2025-2026學(xué)年人教版（2024）數(shù)學(xué)八年級上冊15.1.2.2線段的垂直平分線的有關(guān)作圖第十五章

軸對稱授課教師：

阿老師.

班級：

托克遜縣第一中學(xué)8（11）班.

時(shí)間：

2025.10.

有時(shí)我們感覺一（兩）個(gè)平面圖形是軸對稱的，如何驗(yàn)證呢？ABCA′B′C′

通過折疊，如果這（兩）個(gè)圖形能夠互相重合，則這（兩）個(gè)圖形是軸對稱圖形.問題1：學(xué)生活動(dòng)一

【一起探究】1.作線段的垂直平分線

1.如果點(diǎn)M，N

都在線段AB

的垂直平分線上，那么我們能畫出線段AB

的垂直平分線嗎？為什么？ABMN可以.如圖，過點(diǎn)M，N

畫一條直線，這條直線就是線段

AB

的垂直平分線.理由：因?yàn)辄c(diǎn)M，N

都在線段AB

的垂直平分線上，而兩點(diǎn)確定一條直線，所以直線MN

就是線段AB

的垂直平分線．1.作線段的垂直平分線

2.如何用直尺和圓規(guī)找出像M，N

這樣的點(diǎn)？說說你的想法.ABMN用圓規(guī)畫出到A，B

兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)即可.

3.用直尺和圓規(guī)作出線段AB

的垂直平分線.1.作線段的垂直平分線AB(1)分別以點(diǎn)A

和點(diǎn)B

為圓心，大于AB

的長為半徑作弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)；(2)作直線CD.CD

就是線段AB

的垂直平分線.CD也可以用這種方法確定線段的中點(diǎn)中點(diǎn)2.作對稱軸學(xué)習(xí)了線段的垂直平分線的作法，就可以作對稱軸了.任意找一對對應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對稱軸.1.如果兩個(gè)圖形成軸對稱，怎樣作出對稱軸？AA'l2.作對稱軸任意找一對對稱點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到此圖形的對稱軸.2.對于軸對稱圖形，怎樣作出對稱軸？試著作出這個(gè)五角星的其他對稱軸.AA'l1找：無論是作成軸對稱的兩個(gè)圖形的對稱軸，還是作軸對稱圖形的對稱軸，其關(guān)鍵都是找出圖形中的任意一對對稱點(diǎn)；2連：連接這對對稱點(diǎn)；3作：作所連線段的垂直平分線，該垂直平分線就是成軸對稱的兩個(gè)圖形或軸對稱圖形的對稱軸．利用線段的垂直平分線的作法畫對稱軸：針對訓(xùn)練教材P69練習(xí)第1題1.作出下列各圖形的一條對稱軸，和同學(xué)比較一下，你們作出的對稱軸一樣嗎？（1）（2）（3）（4）針對訓(xùn)練教材P69練習(xí)第2題2.如圖，與圖形（1）成軸對稱的是哪個(gè)圖形？作出它們的對稱軸.2.作對稱軸教材P68例題例

尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線.已知：直線

AB和AB外一點(diǎn)C.求作：AB

的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.ABC分析：假設(shè)所求作直線已經(jīng)作出，則它不僅過點(diǎn)C

與直線AB

垂直，而且是連接AB

上與垂足距離相等的兩點(diǎn)的線段的垂直平分線.先確定這兩點(diǎn)在直線AB

上且與點(diǎn)C

的距離相等即可教材P68例題ABC作法：如圖.(1)以點(diǎn)C

為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交直線AB

于點(diǎn)D

和點(diǎn)E.ED由(1)可知，點(diǎn)C

在線段DE

的垂直平分線上.因而再作出與D，E

距離相等的另一點(diǎn)F，就能得到線段DE

的垂直平分線．教材P68例題(2)分別以點(diǎn)D

和點(diǎn)E

為圓心，大于DE

的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F.(3)作直線CF.ABC直線CF

就是所求作的垂線.EDF針對訓(xùn)練尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線上的一點(diǎn)作這條直線的垂線.教材P69練習(xí)第3題解：已知：直線AB和AB上一點(diǎn)C(如圖).求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C.ABC針對訓(xùn)練教材P69練習(xí)第3題作法：如圖.(1)以點(diǎn)C

為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交直線AB

于點(diǎn)D

和點(diǎn)E；(2)分別以點(diǎn)D

和點(diǎn)E

為圓心，大于DE

的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)F；(3)作直線CF.直線CF

就是所求作的垂線.ABCEDF1.下面的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，畫出它的對稱軸.【教材P69習(xí)題15.1第1題】復(fù)習(xí)鞏固不是軸對稱圖形.2.圖中有陰影的三角形與哪些三角形成軸對稱？如果把4個(gè)三角形看成一個(gè)整體，它是軸對稱圖形嗎？共有幾條對稱軸？【教材P69習(xí)題15.1第2題】解：有陰影的三角形與三角形1、三角形3都成軸對稱.整個(gè)圖形是軸對稱圖形，它共有2條對稱軸.3.如圖，△ABC

和△A′B′C′關(guān)于直線l

對稱，∠B=90°，A′B′=6.求∠B′的度數(shù)和AB的長.【教材P70習(xí)題15.1第3題】解：∵△ABC和△A'B'C'

關(guān)于直線l

對稱，∴△ABC≌△A'B'C'.∴∠B'=∠B=90°，AB=A'B'=6.4.如圖，△ABC

中，DE

是AC

的垂直平分線，AE=3，△ABD

的周長為13.求△ABC

的周長.【教材P70習(xí)題15.1第4題】解：∵DE

是AC

的垂直平分線，∴DA=DC，AC=2AE=2×3=6.∵△ABD

的周長為13，∴AB+BD+DA=13.∴AB+BC+AC=AB+BD+DC+AC

=AB+BD+DA+AC=13+6=19，∴△ABC的周長為19.5.如圖，AB=AC，DB=DC，點(diǎn)E

在AD

上.求證EB=EC.【教材P70習(xí)題15.1第5題】證明：如圖，連接BC.∵AB=AC，∴點(diǎn)A

在線段BC

的垂直平分線上.∵DB=DC，∴點(diǎn)D

也在線段BC

的垂直平分線上.∴直線AD

是線段BC

的垂直平分線.又點(diǎn)E

在AD

上，∴EB=EC.6.下列各命題都成立，寫出它們的逆命題.這些逆命題成立嗎？（1）同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；【教材P70習(xí)題15.1第6題】逆命題：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).該逆命題成立.（2）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的平方相等；逆命題：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么它們相等.該逆命題不成立.逆命題：如果兩個(gè)三角形的對應(yīng)邊相等，那么這兩個(gè)三角形全等.該逆命題成立.（3）全等三角形的對應(yīng)邊相等.7.下面的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，作出它的一條對稱軸.【教材P70習(xí)題15.1第7題】綜合運(yùn)用不是軸對稱圖形.8.如圖，AD與BC相交于點(diǎn)O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE.求證：OE垂直平分BD.【教材P70習(xí)題15.1第8題】證明：在△AOB

和△COD

中，∠A=∠C，OA=OC，∠AOB=∠COD，∴△AOB≌△COD（ASA）.∴OB=OD.∴點(diǎn)O

在線段BD

的垂直平分線上.∵BE=DE，∴點(diǎn)E

也在線段BD

的垂直平分線上.∴OE

是線段BD

的垂直平分線.∴OE

垂直平分BD.9.如圖，分別以線段a，c

為一直角邊和斜邊，作直角三角形.【教材P71習(xí)題15.1第9題】解：如圖，△ABC就是所求作的直角三角形.10.如圖，某地由于居民增多，要在公路l

上增加一個(gè)公共汽車站，A，B是路邊兩個(gè)新建小區(qū)，這個(gè)公共汽車站建在什么位置，能使兩個(gè)小區(qū)到車站的路程一樣長？在圖上標(biāo)出它的位置.【教材P71習(xí)題15.1第10題】解：如圖，這個(gè)公共汽車站應(yīng)建在A，B

連線的垂直平分線與公路l

的交點(diǎn)C

處.11.如圖，△ABC

與△A′B′C′關(guān)于直線l

對稱，對應(yīng)線段AB

和A′B′所在的直線相交嗎？另外兩組對應(yīng)線段所在的直線相交嗎？如果相交，交點(diǎn)與對稱軸l

有什么關(guān)系？如果不相交，這組對應(yīng)線段所在直線與對稱軸l

有什么關(guān)系？再找?guī)讉€(gè)成軸對稱的圖形觀察一下，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？【教材P71習(xí)題15.1第11題】解：對應(yīng)線段AB

和A'B'

所在的直線相交，對應(yīng)線段BC和B'C'

所在的直線也相交，交點(diǎn)均在對稱軸l

上；對應(yīng)線段AC

和A'C'

所在的直線不相交，且這組對應(yīng)線段所在直線與對稱軸l

平行.規(guī)律：兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，它們的對應(yīng)線段所在直線如果相交，那么交點(diǎn)一定在這條對稱軸上；如果不相交，對應(yīng)線段所在直線重合或與對稱軸平行.12.如圖，電信部門要在S

區(qū)修建一座電視信號發(fā)射塔.按照設(shè)計(jì)要求，發(fā)射塔與兩個(gè)城鎮(zhèn)A，B

的距離相等，到兩條高速公路m

和n

的距離也相等.發(fā)射塔應(yīng)修建在什么位置？在圖上標(biāo)出它的位置.【教材P71習(xí)題15.1第12題】拓廣探索解：發(fā)射塔應(yīng)修建在AB

的垂直平分線與m

和n

所夾銳角的平分線的交點(diǎn)處.如圖，點(diǎn)P

即為符合條件的發(fā)射塔修建處.13.如圖，在△ABC

中，邊AB，BC

的垂直平分線相交于點(diǎn)P.【教材P71習(xí)題15.1第13題】（1）求證PA=PB=PC.（2）點(diǎn)P

是否也在邊AC

的垂直平分線上？由此你還能得出什么結(jié)論？證明：（1）證明：∵邊AB，BC

的垂直平分線交于點(diǎn)P，∴點(diǎn)P

在AB

的垂直平分線上.∴PA=PB.同理，PB=PC.∴PA=PB=PC.（2）解：由（1）知PA=PC，∴點(diǎn)P

也在邊AC

的垂直平分線上.由此可得出結(jié)論：三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn).知識點(diǎn)1

作線段的垂直平分線

D