由一道高考題體會(huì)Fibonacci數(shù)列的一個(gè)小性質(zhì)摘要：以一道高考題為背景，歸納猜想Fibonacci數(shù)列的一個(gè)特性，并用構(gòu)造函數(shù)的方法證明，構(gòu)造過(guò)程體現(xiàn)了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系，也體現(xiàn)了高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)（三角與導(dǎo)函數(shù)的結(jié)合）.關(guān)鍵詞：Fibonacci數(shù)列，連續(xù)的兩個(gè)正整數(shù)之比，放縮，構(gòu)造函數(shù).一、真題再現(xiàn)（2020年Ⅲ12）已知55<84，134<85．設(shè)a=log53，b=log85，c=log138，則A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b二、性質(zhì)猜想歷程b,第一次接觸這個(gè)題目時(shí)是參加高考真題考試比賽，就是按照作差比較a,b,中間量法比較c去掌握的；第二次是二輪復(fù)習(xí)中講解時(shí)，當(dāng)時(shí)就考慮可否設(shè)置34538,354來(lái)比較，結(jié)果發(fā)現(xiàn)是可行的，但并沒(méi)有多思考；第三次接觸時(shí)是參加高考真題講解比賽，發(fā)現(xiàn)里面的數(shù)據(jù)都是Fibonacci數(shù)列的項(xiàng)，而且用來(lái)銜接的中間量是連續(xù)兩個(gè)正整數(shù)的比，這讓我不經(jīng)意間想到了這樣的一個(gè)拓展：1log22log33log54log85log13233548513621于是就可以提出這樣的一個(gè)猜想:設(shè)FF,1FFF(nN),則n1logFn.nN，n212n2n1nnFn2n1n1.后來(lái)在我著手證明這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)學(xué)微信公眾號(hào)介紹了并證明了這個(gè)結(jié)論，所以我就換個(gè)思路來(lái)證明了！只是不知道美國(guó)斐波那契協(xié)會(huì)創(chuàng)辦的《斐波那契季刊》可有關(guān)于這個(gè)性質(zhì)的證明.三、性質(zhì)證明下面先證n1log2Fn1，即證lnFn2lnFn1nN，n2令qnFnnn1nN已知Fibonacci數(shù)列的通項(xiàng)公式為Fn551n

25n

5251，則Fn5

qn15

qncosn

.25qn5qn再令f(x)5

qxcosx

，構(gòu)造函數(shù)g(x)lnf(x)，x2)求導(dǎo)化簡(jiǎn)得：5qxx2，g'(x)(x2)(q2xlnqsinxlnqcosx)(q2xcosx)ln5

qxcosx5qx(x2)2(q2xcosx)q2xln(q5

q2xq2xx)(sinxlnqcosx)(x2)cosxlnf(x)2cos(x2)2(q2xcosx)q2xln(q5

q2xq2xx)(lnq)(x2)lnf(x)2cos(x2)2(q2xcosx)q2xln(q5

q2xq2x)(lnq)(x2)ln5qx12cosx5(x2)2(q2xcosx)又易證明5(qx)1qx1，q2xq2xxqq2x11q211，而y1q211cos2xxx5在（2，）上單減，故qq2xqq41q2，所以ln(q5

q2xq2xx)0.2x1452cos為了后面放縮度的需求，我們考慮x5時(shí)的情況，此時(shí)有l(wèi)n(q5

q2xq2xx)ln(q5

qq101).0149.2cos210故g'(x).0149q2x(2lnq)x23lnq.(x2)2(q2xcosx)令h(x).0149q2x(2lnq)x23lnq（x5）顯然h'(x).0149lnq2q2x2lnq在（5，）上單減，又h'(5).0149lnq2q102lnq，2lnq.096，q10123，所以h'(5)0.所以h'(x)0在（5，）上恒成立，所以h(x)在（5，）上單減，而h(5).0149q1037lnq0，所以h(x)0在，）上恒成立.即當(dāng)x5時(shí)，g'(x)0恒成立，所以g(x)在,5上單減.這樣數(shù)列{lnFn在nn25時(shí)單減，即lnFn2lnFn1在n,4nN*時(shí)恒成立，nn1再結(jié)合一開(kāi)始的計(jì)算，便有n1logFn2Fn1nN，n2成立.n2下面再證logFn2Fn1nn1nN，n2，即證lnFn1lnFn2nN，nnn1.構(gòu)造函數(shù)m(x)lnf(x)，x3).x1求導(dǎo)化簡(jiǎn)得：m(x)q2xln(5

q2xq2x)(sinxlnqcosx)(x)1cosxlnf(x)'qcosx(x)12(q2xcosx)q2xln(5

q2xq2xx)(lnq)(x)1lnf(x)qcos(x)12(q2xcosx)結(jié)合前面已說(shuō)明的事實(shí)，和q2xq2xxqq2x11q211，而y1q211單減，便有：cos2xxxm'(x)q2xln(5

q2xq2xx)(2lnq)(x)1qcos(x)12(q2xcosx)q2xln(5

qq61)(2lnq)(x)1q2x(2lnq)(x)1q600.2296(x)12(q2xcosx)(x)12(q2xcosx)再令(x).0296q2x(2lnq)(x)1，x3.)顯然'(x).0296lnq2q2x(2lnq)在，上單增，又（'3）.0540，所以(x)在，上單增，而(4).03250，所以m''x)0在4，上恒成立，所以m(x)在4，上單增，所以數(shù)列數(shù)列{lnFn在n14時(shí)單增，故lnFn1lnFn2在nnn1n,3nN*時(shí)恒成立，同樣結(jié)合一開(kāi)始的計(jì)算，便有l(wèi)ogFn2Fn1nn1nN，n2成立.則n1至此，我們便完成了問(wèn)題“設(shè)F1F2,1Fn2Fn1Fn(nN),F}n2logFn.nN，n2”的證明，也順便證明了數(shù)列l(wèi)ognFn2n1n1Fn2n1的單增性.四、結(jié)束語(yǔ)

作為一線教師，要把研讀高考題、關(guān)注命題方向培養(yǎng)成自己的一種習(xí)慣，所以一方面要體現(xiàn)如何考查學(xué)生的核心素養(yǎng)，另一方面要去體現(xiàn)命題的方向！本文的證明是以數(shù)列是一種特殊的函數(shù)為背景，構(gòu)造函數(shù)來(lái)完成的.而證明的過(guò)程正是從這兩方面出發(fā)的，既凸顯了構(gòu)