兩數(shù)之距之和最小值的探究與訓練孫老師探究思路展示（一）基礎(chǔ)知識X,X>0絕對值的定義|x|=0,x=0或X二-X,X<0課本告訴我們，XI的幾何意義是表示X與原點之間的距離；我們做這樣的變形，X|=|X—0］，當然這也就表示X與0之間的距離；兩數(shù)之距等于大數(shù)減小數(shù)，等于小數(shù)減大數(shù)的相反數(shù)；我們可以總結(jié)為：兩數(shù)之距等于兩數(shù)之差的絕對值 這一點很重要，多舉例體會下；b—4表示b與a之距，b+a|=b—（—a）表示b與—a之距；X—1|表示x與1之距，X+1|=X一（一1）|表示x與-1之距；（二）一個絕對值的最小值問題X-1|表示X與1之距，顯然當X=1時，此距取得最小值，該值為0；X+1|表示X與-1之距，顯然當X=-1時，此距取得最小值，該值為0；x|可改寫為X-。|，這表示x與0之距，顯然當x=0時，此距取得最小值，該值為0；（三）兩個絕對值之和的最小值問題X-1|+X-3|表示X與1之距加上X與3之距之和，易知當1<X<3時，此和取得最小值，該值就是1與3之距，即3,1=2.練習(lx-ll+lx-101)=，當且僅當—VxV—時，取得該最小值；min(lx+ll+lx-101)=當且僅當—時，取得該最小值；min(lx-101+lx-ll)=，當且僅當—時，取得該最小值；min(ix-101+lx+ll)=，當且僅當—時，取得該最小值；min(l^+1011+lx+ll)=，當且僅當—時，取得該最小值；min(lx+ll+lx+101)=，當且僅當—時，取得該最小值；min(|x_ioi+lx+5l)=，當且僅當—時，取得該最小值；min(lx-61+lx-OI)=，當且僅當時，取得該最小值；min(lx+21+lxl)=，當且僅當—時，取得該最小值；min(10)若x= ,貝”X+5I+lx—61= ;2020(四)三個絕對值之和的最小值問題卜-1|+,-3|+卜-5|表示了與1之距加上了與3之距加上了與5之距之和，易知當％=3時，此和取得最小值，該值就是1與5之距,即5」=4.分析如下：V|x-l|+|x-5|>4z當且僅當1VxV5時，等號成立；|%-3|>0,當且僅當％=3時,等號成立；.?.x_l|+x_3+x—5"+0=4,當且僅當］一'一，即1=3時，等號成立。x=3錯解一：*/|x-1>0zx-3|>0zx-5>0z/.|x-l|+x-3|+x-5>0錯誤原因,在于沒有注意到任」|=。，|x—3|=。，J"5|二。是不能同時成立的,因為X-1|>0,當且僅當X=1時，等號成立；X-3|>0，當且僅當X=3時，等號成立；|x-5|)0,當且僅當x=5時，等號成立；但是x=1、x=3、x=5不能同時成立。錯解二：???卜-1|+|x-3|>2;|x-5|>0;「?X-1+x-3+x-5>2+0=2;上面的分析也是有問題的，得到的結(jié)果也是錯誤的，原因還是在于〃等號不能同時成立“，請仔細看下面???|x-1|+|x-3|>2,當且僅當1<X<3時，等號成立；|x-5|>0,當且僅當x=5時，等號成立；1<x<3???X-1+X-3+X-5>2+0=2,當且僅當]——時等號成立，但是不等式組x=5[<X<3是無解的。[x=5上面的分析提示我們，在應用“不等式的同向可加性”求解三個絕對值的和的最小值問題時，我們一定要注意各個不等式是否能夠同時取得等號，也就是要注意各個不等式是否能夠同時取得各自的最小值。那么我們是否可以總結(jié)出什么解題技巧呢？技巧就是我們可以先把各個絕對值等于0時，對X值的要求，按照從小到大的順序依次排列，把三個X的值X1、X2、X3在數(shù)軸上排好，“從兩側(cè)向中間包抄”，即假設(shè)有X1<X2<X3，那么IX-X1I+IX-X3I>X3-X1，當且僅當X1<X<X3時，等號成立；|x-xJ20,當且僅當X=X2時，等號成立；Ix-X1+X-X+|x-X>X-X，當且僅當<X「X—X3，即X=X時，等號成立。11 2 1 3 3 1 X=X 2I2〃從兩側(cè)向中間包抄”的技巧，是可以保證等號同時成立的。當相加的絕對值數(shù)量大于三個時，這個技巧依然是奏效的。下面繼續(xù)研究四個絕對值相加時的具體操作流程。（五）四個絕對值之和的最小值問題,_3|+卜-7|+卜-1|+k-5|表示x與3之距加上x與7之距加上x與1之距加上x與5之距之和，那么『―3|+卜—7|+儼_11+卜_5|的最小值如何來求呢？首先我們分析得到：x-320，當且僅當x=3時，等號成立；x-7|>0，當且僅當x=7時，等號成立;|x-1住0，當且僅當x=1時，等號成立；|x-5|>0，當且僅當x=5時，等號成立；把四個零點從小到大排列，1<3<5<7x-1+x-7>6，當且僅當1<x<7時，等號成立；|x-3|+|x-5|>2，當且僅當3<x<5時，等號成立；11<x<7x-1+x-3+x-5+x—7>6+2=8，當且僅當， ，即3<x<5時，等號成一 [3<x<5立。四個絕對值相加取得最小值的條件與三個絕對值相加取得最小值的條件有所不同。四個絕對值相加時，每個絕對值內(nèi)部取零對x提出一個要求，生成一個零點，一共生成四個零點，按照從小到大的順序假設(shè)為\<x2<x3<x4，Ix-x1l+Ix-x4I>x4-x1，當且僅當x1<x<x4時，等號成立；Ix-x21+1x-x31>x3-x2，當且僅當x2<x<x3時，等號成立;. . . x<x<xx—x+x—x+x—x+lx-xl>(x-x)+(x-x)，當且僅當5111 2 1 3 4 4 1 3 2 x<x<xx2<x<%時，等號成立也就是說，四個絕對值相加時取得最小值得條件，是四個零點按從小到大的順序排好后的最中間的“那一段”，而不是最中間那一個位置。這也很容易理解的，因為四個點前后依次配對，最終會留下中部的兩個點，而不是只留下中部的一個點。

（六）孫老師做總結(jié)由于有大量符號化語言，建議學有余力的同學閱讀我們設(shè)a<〃<〃<??<〃，|x-aj+]x-aJ+|x-a3|+-?.+|x-a|表示x與a1之距加上x與a2之距加上x與a3之距加上…加上x與an之距之和，當x取哪個值或哪些值時，此和最小呢？孫老師的分析如下:—ax\xa(2+x—x—a+|x-x-a|+x-x-a+x—x—a+|x-x-a|+x-x-a+x—⑴x落入a.⑶⑴x落入a.⑶x落入a、a2之間，I|x-axXa(2n-2I就可以取得最小值°an之間，|x-aj+|x-aJ就可以取得最小值a^；⑵x落入a2、an[之間，|x-aJ+|x_an）就可以取得最小值an_1-a2；最后，①n為偶數(shù)時,x落入a與ax落入a與a之間,

n n+12 2x-ax-a2+1就可以取得最小值a -an+] n②n為奇數(shù)時,TOC\o"1-5"\h\zx落在a+上時，x-a+就可以取得最小值0；n-1 n-12 2所以x-a+|x-a+|x-a x-a(a-a)+(a(aaa)+(a-a)+-+(〃+-a(a-a)+(a(aaa)+(a12 n-1+1n-1-1 n-1-a)+...+(a2-a)2 n為偶數(shù)時，當a<x<a時取得該最小值.12 n+1n n n+12 2 2 2

階梯性訓練題Lx的最小值是 一當x= —時，取得該最小值.2.x―1的最小值是__ ，當x=—--時，取得該最小值.3.X+1|的最小值是_ ，當x=—--時，取得該最小值.4.X-6|的最小值是__ ，當x=- 時，取得該最小值.5.x+6冏最小值是__ ，當x=- 時，取得該最小值.6.Ix-1|+x―3|的最小值是 .，當-―<x<_一時，取得該最小值.7.x+1|+|x—2|的最小值是 .，當-—<x<-一時，取得該最小值.8.x+1|+|x―3|的最小值是 .，當-—<x<-一時，取得該最小值.9-|x+2|+x—2仲勺最小值是 一當——_<x<_一時，取得該最小值.10.|x+2|+x_6|的最小值是 一當一—_<x<-—時，取得該最小值.11.x+x_2|的最小值是 ,當—-_<；x<—__時，取得該最小值.12.|x-8|+x+2|的最小值是 一當一—_<x<一時，取得該最小值.13.|x_1|+x_2|的最小值是 一當一—_<x<--__時，取得該最小值.14.x-1|+x—1997忖勺最小值是___ 當 <x<一時，取得該最小值.15.x-2|+x-1996|的最小值是__ 當 <x<一時，取得該最小值.16.|x-3|+x—1995的最小值是___ 當 <x<一時，取得該最小值.17.x-4|+x-1994|的最小值是一 當 <x<一時，取得該最小值.18.x_5+x_1993的最小值是__ 當—<x<一時，取得該最小值.19.|x-6|+x-1992|的最小值是__ 當 <x<一時，取得該最小值.20.|x-999|的最小值是 ，當x=_——時，取得該最小值.21.x_998+x—1000的最小值是_ 一,當—-<x<一時，取得該最小值22.x_997+x-1001的最小值是_ 一,當 <x<一時，取得該最小值23.x_996|+x_1002|的最小值是—,當一-<x<一時，取得該最小值.24.|x_995|+x_1003|的最小值是一,當一<x<一時，取得該最小值.25.|x_994|+x,1004|的最小值是__一當一_<x<一時，取得該最小值.26.x_993|+x,1005|的最小值是—,當一<x<一時，取得該最小值.27.x-1+x_2|+x_3|的最小值是 當x=—一時，取得該最小值.28.x_1+x_3+x_5的最小值是_—，當x=—一時，取得該最小值.29.lx+1+x—2+x_5的最小值是_—，當x二—一時，取得該最小值.|x|+|x-1|+|x-6|的最小值是 ，當x=時，取得該最小值.|x+3|+M+1+M-1|的最小值是 ，當x=時，取得該最小值.任+6|+用+卜—6冏最小值是 當x=時，取得該最小值.|x_1|+|x_2|+|x_3|+|x_4|的最小值是 ，當<x<時，取得該最小值.|x_11+卜_3|+卜_5|+4—7|的最小值是 ，當<x<時，取得該最小值.兇+卜―2,卜_4|+卜_6|的最小值是 當一<x<一時，取得該最小值.|x+1|+卜-1|+|x—3|+竹—5］的最小值是 當一<x<一時，取得該最小值.|x+2|+|x+1+卜—1+卜_2|的最小值是 ，當<x<時，取得該最小值.試求,-1|+|x_2|+|x_3|+...+|x_1997］的最小值.（天津市競賽題）試求|x-2|+卜_4|+|x-6|+...+|x_2000］的最小值.成都市考題真題自測.結(jié)合數(shù)軸和絕對值的知識回答下列問題：-57-3-2T01234⑴數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是;表示-3和2兩點之間的距離是;一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m-n|.如果表示數(shù)a和-2的兩點之間的距離是3,那么a=;⑵若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4和2之間，求|a+4|+|a-2|的值。.觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點間的距離4與-2,3與5,-2與-6,-4與3.并回答下列問題：⑴你能