1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上 特征函數(shù)的概念及意義目錄：一特征函數(shù)的定義。二常用分布的特征函數(shù)。三特征函數(shù)的應用。四緒論。一特征函數(shù)的定義設是一個隨機變量，稱 , ,為的特征函數(shù).因為，所以總是存在的，即任一隨機變量的特征函數(shù)總是存在的.當離散隨機變量的分布列為，則的特征函數(shù)為 , .當連續(xù)隨機變量的密度函數(shù)為,則的特征函數(shù)為 , . 與隨機變量的數(shù)學期望，方差及各階矩陣一樣，特征函數(shù)只依賴于隨機變量的分布，分布相同則特征函數(shù)也相同，所以我們也常稱為某分布的特征函數(shù).二常用分布的特征函數(shù)1、單點分布：其特征函數(shù)為 2、分布：，其特征函數(shù)為 ，其中. 3、泊松分布：，k=0,1，其特征函數(shù)為 .4

2、、均勻分布：因為密度函數(shù)為 所以特征函數(shù)為 . 5、標準正態(tài)分布：因為密度函數(shù)為 ， .所以特征函數(shù)為 =.其中 .三特征函數(shù)的應用 1、在求數(shù)字特征上的應用 求分布的數(shù)學期望和方差.由于的分布的特征函數(shù)為,于是由得，,由此即得.我們可以看出用特征函數(shù)求正態(tài)分布的數(shù)學期望和方差, 要比從定義計算方便的多.2、 在求獨立隨機變量和的分布上的應用利用歸納法, 不難把性質(zhì)4推廣到個獨立隨機變量的場合,而是個相互獨立的隨機變量, 相應的特征函數(shù)為的特征函數(shù)為. 設是個相互獨立的，且服從正態(tài)分布的正態(tài)隨機變量.試求的分布.由于的分布為，故相應的特征為.由特征函數(shù)的性質(zhì)的特征函數(shù)為 .而這正是的特征函數(shù).

3、由分布函數(shù)與特征函數(shù)的一一對應關系即知服從.3、 在證明二項分布收斂于正態(tài)分布上的應用在重貝努力實驗中，事件A每次出現(xiàn)的概率為p(0<p<1)，為次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，則 .要證明上述結(jié)論只需證明下面的結(jié)論，因為它是下面的結(jié)論一個特例.若是一列獨立同分布的隨機變量，且則有.證明 設的特征函數(shù)為則 的特征函數(shù)為又因為所以于是特征函數(shù)有展開式 .從而對任意的t有， .而是分布的特征函數(shù)，由連續(xù)定理可知 .成立，證畢.我們知道在是服從二項分布.的隨機變量，為“泊松分布收斂于正態(tài)分布” , 我們把上面的結(jié)論常常稱為“ 二項分布收斂于正態(tài)分布”.4、在求某些積分上的應用我們知道可以用遞推法，現(xiàn)在我們用特征函數(shù)來解決隨機變量服從，其密度函數(shù)為：，其特征函數(shù)為：，故 ，所以 ,由特征函數(shù)的性質(zhì) ，又 ，故 .即 四結(jié)論從上面的內(nèi)容可以看出：特征函數(shù)并不是一個抽象概念，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計的許多問題中，無論是證明還是應用，通過構造特征函數(shù)，比如在求分布的數(shù)學期望和方差；在求獨立隨機變量和的分布上的應用，利用獨立隨機變量和的特征函數(shù)為特征函數(shù)的積性質(zhì)推廣，往往能使問題得到簡化；在證明二項分布收斂于正態(tài)分布上的應