專題04一元一次方程

*思維導圖

定義：只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1,這柱的方程叫做一元一次方程.

方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個方程的解.

€解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

等式的性質(zhì)1:等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等.

等式的基本性質(zhì)

等式的性質(zhì)2：等式兩邊同時乘同一個數(shù)（或除以同一個不為0的數(shù)），結(jié)果仍相等.

一元一次方程「

\①宙、②設.③找

\列方程解應用題的步驟

\J?④列、⑤解、⑥答

\/—去分母、去括號、移項、合并、系數(shù)化為］

'------元一次方程的解法Y

、一特殊解法、利用整體思想

?核心考點聚焦

1.判斷是否是一元一次方程

2.根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問題

3.等式的基本性質(zhì)

4.解一元一次方程

5.解一元一次方程中錯解復原

6.已知一元一次方程的解求參數(shù)的值

7.已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù)，求參數(shù)的值

8.已知含參數(shù)的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解

9.一元一次方程中新定義運算型問題

10.利用一元一次方程解決銷售利潤問題

11.利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問題

12.解一元一次方程的拓展問題

、一元一次方程的概念

1.方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.一元一次方程：只含有一個未知數(shù)（元）,未知數(shù)的次數(shù)都是L這樣的方程叫做一元一次方程.

細節(jié)剖析：

判斷是否為一元一次方程，應看是否滿足：

①只含有一個未知數(shù),未知數(shù)的次數(shù)為L

②未知數(shù)所在的式子是整式,即分母中不含未知數(shù).

3.方程的解：使方程的左、右兩邊±1笠的未知數(shù)的值叫做這個方程的解.

4.解方程：求方程的解的過程叫做解方程.

二、等式的性質(zhì)與去括號法則

1.等式的性質(zhì)：

等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子）,結(jié)果仍相等.

等式的性質(zhì)2：等式兩邊塞同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù),結(jié)果仍相等.

2.合并法則：合并時，把系數(shù)相加（減）作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變.

3.去括號法則：

（1）括號外的因數(shù)是正數(shù),去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號擔圓.

（2）括號外的因數(shù)是負數(shù),去括號后各項的符號與原括號內(nèi)相應各項的符號相反.

三、一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步驟：

（1）去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù).

（2）去括號：依據(jù)乘法分配律和去括號法則，先去小括號,再去中括號,最后去大括號.

（3）移項：把含有未知數(shù)的項移到方程一邊，常數(shù)項移到方程另一邊.

（4）合并：逆用乘法分配律,分別合并含有未知數(shù)的項及常數(shù)項,把方程化為"=優(yōu)存0）的形式.

（5）系數(shù)化為1：方程兩邊同除以來知數(shù)的系數(shù)得到方程的解x=2b（存0）.

a

（6）檢驗：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相笠，則是方程的解；若方程左右兩邊的值丕

相等,則不是方程的解.

四、列方程解應用題的步驟：

①審：審題，分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間關系；

②設：設未知數(shù)（一般求什么，就設什么為無）；

③找：找出能夠表示應用題全部意義的一個相等關系；

④列：根據(jù)這個相等關系列出需要的代數(shù)式，進而列出方程；

⑤解所列出的方程，求出未知數(shù)的值；

⑥答：檢驗所求解是否符合題意，寫出答案（包括單位名稱）.

五、用一元一次方程解決實際問題的常見類型

1.行程問題：路程=速度x時間

2.利潤問題：商品利潤=商品售價一商品進價

3.工程問題：工作量=工作效率x工作時間,各部分勞動量之和=總量

4.銀行存貸款問題：本息和=本金+利息,利息=本金x利率x期數(shù)

5.數(shù)字問題：多位數(shù)的表示方法：例如：abcd=axlO3+bxlO2+cxlO+d

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1.理解并應用一元一次方程的定義，明確只含有一個未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1.

2.解含有分母的一元一次方程，去分母時，常數(shù)項一定要記得乘最小公倍數(shù).

3.用一元一次方程解決銷售利潤問題與數(shù)軸上的追及問題是一類難點，要善于總結(jié)通用的解題思想.

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A考點剖析

考點一、判斷是否是一元一次方程

例題1：（2023上?四川涼山?七年級統(tǒng)考期末）下列方程中：

3c3元一74—7九

5x+9=0,3—尤=5,無2-2x+l=12,5尤+2y=0,^—=——一元一次方程的個數(shù)是（）

尤32

A.3個B.2個C.5個D.4個

【答案】B

【解析】方程5x+9=0,衛(wèi)3r—尸7=個4—上7r都是一元一次方程，共有2個，

方程士3-x=5中的3?不是整式，不是一元一次方程，

XX

方程尤2一2元+1=12中V的次數(shù)是2,不是一元一次方程，

方程5尤+2y=。中含有兩個未知數(shù)，不是一元一次方程，

故選B.

考點二、根據(jù)一元一次方程的定義求參數(shù)問題

例題2:已知2逑々+3=0是關于x的一元一次方程，則m=.

【答案】3

【解析】因為2心々+3=0是關于尤的一元一次方程，所以取2=1,解得根=3.故答案為：3.

考點三、等式的基本性質(zhì)

例題3：下列運用等式的性質(zhì)對等式進行的變形中，錯誤的是（）

A.若*=',貝i」x-3=y-3B.若。=8，貝!Jac=bc

C.若a卜2+1）=6.+1）,貝!]a=6D.若a=6,則q=

【答案】D

【解析】A、若無=兒則X-3=y-3,正確，不符合題意.

B、若a=b,則ac=/?c,正確，不符合題意.

C、若a(f+l)=6(f+l),貝丘=人正確,不符合題意.

D、若。=人，則3=2,當cwO才成立，錯誤，符合題意.

CC

故選D.

考點四、解一元一次方程

9_i_1X_1

例題4：解方程：(l)3x+20=4x-25；(2)毛r匚+三=1.

63

【解析】(1)移項，得3x—4x=—25—20，

合并同類項，得-x=-45,

系數(shù)化為1,得x=45,

所以方程的解為x=45；

(2)去分母，得2x+l+2(x—1)=6,

去括號，得2x+l+2x-2=6,

移項，得2x+2x=6+2-l,

合并同類項，得4x=7,

一7

系數(shù)化為1,得工=:，

4

7

所以方程的解為關=

4

考點五、解一元一次方程中錯解復原

例題5：老師讓同學們解方程9-1=空，某同學給出了如下的解答過程:

去分母，得3(x-l)-l=2(2x+l)①，

去括號，得括-1-1=4%+1②,

移項，得3x+4x=l-l-l③，

合并同類項，得7x=-l④，

兩邊都除以7,得x=-3⑤，

根據(jù)該同學的解答過程，你發(fā)現(xiàn)：

(1)從第步開始出現(xiàn)錯誤，該步錯誤的原因是；

(2)請你給出正確的解答過程.

【解析】(1)由題意可得，

第①開始出現(xiàn)錯誤，該步錯誤的原因是：-1沒有乘以6,

故答案是：①，-1沒有乘以6；

（2）去分母，得3（x-l）—6=2（2x+l）,

去括號，得3x-3-6=4x+2,

移項，得3x-4x=2+3+6,

合并同類項，得-x=ll,

兩邊都除以T,得x=-11.

考點六、已知一元一次方程的解求參數(shù)的值

例題6：已知關于x的方程］+。=-4的解是-6,則/。23的值是（）

A.1B.-1C.±1D.2023

【答案】B

【解析】將x=-6代入原方程得：］+。=-4,解得a=—l,

2

所以產(chǎn)3=（_1廣3=_］,故選B.

考點七、已知含參數(shù)的一元一次方程的解為整數(shù)，求參數(shù)的值

例題7：若關于x的方程竺一--=1的解是整數(shù)，且人是正整數(shù)，則上的值是（）

24

A.1或3B.3或5C.2或3D.1或6

【答案】A

【解析】去分母，得2（履-2）-（尤-3）=4,

去括號，得2履-4—x+3=4,

移項合并同類項，得（20l）x=5,

系數(shù)化為1,得x=

2k-1

kx—DY—3

因為關于X的方程三——一=1的解是整數(shù)，

24

所以2*-1=±1或±5,

所以左=1或％=0或左=—2或左=3,

因為k是正整數(shù)，所以％=1或左=3,故選A.

考點八、已知含參數(shù)的一元一次方程的解，求其他一元一次方程的解

例題8：若關于x的一元一次方程〃zx+5=3x-7的解為x=-3,則關于，的一元一次方程

機（丁+2）+5=3（丁+2）-7的解為（）

A.y=-3B.y=-4c.y=~5D.y=-6

【答案】C

【解析】設y+2=元,

貝ij7〃(y+2)+5=3(y+2)-7,變形為m>c+5=3x-l,

所以y+2=x=-3,解得y=-5,故選c.

考點九、一元一次方程中新定義運算型問題

例題9：規(guī)定的一種新運算“*”：a*b=cr+2ab,例如：3*2=32+2x3x2=21.

⑴試求(-3)*(-2)的值；

⑵若(―3)*x=3x,求x的值；

⑶若(-5)*尤=芳+2,求x的值.

【解析】(1)(-3)*(-2)=(-3)2+2X(-3)X(-2)=9+12=21.

(2)(-3)*x=3x,

(-3)~+2x(-3)xx=3x,

9-6尤=3x,

X—\.

(3)(-5)*x=y+2,

(―5p+2x(—5)xxq+2,

3尤

25-10x=—+2,

2

50-20%=3^+4,

—23x=Y6,

x=2.

考點十、利用一元一次方程解決銷售利潤問題

例題10：貴陽市人民廣場某超市第一次用7850元購進甲、乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)比甲商品件數(shù)的

g多15件，甲、乙兩種商品的進價和售價如表：(注：獲利=售價-進價)

甲乙

進價(元/件)2230

售價(元/件)2940

(1)該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得多少利潤？

(2)該超市第二次以第一次的進價又購進甲、乙兩種商品.其中甲種商品的件數(shù)不變，乙種商品的件數(shù)是第

一次的3倍；甲商品按原價銷售，乙商品打折銷售.第二次兩種商品都銷售完以后獲得的總利潤比第一次

獲得的總利潤多230元，求第二次乙種商品是按原價打幾折銷售.

【解析】(1)設超市第一次購進甲種商品X件，則購進乙種商品];X+151件,

由題意得：22X+30(；X+15]=7850,

所以x=200,

所以，X+15=LX200+15=115(件)，

-22

所以超市第一次購進甲種商品200件，乙種商品115件.

因為200x(29-22)+115x(40-30)=2550(元)，

所以該超市將第一次購進的甲、乙兩種商品全部賣完后一共可獲得2550元利潤；

(2)設第二次乙種商品是按原價打機折銷售，

根據(jù)題意，得200x(29-22)+115x3x140x號一30)=2550+230,

解得"z=8.5.

答：第二次乙種商品是按原價打八五折銷售.

考點十一、利用一元一次方程解決數(shù)軸上的追及問題

例題11:如圖，已知數(shù)軸上有A8兩點，點8在原點的右側(cè)，到原點的距離為3,點A在點3的左側(cè)，

AB=16.動點RQ分別從兩點同時出發(fā)，在數(shù)軸上勻速運動，它們的速度分別為2個單位長度/秒、

1個單位長度/秒，設運動時間為f秒.

---------11——?

AB

(1)點A表示的數(shù)為，點B表示的數(shù)為;

(2)若動點RQ均向右運動.

①當r=2時，點p對應的數(shù)是,RQ兩點間的距離為個單位長度；

②請問當f為何值時，點尸追上點Q,并求出此時點P對應的數(shù)；

(3)若動點。從3點向左運動到原點后返回到8點停止，動點尸從A點向右運動，當點。停止時，點尸也停止

運動.請直接寫出當f為何值時，在和A3三條線段中，其中一條線段的長度是另一條線段長度的4

倍.

【解析】(1)因為點B在原點的右側(cè)，到原點的距離為3,

所以點8表示的數(shù)為3,

因為點A在點B的左側(cè)，AB=16,

所以點A表示的數(shù)為3-16=-13,

故答案為:-13；3.

(2)①當/=2時，

點P向右運動了2x2=4個單位長度，點。向右運動了1x2=2個單位長度，

所以點尸對應的數(shù)為-13+4=-9,點。對應的數(shù)為3+2=5,

P,Q兩點間的距離為5-(-9)=14個單位長度，

故答案為：-9；14.

②當點尸追上點。時，可得點P對應的數(shù)與點。對應的數(shù)相同，

故-13+2f=3+r,解得t=16,

此時點尸對應的數(shù)為—13+2x16=19.

3x2

(3)當點。停止時，所用時間為丁=6(s),

①當=時，16-2?=4x2?,解得f=1.6；

②當=時，4x(16-2r)=2r,解得/=6.4(舍去)；

③當AB=4必時，16=4x2/,解得/=2；

④當=時，16=4x(16-2/),解得t=6.

綜上所述，當t=1.6,2或6時，在PAPB和AB三條線段中，其中一條線段的長度是另一條線段長度的4

倍.

考點十二、解一元一次方程的拓展問題

例題12：我們規(guī)定關于尤的一元一次方程辦=6的解滿足x=6-。,則稱該方程是“差解方程”，例如：3%=4.5

的解為尤=1.5,滿足x=4.5—3=1.5,則該方程3x=4.5就是“差解方程”，請根據(jù)上述規(guī)定解答下列問題：

【定義理解】

(1)判斷：方程2x=4_______差解方程；(填“是”或“不是”)

(2)若關于尤的一元一次方程4x=機是“差解方程”，求相的值；

【知識應用】

(3)已知關于x的一元一次方程4x=H+a是“差解方程”，貝以而+0=.

(4)已知關于X的一元一次方程4%=7加Z+771和-2%=〃"+機都是"差解方程”，求代數(shù)式

3(7717?+m)—9(inn+n)~的值.

【解析】⑴因為方程2x=4的解為了=2=4-2,

所以方程2x=4是差解方程.故答案為：是;

(2)由題意可知尤=根-4,由一元一次方程可知％=所以機-4=丁，解得機=下；

(3)因為方程4x=次?+Q是“差解方程"，所以x=H+a-4,

解方程4x=ab+a,得x=

4

”…,ab+a

所以"+〃一4=-----,

4

所以3而+3〃=16,即3(必+。)=16.

故答案為：16；

(4)因為一元一次方程4]=沏+機是'差解方程”,

所以x=zm+m—4,

解一元一次方程4x=加:+加得X=”答

4

廣廣…/mn+m

所以根〃+加一4二------,

4

整理得3(/m+“)=16,

因為一元一次方程—2x=rnn+m是“差解方程”，

所以％=/m+根+2，

m一、匚c/口mn+m

解一兀一次方程-2x=zm+加得力=-------，

cmn+m

所以根〃+根+2=-----------,

整理得加+m=——，

所以3(mn+m)-9(mm+n)2=3x(——)—9x(——)2=-4-16=—20.

，過關檢測

一、選擇題

1.下列方程中，是一元一次方程的是()

A.%2-4%=3B.—=3C.2（x-5）=5x-lD.x+2y=1

x

2.下列變形不一定正確的是()

A.若〃=仇根。0,則=B.若a=b,則〃2=〃

C.a=b,貝1Ja+2c=/?+2cD.若QC=/?C,貝（Ja=Z?

3.下列選項中，正確的是()

A.由5x——2%—3，項得'5x—2x—3

B.由芋=1+寸，去分母得2(2x—l)=l+3(x—3)

C.由2(2x-l)-3(x-3)=1,去括號得4%—2-3工一9%=1

-%0.17—0.2%也八E，i、，士6業(yè)乙/口10%17-20xy

D.4把4Tt而————=1中的分母化為整數(shù)，得吃---------—=1

若關于工的一元一次方程近=%+3的解為正整數(shù)，則整數(shù)%的值為(）

A.2B.4C.0或2D.2或4

5.現(xiàn)定義運算“*”，對于任意有理數(shù)。與人滿足"36,7'譬如5*3=3x5-3=12,

l*l=l-3xl=-1.若有理數(shù)無滿足x*3=12,貝產(chǎn)的值為()

222

A.4B.5C.21D.5或21

二、填空題

6.若x-2y-l=0,則尤-2y=.

7.已知關于x的方程-x)=9與2x—5a=2有相同的解，貝.

8.若方程+8=0是關于龍的一元一次方程，則加=.

9.我國古代著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十

六.問人數(shù)、雞價各幾何.”其大意是：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢.問

人數(shù)、雞價各是多少.”設共有x人合伙買雞，根據(jù)題意，可列方程為.

10.已知關于x的一元一次方程——x+3=2x+b的解為尤=2,那么關于y的一元一次方程

2024

(y_l)+3=2(y—l)+b的解為y=.

---x+3=2x+b--—(y-l)+3=2(y-l)+b

20242024V717

三、解答題

11.解方程：

⑴14x=2x-6；⑵2(x+l)-7x=-8；

(3)4X-X=2(X-1)+5；(4)^yl-^i=l.

12.下面是小武同學解方程的過程，請認真閱讀并完成相應任務.

2(2x+l)-(5x-l)=6第①步；

4x+2—5x+1=6第②步;

4x—5x=6—1+2第③步；

一犬=7第④步；

x=-7第⑤步.

(1)【任務一】填空：

①以上解方程的步驟中，第步是進行去分母，去分母的依據(jù)是;

②第步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是.

(2)【任務二】請幫小武改正錯誤，寫出正確的解題過程.

13.對于有理數(shù)a,b,定義兩種新運算“※”與“回”，規(guī)定：a※匕=片+2仍，a?b=\a+b\-\a-l],例如,

2^(-1)=22+2x2x(-1)=0,(-2)?3=|-2+3|-1-2-3|=-4.

⑴計算(-3蟀2的值；

(2)若m6在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡。◎生

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