PAGEPAGE1二次方程根的分布與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值歸納

ax2

bx

0根的分布情況

bx

0a

x,x且x x，相應(yīng)的二次函數(shù)為

f x ax2

bx

0，方程的1 2 1 2根即為二次函數(shù)圖象與 x軸的交點(diǎn)，它們的分布情況見下面各表（每種情況對(duì)應(yīng)的均是充要條件）兩根與0的大小比較即根的正負(fù)情況）分 兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于 0布

兩個(gè)正根即兩根都大于 0

一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于 0，情 況

0,x2 0

x1 0,x2 0

一個(gè)大于0

0 x2大致圖象（a 0）得 0出 b的 0結(jié) 2a

0b 0 f0 02a論 f 0 0

f 0 0大致圖象（a 0）得 0出 b的 0結(jié) 2a

0b 0 f0 02a論 f 0 0

f 0 0綜合結(jié) 0b論b（ 0不 2a論討 af 0 0論a）

0b 0 a f0 02aa f 0 0k的大小比較）分 兩根都小于k即布情

兩根都大于k即

一個(gè)根小于k，一個(gè)大于k即況 x1 k,x2 k

x1 k,x2 k

x1 k x2大致圖象 k（ k ka 0）得 0出 b的 k結(jié) 2a論 f k 0

0b k2af k 0

fk 0大致圖象（a 0）得 0出 b的 k結(jié) 2a論 f k 0

0b k2af k 0

fk 0綜合結(jié) 0b論b（ k不 2a討論 af k 0a）

0b k2aa f k 0

a fk 0根在區(qū)間上的分布）分情布 情

內(nèi)

mn內(nèi)

q況 （圖象有兩種情況，只畫了一種）

內(nèi)，m n p q大致圖象（a 0）0得 f m 0出的 f n 0結(jié)論 m b 2a

fm fn 0

f m 0f n 0或f p 0f q 0

f m f n 0f p f q 0大致圖象（a 0）0得 f m 0出的 f n 0結(jié) b

fm fn 0

f m f n 0fmfm0fn0fp0fq0f p f q 0論 m 2a綜合結(jié)論（ ——————不討論a）

fm fn 0

fmfn 0f pfq 0根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間

外，即在區(qū)間兩側(cè)

n圖形分別如下）需滿足的條件是

f 0時(shí)，f n

0； 0

f m 00時(shí)，f n 0對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說明：

內(nèi)有以下特殊情況：若f

0或f

f m f

0不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為 m或n，可以求出另外一根，然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間

m,n

內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程

mx2

m 2x

2 0在區(qū)間1,3上有一根，因?yàn)閒即為所求；

mx2

m 2x 2

x 1 mx

2m

2 23得 m 2m 3

內(nèi)，即 0，此時(shí)由 0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程，求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程

x2 4mx

2m 6 0有且一根在區(qū)間

3 f 0 0即14m 15 m

3 0得出3 m 15；14②由 16m2

42m

6 0m

1m

3，當(dāng)m2

1時(shí)，根x

2 3,0

m

1滿足題意；3當(dāng)m 時(shí)，根x2

3

m

3不滿足題意；綜上分析，得出2

3 m 或m 1141、已知二次方程

2m 1x2

2mx m

根的分布練習(xí)題1 0有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。解：由 2m 1

f 0 0

即 2m 1m 1

0從而得 12

m 1即為所求的范圍。2、已知方程

2x2

m 1x m

0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。解：由

0 2m 1 8m 0m 1

m 3 2 2或m

3 2 20 m 122 m 0f 0 0 m 00 m 3 2 2或m 3 2 2即為所求的范圍。2例3、已知二次函數(shù)y m 2x2

2m 4x

3m

與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于 1，一個(gè)小于1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

m 2

1 0即

m 2 2m 1 0

12 m 即為所求的范圍。24、已知二次方程

mx2 2m 3x

4 0只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于 1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解由題意有方程在區(qū)間 0,1上只有一個(gè)正根，則f

f 1 0

4 3m 1 0

1m 即為所求范圍。3（注：本題對(duì)于可能出現(xiàn)的特殊情況方程有且只有一根且這個(gè)根在 0,1內(nèi)，由 0計(jì)算檢驗(yàn)，均不復(fù)合題意，計(jì)算量稍大）例1、當(dāng)關(guān)于x的方程的根滿足下列條件時(shí)，求實(shí)數(shù) （1）方程x2

ax a2 7 0的兩個(gè)根一個(gè)大于 2，另一個(gè)小于 2；

7x2

(a 13)x a2

a 2 0的一個(gè)根在區(qū)間(0,1)上，另一根在區(qū)間(1,2)上；

x2 ax 2

0的兩根都小于0；

x2 ax

0的兩根都小于 1．方程

(a x

2a2

5a 3 0的兩根都在區(qū)間[ 上；

x2 ax 4

0在區(qū)間（11）上有且只有一解；2、已知方程

x2 mx 4

0在區(qū)間[ 1，1]上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．3、已知函數(shù)fx)檢測(cè)反饋：

mx2

(m

1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍．若二次函數(shù)

f(x)

x2 (a

1)x

1( 2

上是增函數(shù)，則

f(2)

的取值范圍是 ．若 、是關(guān)于x的方程x2

2kx

k 6 0的兩個(gè)實(shí)根,(

(

2的最小值為 ．若關(guān)于

x2 (m

x

2m 1 0只有一根在(0,1)內(nèi)，則m _ _．對(duì)于關(guān)于x的方程x2+(2m 1)x+4 2m=0 求滿足下列條件的 m的取值范圍：根 于 1于 2，一個(gè)根小于 2 （4）兩個(gè)根都在（0，2）內(nèi)（5）一個(gè)根在(2，0)內(nèi)，另一個(gè)根在(1，3)內(nèi) 47）在（0，2）內(nèi)有根一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根且正根絕對(duì)值較大已知函數(shù)

f(x)

mx2 x

1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。

上的最大、最小值問題探討設(shè)fx

ax2

bx

0a

上的最大、最小值有如下的分布情況：m n b2a

m b n即 b2a

m,n

b m 2a圖象最大 fx、最小 fx值

max fmmin fn

fxmaxfxmin

maxf

fn,fmb

fxmax fnfxmin fm對(duì)于開口向下的情況，討論類似。其實(shí)無論開口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論：b2ab

，則f

xmax

max

fm,f

b ,fn2a

，fx

min

min

fm,f

b ,fn ；2a2a

，則f

xmax

maxf

m,fn

，fx

min

min

fm,fn另外，當(dāng)二次函數(shù)開口向上時(shí)，自變量的取值離開 ，當(dāng)二次函數(shù)開口向下時(shí)，自變量的取值離開 x軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越小。二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值練習(xí)各代表一種情況。1、函數(shù)

f x ax2 2ax 2 ba

0在2,3上有最大值5和最小值2，求

a,b的值。解：對(duì)稱軸

x0 1

，故函數(shù) f x在區(qū)間 2,3上單調(diào)。

0時(shí)，函數(shù)f x在區(qū)間 2,3上是增函數(shù)，故

f xmax f 3f xmin f 2

3a b 2 5 a 1；2 b 2 b 02、求函數(shù)

0時(shí)，函數(shù)f x在區(qū)間 2,3上是減函數(shù)，故f x x2 2ax 1,3的最小值。

f xmax f 2f xmin f 3

b 2 5 a 13a b 2 2 b 3解：對(duì)稱軸x0 a（a

1時(shí)，ymin

f 1 2 a

3時(shí)，ymin

f a 1

a2（a

3時(shí)，ymin

f 3 10 6a

f xmax

f 3 10 當(dāng)

f xmax

f 1 2 2a。2．本題若修改為求函數(shù)的最值，討論又該怎樣進(jìn)行？

f xmax

f 3 10

f xmin

f1 2 2a；

f xmax

f 3 10 6a，f

min

f a

a2；

a

f xmax

f1 2 2a，f

min

f a

a2；

f xmax

f1 2

f xmin

f 3 10 6a。3、求函數(shù)

y x2 4x

在區(qū)間

t,t

上的最小值。解：對(duì)稱軸

x0 2t即t

y f t t2

4t

2 t 1即1 t

ymin f

2 1；minmin

t 1t

ymin

f t 1

t2 2t4、討論函數(shù)

f x x2

x a 的最小值。解：f x x2