突破2023年高考數(shù)學(xué)題型之解密2022年高考真題專題

專題33立體幾何中線面角的計算問題

【高考真題】

1.(2022?全國甲理)在四棱錐尸一4JCD中，PD±ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=>/3.

(1)證明：BD工PA；

(2)求PO與平面PAB所成的角的正弦值.

1.解析(1)在四邊形A8CD中，作。E_LAB于E,于尸，

因?yàn)镃O〃A8,AO=CQ=CB=1,AB=2,

所以四邊形為等腰梯形，所以AE=BF=g,

故QE=#，BD=4DE2+BE2=73，

所以心+次)2=AB?,所以AD_LBD,

因?yàn)镻￡>_L平面A8CD,SOu平面A8CD,所以POJ.BO,

又PDcAD=D,所以801.平面PAD,又因尸Au平面PAD,所以8AJ_PA；

Dr

AEFB

(2)如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，BD=^3,則A0,O,O),網(wǎng)0,60),網(wǎng)0,0,百),

則麗=卜1,0,@,麗=僅,-瘋6),而=e,0,@,

-..n-AP=-x+y/3z=0-(i-\

設(shè)平面PAB的法向量〃=x,y,z),貝1有｛_廠廠，可取“=6,1,1,

n-BP=-V3y+V3z=0''

則cos■，DP)=百贏=V，所以PO與平面PAB所成角的正弦值為手.

八z

2.(2022?全國乙理)如圖，四面體ABCO中，ADA.CD,AD=CD,ZADB=/JiDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BE。_L平面ACD；

(2)設(shè)AB=8￡>=2,44cB=60。，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求CF與平面AB。所成的角的

正弦值.

2.解析(1)因?yàn)锳D=8,E為AC的中點(diǎn)，所以AC_LQE；

在△A8￡)和ACED中，因?yàn)锳D=CD,NADB=NCDB,DB=DB,

所以△ABZ自所以AB=CB,又因?yàn)椤辏簽锳C的中點(diǎn)，所以AC_LBE；

又因?yàn)椤?E,BEu平面BED,DEcBE=E,所以AC_L平面BE。，

因?yàn)锳Cu平面ACD,所以平面BED1,平面ACD.

(2)連接EF,由(1)知，AC_L平面BE￡),因?yàn)镋Fu平面BE。，

所以AC，￡F,所以SOFC=；ACEF,

當(dāng)EFJ.BD時，EF最小，即△AFC的面積最小.

因?yàn)?，所以C8==2,

又因?yàn)閆4CB=60。，所以AABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為4c的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=￡,

因ADYCD,所以￡>E=；AC=1,

在4DEB中，OE2+BE2=BD2，所以BEJ.￡>￡.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則A(l,0,0),8(0,G,0),￡>(0,0,l),所以而=(-1,0,1),福=卜1,6,0),

設(shè)平面A3。的一個法向量為n=(x,y,z),

n?AD=-x+z=0

取y=,貝ij"=（3,6,3）,

n?AB=-x+>/3y=0

又因?yàn)镃(-l,O,O"(o,乎,.，所以-1,中?

設(shè)CF與平面ABO所成的角的正弦值為

所以sin0=|cos^n,CF^|=,

3.(2022?北京)如圖，在三棱柱ABC-A5G中，側(cè)面BCG5為正方形，平面8CG片，平面鈣片為，

AB=BC=2,M,N分別為44，AC的中點(diǎn).

⑴求證：MN〃平面BCQBi；

(2)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求直線A8與平面所成角的正弦值.

條件①：AB±MN；條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.

3.解析(1)取A3的中點(diǎn)為K,連接MK,NK,

由三棱柱45C-AqG可得四邊形延四4為平行四邊形，而5M=MV8K=K4,則,

而MKg平面CBB￡,BB|u平面CB8Q，故MKH平面CBBg,

而CN=N4BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面C明G,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面CBB]G,而MVu平面MKN,故MN〃平面CBBQi,

（2）因?yàn)閭?cè)面CB8c為正方形，故CBLBB],

而C8u平面CBBiG,平面CB4G，平面A8B|A,

平面CBB?c平面A84A=BB],故CBJ_平面ABJ31A,

因?yàn)镹KHBC,故NK_L平面AB814,因?yàn)锳Bu平面ABqA,故NK_LAB,

若選①，則AB_LMV,而NKLAB,NK（~]MN=N,

故A5_L平面MNK,而MKu平面MNK,故AB_LMK,

所以ABA.BB],而CB_LB8|,CBcAB=B,故BB|_L平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故麗=（0,2,0）,麗=（1,1,0）,麗=（0,1,2）,

設(shè)平面BMW的法向量為〃=（x,y,z）,貝叫______,從而｛,取z=-l,則"=（-2,2,-1）,

n-BM=01y+2z=0

設(shè)直線A8與平面BNM所成的角為9,則sin=|cos=.|.

若選②，因NK//BC,故NKL平面ABB1%,而KMu平面MKN,

故NKLKM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而用B=MK=2,MB=MN,故ABB、M三.MKN,所以乙珥用=NMKN=90。，故4q_18片，

而CB1BB],CBcAB=B,故8與1.平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則8（0,0,0）,4（0,2,0）,N（l,1,0）,“（0,1,2）,

故麗=（0,2,0）,麗=（1,1,0）,麗=（0,1,2）,

-,、\n-BN=Qfx+y=0-,、

設(shè)平面RMU的法向重為〃=（x,y,z）,貝叫_____,從而｛八，取z=-l,則N=（-2,2,-1）,

設(shè)直線A8與平面8NM所成的角為。，則sin6=卜os

4.（2022?浙江）如圖，已知458和。￡>￡尸都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC=3,EF=\,

ZBAD=ZCDE=3,二面角尸-。C-B的平面角為60。.設(shè)M,N分別為膽B(tài)C的中點(diǎn).

EF

⑴證明：FNLAD；

(2)求直線BM與平面4QE所成角的正弦值.

4.解析(1)過點(diǎn)E、。分別做直線DC、AB的垂線￡G、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、H.

,四邊形A8CD和EFCZZ都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC=3,EF=1,ZBAD=ZCDE=60P,

由平面幾何知識易知，DG=AH=2,ZEFC=ZDCF=ZDCB=ZABC=90°,則四邊形￡FCG和四邊形

DCBH是-矩形，...在RtAEGD和Rt^DHA,EG=DH=2>/3,

VDCJ.CF,DCrCB,且CFcCB=C,

OC,平面8CENBC尸是二面角尸-￡>C-8的平面角，則NBCF=60°,

/XBCF是正三角形，由。Cu平面ABCD,得平面ABCD_L平面BCF,

N是3c的中點(diǎn)，，F(xiàn)N_L3C,又Z)C_L平面BCF,FNu平面BCF,可得fNLCD,而BCcCD=C,

FN_L平面ABCO,而4￡>u平面ABCD,.\FN±AD.

(2)因?yàn)镽VJ■平面ABCD,過點(diǎn)N做AB平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、NR所在直線分

別為x軸、V軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-*,

設(shè)A(5,,0),B(0,V3,0),D(3,-73,0),E(l,0,3),則，

.?.麗=(3,-走而=(-2,-2逐,0),詼=(-2,右,3)

22

設(shè)平面AOE的法向量為為=(x,y,z)

?AD=00—2x—2>/3y=0ll

由n-DE=0'付'「',<H=(V3,-1,V3),

一2x+J3y+3z=0

設(shè)直線與平面ADE所成角為

5石5百

."*辰5,麗〉卜與瑞

幣.2也一14

【方法總結(jié)】

直線與平面所成的角

如圖，直線48與平面a相交于點(diǎn)8,設(shè)直線AB與平面a所成的角為仇直線A8的方向向量為“,

平面a的法向量為"，則sin6=|cosV〃，^湍.

【題型突破】

1.(2020?北京)如圖，在正方體A5CD-A山中,E為38的中點(diǎn).

(1)求證：BG〃平面AGE；

(2)求直線AA,與平面ADtE所成角的正弦值.

1.解析(1)在正方體ABCQ-ABiGn中，AB//AiBlS.AB=A^Bl,AH〃GA且4囪=G￡)i,

...4B〃CQi且A8=CQi,；.四邊形A8CQ1為平行四邊形，：.BC\//AD}

平面ADiE,ADiU平面ADiE,...BCi〃平面APE.

(2)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,A4i所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)

系A(chǔ)xyz,

設(shè)正方體ABC。-451cbe>1的梭長為2,則4(0,0,0),4(0,0,2),D,(2,0,2),E(0,2,1),

AXI—(0,0,2),j—-(2,0,2),A^—(0,2,1).

〃?/(不i=0,2x+2z=0,

設(shè)平面4￡>iE的法向量為〃=(x,y,z),由<得

n盤=0,2y+z=0,

令z=-2,則x=2,y=1,則"=(2,11—2).cos</i,AA\>==o

2

因此，直線A4與平面所成角的正弦值為東

2.(2020?浙江)如圖，在三棱臺ABC-DE尸中，平面ACFD-L平面ABC,ZACB=ZACD=45°,DC=2BC.

⑴證明：EFVDB-,

(2)求直線OF與平面OBC所成角的正弦值.

2.解析(1)如圖，過點(diǎn)。作。OLAC,交直線AC于點(diǎn)。，連接08.

由/ACO=45。，DOLAC得CD=pCO.

由平面ACFD_L平面A8C,得。。1.平面A8C,所以。。_L.BC.

由NACB=45。，BC=^CD=^CO得BOLBC.所以BC_L平面BDO,故BCLDB.

由三棱臺48C-DEF得3c〃EF,所以EFLDB.

(2)法一：如圖，過點(diǎn)。作OHLBO,交直線BO于點(diǎn)H,連接C”.

由三棱臺ABC-DEF得。尸〃C。,所以直線。F與平面QBC所成角等于直線CO與平面OBC所成角.

由3CJ_平面890得。故CW_L平面BCD,所以NOC”為直線CO與平面DBC所成角.

設(shè)CD=2版

由D0=0C=2,BO=BC=?得8。=#,0H=^3,所以sin/OC”=^=羋，

因此，直線OF與平面D8C所成角的正弦值為竽.

法二：由三棱臺A8C-OE尸得。尸〃CO,

所以直線OF與平面QBC所成角等于直線CO與平面08c所成角，記為6.

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以射線OC,0D為y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z.

設(shè)CD=2，L由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：

0(0,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),0(0,0,2).

因此元=(0,2,0),BC=(-1,1,0),前=(0,-2,2).

設(shè)平面BCQ的法向量〃=(x,y,z).

|nBC=0,[—x+y=0,

由即c4_可取〃=(1,1,1).

[n~CD=0,12y+2z-0,n

所以sinJ=|cos<元，”>|=IOC”|=坐.

\OC\-\n\

因此，直線CF與平面￡>8C所成角的正弦值為坐

3.(2020?全國H)如圖，已知三棱柱ABC—45G的底面是正三角形，側(cè)面8BGC是矩形，M,N分別為

BC,SG的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn)，過BiCi和尸的平面交A8于E,交AC于F.

(1)證明：AA\//MN,且平面4AMM1平面EBiCF；

(2)設(shè)。為△AiBiG的中心，若4。〃平面EBiG凡且AO=AB,求直線SE與平面AiAMN所成角的正

弦值.

3.解析(1)因?yàn)镸,N分別為BC,的中點(diǎn)，所以MN〃CG.又由已知得A4/CG,故A4i〃MM

因?yàn)椤?5G是正三角形，所以8iGJ_4M又81G_LMM故BCj,平面4AMM

所以平面A|4MV_L平面EBiCtF.

Z

/1

;

yc

M

(2)由已知得AML3C以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，詁的方向?yàn)閤軸正方向，|麻|為單位長，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系M一孫z,則A8=2,AM=V3.

連接NP,則四邊形AONP為平行四邊形，故PM=羊，E竽y4

由(1)知平面4AMNJ_平面ABC.

4—

作NQ_L4W,垂足為。，則N。，平面A8c.設(shè)。(00,0),貝?。軳Q=A/(^3^—0)2,

Bl(a,1,寸4一(￥—4)2),故盛=(￥一〃，一|,\,4一(小一〃)),|8閩一3?

又"=(0,-1,0)是平面44MN的法向量，故

sin(A格)=cos<〃,潞=上些=邛

Ml禍

所以直線SE與平面44MN所成角的正弦值為噌.

4.(2020?新山東)如圖，四棱錐P-A8C。的底面為正方形，PL)_L底面ABCD.設(shè)平面以。與平面PBC的

交線為1.

(1)證明：LL平面POC；

(2)已知PQ=A￡>=1,Q為/上的點(diǎn)，求PB與平面QCC所成角的正弦值的最大值.

4B

4.解析(1)在正方形ABCO中，AD//BC,因?yàn)锳QC平面C,BCu平面PBC,所以AD〃平面PBC,

又因?yàn)锳Ou平面秒1。，平面孫DC平面P8C=/,所以A/)///.

因?yàn)樵谒睦忮FP-48C。中，底面A8CD是正方形，所以ADLDC,所以LLDC,

又PD_L平面48c。，所以4￡>_1_尸。，所以/_LPO.因?yàn)?(：HPD=D,所以/J_平面PCC.

(2)如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

因?yàn)镻O=AC=1,則有0(0,0,0),C(0,1,0),4(1,0,0),P(0,0,1),8(1,1,0),

設(shè)Q(〃z,0,1),則有皮=(0,1,0),雙=(卬0,1),屈=(1,1,-1).

Dtn=0,y=0,

設(shè)平面QC￡)的法向量為"=(x,y,z),貝小即，

D^n=0,mx+z=0,

令x=l,則2=—也所以平面0CQ的一個法向量為n=(1,0,—/H),

〃?而1+O+/77

則cos<n,

同?曲,7而+1

根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值,

所以直線與平面所成角的正弦值等于

ll+ffll2m

|cos<n,防>1=w2+13N

SN〃戶+1zn2+1

三坐Ni+〃駕產(chǎn)坐71+1=半，當(dāng)且僅當(dāng)，”=1時取等號,

所以直線PB與平面QCO所成角的正弦值的最大值為乎.

5.(2021?浙江)如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面A8C￡)是平行四邊形，乙48c=120。，AB=\,BC=4,

PA=y[T5,M,N分別為BC,PC的中點(diǎn)，PD1DC,PMVMD.

(1)證明：ABLPM；

(2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.

5.解析(1)在平行四邊形ABC。中，由已知可得，CD=AB=1,CM=^BC=2,N￡>CM=60。,

所以由余弦定理可得，DM2=CD^CM2-2CDCMcos60°=3,

則CD2+DM2=I+3=4=CM,即CZ)_LOM,

又PMC\DM=M,所以CQ_L平面PDW,

而PMu平面PDM,所以CD_LPM.因?yàn)镃￡>〃48,所以A8_LPM.

（2）由（1）知，COJ?平面PDM,又CQu平面ABCD,所以平面AHCDL平面PDM,

且平面A8CD平面CIPOM=OM,因?yàn)镻M_LOM,且PMu平面PDM,所以PM_L平面A8CD,

連接4W,則在△ASM中，AB=\,BM=2,乙48M=120。，

可得AAf2=i+4—2?12（一;）=7,

又出=仃，在RSPMA中，求得PM=26,

取AO中點(diǎn)E,連接ME,則ME〃C。，可得ME、MD、A/P兩兩互相垂直，

以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以M。、ME、MP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A（一5，2,0）,P（0,0,2）,C（小，-1,0）.又N為PC的中點(diǎn)，

所以M坐，一/的,忒=（邛^,—|,包，

平面POM的一個法向量為〃=（0,1,0）,

設(shè)直線AN與平面POM所成角為仇則sin，=|cos<RV,n>|=-I^L=^5,

1"1?加°

故直線AN與平面PDM所成角的正弦值為華.

6.（2016?全國HI）如圖，四棱錐P-ABCZ）中，必，底面A8C￡>,AD//BC,AB=AD=AC=3,必=BC=

4,M為線段AO上一點(diǎn)，AM^IMD,N為PC的中點(diǎn).

⑴證明〃平面PAB-,

（2）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.

2

6.解析（1）由已知得4河=?。=2.取8P的中點(diǎn)7,連接AT,TN,

由N為PC的中點(diǎn)知力V〃8C,TN=^BC=2.又AQ〃BC,故力V觸4W,

所以四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN〃AT.

因?yàn)槠矫鎍B,ATu平面所以MN〃平面PAB.

y

c

(2)取8c的中點(diǎn)E,連接4E.由AB=AC得AE_LBC,從而AELAD,

且AEny/ABZ-BE2=弋AB?=小以A為坐,標(biāo)原點(diǎn)，靛的方向?yàn)閄軸正方向，

),0,4),M(0,2,0),C(4,2,0),《坐，1,2),

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系4一孫2.由題意知P((

麗=(0,2,-4),麗=(坐，1,一2),而=普，1,2).

\nPM=O,f2y-4z=0,

設(shè)〃=(x,y,z)為平面PMN的法向量，則j即1\[5可取〃=(0，2,1).

〔〃?麗=0,[■^i+y-2z=0,

于是|COS<",4N>|—但她一嚏.所以直線AN與平星mpMN所成角的正弦值為嚏.

1〃曲一

7.(2018?全國I)如圖，四邊形ABCO為正方形，E,尸分別為AD,BC的中點(diǎn)，以￡>尸為折痕把△￡>「(7折

起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)尸的位置，且P/LBF.

⑴證明：平面PMJ_平面A8FZ)；

(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值.

Jy

A乙------------/

7.解析(1)由已知可得，BFVPF,BFLEF,

又PFQEF=F,所以平面PEF.又8尸u平面ABFD,所以平面P￡F_L平面A8FC.

(2)作P”_LEF,垂足為，.由(1),得P4_L平面ABF,

以，為坐標(biāo)原點(diǎn)，濟(jì)的方向?yàn)閥軸正方向，|昉為單1f立長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系"xyz.

Z'

\…c

D/…

......;

-一

由（1）可得，DELPE.又DP=2,DE=\,所以又PF=l,EF=2,PELPF.

所以PH=坐，EH=|，則”（0,0,0）,《0,0,明，D（-l,-1,0）,

所以蘇=[1,5,坐），前=（o,0,坐），〃■底為平面A8FO的法向量.

設(shè)OP與平面48斤￡）所成的角為仇

3

則sin，=^?=%=坐.所以。P與平面ABFD所成角的正弦值為坐.

|兩蘇|V3，

8.（2018?浙江）如圖，已知多面體ABCAIBIG，AiA,B\B,GC均垂直于平面ABC,ZABC=120°,A|A=

4,GC=1,AB=BC=BiB=2.

⑴證明:ABi_L平面AIBIG；

（2）求直線AC,與平面ABBt所成的角的正弦值.

8.解析方法一（1）由AB=2,AAt=4,BBi=2,AAt±AB,BBtlAB,得A8=48i=2近,

所以AB?+AB￥=A圖，故A8|_L4B1.

由BC=2,BBi=2,CCi=l,BBiLBC,CCi±BC,得小.

由AB=BC=2,NA8C=120°,得AC=25.

由CG_L4C,得47|=行，所以A陰+31c故

又因?yàn)锳i8nBiC=Bi,AiBi,BGu平面AiBiG,所以ABiJ■平面AiBG.

⑵如圖，過點(diǎn)Ci作CIOLABI,交直線ABi于點(diǎn)Q,連接AD

由A5_L平面AiBiCi,得平面48iG_1_平面ABB1.

由CQL4向,平面451cle平面A8Bi=4/i,CQu平面48?,得CQJ_平面ABBi.

所以/GAO即為AC,與平面ABBt所成的角.

由B\C\,AiBi=2'\/2,A1C1=1\]2,1,得cosNCjAIBI="7,sin/C4i8i=^~,所以C\D=y[3,

故sin/GAO=?2=粵.因此直線AG與平面A3'所成的角的正弦值是喀.

AC-i1513

方法二（I）如圖，以AC的中點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以射線08,0C為x,y軸的正半軸，建立空間直角坐

標(biāo)系Oxyz.

由題意知各點(diǎn)坐標(biāo)如下：A（0,一小，0）,8（1,0,0）,4（0,一小，4）,?1（1,0,2）,Ci（0,小，1）.

因此盤尸（1,小，2）,Gi=（l,小，-2）,而乙=（0,2小,-3）.

由屁rGi=0,得山i.由癌17G淳|=0,得A8iJ_AQ.

又A山mAiCi=Ai,AiBltAiGu平面ABC,所以43,平面ABC】.

（2）設(shè)直線4G與平面所成的角為仇由（1）可知

衣產(chǎn)（0,2小,1）,牯=（1,小，0）,麗產(chǎn)（0,0,2）.

〃?屈=0,/y=0,

設(shè)平面ABBi的一個法向量為〃=（x,y,z）.由彳得，

ji.麗i=0,12z=0,

可取〃=（一小，1,0）.

所以sine=|cos<A^i,“>|」&]閭

蛇同

因此直線AG與平面A8S所成的角的正弦值是簪.

9.如圖，七面體ABC7）所的底面是凸四邊形ABC￡>,其中A8=AO=2,ZBAD=120°,AC,80互相垂

直并相交于點(diǎn)O，OC=2OA,棱AE,CF均垂直于底面ABC。，且AE=2CF.

（1）證明：直線。E與平面BCF不平行；

⑵若C尸=1,求直線8C與平面BFD所成角的正弦值.

9.解析⑴假設(shè)〃平面"C,因?yàn)?E〃C尸，AEC平面8FC,CFu平面8FC,所以AE〃平面BFC,

又因?yàn)镈E?〃平面2FC,AEHDE=E,AE,DEt平面ADE,所以平面4DE〃平面BFC,

根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理可得AO〃8C,所以黑=怒.

UDCz/A

因?yàn)锳B=AO,AO±BD,所以BO=OO,CO=OA,這與0c=204矛盾,

所以O(shè)E與平面3尸C不平行.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則8(0,—小，0),C(2,0,0),力(0,小，0),E(-l,0,2),尸(2,0,1),

所以比=(2,小，0),仍=(0,—25，0),肝=(2,一小，1).

由n=0,乍[一2小y=0,

設(shè)平面8FC的法向量〃=(x,y,z),由＜h

D>.n=0,l2x-y[3y+z=0,

則y=0,取x=l,得z=-2,

所以平面的一個法向量〃=(1,0,-2).

所以直線8c與平面8F￡＞所成的角的正弦值為sin(?=庭坦=2您.

的川

10.(2017?浙江)如圖，已知四棱錐P-ABC。，△以。是以AO為斜邊的等腰直角三角形，BC//AD,CD1.

AD,PC=AD=2DC=2CB,E為P￡＞的中點(diǎn).

(1)證明：CE〃平面以&

(2)求直線CE與平面P8C所成角的正弦值.

P

//\\E

,4>D

BC

10.解析(向量法)：(1)設(shè)A。的中點(diǎn)為O,連接OB,OP.???△以。是以4。為斜邊的等腰直角三角形,

：.OP±AD.'：BC=^AD=OD,且BC〃。/),

二.四邊形Beno為平行四邊形,.?.4O_L平面OPB.

過點(diǎn)。在平面POB內(nèi)作OB的垂線OM,交PB于M,

以。為原點(diǎn)，08所在直線為x軸，OO所在直線為y軸，OM所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

如圖.設(shè)CO=1,則有40，—1，0),8(1,0,0),C(l,1,0),0(0,1,0).設(shè)P(x,0,z)(z>0),

(x-l)2+l+z2=4,得x;1，z當(dāng)s即點(diǎn)《fV1，。，

由PC=2,OP=l,得，

而E為尸。的中點(diǎn),

設(shè)平面雨3的法向量為〃=(?，yi,zi),

?.?舒/1,明，AB=(1,1,0),.)~2x'+y'+2Z1-0,取y|=_],得"=(1,-1,小).

/i+yi=0,

而仍=(-*坐)，則昆"=0,而CEC平面附8,；.CE〃平面外艮

(2)設(shè)平面PBC的法向量為，〃=(*,刈，Z2),?.?進(jìn)=(0,1,0),麗=(一|,0,明，

/2=0,

3小取12=1,得小=(1,0,小).

-2^2+222=0,

設(shè)直線CE與平面PBC所前角為0.則sin0=|cos</w,用>|=三無皿~=、g,

故直線CE與平面P8C所成角的正弦值為坐.

(幾何法)：(1)如圖，設(shè)雨的中點(diǎn)為F,連接EF,FB.因?yàn)橥逨分別為PO,雨的中點(diǎn)，

所以EF〃AZ)且EF=)Z),又因?yàn)?C〃4￡),BC=^AD,所以EF〃BC且EF=BC,

即四邊形BCEF為平行四邊形，所以CE〃BF.

因?yàn)锽Fu平面布8,CEU平面叢3,所以CE〃平面B4B.

(2)分別取BC,AO的中點(diǎn)為M,N.連接PN交E尸于點(diǎn)Q,連接MQ,BN.

因?yàn)镋,F,N分別是PO,/次，AO的中點(diǎn)，所以。為E尸的中點(diǎn)，

在平行四邊形BCEF中，MQ//CE.由△B4O為等腰直角三角形得PN_LAZ).

由。C_LAD,N是4。的中點(diǎn)得8N_LAO.又PNCBN=N,所以AOJ_平面PBM

由BC//AD得BC_L平面PBN,那么平面PBC_L平面PBN.

過點(diǎn)。作/由的垂線，垂足為，，連接則是M2在平面P8C上的射影,

所以/QMH是直線CE與平面P8c所成的角.

設(shè)8=1.在△PCQ中，由PC=2,CD=1,PD=讓得CE=巾,

在△PBN中，由PN=BN=1,必=小得Q，=；,

在中，Q”=7MQ=@,所以sinNQM〃=V，

所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是卓.

O

11.已知四棱錐P-ABC。，底面ABC。為菱形，PD=PB,〃為PC上的點(diǎn)，過AH的平面分別交尸8,PD

于點(diǎn)M,N,且80〃平面AMaN.

(1)證明：MN_LPC；

(2)當(dāng)〃為PC的中點(diǎn)，PA=PC=/AB,%與平面ABC。所成的角為60。，求與平面所

成角的正弦值.

因?yàn)?8C。為菱形，所以BDLAC.因?yàn)镻D=PB,所以P0L8O.

因?yàn)锳Cn/Y>=。，且AC,尸。u平面P4C,所以8。_L平面PAC.

因?yàn)镻Cu平面PAC,所以BD1PC.因?yàn)锽O〃平面AMHN,

且平面AA/HVC平面所以BD〃MN,MN_L平面PAC,所以MMLPC.

(2)由(1)知8O_LAC且PO_LB。.因?yàn)樵?=尸C,且。為AC的中點(diǎn)，

所以POJ_AC,所以PO_L平面ABC。，所以P4與平面ABC。所成的角為NPAO,

所以NP4O=60。，所以AO=gpA,PO=^PA.因?yàn)镻A=，i48,所以BO=*PA.

以。為原點(diǎn)，OA,OD,0P分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PA=2,所以。(0,0,0),A(l,0,0),《0,-乎，0),C(-l,0,0),D(0,坐，0),P(0,0,

所以筋=(o,o),油=(一去o,坐),助=(—1,坐，o).

,「2小c

一〃勵=0,看尸仇

設(shè)平面AMHN的法向量為n=a，yz),所以，即〈廣

9["初=0,[/+率=0.

令x=2,則y=0,z=2小，所以〃=(2,0,2小)為平面AW7N的一個法向量.

設(shè)AO與平面AMHN所成角為。，所以sin9=|cos<〃，At?|=—|=乎.

l|n||AZ)||4

所以AO與平面4MHN所成角的正弦值為坐.

12.如圖，在四棱錐「一ABCO中，以，底面ABCD,底面ABC。是直角梯形，ZADC=90°,AD//BC,

AB1AC,AB=AC=巾,點(diǎn)E在A￡>上，且AE=2ED

(1)已知點(diǎn)F在BC上，且CF=2F8,求證：平面PEFL平面/MC；

(2)當(dāng)二面角A—尸8—E的余弦值為多少時，直線PC與平面以8所成的角為45。？

p

12.解析(1)：48J_AC,A8=AC,；./ACB=45。，：底面ABC。是直角梯形，ZADC=90°,AD//BC,

：.ZACD=45°,即AO=C￡>,AC=y12AD,又A8J_4C,：.BC=y[2AC=2AD,

2

；AE=2E。,CF=2FB,：.AE=BF=^AD,^'：AE//BF,

四邊形A8FE是平行四邊形，；.AB〃EF,...ACLE尸，

:辦"L底面ABC。，：.PALEF,'：FACiAC=A,PA,ACu平面B4C,，￡：/1平面%C,

又EFu平面PEF,；.平面PEF_L平面PAC.

(2)'：PAIAC,ACLAB,PAHAB^A,PA,A8u平面以B,

；.AC，平面以8,則NAPC為PC與平面所成的角，若PC與平面B48所成的角為45。，

則tan/4PC=)^=l,即R4=4C=啦，

I/TI

取BC的中點(diǎn)G,連接AG,則AGJ_BC,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，

AG,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)yyz,

則4（0,0,0）,8（1,-1,0）,C（I,1,0）,電，1,0）,P（0,0,黃），

二動=（1,_/。），#=（o，—黃），

|”.或=0,

設(shè)平面尸BE的法向量為"=（X,y,z）,貝K

[?E?=0,

令y=3,則x=5,z=讓，二”=(5,3,72).VAt=(l,1,0)是平面B4B的一個法向量,

f5+3

cos<w，心=再=

2^/2

即當(dāng)二面角A—PB—E的余弦值為于時，直線PC與平面出8所成的角為45。.

13.如圖，在四棱錐P-A8CO中，底面A8C。為邊長為2的菱形，/D4B=60。，ZADP=90°,平面A￡>P

，平面ABC。，點(diǎn)F為棱PD的中點(diǎn).

(1)在棱A8上是否存在一點(diǎn)E,使得AF〃平面PCE?并說明理由；

(2)當(dāng)二面角。一FC-8的余弦值為坐時，求直線PB與平面ABC。所成的角.

13.解析(1)在棱AB上存在點(diǎn)E,使得AF〃平面PCE,點(diǎn)E為棱AB的中點(diǎn).理由如下：

取PC的中點(diǎn)Q,連接E。，F(xiàn)Q,

由題意，尸。〃OC且FQ=：CC,AE//CDS.AE=^CD,則4E〃尸。且AE=FQ.

所以四邊形4EQF為平行四邊形.所以A尸〃EQ,又EQu平面PCE,4PC平面PCE,

所以A尸〃平面PCE.

(2)由題意，知△4BO為正三角形，所以E。_L4B,亦即EOJ_C。，

又乙4OP=90。，所以尸￡>_LAO,且平面平面A8C￡),平面4OPD平面A8CO=A￡>,

所以PO_L平面ABCD,故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)"D=a(a>0),則由題意知。(0,0,0),尸(0,0,a),C(0,2,0),B(小,I,0),

進(jìn)=(0,2,-a),&=(小，-1,0),

nt■的=0,(2y—az=0,

設(shè)平面尸8c的法向量為m=(x,y,z),則由彳得，「

_mC^=0,〔小》一尸0,

令x=l,則y=/,z=$^,所以取m=(1,小，弓3，

顯然可取平面。尸C的法向量”=(1,0,0),

歷1

由題意知4=|cos<"?,