高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)練習(xí)題

一、解答題

1.已知函數(shù),/'(》)=4把“-(》+1)2(。€11,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴若"X)在x=0處的切線與直線片ax垂直，求a的值；

(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑶當時，求證：/(x)>lnx-x2-x-2.

2.已知函數(shù)f(x)=；x3-x2+3ar

⑴若/")在點(1J(D)處切線的傾斜角為:，求“的值；

⑵若。=-1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

3.已知函數(shù)/(x)=(x-l)e*-gax2(aeR)

⑴討論〃x)的單調(diào)性；

⑵若/(x)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

,1

4.已知函數(shù)/(x)=alnx+萬'-(a+Dx+a+emeR)有一個大于1的零點%.

⑴求實數(shù)a的取值范圍；

(2)證明：對任意的xe(Lx0],者B有alnx—x+l>0恒成立.

5.已知橢圓C:J+/l(a>人>0)的離心率是多與心分別是橢圓C的左、

右焦點，以線段|耳段為直徑的圓的內(nèi)接正三角形的邊長為新.

⑴求橢圓C的標準方程；

⑵已知點尸(疝2佝，直線/：y=x+，"與橢圓C交于小B兩點，求△PA8面積的

最大值.

6.已知函數(shù)八用=任+2-。卜，.

⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；

⑵若天€(0,+<?),/*)2-4恒成立，求整數(shù)a的最大值.

7.已知函數(shù)/(x)=J+S-Dx+1

a

⑴當a=g6=7時，求曲線y=在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)當。=1時，〃x)N2恒成立，求b的值.

8.已知函數(shù)f(x)=alnx+/,其中as/?且awO.

⑴討論/(X)的單調(diào)性；

⑵當4=1時，證明：/(x)<x2+x-l；

(3)求證:對任意的〃eN*且〃22,都有:

[1+泉)(1+*)(1+染]..(1+/]<€.(其中e*2.718為自然對數(shù)的底數(shù))

9.已知函數(shù)〃x)="三"工(切>0).

⑴判斷“X)的單調(diào)性；

(2)若對“,々小2],不等式|/。)-/(七)|葉恒成立，求實數(shù)〃，的取值范圍.

10.設(shè)函數(shù)“工人//+?-31nx+l,其中q>0.

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若y=/(x)的圖象與x軸沒有公共點，求。的取值范圍.

【參考答案】

一、解答題

1.(1)^=1

(2)答案見解析

⑶證明見解析

【解析】

【分析】

(1)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再由直線的位置關(guān)系可求解；

(2)由于尸(x)=(x+D(“e,-2),令廣3=0,得x=-l或尤=ln],通過比較兩個

值分類討論得到單調(diào)區(qū)間；

(3)方法一：通過單調(diào)性，根據(jù)求最值證明；方法二：運用放縮及同構(gòu)的方法

證明.

⑴

尸(x)=(x+1)(ae,—2),貝lj尸(0)=a—2,

由已知(。-2)a=—l,解得a=l

⑵

r(x)=(x+D8-2)

(i)當aVO時，ae，—2v0,

所以尸(x)>0=>x<T,/'(x)<0=x>-1,

則/(x)在(7,-1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

2

(ii)當。>0時，令ae*-2=0,得x=ln-,

a

2

①0vav2e時，In—>-1,

a

??

所以廣。)>0=工<-1或x>In—,/'(無)<0=-1<x<ln—,

aa

則F(X)在(y,-l)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞

增；

②a=2e時，r(x)=2(x+D(eZ-l”0,則/(x)在(《,+?>)上單調(diào)遞增；

2

③)a>2e時，In—<—1,

a

22

所以/'(工)>。=>工<1口一或%>一1,f\x)<0^>ln—<x<-l,

aa

則/(X)在In上單調(diào)遞增，在1上單調(diào)遞減，在(T+8)上單調(diào)遞

增.

綜上，“V0時，/(X)在(9,-1)上單調(diào)遞增，在(-L+OO)上單調(diào)遞減；

0<a<2e時，/(X)在(YO,-1)上單調(diào)遞增，在(T,In"上單調(diào)遞減，在(lnj+8)上

單調(diào)遞增；

a=2e時，f(x)在(—,+8)上單調(diào)遞增；

a>2e時，f(x)在(5用上單調(diào)遞增，在［上單調(diào)遞減，在㈠收)上單

調(diào)遞增.

⑶

方法一：

/(x)>\nx-x2-x-2(x>0)等價于axt.x-lnx-x+1>0(x>0)

當。之3時，urex-lnx-x+l>xex-2-lnx-x+l(x>0)

e

令g(x)=xex~2-lnx-x+l,^'(x)=(x+l)^eA-2

令h(x)=ev-2--,則〃(x)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增

X

'：/?(1)=1-1<0,/J(2)-->0,

e2

，存在及e(l,2),使得在飛)=0,即力-2=-,x°-2=-lnx°

X()

當xw(O,$)時,g'(x)<0,則g(x)在(0,%)上單調(diào)遞減,

當_￥€伍,+00)時，g?X)>0,則g(X)在?,4W)上單調(diào)遞增

Xe2

/.g(X)min=g(%)=0"-Inx0-x0+1=x0---Fxo-2-XQ+1=0

/.g(x)>0,^￡/(x)>lnx-x2-x-2

方法二：

當a2■時，axex-lnx-x+l>xex~2-Inx-x+l(x>0)

e-

g(x)=xe*--\nx-x+\=elnx+x-2-(Inx+x-2)-l

令/=lnx+x-2,則fwR,

令Jt(f)=e'T-1,則/⑺=e—l

當/<0時，m<o；當r>o時，m>o

...以。在區(qū)間(—,0)上單調(diào)遞減，(0，-)上單調(diào)遞增.

:.k(t)>4(0)=0,即g(x)>0

/./(x)>\nx-x1-x-2,

【關(guān)鍵點點睛】

解決本題的關(guān)鍵：一是導(dǎo)數(shù)幾何意義的運用，二是通過導(dǎo)函數(shù)等于零，比較方

程的根對問題分類討論，三是隱零點的運用及放縮法的運用.

2

2.(l)f

(2)單調(diào)增區(qū)間為：ST),(3,位)；單調(diào)減區(qū)間為:(-1,3)

【解析】

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得答案；

(2)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，解相應(yīng)不等式，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

⑴

由/(x)=g/-Y+3以，可得/'(x)=/-2x+3a,

故由/*)在點(1，/(D)處切線的傾斜角為￡得ra)=1,

4

2

即1-2+3〃=1,a=§；

⑵

。=-1口寸，/(x)=~x3-x2-3x,f'(x)=x2-2x-3,

令尸(X)=M-2X-3>0,則X<-1或X>3,

^f'(x)=x2-2x-3<0,則Jvxv3,

故/(x)的單調(diào)增區(qū)間為：(9,-1),(3,+a))；單調(diào)減區(qū)間為:(-1,3).

3.⑴答案見解析

(2)?<0

【解析】

【分析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù)尸(x)=x(e*-a),對。分aVO、0<a<l>4=1、“>1四種情況討

論即可求解；

(2)由(1)問結(jié)論，對"分〃<0、4=0、4=1、0<"1、a>l討論即可得答案.

⑴

解：f'(x)=e*+(x-l)ev-ax=x(e'-a),

若HO,則當xe(—,0)時，fXx)<0,當x?0,4w)時/(力>0,

所以f(x)在(f,0)上單調(diào)遞減，在(0,+巧上單調(diào)遞增；

若a>。,由/'(*)=0得x=0或x=山”，

①若。=1,則/(x)=x(e,-l)NO,所以/*)在(f,4w)上單調(diào)遞增；

②若0<a<l,則lna<0,當彳僅9?切口?！?時，/'(x)>0；當xe(lna,O)時，

/(力<0，

所以fM在(YO,Ina)和(0,+<?)上單調(diào)遞增，在(山a,0)上單調(diào)遞減；

③若">1,則lna>0,當》€(wěn)(,,0)5111〃,”)時，/'(司>0；當xe(OJna)時，

f'(x)<0,

所以/(x)在(f,0)和(Ina,+8)上單調(diào)遞增，在(0,Ina)上單調(diào)遞減；

綜上，當aMO時，/5)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,—)上單調(diào)遞增；

當時，/(處在(3,lna)和(0,內(nèi))上單調(diào)遞增，在(Ina,0)上單調(diào)遞減；

當a=l時，/(x)在(9,+<?)上單調(diào)遞增；

當a>l時，/*)在(-8,0)和(Ina,+00)上單調(diào)遞增，在(0,Ina)上單調(diào)遞減；

(2)

解：當a<o時，由(1)知，/*)在(TO,0)上單調(diào)遞減，在(O,y)上單調(diào)遞增，

X/(O)=-l<O,/(l)=-1a>O,取b滿足b<-3且6<ln(-a),貝lj

f(b)>-a(b-])--ab2=^a[b2+2b-2)>0,

所以/(x)有兩個零點；

當a=0時，令f(x)=(x-l)e，=O,解得x=0,所以/(x)只有一個零點；

當。=1時，令/(x)=x(e*-l)=O,解得x=0,所以/(幻只有一個零點；

當0<“<1時，由(1)知，/(X)在(-co,In〃)和(0,+8)上單調(diào)遞增，在(Ina,0)上單調(diào)

遞減，

又/(。)=-1,當6=lna時，/(x)有極大值

f(6)=aS-l)-ga〃=_ga,2_?+2)<o,

所以/(x)不存在兩個零點；

當時，由(1)知，/")在(7,0)和(In兄”)上單調(diào)遞增，在(0,Ina)上單調(diào)遞

減，

當x=0時，Ax)有極大值40)=-1<0,所以Ax)不存在兩個零點；

綜上，a的取值范圍為。<0.

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題(2)問解題的關(guān)鍵是，當a<0時，取b滿足6<-3且

b<ln(—tz),彳導(dǎo)/(°)>-a(b—1)——ab~=+2b—2j>0.

4.(1)?>1

(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)先求導(dǎo),分和。>1進行討論，。>1時結(jié)合零點存在定理說明存在零點

即可；

(2)先構(gòu)造函數(shù)g(x)=〃lnx-x+l,求導(dǎo)證明函數(shù)先增后減，故只要說明兩個端

點大于0即可，

化簡得到g(%)=-*(題-2a+1),由/(20-1)>0借助fM的單調(diào)性說明

a<x0<2a-l,

即可得到g(%)>o.

⑴

/(x)，+x-(a+l)=OTa+Dx+J(xT)(xi),

XXX

①若aWl,則/(幻>0在(l,+oo)恒成立,即Ax)在(1,田)上單調(diào)遞增，

當x〉l時，/?>/(1)=(),與.f(x)有一個大于1的零點%矛盾.

②若。>1,令廣。)>0,解得0<x<l或x>a,令f(x)<0,解得Ka.

所以/(x)在(0,1)和(4，+(?)上單調(diào)遞增，在(1,。)單調(diào)遞減.

所以/(a)</⑴=0,當*-+8時，/(x)f+oo,由零點存在性定理，/(x)在3”)

上存在一個零點吃.

綜上，

(2)

g(x)=a\nx-x+\,gf(x)=--1=--由(1)知1<。%,令g'a)>0,

xx

解得Ivxv。，令/(幻<0,解得4℃0,故g(x)在(1,4)單調(diào)遞增，在(a,%)單調(diào)

遞減.

g(l)=0,g(%)=aln.%-x0+1

因為與為函數(shù)/(x)的零點，故/(%)=Qin/+￡-(〃+1)/+4+5=0,即

x21

(IInXQ=—+(a+1)XQ—<2—,

、X21X21

所以g(x())=〃l叫)_/+]=-■^+(6f+l)^0-6Z---x0+l=一_^-+axQ-a+-

=g(17o)(xo_2a+l).

又因為曲-1)=刎2加1)+y-3+1)所1)+嗎=刎2-1)3+2,

令/z(a)=aln(勿-l)-2a+2,則"(a)=ln(2a-1)+3--2=ln(2a-1)+—!——1,令

2a—12a—1

m(a)=In(2〃-1)H-------1,

2a-l

"①)=一(22n2=>o恒成立，

2a-\(2tz-l)(2a-\)

所以"(a)在(1,E)單調(diào)遞增，〃⑴=0,所以力5)在(1,3)單調(diào)遞增，

h{a}>h(\)=0,g|J/(2a-1)>0,

由(1)可知f(a)<0,所以a</<2a-l,

因為1<0,X?-2fl+1<0,所以g(x0)=g(l-Xo)(Xo-2“+1)>0,

所以g(x)>0在xe(1,即恒成立，

故對任意的xe(l，x°],者B有alnx-x+l>0恒成立.

【點睛】

本題關(guān)鍵點在于構(gòu)造函數(shù)g(x)="lnx-x+l后，如何說明g(x())=g(l-Xo)(Xo-2a+l)

大于0,

由f(2a-1)>0借助"X)的單調(diào)性說明",<2加1,即可得到g5)>0,即可得證.

工(回+白】；

【解析】

【分析】

⑴根據(jù)正弦定理可得*-=2c,根據(jù)離心率可得￡=也，據(jù)此可求出a、c,

sm60a2

再利用從=笳一/可求b,據(jù)此可求橢圓C的標準方程；

⑵利用點到直線距離公式求出P到直線/的距離d,聯(lián)立直線/與橢圓C的方

程，求出SAPAB=^-\AB\-d,研究表達式單調(diào)性判斷最大值即可.

⑴

a=2

由題可知，r-,

c=，2

.?"-2

X2V2

42

（2）

設(shè)A（3,yJ,8（毛,%）,

優(yōu)+匚1

由（42得，3/+4，m+2機2_4=0,

[y=%+機

2222

A=16/M-12X（2W-4）=-8/M+48>0,m<6,即一"<m<5/6,

4nr2tn2-4

***玉+%2=--Y，%九2=~~~—，

22

\AB\=Vl+^-|Xj-x2\=yj\+k?J（X]+工2）~—4%[工2

_n~-116m2~~8m2-16_4,6-病

一+\~93--3-'

/r-x/6-2A/6+/n\/n-yJ6\

P（跖2⑹到直線/：X-y+m=0的距離為dJ

c_11A刊/_14&-加2+一"L血/以\[22

??S.PAB=-|AB|-J=-X-------X--j=-=—^\/6-mj\l6-m，

令指一相二[￡（0,2遙）,貝ljm=6一,

則S.0=[?八7-（R-A/6）2+6=4-"-J+2而）=*J-J+2而3,

令g⑺=-tA+2向3Je(0,2遙)，

貝1」8()=-4戶+6疝2=2*卜2.+3面)，

當0</<乎時，g'(/)>0,g。)單調(diào)遞增，

當乎<「<2而時，g'(f)<0,g⑺單調(diào)遞減，

故當仁亭，即,…當時，g(t)取最大值，取最大值，

S.B最大值為：變x［指+巫］x/-，逅［=巫.

3I2JVI2J2

6.(1)答案見解析

(2)4

【解析】

【分析】

(1)求得/(X),對。進行分類討論，由此求得〃x)的單調(diào)區(qū)間.

(2)由X6(0,位)J(X)2-4恒成立分離常數(shù)a,通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得

的取值范圍，從而求得整數(shù)。的最大值.

⑴

/(x)=(x2+2x+2-a)ex

①當時，f'(x"0恒成立，故Ax)在R上恒增；

②當。>1時，當xe(-8,T-G)時/'(x)>0,/(x)單調(diào)遞增，

xe(-1-yja-1,-1+\Ja-\)時f'(-X)<0,f(x)單調(diào)遞減，

*€(-1+病工y)時廣(》)>0,/(x)單調(diào)遞增，

綜上所述：當時，f(x)在R上恒增；

當a>1時，J(x)在(—so,-l-yJa-1)和(-1+y/a-l,+oo)上單調(diào)遞增,

在(-1-。a-1,-1+Ja-1)上單調(diào)遞減.

(2)

e,(x2+2)>a(eI-l),由于xw(0,+co),°產(chǎn)：+2),

e-1

ex(x2+2)，/、ev(2xer-x2-2x-2)

山)二二7〒，g*)=—E一，

令h(x)=2xe'-x2-2x-2,

//(x)=(e*-l)(2x+2),由于XG(0,”)，貝l」M(x)=(e'-l)(2x+2)>0,

故Mx)=2m*-爐-2x-2單調(diào)遞增,

吟)=|￡q_/2cm￡-4=聚_$<0，MD=2e-5>0,

所以存在%e￡1)使得力(%)=。，即2與e"，=年+2x0+2,

當天€(0,%)時/z(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當％e(Xo，+a>)時/i(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;

那么々海⑷二?(：。+2)=為2+2%+2,%嗎1),故4<gg)<g(%)<g⑴=5,

e，°—1

由于。為整數(shù)，則〃的最大值為4.

【點睛】

求解含參數(shù)不等式恒成立問題，可考慮分離常數(shù)法，然后通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合

導(dǎo)數(shù)來求得參數(shù)的取值范圍.

7.(l)y=2x+5

(2)6=0

【解析】

【分析】

(1)利用切點和斜率求得切線方程.

(2)由/(x)22恒成立構(gòu)造函數(shù)g(x)="x)-2,對2進行分類討論,結(jié)合g(x)

研究g(x)的最小值，由此求得》的值.

⑴

當a=，，0=_］時，/(x)=4e'-2x+l,則r(x)=4e、_2

4

又因為f(0)=5j(0)=2

所以曲線y=F(x)在點(o,/(0))處的切線方程為y-5=2(x-o),

即y=2x+5.

⑵

當a=l時，令函數(shù)g(x)=f(x)-2=e'+(。一l)x-l,

則恒成立等價于g(x)N0恒成立.

又g'(x)=e*+。-1,.

當621時,g'(x)=e*+6-l>0,,g(x)在R上單調(diào)遞增,顯然不合題意；

當1<1時,令8'。)=/+8-1<0,,得xcln(l-b).令g'(x)=e*+b-l>0,得

x>ln(l-￡>),

所以函數(shù)g(x)在(F/n(l-。))上單調(diào)遞減，在(ln(l-城內(nèi))上單調(diào)遞增，

所以當x=ln(l-勿時，函數(shù)g(x)取得最小值.

又因為g(0)=0,所以x=o為g(x)的最小值點.

所以ln(l-勿=0,解得6=0.

8.⑴答案見解析；

(2)證明見解析；

⑶證明見解析.

【解析】

【分析】

(1)求得f(x),對參數(shù)。進行分類討論，即可求得不同情況下函數(shù)的單調(diào)性;

(2)構(gòu)造函數(shù)g(x)=lnx-x+l,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，即可證明；

(3)根據(jù)(2)中所求得1J1+4]<二，結(jié)合累加法即可求證結(jié)果.

InJn

⑴

函數(shù)/⑴的定義域為(0，M),f'(x)=@+2x="支，

XX

①當a>0時，r(x)>0,所以Ax)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

②當"0時，令/'(為=0,解得x=j1,

當0<x<時，a+2x2<0,所以/'(x)<0,所以〃*)在上單調(diào)遞減，

當時，?+2X2>0,所以廣(X)>0,所以/(x)在上單調(diào)遞增.

綜上，當a>0時，函數(shù)/(x)在(0,+8)上調(diào)遞增；

當”0時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在[后,上單調(diào)遞增.

(2)

當a=l時，/(x)=lnx+x2,要證明f(x)4尤2+尢_1,

SPijElnx<x-l,BPInx—x+1<0,

1—V

設(shè)g(x)=lnx-x+l,貝ljg")=-—,令g，(x)=0得，可得x=l,

X

當xe(0,l)時，g，(x)>0,當時，g，(x)<0.

所以g(x)〈g⑴=0,即Inx-x+IWO,^f(x)<x2+x-l.

⑶

由(2)可得lnx4x-l,(當且僅當x=l時等號成立)，

令x=l+二，〃=1,2,3,…，貝11

<-T，

n~\n

，+，+1-—L-

1x22x3…(〃-1)〃

【點睛】

本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性，以及構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，

以及數(shù)列和導(dǎo)數(shù)的綜合，屬綜合困難題.

9.⑴單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為［叫-：，［2,+s）

⑵（。高

【解析】

【分析】

（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)的正負可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，

（2）由函數(shù)/（x）在［L2］上為增函數(shù)，求出函數(shù)的最值，則

g（，"—/（XU」"""?,然后將問題轉(zhuǎn)化為:j4-e）J”+2,從而可

e~ee~

求出實數(shù)用的取值范圍.

⑴

，/、-mx2+2（T??-1）X+4-