專題04一元一次方程

*思維導(dǎo)圖

定義：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1,這柱的方程叫做一元一次方程.

方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解.

€解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程.

等式的性質(zhì)1:等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.

等式的基本性質(zhì)

等式的性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)（或除以同一個(gè)不為0的數(shù)），結(jié)果仍相等.

一元一次方程「

\①宙、②設(shè).③找

\列方程解應(yīng)用題的步驟

\J?④列、⑤解、⑥答

\/—去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并、系數(shù)化為］

'------元一次方程的解法Y

、一特殊解法、利用整體思想

?核心考點(diǎn)聚焦

1.判斷是否是一元一次方程

2.根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問(wèn)題

3.等式的基本性質(zhì)

4.解一元一次方程

5.解一元一次方程中錯(cuò)解復(fù)原

6.已知一元一次方程的解求參數(shù)的值

7.已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù)，求參數(shù)的值

8.已知含參數(shù)的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解

9.一元一次方程中新定義運(yùn)算型問(wèn)題

10.利用一元一次方程解決銷售利潤(rùn)問(wèn)題

11.利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問(wèn)題

12.解一元一次方程的拓展問(wèn)題

、一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元）,未知數(shù)的次數(shù)都是L這樣的方程叫做一元一次方程.

細(xì)節(jié)剖析：

判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：

①只含有一個(gè)未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)為L(zhǎng)

②未知數(shù)所在的式子是整式,即分母中不含未知數(shù).

3.方程的解：使方程的左、右兩邊±1笠的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解.

4.解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程.

二、等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則

1.等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子）,結(jié)果仍相等.

等式的性質(zhì)2：等式兩邊塞同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.

2.合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加（減）作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變.

3.去括號(hào)法則：

（1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù),去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)擔(dān)圓.

（2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù),去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反.

三、一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

（2）去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào),再去中括號(hào),最后去大括號(hào).

（3）移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊.

（4）合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),把方程化為"=優(yōu)存0）的形式.

（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以來(lái)知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=2b（存0）.

a

（6）檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相笠，則是方程的解；若方程左右兩邊的值丕

相等,則不是方程的解.

四、列方程解應(yīng)用題的步驟：

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關(guān)系；

②設(shè)：設(shè)未知數(shù)（一般求什么，就設(shè)什么為無(wú)）；

③找：找出能夠表示應(yīng)用題全部意義的一個(gè)相等關(guān)系；

④列：根據(jù)這個(gè)相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，進(jìn)而列出方程；

⑤解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；

⑥答：檢驗(yàn)所求解是否符合題意，寫(xiě)出答案（包括單位名稱）.

五、用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類型

1.行程問(wèn)題：路程=速度x時(shí)間

2.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)=商品售價(jià)一商品進(jìn)價(jià)

3.工程問(wèn)題：工作量=工作效率x工作時(shí)間,各部分勞動(dòng)量之和=總量

4.銀行存貸款問(wèn)題：本息和=本金+利息,利息=本金x利率x期數(shù)

5.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：abcd=axlO3+bxlO2+cxlO+d

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1.理解并應(yīng)用一元一次方程的定義，明確只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1.

2.解含有分母的一元一次方程，去分母時(shí)，常數(shù)項(xiàng)一定要記得乘最小公倍數(shù).

3.用一元一次方程解決銷售利潤(rùn)問(wèn)題與數(shù)軸上的追及問(wèn)題是一類難點(diǎn)，要善于總結(jié)通用的解題思想.

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A考點(diǎn)剖析

考點(diǎn)一、判斷是否是一元一次方程

例題1：（2023上?四川涼山?七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列方程中：

3c3元一74—7九

5x+9=0,3—尤=5,無(wú)2-2x+l=12,5尤+2y=0,^—=——一元一次方程的個(gè)數(shù)是（）

尤32

A.3個(gè)B.2個(gè)C.5個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【解析】方程5x+9=0,衛(wèi)3r—尸7=個(gè)4—上7r都是一元一次方程，共有2個(gè)，

方程士3-x=5中的3?不是整式，不是一元一次方程，

XX

方程尤2一2元+1=12中V的次數(shù)是2,不是一元一次方程，

方程5尤+2y=。中含有兩個(gè)未知數(shù)，不是一元一次方程，

故選B.

考點(diǎn)二、根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問(wèn)題

例題2:已知2逑々+3=0是關(guān)于x的一元一次方程，則m=.

【答案】3

【解析】因?yàn)?心々+3=0是關(guān)于尤的一元一次方程，所以取2=1,解得根=3.故答案為：3.

考點(diǎn)三、等式的基本性質(zhì)

例題3：下列運(yùn)用等式的性質(zhì)對(duì)等式進(jìn)行的變形中，錯(cuò)誤的是（）

A.若*=',貝i」x-3=y-3B.若。=8，貝!Jac=bc

C.若a卜2+1）=6.+1）,貝!]a=6D.若a=6,則q=

【答案】D

【解析】A、若無(wú)=兒則X-3=y-3,正確，不符合題意.

B、若a=b,則ac=/?c,正確，不符合題意.

C、若a(f+l)=6(f+l),貝丘=人正確,不符合題意.

D、若。=人，則3=2,當(dāng)cwO才成立，錯(cuò)誤，符合題意.

CC

故選D.

考點(diǎn)四、解一元一次方程

9_i_1X_1

例題4：解方程：(l)3x+20=4x-25；(2)毛r匚+三=1.

63

【解析】(1)移項(xiàng)，得3x—4x=—25—20，

合并同類項(xiàng)，得-x=-45,

系數(shù)化為1,得x=45,

所以方程的解為x=45；

(2)去分母，得2x+l+2(x—1)=6,

去括號(hào)，得2x+l+2x-2=6,

移項(xiàng)，得2x+2x=6+2-l,

合并同類項(xiàng)，得4x=7,

一7

系數(shù)化為1,得工=:，

4

7

所以方程的解為關(guān)=

4

考點(diǎn)五、解一元一次方程中錯(cuò)解復(fù)原

例題5：老師讓同學(xué)們解方程9-1=空，某同學(xué)給出了如下的解答過(guò)程:

去分母，得3(x-l)-l=2(2x+l)①，

去括號(hào)，得括-1-1=4%+1②,

移項(xiàng)，得3x+4x=l-l-l③，

合并同類項(xiàng)，得7x=-l④，

兩邊都除以7,得x=-3⑤，

根據(jù)該同學(xué)的解答過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)：

(1)從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，該步錯(cuò)誤的原因是；

(2)請(qǐng)你給出正確的解答過(guò)程.

【解析】(1)由題意可得，

第①開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，該步錯(cuò)誤的原因是：-1沒(méi)有乘以6,

故答案是：①，-1沒(méi)有乘以6；

（2）去分母，得3（x-l）—6=2（2x+l）,

去括號(hào)，得3x-3-6=4x+2,

移項(xiàng)，得3x-4x=2+3+6,

合并同類項(xiàng)，得-x=ll,

兩邊都除以T,得x=-11.

考點(diǎn)六、已知一元一次方程的解求參數(shù)的值

例題6：已知關(guān)于x的方程］+。=-4的解是-6,則/。23的值是（）

A.1B.-1C.±1D.2023

【答案】B

【解析】將x=-6代入原方程得：］+。=-4,解得a=—l,

2

所以產(chǎn)3=（_1廣3=_］,故選B.

考點(diǎn)七、已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù)，求參數(shù)的值

例題7：若關(guān)于x的方程竺一--=1的解是整數(shù)，且人是正整數(shù)，則上的值是（）

24

A.1或3B.3或5C.2或3D.1或6

【答案】A

【解析】去分母，得2（履-2）-（尤-3）=4,

去括號(hào)，得2履-4—x+3=4,

移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得（20l）x=5,

系數(shù)化為1,得x=

2k-1

kx—DY—3

因?yàn)殛P(guān)于X的方程三——一=1的解是整數(shù)，

24

所以2*-1=±1或±5,

所以左=1或％=0或左=—2或左=3,

因?yàn)閗是正整數(shù)，所以％=1或左=3,故選A.

考點(diǎn)八、已知含參數(shù)的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解

例題8：若關(guān)于x的一元一次方程〃zx+5=3x-7的解為x=-3,則關(guān)于，的一元一次方程

機(jī)（丁+2）+5=3（丁+2）-7的解為（）

A.y=-3B.y=-4c.y=~5D.y=-6

【答案】C

【解析】設(shè)y+2=元,

貝ij7〃(y+2)+5=3(y+2)-7,變形為m>c+5=3x-l,

所以y+2=x=-3,解得y=-5,故選c.

考點(diǎn)九、一元一次方程中新定義運(yùn)算型問(wèn)題

例題9：規(guī)定的一種新運(yùn)算“*”：a*b=cr+2ab,例如：3*2=32+2x3x2=21.

⑴試求(-3)*(-2)的值；

⑵若(―3)*x=3x,求x的值；

⑶若(-5)*尤=芳+2,求x的值.

【解析】(1)(-3)*(-2)=(-3)2+2X(-3)X(-2)=9+12=21.

(2)(-3)*x=3x,

(-3)~+2x(-3)xx=3x,

9-6尤=3x,

X—\.

(3)(-5)*x=y+2,

(―5p+2x(—5)xxq+2,

3尤

25-10x=—+2,

2

50-20%=3^+4,

—23x=Y6,

x=2.

考點(diǎn)十、利用一元一次方程解決銷售利潤(rùn)問(wèn)題

例題10：貴陽(yáng)市人民廣場(chǎng)某超市第一次用7850元購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的

g多15件，甲、乙兩種商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：(注：獲利=售價(jià)-進(jìn)價(jià))

甲乙

進(jìn)價(jià)(元/件)2230

售價(jià)(元/件)2940

(1)該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣(mài)完后一共可獲得多少利潤(rùn)？

(2)該超市第二次以第一次的進(jìn)價(jià)又購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品.其中甲種商品的件數(shù)不變，乙種商品的件數(shù)是第

一次的3倍；甲商品按原價(jià)銷售，乙商品打折銷售.第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤(rùn)比第一次

獲得的總利潤(rùn)多230元，求第二次乙種商品是按原價(jià)打幾折銷售.

【解析】(1)設(shè)超市第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品X件，則購(gòu)進(jìn)乙種商品];X+151件,

由題意得：22X+30(；X+15]=7850,

所以x=200,

所以，X+15=LX200+15=115(件)，

-22

所以超市第一次購(gòu)進(jìn)甲種商品200件，乙種商品115件.

因?yàn)?00x(29-22)+115x(40-30)=2550(元)，

所以該超市將第一次購(gòu)進(jìn)的甲、乙兩種商品全部賣(mài)完后一共可獲得2550元利潤(rùn)；

(2)設(shè)第二次乙種商品是按原價(jià)打機(jī)折銷售，

根據(jù)題意，得200x(29-22)+115x3x140x號(hào)一30)=2550+230,

解得"z=8.5.

答：第二次乙種商品是按原價(jià)打八五折銷售.

考點(diǎn)十一、利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問(wèn)題

例題11:如圖，已知數(shù)軸上有A8兩點(diǎn)，點(diǎn)8在原點(diǎn)的右側(cè)，到原點(diǎn)的距離為3,點(diǎn)A在點(diǎn)3的左側(cè)，

AB=16.動(dòng)點(diǎn)RQ分別從兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，在數(shù)軸上勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度分別為2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒、

1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f秒.

---------11——?

AB

(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為;

(2)若動(dòng)點(diǎn)RQ均向右運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)r=2時(shí)，點(diǎn)p對(duì)應(yīng)的數(shù)是,RQ兩點(diǎn)間的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度；

②請(qǐng)問(wèn)當(dāng)f為何值時(shí)，點(diǎn)尸追上點(diǎn)Q,并求出此時(shí)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(3)若動(dòng)點(diǎn)。從3點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)后返回到8點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)尸從A點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。停止時(shí)，點(diǎn)尸也停止

運(yùn)動(dòng).請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)f為何值時(shí)，在和A3三條線段中，其中一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的4

倍.

【解析】(1)因?yàn)辄c(diǎn)B在原點(diǎn)的右側(cè)，到原點(diǎn)的距離為3,

所以點(diǎn)8表示的數(shù)為3,

因?yàn)辄c(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，AB=16,

所以點(diǎn)A表示的數(shù)為3-16=-13,

故答案為:-13；3.

(2)①當(dāng)/=2時(shí)，

點(diǎn)P向右運(yùn)動(dòng)了2x2=4個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)。向右運(yùn)動(dòng)了1x2=2個(gè)單位長(zhǎng)度，

所以點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的數(shù)為-13+4=-9,點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)為3+2=5,

P,Q兩點(diǎn)間的距離為5-(-9)=14個(gè)單位長(zhǎng)度，

故答案為：-9；14.

②當(dāng)點(diǎn)尸追上點(diǎn)。時(shí)，可得點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)與點(diǎn)。對(duì)應(yīng)的數(shù)相同，

故-13+2f=3+r,解得t=16,

此時(shí)點(diǎn)尸對(duì)應(yīng)的數(shù)為—13+2x16=19.

3x2

(3)當(dāng)點(diǎn)。停止時(shí)，所用時(shí)間為丁=6(s),

①當(dāng)=時(shí)，16-2?=4x2?,解得f=1.6；

②當(dāng)=時(shí)，4x(16-2r)=2r,解得/=6.4(舍去)；

③當(dāng)AB=4必時(shí)，16=4x2/,解得/=2；

④當(dāng)=時(shí)，16=4x(16-2/),解得t=6.

綜上所述，當(dāng)t=1.6,2或6時(shí)，在PAPB和AB三條線段中，其中一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的4

倍.

考點(diǎn)十二、解一元一次方程的拓展問(wèn)題

例題12：我們規(guī)定關(guān)于尤的一元一次方程辦=6的解滿足x=6-。,則稱該方程是“差解方程”，例如：3%=4.5

的解為尤=1.5,滿足x=4.5—3=1.5,則該方程3x=4.5就是“差解方程”，請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)定解答下列問(wèn)題：

【定義理解】

(1)判斷：方程2x=4_______差解方程；(填“是”或“不是”)

(2)若關(guān)于尤的一元一次方程4x=機(jī)是“差解方程”，求相的值；

【知識(shí)應(yīng)用】

(3)已知關(guān)于x的一元一次方程4x=H+a是“差解方程”，貝以而+0=.

(4)已知關(guān)于X的一元一次方程4%=7加Z+771和-2%=〃"+機(jī)都是"差解方程”，求代數(shù)式

3(7717?+m)—9(inn+n)~的值.

【解析】⑴因?yàn)榉匠?x=4的解為了=2=4-2,

所以方程2x=4是差解方程.故答案為：是;

(2)由題意可知尤=根-4,由一元一次方程可知％=所以機(jī)-4=丁，解得機(jī)=下；

(3)因?yàn)榉匠?x=次?+Q是“差解方程"，所以x=H+a-4,

解方程4x=ab+a,得x=

4

”…,ab+a

所以"+〃一4=-----,

4

所以3而+3〃=16,即3(必+。)=16.

故答案為：16；

(4)因?yàn)橐辉淮畏匠?]=沏+機(jī)是'差解方程”,

所以x=zm+m—4,

解一元一次方程4x=加:+加得X=”答

4

廣廣…/mn+m

所以根〃+加一4二------,

4

整理得3(/m+“)=16,

因?yàn)橐辉淮畏匠獭?x=rnn+m是“差解方程”，

所以％=/m+根+2，

m一、匚c/口mn+m

解一兀一次方程-2x=zm+加得力=-------，

cmn+m

所以根〃+根+2=-----------,

整理得加+m=——，

所以3(mn+m)-9(mm+n)2=3x(——)—9x(——)2=-4-16=—20.

，過(guò)關(guān)檢測(cè)

一、選擇題

1.下列方程中，是一元一次方程的是()

A.%2-4%=3B.—=3C.2（x-5）=5x-lD.x+2y=1

x

2.下列變形不一定正確的是()

A.若〃=仇根。0,則=B.若a=b,則〃2=〃

C.a=b,貝1Ja+2c=/?+2cD.若QC=/?C,貝（Ja=Z?

3.下列選項(xiàng)中，正確的是()

A.由5x——2%—3，項(xiàng)得'5x—2x—3

B.由芋=1+寸，去分母得2(2x—l)=l+3(x—3)

C.由2(2x-l)-3(x-3)=1,去括號(hào)得4%—2-3工一9%=1

-%0.17—0.2%也八E，i、，士6業(yè)乙/口10%17-20xy

D.4把4Tt而————=1中的分母化為整數(shù)，得吃---------—=1

若關(guān)于工的一元一次方程近=%+3的解為正整數(shù)，則整數(shù)%的值為(）

A.2B.4C.0或2D.2或4

5.現(xiàn)定義運(yùn)算“*”，對(duì)于任意有理數(shù)。與人滿足"36,7'譬如5*3=3x5-3=12,

l*l=l-3xl=-1.若有理數(shù)無(wú)滿足x*3=12,貝產(chǎn)的值為()

222

A.4B.5C.21D.5或21

二、填空題

6.若x-2y-l=0,則尤-2y=.

7.已知關(guān)于x的方程-x)=9與2x—5a=2有相同的解，貝.

8.若方程+8=0是關(guān)于龍的一元一次方程，則加=.

9.我國(guó)古代著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有共買(mǎi)雞，人出九，盈十一；人出六，不足十

六.問(wèn)人數(shù)、雞價(jià)各幾何.”其大意是：今有人合伙買(mǎi)雞，每人出9錢(qián)，會(huì)多出11錢(qián)；每人出6錢(qián)，又差16錢(qián).問(wèn)

人數(shù)、雞價(jià)各是多少.”設(shè)共有x人合伙買(mǎi)雞，根據(jù)題意，可列方程為.

10.已知關(guān)于x的一元一次方程——x+3=2x+b的解為尤=2,那么關(guān)于y的一元一次方程

2024

(y_l)+3=2(y—l)+b的解為y=.

---x+3=2x+b--—(y-l)+3=2(y-l)+b

20242024V717

三、解答題

11.解方程：

⑴14x=2x-6；⑵2(x+l)-7x=-8；

(3)4X-X=2(X-1)+5；(4)^yl-^i=l.

12.下面是小武同學(xué)解方程的過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù).

2(2x+l)-(5x-l)=6第①步；

4x+2—5x+1=6第②步;

4x—5x=6—1+2第③步；

一犬=7第④步；

x=-7第⑤步.

(1)【任務(wù)一】填空：

①以上解方程的步驟中，第步是進(jìn)行去分母，去分母的依據(jù)是;

②第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，這一步錯(cuò)誤的原因是.

(2)【任務(wù)二】請(qǐng)幫小武改正錯(cuò)誤，寫(xiě)出正確的解題過(guò)程.

13.對(duì)于有理數(shù)a,b,定義兩種新運(yùn)算“※”與“回”，規(guī)定：a※匕=片+2仍，a?b=\a+b\-\a-l],例如,

2^(-1)=22+2x2x(-1)=0,(-2)?3=|-2+3|-1-2-3|=-4.

⑴計(jì)算(-3蟀2的值；

(2)若m6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)?！蛏?/p>

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