1、2.3.1拋物線及其標準方程拋物線及其標準方程問題情景：問題情景： 某拋物線形拱橋跨度是米，拱高米，在建某拋物線形拱橋跨度是米，拱高米，在建橋時每隔米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱橋時每隔米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱長長想一想？想一想？ 回憶前面我們?nèi)绾吻髾E圓雙回憶前面我們?nèi)绾吻髾E圓雙曲線的標準方程的曲線的標準方程的 探討：建立平面直角坐標系的方案探討：建立平面直角坐標系的方案FPlH學生活動：學生活動：如何定義拋物線？如何定義拋物線？ FPlH222)2(pxypx將上述兩邊平方并化簡得將上述兩邊平方并化簡得) 0(22ppxyxyoN作作PHl又設又設P（x，y)，設焦點設焦點F

2、到準線到準線)0 ,2(p則由定義可知，則由定義可知，PF=PH，得，得的距離為的距離為p,則則Fl，垂足為，垂足為H，數(shù)學建構數(shù)學建構）拋物線標準方程的推導）拋物線標準方程的推導建立直角坐標系建立直角坐標系xOy，如右圖，如右圖以直線以直線NF為為x軸，線段軸，線段NF的垂直平分線為的垂直平分線為y軸軸解：過解：過F做直線做直線FN, l垂足為垂足為N頂點在原點頂點在原點對稱軸對稱軸為為x軸軸標準方程為標準方程為開口與開口與x軸同向軸同向:開口與開口與x軸反向軸反向:對稱軸對稱軸為為y軸軸標準方程為標準方程為 開口與開口與y軸同向軸同向:開口與開口與y軸反向軸反向:2) 拋物線的標準方程拋物

3、線的標準方程)0(22ppxypxy22pxy22)0(22ppyxpyx22pyx22總體印象總體印象:簡潔、對稱簡潔、對稱 標準方程標準方程 準準 線線 焦焦 點點yxo)圖形圖形）完成下列圖表）完成下列圖表yxoyxoyxo(2)221xy可化為可化為,22yx則則2p=-2, p=-1,則此拋物線的焦點坐標為則此拋物線的焦點坐標為(1,0)準線方程為準線方程為x=-1數(shù)學應用數(shù)學應用例例. (1)求拋物線求拋物線xy42的焦點坐標和準線方程的焦點坐標和準線方程(2)求拋物線求拋物線221xy的焦點坐標和準線方程的焦點坐標和準線方程解解: (1)由題意由題意2p=4,p=2,則此拋物線的

4、焦點坐標為則此拋物線的焦點坐標為(1,0),準線方程為準線方程為x=-1變題：求拋物線變題：求拋物線2ayx 的焦點坐標和準線方程的焦點坐標和準線方程,12xay提示：提示：分類討論分類討論時時；00aaap12點撥先定位，后定量點撥先定位，后定量(3)過點（，）的拋物線的標準方程過點（，）的拋物線的標準方程變題：根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程變題：根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程 (1)焦點為焦點為(-2,0)(2)焦點到準線的距離為焦點到準線的距離為xy82xy82xy82yx82yx82或或或或, 229p解解(3) : 設所求的拋物線方程為設所求的拋物線方程為pxy22),0(22ppy

5、x由過點由過點(-3,2)知知)3(24p或或或或32p,49p故所求的拋物線的方程為故所求的拋物線的方程為yx292xy342得得或或或或(3)過點（，）的拋物線的標準方程過點（，）的拋物線的標準方程(4)焦點在直線焦點在直線x+3y+15=0上上變題：根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程變題：根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程 (1)焦點為焦點為(-2,0)(2)焦點到準線的距離為焦點到準線的距離為解解:(4)拋物線的焦點可能在拋物線的焦點可能在x軸也可能在軸也可能在y軸上軸上當拋物線的焦點在當拋物線的焦點在x軸上時軸上時,又焦點也在直線又焦點也在直線焦點坐標為焦點坐標為30,152pp0153 y

6、x)0 ,15(即即時時所求拋物線的方程為所求拋物線的方程為xy602當拋物線的焦點在當拋物線的焦點在y軸上時軸上時,同理可得拋物線的方程為同理可得拋物線的方程為yx202這時拋物線的方程是這時拋物線的方程是時，時，拋物線的方程是拋物線的方程是3)4(1mxy820mxy162解得解得8m解：當解：當時時,由由p=m,得得這時拋物線的標準方程是這時拋物線的標準方程是拋物線的準線與直線拋物線的準線與直線的距離為的距離為0m42mp4mx1x變題：變題：mxy2的準線與直線的準線與直線x=1的距離為，的距離為，設拋物線設拋物線求拋物線方程求拋物線方程點撥：求拋物線的標準方程關鍵是知道標準方點撥：求

7、拋物線的標準方程關鍵是知道標準方程的類型和的值程的類型和的值例：某拋物線形拱橋跨度是米，拱高米，在建橋時每隔例：某拋物線形拱橋跨度是米，拱高米，在建橋時每隔米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱長米需用一支柱支撐，求其中最長的支柱長ABCDEF解解:以拱頂為原點以拱頂為原點, xyoACDM EFBCDEF水平線為水平線為x軸軸,建立建立平面直角坐標系平面直角坐標系如圖所示如圖所示:由題意由題意,得得).410(),410(,4,20，為的坐標分別，點BAOMAB設拋物線的方程為設拋物線的方程為),0(22ppyx將點將點A的坐標代入的坐標代入,得得, 5 .12),4(2100pp解得) 1 (

8、252yx拋物線的方程為C,D,E,F是線段是線段AB的五等分點的五等分點,E點坐標應為點坐標應為(2,-4),E點的橫坐標也是，代入點的橫坐標也是，代入()得得y=-0.16所以所以.84.3)4()16.0(EE因此最長的長柱長應為因此最長的長柱長應為3.84米米點撥：本題屬于應用性問題，解決應用性問題的關鍵點撥：本題屬于應用性問題，解決應用性問題的關鍵是建立符合題意的數(shù)學模型，該題的數(shù)學模型較為明顯，是建立符合題意的數(shù)學模型，該題的數(shù)學模型較為明顯，就是建立平面直角坐標系，設出拋物線方程的類型，就是建立平面直角坐標系，設出拋物線方程的類型，求出拋物線的方程，從而得到支柱的長求出拋物線的方程，從而得到支柱的長）求下列拋物線的焦點坐標和準線方程）求下列拋物線的焦點坐標和準線方程課堂練習課堂練習）根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程）根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程(1) 焦點（，）焦點（，）(2) 準線方程是準線方程是x=-0.25(3) 焦點到準線的距離為焦點到準線的距離為xy20)1 (2yx21)2(208)4(2yx052)3(2 xy的距離小的距離小1,求點求點M的軌跡方程的軌跡方程探究與拓展探究與拓展:已知點已知點M與點與點F(4,0)的距離比直線的距離比直線