1、第六章 概率分布 1、后驗(yàn)概率（統(tǒng)計(jì)概率）后驗(yàn)概率（統(tǒng)計(jì)概率） 隨機(jī)事件隨機(jī)事件A在在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)次試驗(yàn)中出現(xiàn)m次，次，m與與n的比值，的比值，就是隨機(jī)事件就是隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率。出現(xiàn)的頻率。 一、一、概率的定義概率的定義 nmWA 2 2、先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率（古典概率古典概率） 古典概率模型要求滿足兩個(gè)條件：古典概率模型要求滿足兩個(gè)條件： 實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果是有限的 每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等。nmPA)(二、概率的基本性質(zhì)二、概率的基本性質(zhì) （一）概率的公理（一）概率的公理 1的概率都是非負(fù)的。的概率都是非負(fù)的。 0 P（A）

2、1 2的概率等于零。的概率等于零。 3的概率等于的概率等于1。 （二）概率的加法定理（二）概率的加法定理 互不相容事件：在一次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中，若事件互不相容事件：在一次實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中，若事件發(fā)生，則事件就一定不發(fā)生，這樣的兩個(gè)發(fā)生，則事件就一定不發(fā)生，這樣的兩個(gè)事件為互不相容事件。事件為互不相容事件。 加法定理加法定理(additive rule)(additive rule)：兩：兩和的概率，等于這兩個(gè)事件概率之和。即和的概率，等于這兩個(gè)事件概率之和。即 BABAPPP)(1212(+)nnAAAAAAPPPP （三）概率的乘法定理（三）概率的乘法定理 獨(dú)立事件：一個(gè)事件的出現(xiàn)對另一個(gè)事件的出現(xiàn)

3、獨(dú)立事件：一個(gè)事件的出現(xiàn)對另一個(gè)事件的出現(xiàn)不發(fā)生影響。不發(fā)生影響。 相關(guān)事件或相依事件：事件相關(guān)事件或相依事件：事件A的概率隨事件的概率隨事件B是否是否出現(xiàn)而改變，事件出現(xiàn)而改變，事件B的概率隨事件的概率隨事件A是否出現(xiàn)而改是否出現(xiàn)而改變。變。 乘法定理乘法定理(product rule)：兩個(gè)：兩個(gè)獨(dú)立事件獨(dú)立事件同時(shí)出現(xiàn)同時(shí)出現(xiàn)的概率等于這兩事件概率的乘積。的概率等于這兩事件概率的乘積。 BABAPPP )( （1）按隨機(jī)變量是否具有連續(xù)性來分類，可分為）按隨機(jī)變量是否具有連續(xù)性來分類，可分為離散分布離散分布（二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布）（二項(xiàng)分布、泊松分布、超幾何分布）與與連連續(xù)分布

4、續(xù)分布（正態(tài)分布、負(fù)指數(shù)分布、威布爾分布）（正態(tài)分布、負(fù)指數(shù)分布、威布爾分布）。 （2）按分布函數(shù)的來源來分類，可分為）按分布函數(shù)的來源來分類，可分為經(jīng)驗(yàn)分布與經(jīng)驗(yàn)分布與理論分布理論分布 。 （3）按概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征來分類，可分為基）按概率分布所描述的數(shù)據(jù)特征來分類，可分為基本隨機(jī)變量分布與抽樣分布。本隨機(jī)變量分布與抽樣分布。概率分布的類型概率分布的類型 第二節(jié) 正態(tài)分布（高斯分布） 一、正態(tài)分布特征一、正態(tài)分布特征 （一）正態(tài)分布曲線函數(shù)（一）正態(tài)分布曲線函數(shù) 正態(tài)分布曲線函數(shù)又稱概率密度函數(shù)，其一般方正態(tài)分布曲線函數(shù)又稱概率密度函數(shù)，其一般方程為程為22212Xye （二）正態(tài)分布

5、的特征（二）正態(tài)分布的特征 1.正態(tài)分布的形式是正態(tài)分布的形式是對稱對稱的，其對稱軸是的，其對稱軸是經(jīng)過平經(jīng)過平均數(shù)點(diǎn)的垂線均數(shù)點(diǎn)的垂線。 2.正態(tài)分布的正態(tài)分布的中央點(diǎn)最高中央點(diǎn)最高，然后逐漸向兩側(cè)下降，然后逐漸向兩側(cè)下降，曲線的形式是先向內(nèi)彎，然后向外彎，曲線的形式是先向內(nèi)彎，然后向外彎，拐點(diǎn)位拐點(diǎn)位于正負(fù)于正負(fù)1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差處，曲線兩端向靠近基線處無，曲線兩端向靠近基線處無限延伸，但終限延伸，但終不能與基線相交不能與基線相交。 3.正態(tài)曲線下的正態(tài)曲線下的面積為面積為1，由于它在平均數(shù)處左右對稱，由于它在平均數(shù)處左右對稱，故經(jīng)平均數(shù)點(diǎn)的垂線將正態(tài)曲線下的面積劃分為相等的兩故經(jīng)平均數(shù)

6、點(diǎn)的垂線將正態(tài)曲線下的面積劃分為相等的兩部分，各為部分，各為0.50。 （4）正態(tài)分布是一族分布。它隨隨機(jī)變量的平）正態(tài)分布是一族分布。它隨隨機(jī)變量的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小與單位不同有不同的分布形均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差的大小與單位不同有不同的分布形態(tài)。態(tài)。22212XXAedx （5）正態(tài)分布中各種差異量數(shù)的值皆有固定的比）正態(tài)分布中各種差異量數(shù)的值皆有固定的比率。率。 （6）在正態(tài)分布曲線下，標(biāo)準(zhǔn)差與概率（面積）在正態(tài)分布曲線下，標(biāo)準(zhǔn)差與概率（面積）有一定的數(shù)量關(guān)系。如：正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含有一定的數(shù)量關(guān)系。如：正負(fù)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含總面積的總面積的68.26%；正負(fù)；正負(fù)1.96個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包

7、含總個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含總面積的面積的95%；正負(fù)；正負(fù)2.58個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含總面積的個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含總面積的99%；正負(fù)；正負(fù)3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含總面積的個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差之間，包含總面積的99.74%。二、正態(tài)分布表的編制與使用二、正態(tài)分布表的編制與使用 （一）正態(tài)分布表的編制與結(jié)構(gòu)（一）正態(tài)分布表的編制與結(jié)構(gòu) 正態(tài)分布表的結(jié)構(gòu)一般包括三欄正態(tài)分布表的結(jié)構(gòu)一般包括三欄 第一欄：第一欄：Z分?jǐn)?shù)單位；分?jǐn)?shù)單位； 第二欄：密度函數(shù)或比率數(shù)值（第二欄：密度函數(shù)或比率數(shù)值（y）；）； 第三欄：概率值（第三欄：概率值（p）。）。 （二）正態(tài)分布表的使用（二）正態(tài)分布表的使用 1.1.依據(jù)依據(jù)Z Z分?jǐn)?shù)求概率

8、分?jǐn)?shù)求概率p p，即已知標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)求面積。，即已知標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)求面積。 求某求某Z分?jǐn)?shù)值與平均數(shù)（分?jǐn)?shù)值與平均數(shù)（Z=0）之間的概率。）之間的概率。 求某求某Z分?jǐn)?shù)以上或以下的概率。分?jǐn)?shù)以上或以下的概率。 求兩個(gè)求兩個(gè)Z分?jǐn)?shù)之間的概率。分?jǐn)?shù)之間的概率。例例1（1）求某）求某Z分?jǐn)?shù)與平均數(shù)（分?jǐn)?shù)與平均數(shù)（z=0）之間的概率直接查表之間的概率直接查表例例2（2）求某）求某Z分?jǐn)?shù)以上或以下的概率分?jǐn)?shù)以上或以下的概率eg：求：求Z=1以上或以下的概率以上或以下的概率解：解：Z=1時(shí)，時(shí)，p=0.34134 z=1以上概率為以上概率為0.5-0.34134，z=1以下概率為以下概率為0.5+0.341341例

9、例3（2）求某）求某Z分?jǐn)?shù)以上或以下的概率分?jǐn)?shù)以上或以下的概率eg：求：求Z=3.24以上的概率以上的概率解：解：Z=3.24時(shí)，時(shí)，p=？ z=1以上概率為以上概率為0.5-0.34134，例例4（3）求兩個(gè)）求兩個(gè)z分?jǐn)?shù)之間的概率分?jǐn)?shù)之間的概率eg：求：求z=3.24和和z=-1.74之間的概率之間的概率解：先求出兩個(gè)解：先求出兩個(gè)z分?jǐn)?shù)分別的概率，若兩個(gè)分?jǐn)?shù)分別的概率，若兩個(gè)z為同號，為同號，則用較大概率減較小概率；若兩個(gè)則用較大概率減較小概率；若兩個(gè)z分?jǐn)?shù)為一正一負(fù)，分?jǐn)?shù)為一正一負(fù)，則兩個(gè)概率相加則兩個(gè)概率相加 2.2.從概率從概率p p求求Z Z分?jǐn)?shù)，即從面積求標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)值。分?jǐn)?shù)，即從

10、面積求標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)值。已知從平均數(shù)開始的概率值求已知從平均數(shù)開始的概率值求Z值值（直接查表直接查表）。已知位于正態(tài)分布兩端的概率值求該概率值分界點(diǎn)的已知位于正態(tài)分布兩端的概率值求該概率值分界點(diǎn)的Z值值（0.5-p0.5-p，然后查表，然后查表）。若已知正態(tài)曲線下中央部分的概率，求若已知正態(tài)曲線下中央部分的概率，求Z分?jǐn)?shù)是多少分?jǐn)?shù)是多少 ( ,然后查表，然后查表，z為正負(fù)兩個(gè)值為正負(fù)兩個(gè)值）。 3.3.已知概率已知概率p p或或Z Z值，求概率密度值，求概率密度y y，即正態(tài)曲線的高，即正態(tài)曲線的高（直直接查表，要注意接查表，要注意p p為中間部分還是兩段部分為中間部分還是兩段部分）。2p 偏態(tài)量數(shù)

11、公式偏態(tài)量數(shù)公式 當(dāng)當(dāng) SK=0 時(shí)，分布對稱時(shí)，分布對稱；當(dāng)；當(dāng) SK0 時(shí)，分布屬正偏時(shí)，分布屬正偏態(tài)；當(dāng)態(tài)；當(dāng) SK0 時(shí)，分布屬負(fù)偏態(tài)。時(shí)，分布屬負(fù)偏態(tài)。 次數(shù)分布是否正態(tài)的檢驗(yàn)方法：次數(shù)分布是否正態(tài)的檢驗(yàn)方法： 1 皮爾遜偏態(tài)量數(shù)法皮爾遜偏態(tài)量數(shù)法sMdMSK3sMMSK0 （二）峰度、偏度檢驗(yàn)法（二）峰度、偏度檢驗(yàn)法 1.1.偏度系數(shù)偏度系數(shù) 當(dāng)當(dāng)g1=0時(shí)分布是對稱的時(shí)分布是對稱的；當(dāng)；當(dāng)g10時(shí)，分布為正偏態(tài)時(shí)，分布為正偏態(tài)；當(dāng)；當(dāng)g1200時(shí)，這個(gè)偏態(tài)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)量時(shí)，這個(gè)偏態(tài)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)量g1才較可靠。才較可靠。313/22/XXNgXXN 2.2.峰度系數(shù)峰度系數(shù) 當(dāng)當(dāng)g2=

12、0時(shí)，正態(tài)分布的峰度時(shí)，正態(tài)分布的峰度；g20時(shí)，分布的峰度時(shí)，分布的峰度比正態(tài)分布的峰度低闊；比正態(tài)分布的峰度低闊；g21000時(shí)，時(shí)，g2值才比較可值才比較可靠?？?。4222/3/XXNgXXN （三）累加次數(shù)曲線法（三）累加次數(shù)曲線法 正態(tài)分布概率曲線和樣本的累加頻率曲線完全重正態(tài)分布概率曲線和樣本的累加頻率曲線完全重合說明樣本分布為正態(tài)；若偏離，則不符合。合說明樣本分布為正態(tài)；若偏離，則不符合。 四、正態(tài)分布理論在測驗(yàn)中的應(yīng)用四、正態(tài)分布理論在測驗(yàn)中的應(yīng)用 （一）化等級評定為測量數(shù)據(jù)（一）化等級評定為測量數(shù)據(jù) 將等級評定轉(zhuǎn)化為測量數(shù)據(jù)，將等級評定轉(zhuǎn)化為測量數(shù)據(jù)，首先要考慮被評定首先要考

13、慮被評定的心理量是否為正態(tài)分布的心理量是否為正態(tài)分布。 將等級評定轉(zhuǎn)化為測量數(shù)據(jù)的方法是用各將等級評定轉(zhuǎn)化為測量數(shù)據(jù)的方法是用各等級中等級中點(diǎn)的點(diǎn)的Z分?jǐn)?shù)代表該等級分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)代表該等級分?jǐn)?shù)。 具體步驟具體步驟 根據(jù)各等級被評者的數(shù)目求各等級的根據(jù)各等級被評者的數(shù)目求各等級的人數(shù)比率人數(shù)比率； 求各等級求各等級比率值的中間值比率值的中間值，作為該，作為該等級的中點(diǎn)等級的中點(diǎn)； 求各等級求各等級中點(diǎn)以上（或以下）的累加比率中點(diǎn)以上（或以下）的累加比率； 用累加比率用累加比率查正態(tài)表求查正態(tài)表求Z值值，該，該Z分?jǐn)?shù)就是各等級分?jǐn)?shù)就是各等級代表性的測量值；代表性的測量值； 求被評者所得評定等級的測量數(shù)據(jù)

14、的求被評者所得評定等級的測量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)，即為每個(gè)被評定者的綜合評定分?jǐn)?shù)。即為每個(gè)被評定者的綜合評定分?jǐn)?shù)。 表表6-2 3名教師對名教師對100名學(xué)生的評定結(jié)果名學(xué)生的評定結(jié)果 【例【例6-2】表】表6-2是是3位教師對位教師對100名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力所作等級名學(xué)生的學(xué)習(xí)能力所作等級評定的結(jié)果。評定的結(jié)果。表表6-3是是3名學(xué)生從名學(xué)生從3位老師那兒獲得的評定等級，試將其轉(zhuǎn)位老師那兒獲得的評定等級，試將其轉(zhuǎn)化為化為Z分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)。 表表6-3 各學(xué)生所獲得的評定等級各學(xué)生所獲得的評定等級 表表6-4 化等級評定為化等級評定為Z分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù) 學(xué)生學(xué)生1的平均成績：的平均成績： (0.94+

15、1.65+1.28)/3=1.29 學(xué)生學(xué)生2的平均成績：的平均成績： (1.96+0.84+1.28)/3=1.36 學(xué)生學(xué)生3的平均成績：的平均成績： (0.94+00.32)/3=0.42（二）確定測驗(yàn)題目的難易度（二）確定測驗(yàn)題目的難易度 確定題目難度分?jǐn)?shù)的具體步驟確定題目難度分?jǐn)?shù)的具體步驟 計(jì)算各題目的計(jì)算各題目的通過率通過率； 用用0.5減去通過率減去通過率，不計(jì)正負(fù)號不計(jì)正負(fù)號，獲得獲得正態(tài)分布表正態(tài)分布表中的中的概率值（概率值（p）； 依照依照p值查正態(tài)表中相應(yīng)的值查正態(tài)表中相應(yīng)的Z值值，通過率大于通過率大于50%的的Z值計(jì)為負(fù)值，通過率小于值計(jì)為負(fù)值，通過率小于50%的的Z值

16、計(jì)為正值值計(jì)為正值； 將查表得到的將查表得到的Z分?jǐn)?shù)加上分?jǐn)?shù)加上5便得到從便得到從010的十進(jìn)制的十進(jìn)制的難度分?jǐn)?shù)值。的難度分?jǐn)?shù)值。 表表6-5 6-5 難度分?jǐn)?shù)的計(jì)算難度分?jǐn)?shù)的計(jì)算 （三）在能力分組或等級評定時(shí)確定人數(shù)（三）在能力分組或等級評定時(shí)確定人數(shù) 將將6個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差除以分組個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差除以分組的或等級的的或等級的數(shù)目數(shù)目，做到，做到Z分?jǐn)?shù)等距；分?jǐn)?shù)等距； 查正態(tài)分布表，查正態(tài)分布表，從從Z求求p，即各等級或各組在等，即各等級或各組在等距的情況下應(yīng)有的比率；距的情況下應(yīng)有的比率； 將將比率乘以欲分組的人數(shù)比率乘以欲分組的人數(shù)，便得到各等級或分，便得到各等級或分組該有的人數(shù)。組該有的人數(shù)。 表表

17、6-6 能力分為五組時(shí)各組人數(shù)的分布能力分為五組時(shí)各組人數(shù)的分布 【例例6-3】 要把要把100人在某一能力上分成人在某一能力上分成5個(gè)等級，各等級應(yīng)該有多少人，個(gè)等級，各等級應(yīng)該有多少人，才能使等級評定做到等距？才能使等級評定做到等距？（四）測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的正態(tài)化（四）測驗(yàn)分?jǐn)?shù)的正態(tài)化 正態(tài)化的步驟正態(tài)化的步驟 當(dāng)原始分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布時(shí)，先將原始分?jǐn)?shù)的頻數(shù)轉(zhuǎn)化當(dāng)原始分?jǐn)?shù)不服從正態(tài)分布時(shí)，先將原始分?jǐn)?shù)的頻數(shù)轉(zhuǎn)化為為相對累積頻數(shù)相對累積頻數(shù)(百分等級百分等級)，將它視為，將它視為正態(tài)分布的概率正態(tài)分布的概率； 然后，通過查正態(tài)分布表中概率值相對應(yīng)的然后，通過查正態(tài)分布表中概率值相對應(yīng)的Z值值，將其轉(zhuǎn)

18、，將其轉(zhuǎn)換成換成Z分?jǐn)?shù)，達(dá)到正態(tài)化的目的。分?jǐn)?shù)，達(dá)到正態(tài)化的目的。 原始分?jǐn)?shù)正態(tài)化的前提條件：研究對象的總體事原始分?jǐn)?shù)正態(tài)化的前提條件：研究對象的總體事實(shí)上應(yīng)該是正態(tài)分布實(shí)上應(yīng)該是正態(tài)分布 T分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)(T scores)是從是從Z分?jǐn)?shù)經(jīng)過轉(zhuǎn)化而來的一種分?jǐn)?shù)經(jīng)過轉(zhuǎn)化而來的一種正態(tài)化的正態(tài)化的標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)。 T=10Z+50 T T分?jǐn)?shù)計(jì)算步驟分?jǐn)?shù)計(jì)算步驟 第一步：將原始分?jǐn)?shù)正態(tài)化；第一步：將原始分?jǐn)?shù)正態(tài)化； 第二步：把正態(tài)化的第二步：把正態(tài)化的Z值代入值代入T值公式加以直線轉(zhuǎn)換。值公式加以直線轉(zhuǎn)換。第三節(jié) 二項(xiàng)分布 一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布一、二項(xiàng)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 （一）（一）二項(xiàng)試驗(yàn)二項(xiàng)試驗(yàn)

19、二項(xiàng)試驗(yàn)：貝努里試驗(yàn)，必須滿足以下幾個(gè)條件：二項(xiàng)試驗(yàn)：貝努里試驗(yàn)，必須滿足以下幾個(gè)條件： 1.任何一次試驗(yàn)任何一次試驗(yàn)恰好有兩個(gè)結(jié)果恰好有兩個(gè)結(jié)果，成功與失敗，或，成功與失敗，或A與與 。 2.共有共有n次試驗(yàn)次試驗(yàn)，且，且n是預(yù)先給定的任一正整數(shù)。是預(yù)先給定的任一正整數(shù)。 3.每次試驗(yàn)各自獨(dú)立每次試驗(yàn)各自獨(dú)立，各次試驗(yàn)之間無相互影響。，各次試驗(yàn)之間無相互影響。 4.某種結(jié)果出現(xiàn)的概率某種結(jié)果出現(xiàn)的概率在任何一次試驗(yàn)中都在任何一次試驗(yàn)中都是固定的是固定的。A （二）（二）二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 二項(xiàng)分布：試驗(yàn)僅有兩種不同性質(zhì)結(jié)果的二項(xiàng)分布：試驗(yàn)僅有兩種不同性質(zhì)結(jié)果的概率分布概率分布。也稱。也稱兩個(gè)對

20、立事件的概率分布。兩個(gè)對立事件的概率分布。 二項(xiàng)分布同二項(xiàng)定理有著密切的關(guān)系：二項(xiàng)分布同二項(xiàng)定理有著密切的關(guān)系： x=0, 1, ,n; n為正整數(shù)。為正整數(shù)。01111nnnnn( + ) =C+C+C+Cnnnnnnp qppqpqqn=0( + ) =Cnnxxn xxp qp q 二項(xiàng)分布的具體定義二項(xiàng)分布的具體定義 設(shè)有設(shè)有n次試驗(yàn)，次試驗(yàn)，各次試驗(yàn)是彼此獨(dú)立的各次試驗(yàn)是彼此獨(dú)立的，每次試，每次試驗(yàn)驗(yàn)?zāi)呈录霈F(xiàn)的概率都是某事件出現(xiàn)的概率都是p，某事件，某事件不出現(xiàn)的概不出現(xiàn)的概率都是率都是q (q=1p)，則對于，則對于某事件出現(xiàn)某事件出現(xiàn)X次次(0, 1, 2, n)的概率分布為：

21、的概率分布為：n( , , )=Cxxn xb x n pp qnnC =(n)xxx 【例【例6-4】 10個(gè)硬幣擲一次，或個(gè)硬幣擲一次，或1個(gè)硬幣擲十次。問五次正個(gè)硬幣擲十次。問五次正面向上的概率是多少？五次及五次以上正面向上面向上的概率是多少？五次及五次以上正面向上的概率是多少？的概率是多少？ 二項(xiàng)展開式的要點(diǎn)：二項(xiàng)展開式的要點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開式中共有項(xiàng)數(shù)：二項(xiàng)展開式中共有n1項(xiàng)項(xiàng)。 方次：方次：p的方次，從的方次，從n0為降冪；為降冪；q的方次從的方次從0n為升冪。為升冪。每項(xiàng)每項(xiàng)p與與q方次之和等于方次之和等于n。 系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)是成功事件次數(shù)的組合數(shù)。系數(shù)：各項(xiàng)系數(shù)是成功事件次數(shù)

22、的組合數(shù)。 解解： （1）根據(jù)題意，）根據(jù)題意，n=10，p=q=1/2，X=5 5510 510551(5, 10, )210!115! 105 !22112522520.2460932321024bC p q （2）五次及五次以上正面向上的概率）五次及五次以上正面向上的概率55566477388299110100101010101010252210120451011024102410241024102410246380.6231024C p qC p qC p qC p qC p qC p q 二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)二、二項(xiàng)分布的性質(zhì) （一）二項(xiàng)分布是離散型分布，概率直方圖是躍（一）二項(xiàng)分布是

23、離散型分布，概率直方圖是躍階式。因?yàn)殡A式。因?yàn)閄 X為不連續(xù)變量，用概率為不連續(xù)變量，用概率條圖條圖表示更合表示更合適，用適，用直方圖表示只是為了更形象直方圖表示只是為了更形象。 1.1.當(dāng)當(dāng)p=qp=q時(shí)時(shí)，圖形是對稱的。圖形是對稱的。 2.當(dāng)當(dāng)pq時(shí)，直方圖呈偏態(tài)，時(shí)，直方圖呈偏態(tài)， pq與與pq的偏斜的偏斜方向相反。方向相反。 如果如果n很大，即使很大，即使pq，偏態(tài)逐漸降低，最終呈正，偏態(tài)逐漸降低，最終呈正態(tài)分布，態(tài)分布，二項(xiàng)分布的極限分布為正態(tài)分布二項(xiàng)分布的極限分布為正態(tài)分布。 當(dāng)當(dāng)pq且且np5，或，或pq且且nq5時(shí)時(shí)，二項(xiàng)分布就，二項(xiàng)分布就可以當(dāng)做一個(gè)可以當(dāng)做一個(gè)正態(tài)分布正態(tài)分

24、布的近似形的近似形。 （二）二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差（二）二項(xiàng)分布的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差 如果二項(xiàng)分布滿足如果二項(xiàng)分布滿足pq，np5，（或，（或pq且且nq5）時(shí)，）時(shí)，二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布。這時(shí)，二項(xiàng)。這時(shí)，二項(xiàng)分布的分布的X變量（即成功的次數(shù)）具有如下性質(zhì)：變量（即成功的次數(shù)）具有如下性質(zhì)：=np， ，即，即X變量為變量為=np， 的正的正態(tài)分布。態(tài)分布。= npq= npq 三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用 解決含有解決含有機(jī)遇性質(zhì)機(jī)遇性質(zhì)的問題。的問題。 所謂機(jī)遇問題是指在實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中，所謂機(jī)遇問題是指在實(shí)驗(yàn)或調(diào)查中，實(shí)驗(yàn)結(jié)果可實(shí)驗(yàn)結(jié)果可能是由于猜測而造成的能是由于

25、猜測而造成的。 【例【例6-6】 有有10道正誤題，問答題者答對幾題才能認(rèn)為他是道正誤題，問答題者答對幾題才能認(rèn)為他是真會，或者說答對幾題，才能認(rèn)為不是出于猜測真會，或者說答對幾題，才能認(rèn)為不是出于猜測因素？因素？ 解：已知猜對與猜錯(cuò)的概率為解：已知猜對與猜錯(cuò)的概率為p=q=0.5，np=5，此二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布，故：，此二項(xiàng)分布接近正態(tài)分布，故： 根據(jù)正態(tài)分布概率，當(dāng)根據(jù)正態(tài)分布概率，當(dāng)Z=1.645時(shí)，該點(diǎn)以下包時(shí)，該點(diǎn)以下包含了全體的含了全體的95%。如果用原分?jǐn)?shù)表示，則為。如果用原分?jǐn)?shù)表示，則為+1.645=5+1.6451.58=7.6=810 0.55np10 0.5 0.51.

26、58npqXZZX 二項(xiàng)分布函數(shù)計(jì)算結(jié)果二項(xiàng)分布函數(shù)計(jì)算結(jié)果 答對答對8道題及其以上的總概率道題及其以上的總概率4510156+=0.0547102410241024102445(8, 10, 0.5)=1024b10(9, 10, 0.5)=1024b1(10, 10, 0.5)=1024b 【例【例6-7】有】有10道多重選擇題，每題有道多重選擇題，每題有5個(gè)答案，個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的。問答對幾道題才能說不其中只有一個(gè)是正確的。問答對幾道題才能說不是猜測的結(jié)果？是猜測的結(jié)果？ 一、正態(tài)分布及漸進(jìn)正態(tài)分布正態(tài)分布及漸進(jìn)正態(tài)分布 二、二、t分布分布 三、三、X2分布分布 四、四、F分布

27、分布一、正態(tài)分布及漸進(jìn)正態(tài)分布一、正態(tài)分布及漸進(jìn)正態(tài)分布 當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的分布符合正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布時(shí)當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的分布符合正態(tài)分布或漸近正態(tài)分布時(shí)，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論的理論依據(jù)即為正態(tài)分布的理論，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推論的理論依據(jù)即為正態(tài)分布的理論。 以樣本平均數(shù)為例，正態(tài)分布的應(yīng)用情形如下。以樣本平均數(shù)為例，正態(tài)分布的應(yīng)用情形如下。1、1.總體總體分布為分布為正態(tài)正態(tài)，方差方差(2 2)已知已知，樣本平均樣本平均數(shù)數(shù)的分布為的分布為正態(tài)分布正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理則有： 樣本均數(shù)的均數(shù)等于總體均數(shù)，即 樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根，即 差異檢驗(yàn)值為nXXZiXiX樣本平均數(shù)平均數(shù)的平均數(shù)2

28、2XnXnSE 平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤樣本平均數(shù)的方差2、2.總體總體分布分布非正態(tài)，非正態(tài)，但但2 2已知已知，這時(shí)當(dāng)樣本足，這時(shí)當(dāng)樣本足夠大時(shí)夠大時(shí)（n30），其樣本平均數(shù)的分布為，其樣本平均數(shù)的分布為漸近漸近正態(tài)分布正態(tài)分布。根據(jù)中心極限定理，亦有 樣本均數(shù)的均數(shù)等于總體均數(shù)： 樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差等于總體標(biāo)準(zhǔn)差除以樣本容量的平方根： 檢驗(yàn)值：22XnXnnXXZiXiX第四節(jié) 抽樣分布 區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布：區(qū)分三種不同性質(zhì)的分布： 總體分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布?？傮w分布：總體內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布。 樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布。樣本分布：樣本內(nèi)個(gè)體數(shù)值的頻數(shù)分布。 抽樣分布：某一抽

29、樣分布：某一樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量的概率分布。的概率分布。 （二）方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布（二）方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布 當(dāng)當(dāng)n足夠大時(shí)（足夠大時(shí)（n30），樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的），樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的分布，漸趨于正態(tài)分布分布，漸趨于正態(tài)分布2snsX22sX222sn標(biāo)準(zhǔn)差分布標(biāo)準(zhǔn)差分布的平均數(shù) 二、二、t t分布分布 t分布分布： 是由是由小樣本統(tǒng)計(jì)量小樣本統(tǒng)計(jì)量形成的概率分布形成的概率分布 t分布是一種左右對稱、峰態(tài)比較高狹，分布形狀分布是一種左右對稱、峰態(tài)比較高狹，分布形狀隨樣本容量隨樣本容量n1的變化而變化的一的變化而變化的一族族分布。分布。nsXnsXXnX11t1nnsX （二）（二）t t分布表

30、的使用分布表的使用 t分布表由三方面的數(shù)值構(gòu)成，即分布表由三方面的數(shù)值構(gòu)成，即t值、自由度和值、自由度和顯著性水平。顯著性水平。 雙側(cè)概率通常寫作雙側(cè)概率通常寫作t/2，單側(cè)概率寫作，單側(cè)概率寫作t。 t值越大，值越大，p值越小。值越小。t0.050.05/2=2.086t0.0250.025=2.086t0.010.01=2.086t0.020.02/2=2.086t0.010.01/2=2.750 （三）樣本平均數(shù)的分布（三）樣本平均數(shù)的分布 1.總體總體分布為分布為正態(tài)正態(tài)，方差方差(2 )未知未知時(shí)，時(shí)，樣本平樣本平均數(shù)均數(shù)的分布為的分布為t分布分布。2(XX)sn11nXsssnn2

31、1(XX)1nsn 2.當(dāng)當(dāng)總體總體分布為分布為非正態(tài)非正態(tài)而其而其方差方差(2 )又又未知未知時(shí)時(shí)，若滿足，若滿足n30這一條件，這一條件，樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)的分布的分布近近似為似為t分布分布。2(XX)sn11nXsssnn21(XX)1nsn三、三、2 2分布分布（一）（一） 分布分布 若若n n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X X1 1，X X2 2，,X Xn n ，均服從標(biāo)準(zhǔn)，均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布 則這則這n n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量的平方和X Xi i2 2構(gòu)成構(gòu)成一新的隨機(jī)變量一新的隨機(jī)變量 其分布規(guī)律稱為其分布規(guī)律稱

32、為 (n) (n)分布，其中參數(shù)分布，其中參數(shù) n n 稱為自由度，稱為自由度，自由度不同就是另一個(gè)自由度不同就是另一個(gè) 分布分布222 此時(shí)，此時(shí)，2 2分布的自由度為分布的自由度為n。 如果正態(tài)總體的平均數(shù)未知，若用樣本平均數(shù)作如果正態(tài)總體的平均數(shù)未知，若用樣本平均數(shù)作為為的估計(jì)值時(shí)：的估計(jì)值時(shí)： 此時(shí)，此時(shí)，2 2分布的自由度為分布的自由度為df=n1。22222iXXns222X2212niix221.1-nns）（一）（一）2 2分布的特點(diǎn)分布的特點(diǎn)1. 2 2分布是一個(gè)分布是一個(gè)正偏態(tài)分布正偏態(tài)分布。n或或n1越小，越小， 2 2分布越分布越偏斜。偏斜。2 2分布分布是一是一族族分布，正態(tài)分布是其極限分布。分布，正態(tài)分布是其極限分布。2. 2 2值都是正值。值都是正值。3. 2 2分布具有分布具有可加性可加性，即，即2 2分布的和也是分布的和也是2 2分布。分布。 2 2是一個(gè)遵從是一個(gè)遵從df=df1+df2+dfk的的2 2分布。分布。4.如果如果df2， 2 2分布的平均數(shù)