目錄

數(shù)與代數(shù)................................................................................2

1.數(shù)形結(jié)合活數(shù)軸...................................................................2

2.聚焦絕值值.......................................................................7

3.有理數(shù)的運(yùn)算....................................................................12

4.信息技術(shù)中的數(shù)學(xué)問(wèn)題...........................................................19

5.整式的加減......................................................................26

6.一元一次方程...................................................................44

7.怎樣設(shè)元........................................................................49

8.情境應(yīng)用題......................................................................55

9.絕對(duì)值與方程....................................................................61

10.二元一次方程組................................................................73

11.方程組的應(yīng)用...................................................................77

12.不定方程（組）................................................................83

13.一元一次不等式（組）..........................................................87

14.不等式（組）的應(yīng)用............................................................92

15.從估算到數(shù)感...................................................................98

16.平面直角坐標(biāo)第................................................................102

17.實(shí)數(shù)..........................................................................111

空間與圖形.............................................................................116

18.豐富的圖形世界................................................................116

19.線段、射線與直線..............................................................124

20.角............................................................................129

21.相交線與平行線................................................................137

22.認(rèn)識(shí)三角形....................................................................144

23.多邊形的邊與角...............................................................153

24.圖形面積的計(jì)算................................................................170

25.圖形生長(zhǎng)的奧秘................................................................179

26.實(shí)驗(yàn)與操作....................................................................186

統(tǒng)計(jì)與概率.............................................................................193

27.心中有數(shù)......................................................................193

數(shù)與代數(shù)

1.數(shù)形結(jié)合活數(shù)軸

問(wèn)題解決

例1(1)已知”8,c為有理數(shù)，且“>06<0,4+/7<0,將四個(gè)數(shù)萬(wàn)按由小到大的順序排列是

(2)已知數(shù)軸上有AB兩點(diǎn)，A,B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)0的距離為3,那么點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)

是O

例2(1)如圖，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)AB,C,Q對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整

數(shù),且d-2。=10,那么數(shù)軸的原點(diǎn)應(yīng)是()。

ABCD>

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)

例3已知兩數(shù)a,b,如果a比。大，試判斷Ia|與|加的大小。

例4電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn)K。,第一步從K。向左跳1個(gè)單位到&,第二步由抬向右跳2個(gè)

單位到(，第三步由K?向左跳3個(gè)單位到七，第四步由(向右跳4個(gè)單位到(，……,按以上

規(guī)律跳了100步時(shí)，電子跳蚤落在數(shù)軸上的點(diǎn)Km所表示的數(shù)恰是19.94,試求電子跳蚤的初始位置

K。點(diǎn)所表示的數(shù)。

例5已知數(shù)軸上的點(diǎn)A和點(diǎn)B之間的距離為28個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A在原點(diǎn)的左邊，距離原點(diǎn)8個(gè)單

位長(zhǎng)度，點(diǎn)B在原點(diǎn)的右邊。

(1)求AB兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)。

(2)數(shù)軸上點(diǎn)4以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)

動(dòng)，在向C處追上了點(diǎn)A,求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)。

(3)已知在數(shù)軸上點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)向

右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度,設(shè)線段NO的中點(diǎn)為P(O為原點(diǎn)),在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中線段PO-AM

的值是否變化？若不變，求其值；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由。

2

例6李老師從油條的制作中受到啟發(fā)，設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。如圖，在數(shù)軸上截取從原點(diǎn)到1的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)的線段AB,對(duì)折后（點(diǎn)A與點(diǎn)B重合），固定左端向右均勻地拉成1個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一

過(guò)程稱為一次操作（例如，在第一次操作后，原線段AB上的工，2均變成變成1；等等）。那

4422

么在線段AB上（除點(diǎn)A,B外）的點(diǎn)中，在第二次操作后，求恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的

數(shù)字之和。

知識(shí)技能廣場(chǎng)

1.數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是-2,且A,B兩點(diǎn)的距離為3,則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是。

2.電影《哈利?波特》中，小哈利?波特穿墻進(jìn)入“92站臺(tái)”的鏡頭（如圖中的M站臺(tái)），構(gòu)思奇

4

妙，能給觀眾留下深刻的印象。若A,B站臺(tái)分別位于-2,-1處，AN=2NB,則N站臺(tái)用類似電影

中的方法可稱為“站臺(tái)”。

ANBM

1Tli_________________________________________1J?

-2-10910

（第2題）

3.點(diǎn)A,B,C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A,B表示的數(shù)分別為-3,1,若BC=2,則AC=。

4.如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓（該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)，且在圓周的三等分

點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0,1,2）±：先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)

針?lè)较蚶@在該圓周上，使數(shù)軸上1,2,3,4,…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1,2,0,1…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

重合。這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。

（1）圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對(duì)應(yīng)，則。=：

（2）數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過(guò)圓周〃圈（"為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的位置,

這個(gè)整數(shù)是（用含”的代數(shù)式表示）。

3

X

鹵2

（第4題）

5.如圖，四個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是M,P,N,Q,若點(diǎn)M,N表示的有理數(shù)互為相反數(shù),

則圖中表示絕對(duì)值最小的數(shù)的點(diǎn)是（）o

A.點(diǎn)MB.點(diǎn)NC.點(diǎn)PD.點(diǎn)P

~~MPNQr

（第5題）

6.數(shù)值上A,B,C三點(diǎn)所代表的數(shù)分別是且IcTI-laTRa-d,若下列選項(xiàng)中，有一個(gè)表

示A,B,C三點(diǎn)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，則此選項(xiàng)是（）o

6ac-CB4.dcBBC」:

A.B.C'D

（第6題）

7.將一刻度尺如圖所示放在數(shù)軸上（數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是1cm）,刻度尺上的“Ocm”“15cm”分別對(duì)應(yīng)

數(shù)軸上的-3.6和x,則（）。

-3.60x

阿唧訓(xùn)I啊唧■'■l■他刪啊唧皿唧

0cm123456789101112131415

（第7即）

A.9<x<10B.10<x<llC.ll<x<12D.12<x<13

8.在數(shù)軸上任取一條長(zhǎng)度為1999-的線段，則此線段在這條數(shù)軸上最多能蓋住的整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)是

9

（）。

A.1998B.1999C.2000D.2001

9.一個(gè)跳蚤在一條直線上，從O點(diǎn)開(kāi)始，第1次向右跳1個(gè)單位，緊接著第2次向左跳2個(gè)單位，

第3次向右跳3個(gè)單位，第4次向左跳4個(gè)單位……依此規(guī)律下去，當(dāng)它跳第100次落下時(shí)，求落

點(diǎn)處離O點(diǎn)的距離（用單位表示）。

10.已知數(shù)軸上有A,B兩點(diǎn)，A,B之間的距離為1,點(diǎn)A與原點(diǎn)O的距離為3,求所有滿足條件

的點(diǎn)B與原點(diǎn)O的距離的和。

4

思維方法天地

11.在數(shù)軸上，點(diǎn)A,B分別表示-1和1,則線段AB的中點(diǎn)所表示的數(shù)是。

35

12.在數(shù)軸上，表示數(shù)（￡+2）的點(diǎn)M與表示數(shù)的點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a的值為。

13.數(shù)形相伴

/B

（1）如圖所示：「二f一方―{-4一~—?,點(diǎn)A,B所代表的數(shù)分別為-1,2,

-—，41\JA4■J

在數(shù)軸上畫(huà)出與A,B兩點(diǎn)的距離和為5的點(diǎn)（并標(biāo)上字母）。

（2）若數(shù)軸上點(diǎn)A,B所代表的數(shù)分別為“Z，則A,B兩點(diǎn)之間的距離可表示為那

么，當(dāng)|x+l|+|x-2|=7時(shí)，x=；當(dāng)lx+ll+1x-2|當(dāng)時(shí)，數(shù)x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在數(shù)軸上的位置

是在________?

14.點(diǎn)A,B分別是數(shù)-3,-2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，使線段AB沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)A/I且線段H8的中

2

點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是3,則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是,若A移動(dòng)的距離是,

15.點(diǎn)4，42,4，,4（〃為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點(diǎn)A在原點(diǎn)o的左邊，且AO=1，點(diǎn)&在點(diǎn)A的右

邊，且4A=2；點(diǎn)4在點(diǎn)A2的左邊，且44=3,點(diǎn)兒在點(diǎn)Aj的右邊，且41A=4,……，依照

上述規(guī)律，點(diǎn)所表示的數(shù)分別為（）。

A.2008,-2009B.-2008,2009C.I004,-1005D.1004,-1004

16.如圖：；??：旌?工,，數(shù)軸上標(biāo)出若干個(gè)點(diǎn)，每相鄰兩點(diǎn)相距1個(gè)單位，點(diǎn)A,B,

C,D對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是整數(shù)凡氏c,d，且匕-2a=9,那么數(shù)軸的原點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)是（）。

A.A點(diǎn)B.B點(diǎn)C.C點(diǎn)D.D點(diǎn)

17.有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖,式子|。|+|川+|。+勿+上-。|化簡(jiǎn)結(jié)果為（）o

A.2a+3b-cB.30-CC.b+cD.c-b

a0bc

（第17題）

18.不相等的有理數(shù)。力,c在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C,若|q例，那么點(diǎn)8（）。

A.在A,C點(diǎn)右邊B.在A,C點(diǎn)左邊C.在A,C點(diǎn)之間D.以上均有可能

19.在數(shù)軸上，N點(diǎn)與O點(diǎn)的距離是N點(diǎn)與30所對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離的4倍，那么N點(diǎn)表示的數(shù)是多

5

少？

20.已知數(shù)軸上有A,B,C三點(diǎn)，分別代表-24,-10,10,兩只電子螞蟻甲、乙分別從A,C兩點(diǎn)同

時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位/秒。

（1）問(wèn)多少秒后甲到A,B,C的距離和為40個(gè)單位？

（2）若乙的速度為6個(gè)單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A,C兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，問(wèn)甲，乙在

數(shù)軸上的哪個(gè)點(diǎn)相遇？

（3）在（1）（2）的條件下，當(dāng)甲到A,B,C的距離和為40個(gè)單位時(shí)，甲調(diào)頭返回，問(wèn)甲，乙還

能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。

應(yīng)用探究樂(lè)園

21.操作與探究

對(duì)數(shù)軸上的點(diǎn)P進(jìn)行如下操作：先把點(diǎn)P表示的數(shù)乘以1,再把所得數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)向右平移1個(gè)單位,

3

得到點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,。

點(diǎn)A,B在數(shù)軸上，對(duì)線段AB上的每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行上述操作后得到線段其中，點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)

點(diǎn)分別為4,"。如圖所示，若點(diǎn)A表示的數(shù)是-3,則點(diǎn)A表示的數(shù)是；若點(diǎn)3,表示的數(shù)

是2,則點(diǎn)B表示的數(shù)是；已知線段AB上的點(diǎn)E經(jīng)過(guò)上述操作后得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)￡與點(diǎn)E

重合，則點(diǎn)E表示的數(shù)是o

AB'

-4-3-2-101234

（第21題）

22.如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示1,現(xiàn)將點(diǎn)A沿?cái)?shù)軸做如下移動(dòng)：第1次點(diǎn)A向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度

到達(dá)點(diǎn)A-第2次從點(diǎn)4向右移動(dòng)6個(gè)單位長(zhǎng)度到達(dá)點(diǎn)人,第3次從點(diǎn)右向左移動(dòng)9個(gè)單位長(zhǎng)度

到達(dá)點(diǎn)A，……，按照這種移動(dòng)規(guī)律進(jìn)行下去，第〃次移動(dòng)到達(dá)點(diǎn)4。如果點(diǎn)4與原點(diǎn)的距離為

20,求〃的最小值。

-5-4-3-2-1012345

（第22題）

6

2.聚焦絕值值

問(wèn)題解決

例1已矢l|y=|x-川+|x-20|+|x-b-20],其中0＜人＜2024x420,那么y的最小值為。

例2式子￡+1+d的所有可能的值有()。

\a\\h\\ab\

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

例3(1)已知|。匕一2|+|a-2|=0,求——+----------+----------++---------------r的

ab(a+l)(b+l)(a+2)(b+2)(4+2006)0+2006)

值。

(2)設(shè)a,b,c為整數(shù)，且|a-6|+|c-a|=l,求|c-a|+|a-〃|+|0-c|的值。

例4閱讀下列材料并解決有關(guān)問(wèn)題：

x(x>0),

我們知道|x|=0(x=0),現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來(lái)化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的代數(shù)式，如化簡(jiǎn)代數(shù)式

-x(x<0).

|x+l|+|x-2|時(shí)，可令x+l=0和x-2=0,分別求得x=—l,x=2(稱-1,2分別為|x+l|與|x-2|的

零點(diǎn)值)。在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點(diǎn)值x=-l和x=2可將全體有理數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種

情況：

(1)%<-1;(2)-l<x<2；(3)x>2?從而化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+l|+|x-2|可分以下3種情況：

(1)當(dāng)x<-l時(shí)，原式=-(x+l)-(x-2)=-2x+l；

(2)當(dāng)-14x<2時(shí)，，原式=x+l-(x-2)=3；

(3)當(dāng)x42時(shí)，原式=x+l+x-2=2x-l。

—2x+1(x<—1),

綜上討論，原式=<3(-l<x<2),

2x-l(x>2).

通過(guò)以上閱讀，請(qǐng)你解決以下問(wèn)題：

(1)分別求出|x+2|和|x-4|的零點(diǎn)值；

(2)化簡(jiǎn)代數(shù)式|x+2|+|x-4|。

7

例5（1）當(dāng)x取何值時(shí)，|尤-3|有最小值？這個(gè)最小值是多少？

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，5-|x+2|有最大值？這個(gè)最大值是多少？

（3）求|x-4|+|x-5|的最小值。

（4）求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值。

例6少年科技組制成一臺(tái)單項(xiàng)功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其

運(yùn)算過(guò)程是：輸入第一個(gè)整數(shù)網(wǎng)，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)￡后則顯示|%-々1的結(jié)果，此

后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差取絕對(duì)值的運(yùn)算?，F(xiàn)小明將從1到1991這1991

個(gè)整數(shù)隨意地一個(gè)一個(gè)地輸入，全部輸入完畢之后顯示的最后結(jié)果設(shè)為P,試求出P的最大值，并

說(shuō)明理由。

知識(shí)技能廣場(chǎng)

1.已知|。|=5,|勿=3,JSi\a-b\=b-a,那么a+b=

2.化簡(jiǎn);--------------+---------------------------------------------------

20042003200320022002200120012004

▲▲____▲??一?―，?

3.已知有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如圖所示：-1C0ab,則

\c-1d-cH-4d上簡(jiǎn)后的結(jié)果是o

4.已知整數(shù)q,出,03M4,滿足以下條件:q=0,4=-14+11，生=一1%+2|,g=-3+3],,依次類

推，則〃2012的值為（）。

A.-1005B.-1006C.-1007D.-2012

5.已知|〃|=一。,化簡(jiǎn)111-1。-21所得的結(jié)果是（）o

A.-1B.1C.2〃一3D.3-2〃

6.若〃?是有理數(shù),則|加|一機(jī)一定是（)o

A.零B.非負(fù)數(shù)C.正數(shù)D.負(fù)數(shù)

7.有理數(shù)〃力工,的大小關(guān)系如圖：ab0c,則下列式子中一定成立的是（）。

8

A.〃+b+c>0B.\a+b\<cC.|a-c|=|a|+cX).\b-c\>\c-a\

8.化簡(jiǎn)：

（1）|3-x|；(2)|x+l|+|x+2|.

9.距離

距離能夠產(chǎn)生美。

唐代著名文學(xué)家韓愈曾賦詩(shī)：“天街小雨潤(rùn)如酥，草色遙看近卻無(wú)?！?/p>

當(dāng)代印度著名詩(shī)人泰戈?duì)栐凇妒澜缟献钸b遠(yuǎn)的距離》中寫道：

“世界上最遙遠(yuǎn)的距離

不是瞬間便無(wú)處尋覓

而是尚未相遇

便注定無(wú)法相聚”

距離，是數(shù)學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)中的熱門話題，唯有對(duì)宇宙距離進(jìn)行測(cè)量，人類才能掌握世界尺度。

閱讀下面材料并回答問(wèn)題。

2QA萃一夕4Q,0&

0bOabbaQ0a*

圖①圖②圖③圖④

（第9題）

點(diǎn)A,B在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)a,6,A,B兩點(diǎn)之間的距離表示為|AB|.

當(dāng)A,B兩點(diǎn)中有一定在原點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)點(diǎn)A在原點(diǎn)，如圖①，|A81=|081=|61=|a-。|.

當(dāng)A,B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)時(shí)，（1）如圖②，點(diǎn)A,B都在原點(diǎn)的右邊，

\AB\^OB\-\OA\=\b\-\a\=b-a^a-b\-

（2）如圖③，點(diǎn)A,B都在原點(diǎn)的左邊，|A8|=|08|-|Q4|=|勿—（―a）=|a—3；

（3）如圖④，點(diǎn)A,B在原點(diǎn)的兩邊，|A3|=|OA|+|OB|=|q|+聞=a+（-b9a-加.

綜上，數(shù)軸上A,B兩點(diǎn)之間的距離

請(qǐng)回答：

①數(shù)軸上表示2和5的兩點(diǎn)之間的距離是,數(shù)軸上表示-2和-5的兩點(diǎn)之間的距離是

,數(shù)軸上表示1和-3的兩點(diǎn)之間的距離是；

②數(shù)軸上表示x和-1的兩點(diǎn)A和B之間的距離是,如果|AB|=2,那么x為；

③當(dāng)代數(shù)式|工+1|+|彳-2|取最小值時(shí)，相應(yīng)的x的取值范圍是。

9

④互不相等的有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A,B,C.若|a-"+|c-a|=w-c|,則在點(diǎn)A8,C

中居中的是點(diǎn)o

思維方法天地

10.已知|〃=1,|。|=2,|。|=3,且。那么a+Z?-c=o

11.在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)是3+x,點(diǎn)B表示的數(shù)是3-x,且A,B兩點(diǎn)的距離為8,則|x|=。

12.已知abcwO,若〃?=2■?翌?生，則〃?+1=。

⑷聞回

13.(1)|x+l|+|x-l|的最小值為。

(2)|x+ll|+|x-12|+|x+13|的最小值為。

II11I

14.有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的位置如圖所示：-la0b1,則代數(shù)式

y-⑼+與一皆的值為()。

a+\a\a-h\\b-\\

A.-lB.OC.lD.2

15.若a,b,c均為整數(shù)，且I"勿+|c-a|=l,則|a-c|+|c-6|+|6-a|的值為()。

A.lB,2C.3D,4

16.如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A,B,C所對(duì)應(yīng)的數(shù)aS,c都不為。，且C是AB的中點(diǎn)。如果

\a+h\-\a-2c\+\h-2c\-\a+b-2c\=,那么原點(diǎn)O的位置在()。

ACB、

~ac1

A.線段AC上B.線段CA的延長(zhǎng)線上C.線段BC上D.線段CB的延長(zhǎng)線上

17.設(shè)m=x+|x-l|,則膽的最小值為(

A.0B.1C.-lD.2

18.已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是6,-8,M,N,P為數(shù)軸上三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)

速度為每秒2個(gè)單位，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)速度為點(diǎn)M的3倍，點(diǎn)P從原點(diǎn)出發(fā)速度為每秒1個(gè)單位。

(1)若點(diǎn)M向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)，求多長(zhǎng)時(shí)間后，點(diǎn)M與點(diǎn)N相距54個(gè)單位？

(2)若點(diǎn)M,N,P同時(shí)都向右運(yùn)動(dòng)，求多長(zhǎng)時(shí)間后，點(diǎn)P到點(diǎn)M,N的距離相等？

BA

--------??--------?.

-806

(第18題)

19.已知了=回+回+回+四，且a,仇c都不等于0,求x的所有可能性。

abcabc

10

應(yīng)用探究樂(lè)園

20.絕對(duì)值性質(zhì)

(1)設(shè)。力為有理數(shù),比較|。+勿與|a|+向的大小。

(2)已知a,，,c,d是有理數(shù)，用-加49,|c-d|416,且|a-b-c+d，25,求之一—的值。

21.有一臺(tái)單功能計(jì)算器，對(duì)任意兩個(gè)整數(shù)只能完成求并后再取絕對(duì)值的運(yùn)算，其運(yùn)算過(guò)程是：輸入

第一個(gè)整數(shù)玉，只顯示不運(yùn)算，接著再輸入整數(shù)々后則顯示1%-々1的結(jié)果。比如依次輸入1，2,

則輸出的結(jié)果是|1-2|=1；此后每輸入一個(gè)整數(shù)都是與前次顯示的結(jié)果進(jìn)行求差后再取絕對(duì)值的運(yùn)

算。

(1)若小明依次輸入1,2,3,4,則最后輸出的結(jié)果是多少？

(2)若將1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)任意地一個(gè)一個(gè)地輸入，全部輸入完畢后顯示的結(jié)果的最大值是

多少？最小值是多少？

(3)若隨意地一個(gè)一個(gè)地輸入三個(gè)互不相等的正整數(shù)2,“力，全部輸入完畢后顯示的最后結(jié)果設(shè)為

Ak的最大值為10,求k的最小值。

11

3.有理數(shù)的運(yùn)算

問(wèn)題解決

例1(1)觀察下列等式：1=12,1+3=22,1+3+5=32,例3+5+7=42,........,則

1+3+5+7++2015=o

(2)若〃為是互為相反數(shù)，c,d是互為倒數(shù)，x的絕對(duì)值等于2,則的值是

例2已知整數(shù)〃也c,d滿足abed=25,^a>b>c>d,那么|〃+b|+|c+d|等于()。

A.OB.10C.2D.12

例3計(jì)算:

i+—L+-1-+1

(2)H-------------------------

1+21+2+31+2+3++100

11111

(3)—+-++看1+-+-++H-----------

232320122011

+5的值(結(jié)果用〃表示)，設(shè)計(jì)了如圖①所示

例4在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求

的幾何圖形。

12

(2)請(qǐng)你用圖②，再設(shè)計(jì)一個(gè)能求g+/+最++提+提的值的幾何圖形。

例5在1,2,…，2002前面任意添上正號(hào)和負(fù)號(hào)，求其非負(fù)和的最小值。

例6觀察下面的計(jì)算過(guò)程:

I1I14

-------4----------+---------+1—=一

1x22x33x455

問(wèn)：(1)從上面的解題方法中，你發(fā)現(xiàn)了什么？用字母表示這一規(guī)律。

(2)“學(xué)問(wèn)”，既要學(xué)會(huì)解答，又要學(xué)會(huì)發(fā)問(wèn)。愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：”提出問(wèn)題比解決問(wèn)題更重要?！?/p>

請(qǐng)用類比的方法盡可能多地提出類似的問(wèn)題.

知識(shí)技能廣場(chǎng)

1.如圖，每一個(gè)小方格的面積為1,則可根據(jù)面積計(jì)算得到如下算式:

1+3+5+7++(2〃—1)=。(用〃表示，雕是正整數(shù))。

3-I

4

3

(第1題)

2.某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組的20位同學(xué)站成一列做報(bào)數(shù)游戲，規(guī)則是：從前面第一位同學(xué)開(kāi)始，每位同學(xué)依

次報(bào)自己順序數(shù)的倒數(shù)加1,第1位同學(xué)報(bào)[+1],第2位同學(xué)報(bào)(g+1),第3位同學(xué)報(bào)Q+1j,……

這樣得到的20個(gè)數(shù)的積為。

3.計(jì)算：

(1)211x(-455)+365x455-211x545+545x365=。

13

（2）2-22-23--2,8-2,9+220=。

（3）743x369-741x370=。

4.觀察下列等式：

3_1_____1

第1個(gè)等式:Z,"lx2x22-1x22x22'

411

第2個(gè)等式:

-2x3x2，2x223x23

5_1______1

第3個(gè)等式:

6/2-3X4X24-3X23-4X24?

611

第4個(gè)等式:

44x5x2$4x245x25

按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：

（1）用含"的代數(shù)式表示第〃個(gè)等式：4==；

（2）式子5=4+。2+4++420=°

5.設(shè)〃<0,在代數(shù)式|。|,-。,。嗎/叫_"（巨+〃］區(qū).一小中負(fù)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）。

）\a）

A.lB.2C.3D.4

6.一家游泳館的游泳收費(fèi)為30元/次，若購(gòu)買會(huì)員年卡，可享受如下優(yōu)惠：

會(huì)員年卡類型辦卡費(fèi)用（元）每次游泳收費(fèi)（元）

A類5025

B類20020

C類40015

例如，購(gòu)買A類會(huì)員年卡，一年內(nèi)游泳20次，消費(fèi)50+25x20=550（元）。若一年內(nèi)在該游泳館游

泳的次數(shù)介于45-55次之間，則最省錢的方式為（）。

A.購(gòu)買A類會(huì)員年卡B.購(gòu)買B類會(huì)員年卡

C.購(gòu)買C類會(huì)員年卡D.不購(gòu)買會(huì)員年卡

7.為了求1+2W2￥2+的值，可令5=1+2+22+23++22008,則

25=2$2f2，2+,因此ZS-S：2?009-1,所以1+2+2?+23++2的=？?00：1。仿照上

面推理計(jì)算出1+5+52+5'++52期的值是（

52009-1D,^l

A.52ao9-1B.52010-1c

44

8.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

第1個(gè)數(shù)：;

14

第2個(gè)數(shù):H+和+甲F#

第"個(gè)數(shù)：一(fl［上廣)

n22〃J

7

那么，在第10個(gè)數(shù)、第11個(gè)數(shù)、第12個(gè)數(shù)、第13個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是()

A.第A個(gè)數(shù)B.第11個(gè)數(shù)C.第12個(gè)數(shù)D.第13個(gè)數(shù)

9.觀察，解答回答:

(第9即)

(1)按下表已填寫的形式填寫表中的空格:

圖①圖②圖③

三個(gè)角上三個(gè)數(shù)的積lX(-l)X2=-2(-3)X(-4)X(-5)=-60

三個(gè)角上三個(gè)數(shù)的和1+(-1)+2=2(?3)+(?4)+(-5)=?12

積與和的商-2+2=1

(2)請(qǐng)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律求出圖④中的數(shù)y和圖⑤中的數(shù)x.

10.觀察下列等式:

第1個(gè)等式:

第2個(gè)等式:

第3個(gè)等式:

1_1

第4個(gè)等式：4

7^9~2

15

請(qǐng)解答下列問(wèn)題:

（1）按以上規(guī)律列出第5個(gè)等式：q==；

（2）用含〃的代數(shù)式表示第〃個(gè)等式：a“==（〃為正整數(shù)）;

（3）求4+。2+4+/++4（?）的值。

思維方法天地

11.計(jì)算：

X1+春X"春

Jc5clJ9u1,41r1071cl

（2）1—2—F3---4---F5---6---卜7----8---F9—=

2612203042567290

-44-8-12+16-4-40-44

1-2+3-4+-10+11

12.設(shè)三個(gè)互不相等的有理數(shù)，既可分別表示為I,a+〃,a的形式，又可分別表示為0,g,6的形式，則

h

y+戶01=。

13.己知|%|=3工+1,則（64/+48X+9）00'=。

14.己知〃,仇°滿足（4+。）（。+4?+4）=0且。。。<0,則代數(shù)式六+需+六的值是c

999,10001001

15.若。二-----,b=c=--,--則-（）

20112012,2013

\.a<b<cB.b<c<aC.c<h<aD.a<c<b

16.如果4個(gè)不同的正整數(shù)加〃,p,g滿足（7-加乂7-〃乂7-p）（7-g）=4,那么機(jī)+〃+p+q等于（）

A.10B.21C.24D.26

E.28

17.如果上+上+上=1,那么必引的值為（）

川FIM乙姐

A.-lB.lC.±lD.不確定

18.觀察下列各式：

（1）1=12;

16

(2)2+3+4=32；

(3)3+4+5+6+7=52；

(4)4+5+6+7+8+9+10=7?；

請(qǐng)你根據(jù)觀察得到的規(guī)律判斷下列各式正確的是（）

A.1005+1006+1007+—+3016=20II2

B.1005+1006+1007+…+3017=20112

C.1006+1007+1008+…+3016=201/

D.1007+1008+1009+…+3017=20112

19.形數(shù)

（1）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形態(tài)來(lái)研究數(shù)。比如：他們研究過(guò)圖①中的1,3,6,

10,…由于這些數(shù)能夠表示成三角形，故將其稱為三角形數(shù)。類似的，稱圖②中的1,4,9,16,-

這樣的數(shù)為正方形數(shù)。下列數(shù)中，既是三角形數(shù)，又是正方形數(shù)的是（）。

A.289B.1024C.1225D.1378

OOOO

O。OOOOO

OOO。OOOOO

OOOOOO

OOOOOO。O

OOOOOOOOOOOOO9

136101416

圖②

圖①

（第19題）.

（2）古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)，1,3,6,10,15,21,…叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性。若把第一

個(gè)三角形數(shù)記為q,第二個(gè)三角形數(shù)記為七，…，第n個(gè)三角形數(shù)記為a,,計(jì)算4+%/+%,/+%，

求出）9+4?0的值。

20.同學(xué)們，我們?cè)?jīng)研究過(guò)“X〃的正方形網(wǎng)格，得到了網(wǎng)格中正方形的總數(shù)的表達(dá)式為

12+22+32++〃2。但“為io。時(shí)，應(yīng)如何計(jì)算正方形的具體個(gè)數(shù)呢？下面我們就一起來(lái)研究并解

決這個(gè)問(wèn)題。首先，通過(guò)探究我們已知知道0xl+l*2+2*3+=+時(shí)，我

們可以這樣做：

（1）觀察并猜想：

12+22=（1+O）X1+（1+1）X2=1+OX1+2+1X2=（1+2）+（OX1+1X2）,

17

12+22+32=(1+O)X1+(1+1)X2+(1+2)X3=1+OX1+2+1X2+3+2X3=(1+2+3)+(OX1+1X2+2X3)

I2+22+32+42=(I+0)x1+(1+1)x2+(1+2)x3+____=1+0x1+2+1x2+3+2x3=____(1+2+3+4)+

()；——

(2)歸納結(jié)論：

12+22+32++n2=(l+0)xl+(l+l)x2+(l+2)x3++

1

=6——；

(3)實(shí)踐應(yīng)用：

通過(guò)以上探究過(guò)程，我們就可以算出當(dāng)“為100時(shí)，正方形網(wǎng)格中正方形的總個(gè)數(shù)是o

應(yīng)用探究樂(lè)園