1、第七節(jié)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值餐餐方向明0復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)1 .二倍角的正弦、余弦、 正切公式.2 .簡(jiǎn)單的二角怛等交換 (1)利用二角恒等交換研 究三角函數(shù)的性質(zhì).(2)能把一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn) 題轉(zhuǎn)化為二角函數(shù)問(wèn)題， 通過(guò)三角變換解決.了解和、差、倍角公式的 特點(diǎn)，并進(jìn)行變形應(yīng)用.理解三角變換的基本特點(diǎn) 和基本功能.了解三角變換中蘊(yùn)含的數(shù) 學(xué)思想和方法.1 .在理解倍角公式推理的過(guò)程中掌握公 式特征.2 .熟練掌握余弦的二倍角公式，能正用、 逆用.3 .準(zhǔn)確把握三角變換的題型的特征，能 從“角、名、式”三個(gè)方面分析特點(diǎn)、 選擇公式、正確轉(zhuǎn)化求解.知識(shí)造條完善一詁網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建二倍角的正弦、余弦和正切公式1

2、 .二倍角的正弦公式sin 2 % =2sin % cos % .2 .二倍角的余弦公式 cos 2 % =cos2 - -sin 2 % =2cos2 % -1=1-2sin 2 % .3 .二倍角的正切公式tan 2 ” =若£口拓展空間1 .公式理解(1)二倍角公式就是兩角和的正弦、余弦、正切公式中當(dāng) 二(3時(shí)的特殊情況.倍角是相對(duì)的，例如,是的倍角,3 0c是3r的倍角.2 .與倍角公式有關(guān)的變形公式 升哥公式：1+cos a =2cos2 - ;1-cos 認(rèn)=2sin2;1+sin % =(sin +cos -)2;1-sin% =(sin -cos -)2.2222 降

3、哥公式:sin 2 % =1 cos2 ;cos 2 % =1 cos2 ;sin % cos %=sn22(3)半角公式:sin - = ±1 cos .2;cos 產(chǎn) 1 cos ；tan -=±21 cos _ sin 1 cos1 cos 1 cos sin1.已知 R,sin % +2cos % =斗，貝U tan 2口等于(C )(A) ： (B) 4 (C)- 4 (D)- 3解析：法一(直接法)由已知得(sin+ +2cos %)2="/224cos2 sin4sin cos _ 52cos2化簡(jiǎn)得 3tan 2 % -8tan % -3=0,ta

4、n% =3 或 tan a =-1,代入 tan 2 % = 2tan 2 ,得 1 tantan 2 % =- 3.4310,cos解析：法二（猜想法）由給出的數(shù)據(jù)及選項(xiàng)的唯一性，記sin 0cz 一 1=-, 10這時(shí)sin% +2cos % =段符合要求,2此時(shí)tan % =3，代入二倍角公式得到答案 C.故選C.2 .函數(shù)y=sin 2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值為 (C )(A)兀，0(B)2 兀，0(C)兀,2-或(D)2 兀,2- a解析:y=sin 2x+2sin xcos x+3cos 2x=1+sin 2x+(1+cos 2x)=2+72si

5、n(2x+ ；),最小正周期為兀,當(dāng)sin(2x+ 4)=-1時(shí),y取得最小值為2-衣.故選C.3 .(2018 嘉興測(cè)試)cos j - cos § - cos(-等)=.解析:cos j - cos $ cos(-等)=cos 20- cos 40- cos 100 =-cos 20- cos 40- cos 80_ sin 20 cos20 cos40 cos80 -sin 20 . _"一sin 40 cos40 cos80=-2sin 20sin80 cos80=- 4 sin201 sin160=-8sin 201sin 20=-8sin 20=-1.8答案：-

6、184 .化簡(jiǎn) sin 2( % - :)+sin 2( % + 晟)-sin 2 % 的結(jié)果是.解析：法一 原式=+-sin 2 a =1- - cos(2 %222-1)+cos(2 % +!)-sin 2 %2=1-cos 2 % - cos ；-sin %=1- cos2 - 1 cos222二1-.2法二 令 =0,則原式=-+-=-.442答案：12高西* 4更tit考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與給角求值例 1 (1)已知 a=sin 15 cos 15 ,b=cos2- -sin 2- ,c= tan30 ,則661 tan2 30a,b,c的大小關(guān)系是()(A)a<b<c

7、 (B)a>b>c(C)c>a>b (D)a<c<b(2) yFcos8+2VTn8的化簡(jiǎn)結(jié)果為. 12sL-sin 10(福-tan 5)=解析：(1)a=sin 15cos 15=1sin 302=14b=cos2 ,-sin 2: =cos=1,c=匕n30 =1tan 60=亙,1 tan 3022由冷哼可知a<b<C.故選A. 原式=V4cos24 +2 J sin42cos4=2|cos 4|+2|sin 4-cos 4|,因?yàn)?兀<4<|兀,所以 cos 4<0,且 sin 4<cos 4,所以原式=-2co

8、s 4-2(sin 4-cos 4)=-2sin 4.2(3)原式=2cos 10-sin 10(吧-4)2 2sin10 cos10' sin5 cos5 /cos102sin10-sin 102 一 2 一cos 5sin 5sin5 cos5懿-sin 10cos101 sin102=笆g-2cos 102sin10_ cos10 2sin 202sin10_ cos10 2sin 30 102sin1013cos10 2 cos10 sin10 _222sin10_ 3sin102sin10=_3. 2答案:(1)A(2)-2sin 4(3)藪反思方納(1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵

9、循“三看”原則5一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過(guò)看角之間的差別與聯(lián)系，把角 進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式， 常見(jiàn)的有“切化弦”；三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，可以幫助我們找到變形的方向， 如“遇到分式要通分”等.(2) “給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來(lái)看是很 難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí),要利用觀 察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù) 而得解.口遷移訓(xùn)賽1.若函數(shù)f(x)=5cos x+12sin x在x= 0時(shí)取得最小值，則cos 0等于(A)i5 - i2

10、C)1ii (D)-1213136% ),解析:f(x)=5cos x+12sin x =13(；11cos x+ 12 sin x)=13sin(x+其中 sin a =,cos a =, 1313由題意知0 +%=2k兀-；(k 6Z),得 0 =2k 兀-j- % (k 6 Z),所以 cos 0 =cos(2k 兀- % )5=cos(: =-sin故選B.2.化簡(jiǎn):sin 2 % - sin2B+cos2%cos2 B - - cos 2 % - cos 2 B .218解：法 原式=sin2% - sin2B+cos2% cos2 (3 - 1 (2cos2 a-1) - (2co

11、s2p -1)_ _ 2=sin a sin2B +cos %cos2 B - 1 (4cos 2 a2cosB -2cos2 a -2cos2B+1)-2=sin a sin2B -cos cos2 B +cos2 a +cos2 3_ _ 2=sin a sin2B +cos %- sin 2 B.2 c+cos B-2=sinB +cos2 B -1=1- 12_1 .2法二 原式=sin 2 asin 2 B +(1-sin 2 % ) cos 2 3 - - cos 2 % 2cos 2 B=cos2 B -sin 2 a (cos2 B -sin 2 B)- 1 cos 2 a -

12、 cos 2 B=cos2 B -sin 2 a - cos 2=cos2 B -cos 2 B (sin=1 cos2 -cos 2 B sin 23 - 1 cos 2 % cos 2a +1 cos 2 % )2/2%+1(1-2sin 2 %)cos 2 B_ 1 cos2122_1.2法三原式二 os os + Ls Los-lcos 2 0c cos 2 B22222= 1(1+cos 2 cos 2 B -cos 2 a -cos 2)+ 1 (1+cos 2 a ,cos 2 B +cos 2+cos 2 B )- 3 cos 2 a - cos 2 B=1.2法四原式=(si

13、n % - sin 3 -cos % - cos 3 )2+2sin % sin B cos % cos B -1 cos 2 a - cos 2 B=cos2( %+B )+1 sin 2 a - sin 2 3- 1 cos 2 a - cos 2 B=cos2( %+B )-1 cos(2 % +2 B )=cos2( %+B )-1 2cos 2( % + B )-1_ i.2考點(diǎn)二三角函數(shù)的給值求值與給值求角問(wèn)題例 2已知 tan _ =3，則 1cos sin =.21 cos sin解析：因?yàn)閠an3, 一 ,2sin2 sin所以原式=2-2.2cos - sin22sin2

14、- 2sin -cos-=22222cos - 2sin -cos-2222tan - tan-二 221 tan- 2=tan -2=3.答案：3反思?xì)w納已知三角函數(shù)值，求三角函數(shù)式值的一般思路(1)先化簡(jiǎn)所求式子；(2)觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系(從三角函數(shù)名及角入手)；(3)將已知條件代入所求式子，化簡(jiǎn)求值.口遷移訓(xùn)練1.(2019 -臺(tái)州高三模擬)在斜ABCCh1 ,sin A=-ccos Bcos C,且 tanB tan C=1-凡則角A的值為.解析：由已知 sin(B+C尸-72cos Bcos C,所以 sin Bcos C+cos Bsin C=-2 cos Bcos

15、C,所以 tan B+tan C=- 2,又 tan B - tan C=1- 口所以 tan(B+C尸 tanB tanC =-1,1 tan BtanC所以 tan A=1,又0<A<兀，所以A=；.答案：-42.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a為大于1的常數(shù))的兩根為tan % ,tanB,且,(36(- 2, )，則 tan 二 的值是.解析：因?yàn)閍>1, 所以 tan % +tan B =-4a<0,tan -tan B =3a+1>0,所以tan % ,tan B是方程x2+4ax+3a+1=0的兩個(gè)負(fù)根,又, B6(- 2,2),所以, (36

16、(- j,0),即丁 6(- ；,0),由 tan (4a1 3a 1tan tanOC + p )=1 tan tan可得 tan - =-2.答案:-2考點(diǎn)三三角恒等變換的應(yīng)用例3 (2018 金華十校模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角口與鈍角B的終邊與單位圓分別交于點(diǎn)A,B,x軸正半軸與單位圓交于點(diǎn) M,已知Saoa=T，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是噂.(1)求 cos ( % - B )的值;(2)求2 % - (3的值.解：(1)根據(jù)題意知，OA=OB=1.由 S OA=也和%為銳角, 5得 sin % 二等,cos %=*，又點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是條,(3為鈍角,所以 sin

17、 B = ,cos (3 =- 72.r 10r 10所以 cos( a - B 尸cos % cos (3 +sin % sin BL2)+ llx-2 1051010解：(2)因?yàn)?cos 2 %=2cos2%-1=2X(*2-1=-|,sin 2 %=2sin -cos %=2X 乎 哼且0<%< p所以2% ( ( j兀).因?yàn)锽 6 (。兀)，-cos 2 a - sin所以 2% - B 6 (- p -2).sin(2 a - B )=sin 2 a - cos故 2% - B =-彳.反思史納三角恒等變換的綜合應(yīng)用主要是將三角恒等變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過(guò)變形

18、，將復(fù)雜的函數(shù)式子化為y=Asin( 3x+ )+b的形式再研究性質(zhì)，在研究性質(zhì)時(shí)注意利用整體思想解決相 關(guān)問(wèn)題.口遷移訓(xùn)練已知函數(shù) f(x)=cos 2x+sin xcos x,x R.求可)的值；6 '(2)若 sin % =3，且 6 (:,兀)，求 f( ； + A).解：(1)f(:尸cos2' +sincos q=()2+- x 史 2，22_3.3.4解：(2) 因?yàn)?f(x)=cos 2x+sin xcos x=1 cos2x + 1sin 2x 22= 1+1 (sin 2x+cos 2x)=1 +孝 sin(2x+ j),所以 f( _ + )= 1 + s

19、in(' 224'22'= 1 + y sin( %+ ：)%).= 1 + y ( 1sin %+gcos又因?yàn)閟in % =3,且 65所以 cos % =-4 , 5所以 f( a+5尸 1+q(2x5-=10 2 2 4 620類型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與給角求值1.0 00cos85 sin25 cos30ocos25等于（(A)- q (B) -1 (C) 2C )(D)1解析：原式=sin5o _3 sin25o2o-0cos25o o 3osin(30 25 ) sin25cos25olcos250=2cos25o=1.2故選C.2.cos ： - cos

20、 § 的值是(B )(A)4(B) 4 (C)2 (D),無(wú)無(wú)2無(wú) 1 . 4無(wú)sin cos - cos -sin 解析：原式=555 二 45無(wú) 4sin 5無(wú)sin 5故選B.3.若0是第二象限角,且 cos - <0,則.1 sin的值是sin cos22解析：0是第二象限角，且cos -<0,所以2k兀+5兀< <2k兀+3兀，k 乙 422- cossin cossin cos 222 2sin cos sin2一.1 sin 2222cos sin 二 22sin _ cos_ 22=-1.答案：-14.化簡(jiǎn) sin4x1 cos4xcos2x1

21、 cos2xcosx1 cosx解析：原式二2sin 2xcos2x2cos2 2xcos2x . cosx 1 cos2x 1 cosx_ sin 2x1 cos2x2sin xcosx22cos xcosx1 cosxcosx1 cosxsinx1 cosx二tan x.2答案:tan x2類型二三角函數(shù)求值5.若。<“ <2,-2<B<°，cos( ；+%)=3,3( ；-)q,則 cos( % +-)等于(C )(A)停(B)-停(C) 593 (D)-16解析:cos( 0C +-) =cos( ：+%)-( 4-)=cos( : +%)cos( ；

22、- -)+sin( : + % )sin( :-),因?yàn)?<% <j,所以:< f+% <3f,所以 sin( - + a )=". 43又-<B <0,所以 4V4-2<2,所以 sin( /-_)=_1.故 cos( a +_)=1x 立 + 空2X26=速.'2，33339故選C.6 .已知 sin x+cos x=1,貝U 12 sin2x2 =.cos x sin x2解析:由于 122x2 =( sx)=cos x-sin x,cos x sin x (sin x cosx)(cosx sin x)因?yàn)?sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=1,故 sinx。，或 cosx 0,cosx 1 sinx 1,代入解得 12 sin2x2 =cos x-sin x= ± 1. cos x sin x答案：±17 .已知 cos2 a -cos 2 B =a,那么 sin( % + B ) , sin( % - B )等于.解析:sin( %+B) sin( %-B)=(sin a cos B +cos % sin B ) (sin % cos B -cos % sin B ) =sin 2 a cos2 B -cos 2 % sin 2 B=(1-cos