專題16解直角三角形

--選擇題

1.（2022?天津）tan45°的值等于（）

A.2B.1C.—D.立

23

2.（2022?四川樂(lè)山）如圖，在R/AABC中，NC=90。，BC<,點(diǎn)。是AC上一點(diǎn)，連接8D.若tanNA=；,

tanNABD=-,則8的長(zhǎng)為（）

3

A.26B.3C*非D.2

3.（2022?浙江杭州）如圖,已知△ABC內(nèi)接于半徑為1的。。，NBAC=t53是銳角），則ZkABC的面積的最

A.cos0（1+cosB.cos/l+sin。）C.sin6?（l+sin&）D.sind（l+cos，）

4.（2022?云南）如圖，已知AB是。。的直徑，CD是。。的弦，AB^\CD.垂足為E.若AB=26,CD=24,則

NOCE的余弦值為（）

5.（2022?陜西）如圖，AD是AABC的高，若比>=2C￡>=6,tan/C=2,則邊A3的長(zhǎng)為（）

A

A.3后B.3>/5C.3幣D.66

6.（2022?浙江金華）一配電房示意圖如圖所示，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，已知8c=6m,ZABC=a,則房

頂A離地面E尸的高度為（）

A

A.(4+3sina)mB.(4-1-3tana)mC.4+——mD.4+——m

\sina)ktan4J

7.（2022?浙江麗水）如圖，已知菱形ABC。的邊長(zhǎng)為4,E是5C的中點(diǎn)，力廠平分N￡4Z>交。。于點(diǎn)F,FG//AD

2岳5_

Jr-------D.

32

8.（2022?四川廣元）如圖，在正方形方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都相等，4、8、C、。都在格點(diǎn)處，AB

與CD相交于點(diǎn)P,則cosZAPC的值為（）

AgR2-「2Rx/5

5555

9.（2022?湖北隨州）如圖，已知點(diǎn)8,D,C在同一直線的水平，在點(diǎn)C處測(cè)得建筑物A8的頂端A的仰角

為a,在點(diǎn)。處測(cè)得建筑物AB的頂端A的仰角為6,CD=a,則建筑物A8的高度為（）

atanatanBatanatanp

D，

C，tana—tan/?tanp-tana

二.填空題

10.（2022?山東泰安）如圖，某一時(shí)刻太陽(yáng)光從窗戶射入房間內(nèi)，與地面的夾角“PC=30。，已知窗戶的

高度AF=2m,窗臺(tái)的高度b=lm,窗外水平遮陽(yáng)篷的寬45=0.8m,則CP的長(zhǎng)度為（結(jié)果精確

到0.1m).

11.（2022?天津）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，圓上的點(diǎn)A,B,C及ND尸產(chǎn)的一邊上的點(diǎn)E,

F均在格點(diǎn)上.

（I）線段E尸的長(zhǎng)等于；

（II）若點(diǎn)M,N分別在射線叨,P尸上，滿足NMBN=90。且BM=BN.請(qǐng)用無(wú)為噂的直尺，在如圖所示

的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)M,N,并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)M,N的位置是如何找到的（不要求證明）.

12.（2022?江蘇揚(yáng)州）在AABC中，ZC=90°,a、b、c分別為NA、ZB、NC的對(duì)邊，若從=a，則sinA的

值為.

13.（2022?湖南衡陽(yáng)）回雁峰座落于衡陽(yáng)雁峰公園，為衡山七十二峰之首.王安石曾賦詩(shī)聯(lián)“萬(wàn)里衡陽(yáng)雁，

尋常到此回”.峰前開(kāi)辟的雁峰廣場(chǎng)中心建有大雁雕塑，為衡陽(yáng)市城徽.某課外實(shí)踐小組為測(cè)量大雁雕塑的

高度，利用測(cè)角儀及皮尺測(cè)得以下數(shù)據(jù)：如圖，AE=10m,ZBDG=30°,ZfiFG=60°.已知測(cè)角儀D4的

高度為1.5m,則大雁雕塑的高度約為m.（結(jié)果精確至0.1m.參考數(shù)據(jù)：6B1.732）

14.（2022?浙江嘉興）如圖，在AABC中，ZABC=90",NA=60。，直尺的一邊與BC重合，另一邊分別交

AB,AC于點(diǎn)D,E.點(diǎn)8,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬BD的長(zhǎng)為.

15.（2022?浙江紹興）如圖，43=10,點(diǎn)C在射線BQ上的動(dòng)點(diǎn)，連接AC,作CD_LAC,CD=AC,動(dòng)

點(diǎn)E在A8延長(zhǎng)線上，tanNQ8E=3,連接CE,DE,當(dāng)CE=DE,CELOE時(shí)，BE的長(zhǎng)是.

16.（2022?山東泰安）如圖，在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，小明同學(xué)要測(cè)量一座與地面垂直的古塔48的高度,

他從古塔底部點(diǎn)處前行30m到達(dá)斜坡CE的底部點(diǎn)C處，然后沿斜坡CE前行20m到達(dá)最佳測(cè)量點(diǎn)。處，在

點(diǎn)D處測(cè)得塔頂A的仰角為30。，已知斜坡的斜面坡度i=l：G，且點(diǎn)A,B,C,D,在同一平面內(nèi)，小明

同學(xué)測(cè)得古塔AB的高度是.

17.（2022?江蘇連云港）如圖，在6x6正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點(diǎn)A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正

18.（2022?四川涼山）如圖，8是平面鏡，光線從A點(diǎn)出發(fā)經(jīng)CD上點(diǎn)。反射后照射到B點(diǎn)，若入射角為a,

反射角為B（反射角等于入射角），AC_LC。于點(diǎn)C,BD_LCD于點(diǎn)。，且AC=3,BD=6,CD=12,則tana

的值為.

19.（2022?四川涼山）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，。。是AABC的外接圓，點(diǎn)A,B,。在格點(diǎn)上,

則cosZACB的值是

20.（2022?山東濱州）在RtAABC中，ZC=90",AC=5,BC=12,則sinA=.

21.（2022?湖北黃岡）如圖，有甲乙兩座建筑物，從甲建筑物A點(diǎn)處測(cè)得乙建筑物。點(diǎn)的俯角a為45。，C

點(diǎn)的俯角夕為58。，8c為兩座建筑物的水平距離.已知乙建筑物的高度為6,〃，則甲建筑物的高度AB為

m.（sin58°?0.85,cos58°?0.53,tan58°?1.60,結(jié)果保留整數(shù)）.

BC

22.（2022?四川廣元）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個(gè)含45。角的直角三角板CDE的斜邊。E靠

在直尺的一邊AB上，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，Df=12cm.當(dāng)點(diǎn)。沿D4方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿

射線AF方向滑動(dòng).當(dāng)點(diǎn)?；瑒?dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為cm.

23.（2022?湖北宜昌）如圖，C島在4島的北偏東50。方向，C島在8島的北偏西35。方向，則ZACB的大小

是.

北

:￡

北

D

B

三.解答題

24.（2022?江蘇宿遷）如圖，某學(xué)習(xí)小組在教學(xué)樓A8的頂部觀測(cè)信號(hào)塔C。底部的俯角為30。，信號(hào)塔頂部

的仰角為45。.已知教學(xué)樓AB的高度為20m,求信號(hào)塔的高度（計(jì)算結(jié)果保冒根號(hào)）.

25.（2022?天津）如圖，某座山A8的項(xiàng)部有一座通訊塔BC,且點(diǎn)A,B,C在同一條直線上，從地面P處

測(cè)得塔頂C的仰角為42。，測(cè)得塔底B的仰角為35。.已知通訊塔BC的高度為32m,求這座山AB的高度（結(jié)

果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：tan35°a0.70,lan42°a（）.9（）.

26.（2022?浙江湖州）如圖，已知在OtAABC中,ZC=90°,AB=5,BC=3.求AC的長(zhǎng)和sinA的值.

27.（2022?新疆）周米，王老師布置了一項(xiàng)綜合實(shí)踐作業(yè)，要求利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量一棟樓的高度.小希站在

自家陽(yáng)臺(tái)上，看對(duì)面一棟樓頂部的仰角為45。，看這棟樓底部的俯角為37。，己知兩樓之間的水平距離為30m,

求這棟樓的高度.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°?0.75）

28.（2022?湖南邵陽(yáng)）如圖，一艘輪船從點(diǎn)A處以30km/h的速度向正東方向航行，在A處測(cè)得燈塔C在北

偏東60。方向上，繼續(xù)航行l(wèi)h到達(dá)8處，這時(shí)測(cè)得燈塔C在北偏東45。方向上，已知在燈塔C的四周40km內(nèi)

有暗礁，問(wèn)這艘輪船繼續(xù)向正東方向航行是否安全？并說(shuō)明理由.（提示：聲百=1.732）

29.（2022?湖南懷化）某地修建了一座以"講好隆平故事，厚植種子情懷”為主題的半徑為800米的圓形紀(jì)念

園.如圖，紀(jì)念園中心點(diǎn)A位于C村西南方向和B村南偏東60。方向上，C村在B村的正東方向且兩村相距

2.4千米.有關(guān)部門(mén)計(jì)劃在8、C兩村之間修一條筆直的公路來(lái)連接兩村.問(wèn)該公路是否穿過(guò)紀(jì)念園？試通

過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明.（參考數(shù)據(jù)：V3=1.73,72-1.41）

30.（2022?四川成都）2022年6月6日是第27個(gè)全國(guó)"愛(ài)眼日"，某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了“筆記本電腦的張角

大小、頂部邊緣離桌面的高度與用眼舒適度關(guān)系”的實(shí)踐探究活動(dòng).如圖，當(dāng)張角408=150。時(shí)，頂部邊

緣A處離桌面的高度AC的長(zhǎng)為10cm,此時(shí)用眼舒適度不太理想.小組成員調(diào)整張角大小繼續(xù)探究，最后

聯(lián)系黃金比知識(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角NA'08=108。時(shí)（點(diǎn)4是A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），用眼舒適度較為理想.求此時(shí)頂部邊

緣4處離桌面的高度A'。的長(zhǎng).（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sin72°?0.95,cos72°?0.31,tan72°?3.08）

A'

31.（2022?四川瀘州）如圖，海中有兩小島C,D,某漁船在海中的A處測(cè)得小島C位于東北方向，小島D

位于南偏東30。方向，且A,。相距l(xiāng)Onmile.該漁船自西向東航行一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)B,此時(shí)測(cè)得小島C

位于西北方向且與點(diǎn)B相距8應(yīng)nmile.求8,。間的距離（計(jì)算過(guò)程中的數(shù)據(jù)不取近似值）.

D

32.（2022?浙江臺(tái)州）如圖1,梯子斜靠在豎直的墻上，其示意圖如圖2,梯子與地面所成的角a為75。,

梯子AB長(zhǎng)3m,求梯子頂部離地豎直高度8c.（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù):sin75°=0.97,cos750=0.26,

tan75°=3.73)

33.（2022?湖南湘潭）湘潭縣石鼓油紙傘因古老工藝和文化底蘊(yùn)，已成為石鼓鄉(xiāng)村旅游的一張靚麗名片.某

中學(xué)八年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組參觀后，進(jìn)行了設(shè)計(jì)傘的實(shí)踐活動(dòng).小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計(jì)理念，設(shè)計(jì)了

中截面如圖所示的傘骨結(jié)構(gòu)（其中罷彩0.618）：傘柄A"始終平分NBAC,A8=AC=20cm,當(dāng)

AH

N3AC=120。時(shí)，傘完全打開(kāi)，此時(shí)/8￡Q=90。.請(qǐng)問(wèn)最少需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的傘柄？（結(jié)果保留整數(shù)，參考

數(shù)據(jù):6之1.732)

34.（2022?湖南常德）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于今年2月4日至20日在北京舉行，我國(guó)冬奧選手取得

了9塊金牌、4塊銀牌、2塊銅牌，為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)，激起了國(guó)人對(duì)冰雪運(yùn)動(dòng)的熱情.某地模仿北京首鋼

大跳臺(tái)建了一個(gè)滑雪大跳臺(tái)（如圖），它由助滑坡道、弧形跳臺(tái)、著陸坡、終點(diǎn)區(qū)四部分組成.圖是其示意

圖，已知：助滑坡道A尸=50米，弧形跳臺(tái)的跨度FG=7米，頂端E到8。的距離為40米，HG//BC,

ZAFH=4O°,AEFG=25°,ZECB=36。.求此大跳臺(tái)最高點(diǎn)A距地面8。的距離是多少米（結(jié)果保留整

數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin40°?0.64,cos40°?0.77,tan40°?0.84,sin25°?0.42,cos25°?0.91,tan25°?0.47,

sin36°a0.59,cos36°?0.81,tan36°?0.73)

35.（2022?湖北宜昌）知識(shí)小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端，梯子與地面所成的角

a一般要滿足53。4aM72。.如圖，現(xiàn)有一架長(zhǎng)4m的梯子AB斜靠在一豎直的墻A。上.

⑴當(dāng)人安全使用這架梯子時(shí)，求梯子頂端A與地面距離的最大值；

⑵當(dāng)梯子底端8距離墻面1.64m時(shí)，計(jì)算/鉆。等于多少度？并判斷此時(shí)人是否能安全使用這架梯子？

（參考數(shù)據(jù)：sin530=0.80,cos53°?0.60,tan53°?1.33,sin72°?0.95,cos72°?0.31,tan72°?3.08,

sin66°70.91,cos66°?0.41,tan660?2.25)

BO

36.（2022?湖南株洲）如圖1所示，某登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者由山坡①的山頂點(diǎn)A處沿線段AC至山谷點(diǎn)C處，再

從點(diǎn)C處沿線段CB至山坡②的山頂點(diǎn)B處.如圖2所示，將直線/視為水平面，山坡①的坡角ZACM=30°,

其高度A"為0.6千米，山坡②的坡度i=BN于N,且CN=&千米.

BB

C

⑴求Z4CB的度數(shù);

（2）求在此過(guò)程中該登山運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者走過(guò)的路程.

37.（2022?甘肅武威）濡陵橋位于甘肅省渭源縣城南清源河（渭河上游）上，始建于明洪武初年，因“渭水

繞長(zhǎng)安，繞滿陵，為玉石欄桿潘陵橋"之語(yǔ)，得名溺陵橋（圖1）,該橋?yàn)槿珖?guó)獨(dú)一無(wú)二的純木質(zhì)疊梁拱橋.某

綜合實(shí)踐研究小組開(kāi)展了測(cè)量汛期某天"濡陵橋拱梁頂部到水面的距離”的實(shí)踐活動(dòng)，過(guò)程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖2,點(diǎn)C為橋拱梁頂部（最高點(diǎn)），在地面上選取48兩處分別測(cè)得NCAF和/CBF的度數(shù)

（A,S,D,F在同一條直線上），河邊。處測(cè)得地面到水面EG的距離DE（C,F,G在同一條直線上,

DF//EG,CGLAF,FG=DE）.

數(shù)據(jù)收集：實(shí)地測(cè)量地面上A,8兩點(diǎn)的距離為8.8m,地面到水面的距離DE=1.5m,/CAF=26.6。，NCBF=35。.

問(wèn)題解決：求浦陵橋拱梁頂部C到水面的距離CG（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin26.6°=0.45,cos26.6°=0.89,tan26.6°=0.50,sin35°=0.57,cos35°=0.82,tan35°=0.70.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程.

圖1

38.（2022?江西）圖1是某長(zhǎng)征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知尸G,A,

D,H,G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得/FEC=/4=72.9°,AO=1.6m,EF=6.2m.（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

圖1圖2

⑴求證：四邊形OEFG為平行四邊形;（2）求雕塑的高（即點(diǎn)G到AB的距離）.（參考數(shù)據(jù):

sin72.9°?0.96,cos72.9°々0.29,tan72.9°23.25)

39.（2022?浙江寧波）每年的11月9日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，

某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí).如圖1,架在消防車(chē)上的云梯AB可伸縮（最長(zhǎng)可伸至20m）,且可繞點(diǎn)8轉(zhuǎn)

動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m,當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離8。

為9m.⑴若NABD=53。，求此時(shí)云梯AB的長(zhǎng).（2）如圖2,若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，

請(qǐng)問(wèn)在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin53%0.8,cos53?=0.6,

tan53°=1.3)

圖1圖2

40.（2022?四川自貢）某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過(guò)程如下:

圖③圖④

⑴探究原理：制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一段固定在量角器圓心。處，另一端系小重物G.測(cè)量時(shí)，使支桿。M、

量角器90。刻度線QN與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A8

共線（如圖②），此目標(biāo)尸的仰角乙POC=NGON.請(qǐng)說(shuō)明兩個(gè)角相等的理由.

⑵實(shí)地測(cè)量：如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹(shù)，為了測(cè)量樹(shù)高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得頂端尸的仰角

ZPOQ=60,觀測(cè)點(diǎn)與樹(shù)的距離2為5米，點(diǎn)。到地面的距離OK為1.5米：求樹(shù)高P”.（班=1.73,

結(jié)果精確到0.1米）

⑶拓展探究：公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距離地面高度P”（如圖④），同學(xué)們討論，決定先

在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E,F（EF,“在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角a，B,再測(cè)得E,尸間的距離〃，，

點(diǎn)。，?？诘降孛娴木嚯x?區(qū)。2尸均為1.5米；求PH（用機(jī)表示）.

4L（2022?浙江紹興）圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括

一根直立的標(biāo)竿（稱為"表"）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為"圭”），當(dāng)正午太

陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一

天定為夏至.圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC,已知該市冬至正午

太陽(yáng)高度角（即48C）為37。，夏至正午太陽(yáng)高度角（即/ADC）為84。，圭面上冬至線與夏至線之間的距

離（即的長(zhǎng)）為4米.⑴求NBAD的度數(shù).⑵求表AC的長(zhǎng)（最后結(jié)果精確到0.1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin370=

34319

一,cos37°=—,tan370=—,tan84°=—)

5542

圖1圖2

42.（2022?浙江金華）圖1是光伏發(fā)電場(chǎng)景，其示意圖如圖2,EF為吸熱塔，在地平線EG上的點(diǎn)8,夕處

各安裝定日鏡（介紹見(jiàn)圖3）.繞各中心點(diǎn)（AA'）旋轉(zhuǎn)鏡面，使過(guò)中心點(diǎn)的太陽(yáng)光線經(jīng)鏡面反射后到達(dá)吸熱

器點(diǎn)F處.已知AB=4B，=lm,E8=8m,E*=86m,在點(diǎn)A觀測(cè)點(diǎn)F的仰角為45。.

鏡

定日

線

太陽(yáng)光

成，

等組

面鏡

架、平

由支

點(diǎn),

中心

點(diǎn)為

面交

與鏡

支架

垂直.

地平線

支架與

鏡

、定日

鏡

平面

身/

中心

\\c

架

個(gè)支

,

吸熱塔D^（A

DXA

1

線

地平

——

——

G

B'

B

E

圖2

圖1

圖3

m.

EF為

高度

F的

（1）點(diǎn)

系是

數(shù)量關(guān)

4的

口與

，則

=〃

'A8'

N￡>

=c,

4B

設(shè)ND

（2）

點(diǎn)C