°，∴∠EAB+∠3=180°-∠AEG=50°．∴α+1又∵α+β=80°，∴α=20°，β=60°．【點睛】本題主要考查平行線的性質、角平分線的定義以及三角形內角和定理，熟練掌握平行線的性質、角平分線的定義以及三角形內角和定理是解決本題的關鍵．5．（23-24七年級·湖北武漢·期末）如圖1，點E在直線AB、DC之間，且∠DEB+∠ABE-∠CDE=180°．（1）求證：AB//（2）若點F是直線BA上的一點，且∠BEF=∠BFE，EG平分∠DEB交直線AB于點G，若∠D=20°，求∠FEG的度數；（3）如圖3，點N是直線AB、DC外一點，且滿足∠CDM=14∠CDE，∠ABN=14∠ABE，ND與BE交于點M．已知∠CDM=α0°<α<12°，且BN【答案】（1）見解析；（2）10°；（3）180°-15α【分析】（1）過點E作EF∥CD，根據平行線的性質，兩直線平行，內錯角相等，得出∠CDE=∠DEF,結合已知條件∠DEB+∠ABE-∠CDE=180°，得出∠FEB+∠ABE=180°,即可證明；（2）過點E作HE∥CD，設∠GEF=x,∠FEB=∠EFB=y,由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，由平行線的性質，得出∠DEF=∠D+∠EFB=20°+y,再由EG平分∠DEB，得出∠DEG=∠GEB=∠GEF+∠FEB=x+y,則∠DEF=∠DEG+∠GEF=2x+y，則可列出關于x和y的方程，即可求得x，即∠GEF的度數；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，根據∠CDM=14∠CDE和∠CDM=α，得出∠MDE=3α,根據CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出∠PND=∠CDM=∠DMQ=α,∠EDM=∠BNM=3α,即∠BNP=4α,根據NP∥AB，得出∠PNB=∠ABN=4α,再由∠ABN=14∠ABE，得出∠ABM=16α,由AB∥QM,得出∠QMB=180°-16α,因為【詳解】（1）過點E作EF∥CD，如圖，∵EF∥CD,∴∠CDE=∠DEF,∴∠DEB-∠CDE=∠DEB-∠DEF=∠FEB,∵∠DEB+∠ABE-∠CDE=180°,∴∠FEB+∠ABE=180°,∴EF∥AB，∴CD∥AB；（2）過點E作HE∥CD，如圖，設∠GEF=x,∠FEB=∠EFB=y,由（1）得AB∥CD，則AB∥CD∥HE，∴∠D=∠DEH=20°,∠HEF=∠EFB=y,∴∠DEF=∠DEH+∠HEF=∠D+∠EFB=20°+y,又∵EG平分∠DEB，∴∠DEG=∠GEB=∠GEF+∠FEB=x+y,∴∠DEF=∠DEG+∠GEF=x+y+x=2x+y,即2x+y=20°+y,解得：x=10°,即∠GEF=10°；（3）過點N作NP∥CD，過點M作QM∥CD，如圖，由（1）得AB∥CD，則NP∥CD∥AB∥QM，∵NP∥CD，CD∥QM，∠CDM=α,∴∠PND=∠CDM=∠DMQ=α,又∵∠CDM=1∴∠MDE=3∠CDM=3α,∵BN//∴∠MDE=∠BNM=3α,∴∠PNB=∠PND+∠BNM=α+3α=4α,又∵PN∥AB，∴∠PNB=∠NBA=4α,∵∠ABN=1∴∠ABM=4∠ABN=4×4α=16α,又∵AB∥QM，∴∠ABM+∠QMB=180°,∴∠QMB=180°-∠ABM=180°-16α,∴∠NMB=∠NMQ+∠QMB=α+180°-16α=180-15α．【點睛】本題考查平行線的性質，角平分線的定義，解決問題的關鍵是作平行線構造相等的角，利用兩直線平行，內錯角相等，同位角相等來計算和推導角之間的關系．6．（23-24七年級·廣東清遠·期中）如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點P是射線M上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．

(1)∠ABN=_________(2)∠CBD=_________(3)當點P運動到某處時，∠ACB=∠ABD，則此時∠ABC=_________(4)在點P運動的過程中，∠APB與∠ADB的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值：若變化，請找出變化規(guī)律．【答案】(1)120°(2)30°(3)60°(4)∠APB【分析】（1）根據兩直線平行同旁內角互補求解即可；（2）由（1）知∠ABP+∠PBN=120°，再根據角平分線的定義知∠ABP=2∠BP、∠PBN=2∠DBP，可得2∠CBP+2∠DBP=120°，即∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；（3）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，進而可證∠ABC=∠DBN，由（2）可知：∠ABN=120°，∠CBD=60°，從而可求∠ABC的值；（4）由平行線的性質得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，由角平分線的定義得∠PBN=2∠DBN，進而可求∠APB:【詳解】（1）∵AM∥BN，∴∠ABN+∠A=180°，∵∠A=60°，∴∠ABN=180°-60°=120°，故答案為：120°；（2）∵∠ABN=120°，∴∠ABP+∠PBN=120°，∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，∴∠ABP=2∠CBP、∠PBN=2∠DBP，∴2∠CBP+2∠DBP=120°，∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°；故答案為：60°；（3）∵AM∥BN，∴∠ACB=∠CBN，∵∠ACB=∠ABD，∴∠CBN=∠ABD，∴∠ABC+∠CBD=∠CBD+∠DBN，∴∠ABC=∠DBN；由（2）可知：∠ABN=120°，∠CBD=60°，∴∠ABC+∠DBN=∠ABN-∠CBD=120°-60°=60°，∴∠ABC=30°；故答案為：30°；（4）不變，∠APB:∵AM∥BN，∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，∵BD平分∠PBN，∴∠PBN=2∠DBN，∴∠APB:【點睛】本題考查平行線的性質，以及角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．7.（23-24七年級·河北保定·期末）如圖，AB∥CD，點P為平面內一點．(1)如圖①，當點P在CD與之間時，若∠A=20°，∠C=45°，則∠P=°；(2)如圖②，當點P在點B右上方時，∠ABP、∠CDP、∠BPD之間存在怎樣的數量關系？請證明；(3)如圖③，EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，若∠PFD=40°，則∠G+∠P=°．【答案】(1)65(2)∠ABP=∠CDP+∠BPD；理由見解析(3)120【分析】本題主要考查了平行線的判定及性質等；（1）過點P作MN∥AB，由平行線的判定方法得AB∥CD∥MN，由平行線的性質得（2）過點P作MN∥AB，同理可得AB∥CD∥MN，由平行線的性質得∠CDP=∠DPN（3）延長AB交PF于點H，過點G，作MN∥AB，同理可得：MN∥AB∥CD，由平行線的性質得∠HEG=∠EGM，∠EHF=∠PFD，∠MGF=∠GFD，由角的和差得掌握平行線的判定及性質，解決這類問題的典型做法：作出輔助線MN是解題的關鍵．【詳解】（1）解：過點P作MN∥∵AB∥CD∴AB∥又∵∠A=20°，∠C=45°，∴∠APM=∠A=20°，∠MPC=∠C=45°，∴∠P=∠APM+∠MPC=20°+45°=65°；故答案：65；（2）解：∠ABP=∠BPD+∠CDP；理由如下：過點P作MN∥同理可得：AB∥∴∠CDP=∠DPN，∠ABP=∠BPN，∵∠BPN=∠BPD+∠DPN，∴∠ABP=∠CDP+∠BPD；（3）解：延長AB交PF于點H，過點G，作MN∥同理可得：MN∥∴∠HEG=∠EGM，∠EHF=∠PFD，∠MGF=∠GFD，∵EB平分∠PEG，FP平分∠GFD，∠PFD=40°，∴∠PEH=∠HEG，∠PFD=∠PFG=40°，∠GFD=80°，∴∠EGF=∠EGM+∠MGF=∠HEG+∠GFD=∠PEH+80°，∵∠P+∠PEH=180°-∠PBE，∠EHF=180°-∠PBE，∴∠P+∠PEH=∠EHF，∴∠P+∠PEH=40°，∴∠P=40°-∠PEH，∴∠EGF+∠P=∠PEH+80°+40°-∠PEH=120°．故答案為：120．【題型2方程思想求角】8．（23-24七年級·江蘇揚州·期中）【模型發(fā)現】某校七年級數學興趣小組的同學在活動中發(fā)現：如圖1的幾何圖形，很像小豬的豬蹄，于是大家就把這個圖形形象的稱為“豬蹄模型”，“豬蹄模型”中蘊含著角的數量關系．(1)如圖1，AB∥CD，M是AB、CD之間的一點，連接BM，DM，則有∠B+∠D=∠BMD．請你證明這個結論．(2)【運用】如圖2，AB∥CD，M、N是AB、CD之間的兩點，且2∠M=3∠N，請你利用（1）中“豬蹄模型”的結論，找出∠B、∠C、∠M三者之間的數量關系，并說明理由．(3)【延伸】如圖3，AB∥CD，點E、F分別在AB、CD上，EN、FG分別平分∠BEM和∠CFM，且EN∥MG．如果∠EMF=α，那么∠MGF等于多少？（用含α的代數式表示，請直接寫出結論，無需證明）【答案】(1)見解析(2)13(3)∠MGF等于90°+【分析】本題考查了平行線的性質，利用“豬蹄模型”是解題關鍵．（1）如圖，過M作MN∥AB．得AB∥MN∥CD，故∠B=∠BMN，∠D=∠BMN，因此∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD．（2）過N作NE∥AB．由（1）∠B+∠MNE=∠M①．再得出∠ENC=∠C②，由①+②得∠B+∠MNE+∠ENC=∠M+∠C，即∠B+∠MNC=∠M+∠C，再求解即可．（3）由角平分線得∠MEN=∠BEN=x，∠CFG=∠MFG=y，由“豬蹄模型”得∠AEM+∠MFC=∠EMF，再利用平行線和三角形內角和計算即可．【詳解】（1）證明：如圖，過M作MN∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥MN∥CD，∴∠B=∠BMN，∠D=∠BMN，∴∠B+∠D=∠BMN+∠DMN=∠BMD．（2）解：∠B、∠C、∠M三者之間的數量關系：13理由如下：如圖：過N作NE∥AB．由（1）∠B+∠MNE=∠M①．∵AB∥CD，∴EN∥CD，∴∠ENC=∠C②，①+②得∠B+∠MNE+∠ENC=∠M+∠C，即∠B+∠MNC=∠M+∠C，∵2∠BMN=3∠MNC，∴∠MNC=2∴13答：∠B、∠C、∠M三者之間的數量關系：13（3）證明：∵EN、FG分別平分∠BEM和∠CFM，∴∠MEN=∠BEN=x，∠CFG=∠MFG=y，由（1）結論得：∠AEM+∠MFC=∠EMF，∴180°-2x+2y=α，∴x-y=90°-1∵MG∥EN，∴∠GMF+∠EMF+∠MEN=180°，∴∠GMF=180°-α-x，由三角形內角和得：∠MGF=180°-∠GMF-∠GFM=180°-(180°-α-x)-y=α+x-y=α+(90°-1答：∠MGF等于90°+19．（23-24七年級·全國·單元測試）如圖1，直線l1∥l2，點A，B在直線l1上，點C、D在l2上，線段AD交線段(1)求證：∠ABE+∠EDC=60°；(2)如圖2，當F，G分別在線段AE、EC上，且∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，標記∠BFE為∠1，∠BGD為∠2．①若∠1-∠2=16°，求∠ADC的度數；②當k為何值時，k∠1+∠2為定值，并求此定值．【答案】(1)證明見解析(2)①36°；②當k=2時，k∠1+∠2為定值，此時定值為140°．【分析】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解答本題的關鍵．（1）利用平行線的性質解答即可；（2）①設∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，結合平行線的性質，利用方程的思想方法，依據已知條件列出方程組即可求解；②利用①中的方法，設∠FBE=a，∠GDC=b，則∠ABF=2a，∠EDG=2b，通過計算k∠1+∠2，令計算結果中的a的系數為0即可求得結論．【詳解】（1）證明：如圖，作EF∥l∴∠FED=∠EDC，∵l1∴EF∥l∴∠ABE=∠BEF，∵∠BED=60°，∴∠ABE+∠EDC=∠BEF+∠FED=∠BED=60°（2）設∠FBE=a，∠GDC=b，∵∠ABF=2∠FBE，∠EDG=2∠GDC，∴∠ABF=2a，∠EDG=2b，∵l1∴∠BAD=∠ADC=3b，∠ABC=∠BCD=3a，由（1）可得：∠1=2a+3b，∠2=3a+b，∠BED=3a+3b=60°，∴a+b=20°，∴∠1=60°-a，∠2=20°+2a，①∵∠1-∠2=16°，∴60°-a-20°+2a∴a=8°，b=12°，∴∠ADC=3b=36°；②k=2，定值為140°，理由如下：k∠1+∠2=k=60°k-ka+20°+2a=當k=2時，k∠1+∠2=140°，∴當k=2時，k∠1+∠2為定值，此時定值為140°．10．（23-24七年級·北京·期中）如圖，已知AB∥CD，E、F分別在AB、CD上，點G在AB、CD之間，連接GE、(1)當∠BEG=40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG時：①如圖1，若EG⊥FG，則∠P的度數為；②如圖2，在CD的下方有一點Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度數；(2)如圖3，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC．線段GE的延長線平分∠OEA，則當∠EOF+∠EGF=100°時，請直接寫出∠OEA與∠OFC的數量關系．【答案】(1)①45°；②120°(2)∠OEA+2∠OFC=160°【分析】本題主要考查了平行線的性質以及角平分線的定義，掌握平行線的性質是解題的關鍵．（1）①如圖，分別過點G、P作GN∥AB,PM∥AB，根據平行線的性質、角平分線的定義求解即可；（2）如圖，過點O作OT∥AB，則OT∥CD，設∠OFC=∠OFG=β，∠OEH=∠HEA=α可得∠EOF=β-2α，進而說明∠G=α+180°-2β，根據平行線的性質求得α+β=80°，進而根據∠OEA=2α，∠OFC=β得到【詳解】（1）解：①如圖，分別過點G、P作GN∥∴∠BEG=∠EGN，∵AB∥∴NG∴∠NGF=∠GFD，∴∠EGF=∠BEG+∠GFD，同理可得:∠EPF=∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF=90°，∵EP平分∠BEG,FP平分∠DFG；∴∠BEP=1∴∠EPF=1故答案為：45°．②如圖，過點Q作QR∥CD，∵EG平分∠BEQ,FD平分∠GFQ，∴∠GEQ=∠BEG=40°，∠GFD=∠QFD，設∠GFD=∠QFD=α，∵QR∥CD，AB∥∴∠EQR=180°-∠QEB=180°-2∠QEG=100°，∵QR∥CD，∴∠DFQ+∠FQR=180°，∴a+∠FQR=180°，∴a+∠FQE=80°，∴∠FQE=80°-α，由（1）可知∠G=2∠P=∠BEG+∠GFD=40°+α，∴∠FQE+2∠P=80°-α+40°+α=120°．（2）解：如圖，在AB的上方有一點O，若FO平分∠GFC，線段GE的延長線平分∠OEA，設H為線段GE的延長線上一點，則∠OFC=∠OFG，∠OEH=∠HEA，設∠OFC=∠OFG=β，∠OEH=∠HEA=α,，如圖，過點O作OT∥AB，則OT∥∴∠TOF=∠OFC=β，∠TOE=∠OEA=∠OEH+∠AEH=2α，∴∠EOF=∠TOF-∠TOE=β-2α，∵∠BEG=∠HEA=α，∠GFD=180°-∠OFC-∠OFG=180°-2β由（1）可知：∠G=∠BEG+∠GFD=α+180°-2β，∵∠EOF+∠EGF=100°，∴β-2α+α+180°-2β=100°，即α+β=80°，∴2α+2β=160°，∵∠OEA=2α，∠OFC=β，∴∠OEA+2∠OFC=160°．11．（24-25七年級·重慶·開學考試）如圖，AB∥CD，點A，E，B，(1)如圖1，求證：∠E+∠C-∠A=180°；(2)如圖2，直線FA，CP交于點P，且∠BAF=14∠BAE①試探究∠E與∠APC的數量關系；②如圖3，延長CE交射線PA于點Q，若AE∥PC，∠BAQ=α0°<α<12°，求∠PQC【答案】(1)證明見解析(2)①∠E=180°-4∠APC；②180°-15α【分析】本題考查平行線的性質，平行公理的推論，角的計算，（1）如圖1，過E作EF∥AB，根據平行線的性質即可得到結論；（2）①設∠BAF=x，∠BAE=4x，∠DCP=y，∠DCE=4y，由（1）知：∠E=180°-∠DCE+∠BAE=180°-4y-x，如圖2，過P作PG∥CD②如圖3，過E作EG∥熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：如圖1，過E作EF∥AB，∵AB∥∴EF∥AB∥CD，∴∠A=∠AEF，∠FEC+∠C=180°，∴∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠A+180°-∠C，∴∴∠AEC+∠C-∠A=180°∴∠AEC+∠C-∠A=180°，即∠E+∠C-∠A=180°；（2）解：①∵∠BAF=14∠BAE∴設∠BAF=x，∠BAE=4x，∠DCP=y，∠DCE=4y，由（1）可知：∠E+∠DCE-∠BAE=180°，∴∠E=180°-∠DCE+∠BAE=180°-4y-x如圖2，過P作PG∥CD，∵AB∥∴PG∥∴∠GPA=∠BAF=x，∠GPC=∠DCP=y，∴∠APC=∠GPC-∠GPA=y-x，∴∠E=180°-4∠APC，∴∠E與∠APC的數量關系為∠E=180°-4∠APC；②如圖3，∵∠BAQ=α，∠BAF=1∴∠QAE=∠BAE-∠BAQ=4α-α=3α，∵AE∥∴∠APC=∠QAE=3α，由①知：∠AEC=180°-4∠APC=180°-12α，過E作EG∥∴∠AEG=∠QAE=3α，∠PQC=∠GEC，∴∠PQC=∠GEC=∠AEC-∠AEG=180°-12α-3α=180°-15α，∴∠PQC的度數為180°-15α．12．（23-24七年級·全國·單元測試）已知直線AB∥CD，點E在AB、CD之間，點P、Q分別在直線AB、CD上，連接PE、(1)如圖1，試探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數量關系，并說明理由；(2)如圖2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，當∠PEQ=130°時，求出∠PFQ的度數；(3)如圖3，若點E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延長線交PF于點F，當∠PEQ=80°時，請求出【答案】(1)∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由見解析(2)∠PFQ=(3)∠PFQ=【分析】本題考查了平行線的判定和性質，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造平行線解決問題，學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．（1）如圖1，過點E作EH∥AB，根據平行線的性質得到∠APE=∠PEH，∠CQE=∠QEH，等量代換即可得到結論；（2）如圖2，過點E作EM∥AB，根據平行線的性質得到∠BPE+∠EQD=360°-∠APE+∠CQE=230°，根據角平分線的定義得到BPF=（3）如圖3，過點E作EM∥CD，設∠QEM=α，根據平行線的性質得到∠DQE=180°-α，根據角平分線的定義得到∠DQH=12∠DQE=90【詳解】（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：如圖1，過點E作EH∥AB，∴∠APE=∠PEH，∵EH∥AB，∴EH∥∴∠CQE=∠QEH，∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）解：如圖2，過點E作EM∥AB，同理（1）可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=130∵∠BPE=180°-∠APE∴∠BPE+∠EQD=360∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPF=12∠BPE∴∠BPF+∠DQF=1作NF∥AB，同理（1）可得，（3）解：如圖3，過點E作EM∥設∠QEM=α，∴∠DQE=180∵QH平分∠DQE，∴∠DQH=1∴∠FQD=180∵EM∥CD，∴AB∥∴∠BPE=180∵PF平分∠BPE，∴∠BPF=1作NF∥AB，同理可得，【題型3分類討論思想求角】13．（24-25七年級·廣東佛山·階段練習）已知∠AOB=90°，直線CD與OA交于點C，與OB交于點D，點C，D均不與點O重合，CE平分∠DCO，DE平分∠CDO,(1)如圖1，當∠OCD=40°時，求∠CED的度數；(2)如圖2，延長CE與BO交于點F，過E作射線EG與CD交于點G，且滿足∠CFO-∠GED=45°．求證：GE∥DO；(3)如圖3，過點C作CM⊥CN，MN是∠COD的外角平分線所在直線，與射線CE交于點N，與CM交于點M．在△CMN中，如果有一個角的度數是另一個角的3倍，請直接寫出∠CDE的度數．【答案】(1)135°(2)證明見解析(3)22.5°或30°【分析】本題考查了角平分線定義，三角形內角和定理，平行線的判定，三角形外角的性質，準確識別各角之間的關系是解題的關鍵．（1）先求出∠CDO=50°，再根據角平分線定義求出∠DCE和∠CDE，然后利用三角形內角和定理計算即可；（2）根據角平分線定義求出∠DCE+∠EDF=45°，利用三角形外角的性質可得∠CFO=∠EDF+45°，結合已知證明∠EDF=∠GED，再根據平行線的判定得出結論；（3）由題意可知，分兩種情況：①當∠M=3∠N時，②當∠MCN=3∠N=90°時，先分別求出∠N，再利用三角形外角的性質求出∠NCO，然后根據角平分線定義計算即可．【詳解】（1）∵∠AOB=90°,∠OCD=40°，∴∠CDO=90°-∠ODD=90°-40°=50°，∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO,∴∠DCE=12∠DCO=20°∴∠CED=180°-∠DCE-∠CDE=180°-20°-25°=135°，（2）證明：∵CE平分∠DCO，DE平分∠CDO,∴∠DCE=12∠DCO∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠DCE+∠EDF=45°，∵∠CFO=∠DCF+∠CDO=∠DCF+2∠EDF=∠EDF+45°，∴∠EDF=∠CFO-45°，∵∠CFO-∠GED=45°，∴∠GED=∠CFO-45°，∴∠EDF=∠GED，∴GE∥DO；（3）分情況討論：①當∠M=3∠N時，∵CM⊥CN，即∠MCN=90°，∴∠M+∠N=90°，∴∠N=1∵MN是∠COD的外角平分線所在直線，∴∠COM=1∴∠COM=1∵CE平分∠DCO，∴∠DCO=2∠NCO=45°，∴∴∠ADO=90°-45°=45°，∵DE平分∠CDO,∴∠CDE=1②當∠MCN=3∠N=90°時，∴∠N=30°，∵MN是∠COD的外角平分線所在直線，，∴∠COM=1∴∠NCO=∠COM-∠N=15°，∵CE平分∠DCO，∴∠DCO=2∠NCO=30°，∴∠ADO=90°-30°=60°，∵DE平分∠CDO，∴∠CDE=1綜上，∠CDE的度數為22.5°或30°．14．（24-25七年級·全國·階段練習）如圖1，已知AB∥CD，P是直線AB，CD外的一點，PF⊥CD于點F，PE交AB于點E，滿足(1)求∠AEP的度數；(2)如圖2，射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉，當PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉；射線EM從EA出發(fā)，以每秒9°的速度繞E點按順時針方向旋轉至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．若射線PN、射線EM同時開始運動，設運動時間為t秒．①當射線PN平分∠EPF時，求∠AEM的度數；②當直線EM與直線PN平行時，求t的值．【答案】(1)∠AEP=150°；(2)①27°或81°或135°；②27019【分析】此題考查了平行線的性質，三角形外角的性質．（1）根據平行線的性質及三角形外角可得答案；（2）①由角平分線的定義得∠EPN=30°，據此求出運動時間，即可求出∠AEM的度數；②由平行可得∠EPN=∠PEM，再根據動點表示出∠PEM=150°-9t°和【詳解】（1）解：如圖1，∵PF⊥CD，∴∠CFP=90°，∵AB∥∴∠AMP=∠CFP=90°，∵∠FPE=60°，∴∠AEP=∠AMP+∠FPE=60°+90°=150°；（2）解：∵射線EM從EA出發(fā)，以每秒9°的速度繞E點按順時針方向旋轉至EP后停止運動，此時射線PN也停止運動．∴t≤150°÷9°=50∵射線PN從PE出發(fā)，以每秒10°的速度繞P點按逆時針方向勻速旋轉，當PN到達PF時立刻返回至PE，然后繼續(xù)按上述方式旋轉；∴當t=60°10°=6時，PN第一次到達PF，當t=6×2=12時，PN第一次返回到PE，t=①當PN平分∠EPF時，∠EPN=30°時，∠AEM=9°×t=9t當0≤t≤6時，PN未到達PF之前，∠EPN=10°t=30°，運動時間t=3（秒），∴∠AEM=3×9°=27°；當6<t≤12時，PN繼續(xù)運動至PF時，立刻返回至PE，此時∠EPN=120°-10°t=30°，運動時間t=9（秒），∴∠AEM=9×9°=81°；當12<t≤503時，PN繼續(xù)運動至PE后，立刻返回至PF，此時∠EPN=10°t-120°=30°，運動時間∴∠AEM=15×9°=135°；綜上，∠AEM的度數為27°或81°或135°；②當直線EM與直線PN平行時，∠EPN=∠PEM，∵∠AEM=9°×t=9t∴∠PEM=∠AEP-∠AEM=150°-9t當0≤t≤6時，此時∠EPN=10t∴10t°=150°-9t°當6<t≤12時，此時∠EPN=120°-10°t，∴120°-10°t=150°-9t°，解得當12<t≤503時，此時∠EPN=10°t-120°，∴10°t-120°=150°-9t°，解得t=27019，故答案為：2701915．（24-25七年級·廣東廣州·期中）如圖，∠ACF為△ABC的外角，射線CP、CQ分別三等分∠ACB，∠ACF且∠PCB=13∠ACB，∠QCF=13∠ACF，點D在邊AB上，過點D作線段DE∥BC，分別與AC、CP交于點E、(1)若∠A=45°，∠B=60°，則∠DPC=°，∠Q=°；(2)若∠A=α（其中α是固定值），當∠B的度數發(fā)生變化時，∠Q的度數是否發(fā)生變化？若有變化，說明理由；若不變化，求∠Q的度數（用α的代數式表示）；(3)若△PCQ中存在一個內角等于另一個內角的兩倍，請求出所有符合條件的∠A的度數．【答案】(1)135，15；(2)不變，∠Q=1(3)∠A的度數為60°或120°．【分析】（1）根據角度和差、倍分，三角形的內角和定理，三角形的外角性質即可求解；（2）根據角度和差、倍分，三角形的內角和定理，三角形的外角性質即可求解；（3）設∠A=α，分①當120°=2×13α；②當120°=2×60°-13α；③本題考查了角度和差，三角形的內角和定理，三角形的外角性質，平行線的性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵∠A=45°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=75°，∴∠PCB=1∵DE∥∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠PCB=25°，∵∠PDE=1∴∠PDE=20°，∴∠DPC=180°-∠PDG-∠PGD=180°-20°-25°=135°，∵∠ACF=∠A+∠B=45°+60°=105°，∴∠QCF=35°，∴∠PCQ=180°-∠PCB-∠QCF=180°-25°-35°=120°，∴∠Q=∠DPC-∠PCQ=135°-120°=15°，故答案為：135，15；（2）解：不變，∠Q=1∵DE∥∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB，∵∠PCB=13∠ACB∴∠PDG+∠PGD=1∵∠B+∠ACB=180°-∠A=180°-α，∴∠PDG+∠PGD=1∴∠QPC=∠PDG+∠PGD=60°-1∵∠PCB=13∠ACB∴∠PCB+∠QCF=1∴∠PCQ=120°，∴∠Q=180°-∠PCQ-∠QPC=180°-120°-60°-（3）設∠A=α，由（2）得：∠PCQ=120°，∠Q=13α∴①當120°=2×13α②當120°=2×60°-③當60°-13α=2×④當2×60°-13綜上可知：∠A的度數為60°或120°．16．（24-25七年級·安徽蚌埠·期中）如圖，在△ABC中，點D在AB上，過點D作DE∥BC，交AC于點E．DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點P，CP與DE相交于點G，∠ACF的平分線CQ與DP的延長線相交于點Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=_____°，∠Q=(2)若∠A=α，當∠B的度數發(fā)生變化時，∠DPC，∠Q的度數是否發(fā)生變化？若要變化，說明理由；若不變化求出∠DPC，(3)若△PCQ中存在一個內角等于另一個內角的2倍，則所有符合條件的∠A的度數為_____．【答案】(1)115，25；(2)不變化，∠DPC=90°+12α，(3)60°或90°或120°．【分析】（1）先求出∠ACB=80°，根據角平分線的定義及平行線的性質得∠BCP=35°，∠PDG=30°，然后根據三角形的內角和定理可得出∠DPC的度數；根據角平分線的定義及鄰補角的定義得∠PCQ=90°，進而可得出∠Q的度數；（2）根據角平分線的定義及平行線的性質得∠PDG+∠PGD=12(∠B+∠ACB)，根據三角形內角和定理得∠B+∠ACB=180°-α，則∠PDG+∠PGD=90°-12α，進而可得出（3）由（1）（2）可知∠QPC=90°-12α，∠Q=12α，∠PCQ=90°，根據當若△PCQ中存在一個內角等于另一個內角的2倍，有以下4中情況：①當∠PCQ=2∠Q時，②當∠PCQ=2∠QPC時，③當∠QPC=2∠Q時，④當本題考查平行線的性質，角平分線的定義，三角形內角和定理，準確識圖，理解角平分線定義，熟練掌握平行線的性質，靈活運用三角形的內角和定理進行計算是解決問題的關鍵．【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，∴∠ACB=180°-(∠A+∠B)=70°，∵CP平分∠ACB，∴∠BCP=∠ACP=1∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°，∵DP平分∠ADE，∴∠PDG=1在Rt△DPG中，∠DPC=180°-(∠PDG+∠PGD)=180°-(30°+35°)=115°∴∠QPC=180°-∠DPC=65°，∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，∴∠ACP=12∠ACB∴∠PCQ=∠ACP+∠ACQ=1∵∠ACF+∠ACB=180°∴∠PCQ=90°，在△PCQ中，∠Q=180°-(∠PCQ+∠QPC)=180°-(90°+65°)=25°，故答案為：115；25；（2）解：∠DPC、∠Q均不發(fā)生變化，∠DPC=90°+12α∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠BCP，∴DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，∴∠PDG=12∠ADE=∴∠PDG+∠PGD=1在△ABC中，∠A=α，∴∠B+∠ACB=180°-α，∴∠PDG+∠PGD=90°-1在△DPG中，∠DPC=180°-(∠PDG+∠PGD)=180°-(90°-1∴∠QPC=180°-∠DPC=180°-(90°+1由（1）可知：∠PCQ=90°，∴在△PCQ中，∠Q=180°-(∠PCQ+∠QPC)=180°-(90°+90°-1（3）解：由（1）（2）可知：在△PCQ中，∠QPC=90°-12α，∠Q=∴當若△PCQ中存在一個內角等于另一個內角的2倍時，有以下4中情況：①當∠PCQ=2∠Q時，則90°=2×1解得：α=90°；②當∠PCQ=2∠QPC時，則90°=2(90°-1解得：α=90°；③當∠QPC=2∠Q時，則90°-1解得：α=60°；④當∠Q=2∠QPC時，則12解得：α=120°，綜上所述：若△PCQ中存在一個內角等于另一個內角的2倍時，∠A的度數為60°或90°或120°，故答案為：60°或90°或120°．17．（23-24七年級·湖南永州·期末）在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“一個含30°的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數學活動．已知兩直線a、b，且a∥b，直角三角尺ABC中，∠BCA=90°，(1)【操作發(fā)現】如圖（1），當三角尺的頂點B在直線b上時，若∠1=55°，則∠2=__________；(2)【探索證明】如圖（2），當三角尺的頂點C在直線b上時，請寫出∠1與∠2間的數量關系，并說明理由；(3)【拓展應用】如圖（3），把三角尺的頂點B放在直線b上且保持不動，旋轉三角尺，點A始終在直線BD（D為直線b上一點）的上方，若存在∠1=5∠CBD∠CBD<60°，請求出射線BA與直線a【答案】(1)35(2)∠2-∠1=120°，理由見解析(3)80°或30°【分析】（1）過點C作CD∥a，先證CD∥a∥b，從而得∠2=∠ACD，∠1=∠BCD，則∠1+∠2=∠ACD+∠BCD=∠BCA，再根據∠BCA=90°，∠1=55°可求出∠2的度數；（2）先求出∠B=60°，由（1）可知∠B=∠1+∠3，再由平角的定義得∠2+∠3=180°，據此可得∠1與（3）依題意可分為以下兩種情況：①當BC在直線BD的上方時，先求出∠ABC=60°，設∠CBD=α，則∠1=5∠CBD=5α，由平角的定義得∠1+∠ABC+∠CBD=180°，即5α+60°+α=180°由此求出α=20°，進而得∠1=5α=100°，然后根據平行線的性質可求出∠2的度數；②當BC在直線BD的下方時，同理得∠ABC=60°，設∠CBD=α，則∠1=5∠CBD=5α，進而得∠ABD=60°-α，由平角的定義得∠1+∠ABD=180°，即5α+60°-α=180°，由此解出α=30°，進而得∠1=5α=150°，然后根據平行線的性質可求出∠2的度數；綜上所述可得射線BA與直線a所夾銳角的度數．此題主要考查了平行線的判定和性質，準確識圖，熟練掌握平行線的性質是解決問題的關鍵．【詳解】（1）解：過點C作CD∥a，如圖1所示：∵直線a∥b，∴CD∥a∥b，∴∠2=∠ACD，∠1=∠BCD，∴∠1+∠2=∠ACD+∠BCD=∠BCA，∴∠2=∠BCA-∠1，∵∠BCA=90°，∠1=55°，∴∠2=90°-55°=35°，故答案為：35．（2）解：∠1與∠2間的數量關系是：∠2-∠1=120°，理由如下：如圖2所示：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，∴∠B=90°-∠BAC=60°，由（1）可知：∠B=∠1+∠3，∴∠1+∠3=60°，∴∠3=60°-∠1，∵∠2+∠3=180°，∴∠2+60°-∠1=180°，即∠2-∠1=120°，（3）解：依題意有以下兩種情況：①當BC在直線BD的上方時，如圖3所示：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，∴∠ABC=90°-∠BAC=60°，設∠CBD=α(∠CBD<60°)，則∠1=5∠CBD=5α，∵點B在直線b上且保持不動，∴∠1+∠ABC+∠CBD=180°，∴5α+60°+α=180°，解得：α=20°，∴∠1=5α=100°，∵直線a∥b，∴∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=80°，②當BC在直線BD的下方時，如圖4所示：同理得：∠ABC=60°，設∠CBD=α(∠CBD<60°)，則∠1=5∠CBD=5α，∴∠ABD=∠ABC-∠CBD=60°-α，∵點B在直線b上且保持不動，∴∠1+∠ABD=180°，∴5α+60°-α=180°，解得：α=30°，∴∠1=5α=150°，∵直線a∥b，∴∠1+∠2=180°，∴∠2=180°-∠1=30°，綜上所述：射線BA與直線a所夾銳角的度數為80°或30°．18．（23-24七年級·四川瀘州·階段練習）已知直線AM∥BN，點P是直線AM上的一個動點（不與點A重合），BC平分∠PBN，交直線AM于點C．(1)如圖1，當點P在點A左側時，若∠CPB=40°，求∠PCB的度數；(2)若∠MAB=60°，BD平分∠PBA，交直線AM于點D．①如圖2，若點P在點A左側運動時，∠DBC的度數是否會發(fā)生變化？若不變，求出該度數；若變化，請說明理由；②∠ADB與∠ABC之間存在怎樣的數量關系？請直接寫出結論，不必說明理由．【答案】(1)70°(2)①點P在點A左側運動時，∠DBC的度數不會發(fā)生變化，∠DBC=60°，理由見解析；②∠ADB與∠ABC之間的關系為∠ADB=∠ABC或∠ADB+∠ABC=180°【分析】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關鍵．（1）延長NB到E，由平行線的性質可得∠PBE=∠CPB=40°，求出∠PBN=140°，由角平分線的定義得出∠CBN=1（2）①延長NB到E，設∠ABD=α，由角平分線的定義得出∠PBD=∠ABD=α，∠APB=2α，由平行線的性質得出∠EBA=∠MAB=60°，從而得出∠EBP=∠EBA-∠ABP=60°-2α，求出∠PBN=120°+2α，由角平分線的定義得出∠PBC=12∠PBN=60°+α，再由∠DBC=∠PBC-∠PBD計算即可得出答案；②分兩種情況：當點P在點A的左側時，延長NB至E；當點P在點A的右側時，延長NB【詳解】（1）解：如圖，延長NB到E，∵AM∥BN，∠CPB=40°，∴∠PBE=∠CPB=40°，∴∠PBN=180°-∠PBE=140°，∵BC平分∠PBN，∴∠CBN=1∵AM∥BN，∴∠PCB=∠CBN=70°；（2）解：①點P在點A左側運動時，∠DBC的度數不會發(fā)生變化，∠DBC=60°，理由如下：如圖，延長NB到E，設∠ABD=α，∵BD平分∠PBA，∴∠PBD=∠ABD=α，∠APB=2α，∵AM∥BN，∠MAB=60°，∴∠EBA=∠MAB=60°，∴∠EBP=∠EBA-∠ABP=60°-2α，∴∠PBN=180°-∠EBP=180°-60°-2α∵BC平分∠PBN，∴∠PBC=1∴∠DBC=∠PBC-∠PBD=60°+α-α=60°；②∠ADB與∠ABC之間的關系為∠ADB=∠ABC或∠ADB+∠ABC=180°，當點P在點A的左側時，延長NB至E，如圖，設∠ABD=α，∵BD平分∠PBA，∴∠PBD=∠ABD=α，∠APB=2α，∵AM∥BN，∠MAB=60°，∴∠EBA=∠MAB=60°，∴∠EBP=∠EBA-∠ABP=60°-2α，∴∠PBN=180°-∠EBP=180°-60°-2α∵BC平分∠PBN，∴∠PBC=1∴∠ABC=∠PBC-∠ABP=60°+α-2α=60°-α，∴∠ADB=∠ABC；當點P在點A的右側時，延長NB至E，如圖，設∠ABD=α，∵BD平分∠PBA，∴∠PBD=∠ABD=α，∠APB=2α，∵AM∥BN，∠MAB=60°，∴∠EBA=∠MAB=60°，∴∠EBD=∠EBA+∠ABD=60°+α，∵AM∥BN，∴∠ADB+∠EBD=180°，∴∠ADB=180°-∠EBD=180°-60°+α∵∠EBA=∠MAB=60°，∠APB=2α，∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=60°+2α，∴∠PBN=180°-∠EBP=180°-60°+2α∵BC平分∠PBN，∴∠PBC=1∴∠ABC=∠PBC+∠ABP=60°-α+2α=60°+α，∴∠ADB+∠ABC=120°-α+60°+α=180°；綜上所述，∠ADB與∠ABC之間的關系為∠ADB=∠ABC或∠ADB+∠ABC=180°．19．（23-24七年級·吉林白城·階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，已知Aa,0、Bb,0、C0,4，且a、b滿足a+22+b-4=0．平移線段AB得到線段CD，使點A與點C對應，點B

(1)求a、b的值，并直接寫出點D的坐標；(2)已知點P是射線AB上的點（不與點A、B重合），連接PC、PD．①是否存在點P，使三角形PCD的面積是三角形PBD的面積的2倍？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由；②設∠PCA=α，∠PDB=β，∠DPC=θ．請直接寫出α、β、θ之間滿足的關系式．【答案】(1)a=-2，b=4，點D的坐標為6,4(2)①存在．點P的坐標為1,0或7,0；②當點P在線段AB上時，α、β、θ滿足的關系式為θ=α+β；當點P在線段AB的延長線上時，α、β、θ滿足的關系式為θ=α-β【分析】（1）由a、b滿足的關系式，利用二次根式的雙重非負性和任何數的平方都大于等于0求出a、b，再根據題意即可求出點D的坐標；（2）根據題意設出點P坐標，結合A點和B點坐標求出PB，利用三角形面積公式建立方程求解即可；根據題意得；AB∥CD，AC∥BD，過點P作【詳解】（1）解：∵a+22∴a+2=0，b-4=0，∴a=-2，b=4，又∵線段AB平移得到線段CD，且點A與點C對應，點B與點D對應，∵A-2,0平移到C0,4，0--2∴變化過程是向右平移2個單位，再向上平移4個單位，∴B4,0平移到D點，4+2=6∴D6,4（2）①存在．設點Pm,0，則PB=∵S△PCD=1∴2×12×4m-4=12，即m-4∴存在點P，使三角形PCD的面積是三角形PBD的面積的2倍，此時點P的坐標為1,0或7,0．②當P點在AB上時，如圖，過點P作AC∥PE，

∵AC∥BD，AC∥PE∴BD∥PE∴∠PCA=∠CPE，∠PDB=∠DPE，又∵∠DPC=∠CPE+∠DPE，∴∠DPC=∠PCA+∠PDB，∵∠PCA=α，∠PDB=β，∠DPC=θ，∴θ=α+β；當P點在AB的延長線時，如圖，過點P作AC∥PE

∵AC∥BD，AC∥PE∴BD∥PE∴∠PCA=∠CPE，∠PDB=∠DPE，又∵∠DPC=∠CPE-∠DPE，∴∠DPC=∠PCA-∠PDB，∵∠PCA=α，∠PDB=β，∠DPC=θ，∴θ=α-β．【點睛】本題考查了平面直角坐標系與幾何圖形的綜合運用，平行線的性質運用，掌握平面直角坐標系中平移的性質是解題的關鍵，學會構造合適的輔助線使解答更容易．20．（23-24七年級·江蘇泰州·周測）新定義：在△ABC中，若存在一個內角是另外一個內角度數的n倍（n為大于1的正整數），則稱△ABC為n倍角三角形．例如，在△ABC中，∠A=100°，∠B=50°，∠C=30°，可知∠A=2∠B，所以(1)在△DEF中，∠E=40°，∠F=35°，則△DEF為(2)已知：在圖中直線AB、CD被直線EF所截交點分別為E、F，AB∥CD，∠BEF與△EFG是6倍角三角形，求∠AEF．(3)如圖，△AOB頂點在直線MN上的O處，P為MN上方一點，∠AON=13∠PON，∠BOM=1(4)在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一個2倍角三角形，又可以是一個3倍角三角形，求∠A的度數．【答案】(1)3(2)30°或150°或10807°(3)既是2倍角三角形，也是8倍角三角形，理由見解析(4)18°或20°或30°【分析】（1）利用三角形內角和定理求出∠D的度數即可得到答案；（2）先根據平行線的性質和角平分線的定義求出∠EFG+∠FEG=90°，則∠G=90°，然后分四種情況討論求解即可；（3）根據∠AON=13∠PON，從而得到∠AOB=∠POB+∠POA=120°，再由三角形內角和定理可得∠A=45°，由此即可得到結論；（4）分當∠B=2∠A，∠C=3∠A時，當∠B=2∠A，【詳解】（1）解：∵在△DEF中，∠E=40°，∴∠D=180°-∠E-∠F=105°，∴∠D=3∠F，∴△DEF為3倍角三角形，故答案為：3；（2）解：∵AB∥CD，∴∠AEF=∠DFE，∵EG，FG分別是∴∠EFG=1∴∠EFG+∠FEG=1∴∠G=180°-∠FEG-∠EFG=90°，當∠G=6∠EFG時，則∠EFG=15°，∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=30°；當∠G=6∠FEG時，則∠FEG=15°，∴∠AEF=∠DFE=180°-∠BEF=180°-2∠FEG=150°；當∠EFG=6∠FEG，則∠EFG=540∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=1080當∠FEG=6∠EFG，則∠EFG=90∴∠AEF=∠DFE=2∠EFG=180綜上所述，∠AEF的度數為30°或150°或10807°或（3）解：既是3倍角三角形，也是8倍角三角形，理由如下：∵∠AON=13∴∠POA+∠POB=2∠AON+∠BOM∵∠AON+∠POA+∠BOM+∠POB=180°，∴∠AON+∠BOM+2∠AON+∠BOM∴∠AON+∠BOM=60°，∴∠AOB=∠POB+∠POA=2∠AON+∠BOM∵∠B=15°，∴∠A=180°-15°-120°=45°，∴∠A=3∠B，∠AOB=8∠B，∴△ABC既是3倍角三角形，也是8倍角三角形；（4）解：∵在△ABC中，∠A<∠B<∠C，若△ABC既可以是一個2倍角三角形，又可以是一個3倍角三角形，∴當∠B=2∠A，∠C=3∠A時，∵∴∠A+2∠A+3∠A=180°，∴∠A=30°；當∠B=2∠A，∠C=3∠B時，同理可求得當∠B=3∠A，∠C=2∠B時，同理可求得綜上所述，∠A的度數為18°或20°或30°．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內角和定理，平行線的性質，正確理解題意是解題的關鍵．21．（23-24七年級·北京·期中）已知AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點E、F，點G為落在直線AB和直線CD之間的一個動點．(1)如圖1，點G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點，則∠EGF=____________；(2)若點G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點，有如下結論：①∠EGF一定為鈍角；②∠EGF可能為60°；③若∠EGF為直角，則EF⊥CD．其中正確結論的序號為____________；(3)進一步探索，若EF⊥CD，且點G不在線段EF上，記∠AEG=α,∠CFG=β，EM為∠AEG最接近EG的n等分線，FN是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2）．直線EM、FN交于點Pn，是否存在某一正整數n，【答案】(1)90°(2)②③(3)不存在某一正整數n，使得∠EP【分析】（1）根據平行線的性質可得∠BEF+∠DFE=180°，再根據角平分線的定義可得∠EBF+∠DFE=90°，即可求解；（2）當∠FEG=23∠BEF，∠EFG=23∠EFD時，可得∠FEG+∠EFG=23∠BEF+∠EFD=120°，從而得到∠EGF=60°，故①錯誤；②正確；若∠EGF為直角，則∠FEG+∠EFG=90°（3）根據題意可得∠AEM=n-1nα,∠CFN=1nβ．然后分兩種情況討論：當G在EF左側，此時α<90°,β<90°,Pn必在【詳解】（1）解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，∵點G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點，∴∠EBF=2∠FEG，∠DFE=2∠EFG，∴∠EBF+∠DFE=90°，∴EGF=90°；故答案為：90°（2）解：∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE=180°，當∠FEG=23∠BEF，∠EFG=∠FEG+∠EFG=23∴∠EGF=60°，∴∠EGF不一定為鈍角；∠EGF可能為60°；故①錯誤；②正確；若∠EGF為直角，則∠FEG+∠EFG=90°，∴∠FEG=23∠BEF,∠EFG=當∠FEG=2∴23∠BEF+1∴∠DFE=270°-2∠BEF，∵∠BEF+∠DFE=180°，∴∠BEF=90°，即EF⊥AB，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，當∠FEG=1同理得∠DFE=90°，即EF⊥CD，∴若∠EGF為直角，則EF⊥CD．故③正確；故答案為：②③（3）解：不存在某一正整數n，使得∠EP理由如下：∵EM為∠AEG最接近EG的n等分線，FN是∠CFG最接近CF的n等分線，∴∠AEM=n-1當G在EF左側，此時α<90°,β<90°,Pn必在EF左側，如圖過Pn作P∵AB∥CD，∴Pn∴∠E=即∠EP當G在EF右側，此時α>90°,β>90°，若n-1nα<90°，則Pn在EF同理可得∠EPnF=若n-1nα=90°，則Pn與F若n-1nα>90°，則Pn在EF過Pn作P∵AB∥CD，∴P∴∠E==∵n-1n∴180°-n-1即∠EP綜上所述，不存在某一正整數n，使得∠EP【點睛】本題主要考查了平行線的性質，有關角平分線的計算，三角形的內角和定理等知識，熟練掌握平行線的性質，有關角平分線的計算，三角形的內角和定理等知識，并利用分類討論思想解答是解題的關鍵．22．（23-24七年級·河南信陽·期末）如圖1，直線DE上有一點O，過點O在直線DE上方作射線OC．將一直角三角板AOB（∠OAB＝30°）的直角頂點放在點O處，一條直角邊OA在射線OD上，另一邊OB在直線DE上方．將直角三角板繞著點O按每秒10°的速度逆時針旋轉一周，設旋轉時間為t秒．（1）當直角三角板旋轉到如圖2的位置時，OA恰好平分∠COD，此時，∠BOC與∠BOE之間有何數量關系？并說明理由．（2）若射線OC的位置保持不變，且∠COE＝140°．①則當旋轉時間t＝秒時，邊AB所在的直線與OC平行？②在旋轉的過程中，是否存在某個時刻，使得射線OA，OC與OD中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請求出所有滿足題意的t的取值．若不存在，請說明理由．③在旋轉的過程中，當邊AB與射線OE相交時（如圖3），求∠AOC-∠BOE的值．【答案】（1）∠BOC＝∠BOE，見解析；（2）①7或25；②存在，t的值為2，8，32；③∠AOC-∠BOE的值為50°【分析】（1）由∠AOB＝90°知∠BOC+∠AOC＝90°、∠AOD+∠BOE＝90°，根據角平分線的定義得出∠AOD＝∠AOC，即可得答案；（2）①由∠COE＝140°知∠COD＝40°，分AB在直線DE上方和下方兩種情況，根據平行線的性質分別求得∠AOD度數，從而求得t的值；②當OA平分∠COD時∠AOD＝∠AOC、當OC平分∠AOD時∠AOC＝∠COD、當OD平分∠AOC時∠AOD＝∠COD，分別列出關于t的方程，解之可得；③由∠AOC=∠COE-∠AOE=140°-∠AOE、∠BOE=90°-∠AOE即可得出∠AOC-∠BOE的結果．【詳解】解：（1）∠BOC＝∠BOE；∵∠AOB＝90°，∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∵OA平分∠COD，∴∠AOD＝∠AOC，∴∠BOC＝∠BOE；（2）①∵∠COE＝140°，∴∠COD＝40°，如圖1，當AB在直線DE上方時，∵AB∥OC，∴∠AOC＝∠A＝30°，∴∠AOD＝∠AOC+∠COD＝70°，即t=70°如圖2，當AB在直線DE下方時，∵AB∥OC，∴∠COB＝∠B＝60°，∴∠BOD=∠BOC-∠COD=20°，則∠AOD＝90°+20°＝110°，∴t＝360°-110°10°故答案為：7或25；②由題可知∠COD=40°,∠AOD=10t°,當OA平分∠COD時，∠AOD=∠AOC=即10t＝20，解得t＝2；當OC平分∠AOD時，∠AOC=∠COD=1即10t=2×40，解得t＝8；當OD平分∠AOC時，∠AOD=∠COD=40°，∠AOD=360°-10t°,即360﹣10t＝40，解得：t＝32；綜上，t的值為2、8、32；③∵∠AOC=∠COE-∠AOE=140°-∠AOE，∠BOE=90°-∠AOE，∴∠AOC-∠BOE=(140°-∠AOE)-(90°-∠AOE)=50°，∴∠AOC-∠BOE的值為50°．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，同角（或等角）的余角相等以及角的計算，根據題意全面分析，分類討論是解題關鍵．23．（24-25七年級·上?！て谥校⒁桓比前逯械膬蓧K直角三角尺的直角頂點C按如圖1方式疊放在一起，其中∠A=60°，(1)填空：∠1與∠3的數量關系_______；理由是_______；(2)直接寫出∠2與∠ACB的數量關系_______；(3)如圖2，當點E在直線AC的上方時，將三角尺ACD固定不動，改變三角尺BCE的位置，但始終保持兩個三角尺的頂點C重合；探究一下問題：①當BE∥AD時，畫出圖形，并求出∠ACE的度數；②這兩塊三角尺是否仍存在一組邊互相平行？請直接寫出此時∠ACE角度所有可能的值并畫出對應的圖形．【答案】(1)∠1=∠3，同角的余角相等(2)∠2+∠ACB=180°(3)①圖見解析，165°；②存在，圖見解析，∠ACE的度數為30°或45°或120°或135°【分析】本題主要考查了平行線的判定與性質，幾何圖形中的角度計算，余角的性質．數形結合并分類討論是解題的關鍵．（1）由題意知，∠1+∠2=90°=∠2+∠3，則∠1=∠3，然后作答即可；（2）由題意知，∠ACB=∠1+90°，∠1+∠2=90°，則∠2+∠ACB=∠2+∠1+90°=180°，然后作答即可；（3）①當BE∥AD時，如圖1，作CF∥AD，則CF∥