1.3勾股定理的應(yīng)用第一章

勾股定理考試中經(jīng)常考查學(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。1.能從實際問題中抽象出幾何模型以及發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展抽象能力，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的習(xí)慣.2.靈活運用勾股定理及逆定理解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力、提高學(xué)生分析問題和解決問題能力.(重點)3.能熟練運用勾股定理解決最短路徑問題.(難點)回顧前面學(xué)過的內(nèi)容，回答問題：1.勾股定理的內(nèi)容是什么？直角三角形→a2+b2=c2a2+b2=c2→直角三角形2.勾股定理的逆定理是什么？ACBabc考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。裝修工人李叔叔想檢測某塊裝修用磚（如圖）的邊AD

和邊BC

是否分別垂直于底邊AB.（1）如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？ABCD探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用用卷尺分別測量

AD，DB，AB的長，若

AD2

+AB2＝DB2，則

∠A＝90°，即AD⊥AB.（2）李叔叔測得邊

AD

長30cm，邊

AB

長40cm，點

B，D

之間的距離是50cm.邊

AD

垂直于邊

AB

嗎?ABCD探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用∵AD2

+AB2＝302

+402＝2500，DB2＝502＝2500，

∴∠A＝90°，即AD⊥AB.所以邊

AD

垂直于邊

AB

考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化。科學(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。ABCD能檢驗.在

AD上從

A

點量取12cm得點

E，在

AB

上從

A

點量取16cm得點

F.因為122+162=202，用刻度尺測

EF

長度，若

EF=20cm，根據(jù)勾股定理逆定理，AD⊥AB；若

EF≠20cm，則

AD不垂直

AB.(3)如果李叔叔隨身只帶了一個長度為20cm的刻度尺，那么他能檢驗邊AD

是否垂直于邊

AB

嗎?EF【活動1】：動手折一折用一張直角三角形紙片折疊，你能發(fā)現(xiàn)折疊前后兩部分圖形有什么關(guān)系嗎？說明理由.如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊

AC=5cm，BC=10cm，將△ABC

折疊，使得

B

與

A

重合，折痕為

DE，你能求出

CD

的長嗎？ACBED分析：(1)本題已知什么？求的是什么？510探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。ACBED（3）觀察

CD

在哪一個三角形中？你能表示出這個三角形的每一條邊嗎？（2）本題將△ABC

折疊，使得

B

與

A重合，折痕為

DE，可得到什么？依據(jù)是什么？AD=BD；依據(jù)：折疊的性質(zhì).5

CD

在Rt△ACD中；x10-x10-x可設(shè)

CD=x，則

AD=

10-

x.10探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用ACBED5x10-x10-x10解：設(shè)

CD=xcm，則DB=(10-

x)cm，由題意，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得

AD=BD=10-

x，且AC=5.在Rt△ACD

中，由勾股定理得，AD2=AC2+CD2，如圖，一張直角三角形紙片，兩直角邊

AC=5cm，BC=10cm，將△ABC

折疊，使得

B

與

A

重合，折痕為

DE，你能求出

CD

的長嗎？(10-

x)2=52+x2，

探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用考試中經(jīng)常考查學(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。設(shè)

DF=xcm，則

CF=EF=(8-

x)cm，在Rt△DEF

中，DE2+DF2=EF2，則42+x2=(8-

x)2，解得

x=3.∴DF

的長為3cm.

如圖，正方形紙片

ABCD

的邊長為8cm，點

E

是邊

AD

的中點，將這個正方形紙片翻折，使點

C

落到點E

處，折痕交邊

AB

于點

G，交邊CD于點

F.你能求出

DF

的長嗎?

探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用問題2：試一試，你能利用以下折疊圖形，借助勾股定理，設(shè)計一個有關(guān)折疊的計算問題么？探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化。科學(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力?！揪氁痪殹?.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊

AC＝6cm，BC＝8cm，將△ABC折疊，使點

B與點

A重合，折痕為

DE，則

BE的長為（）A.4cmB.5cmC.6cmD.10cmB要點歸納：利用勾股定理解決折疊問題的一般步驟：①標(biāo)已知，設(shè)未知；②利用折疊，找相等；③利用勾股定理，列方程；④解方程，得解.探究點一：勾股定理與其他幾何知識的綜合運用考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用【活動2】：小組合作，設(shè)計方案，測量學(xué)校旗桿的高度．借助勾股定理，請你利用升旗的繩子、卷尺設(shè)計一個方案，測算旗桿的高度.以下是小麗設(shè)計的測量方案：項目背景項目方案測量實物圖：如圖，小麗制訂了如下測量方案，并進行實地測量.測量示意圖：測量過程：步驟一：如圖2，線段MN表示旗桿高度，MN垂直地面于點N.將系在旗桿頂端的繩子垂直到地面，并多出了一段NE．用皮尺測出NE的長度．0.5m7m1.5m項目方案測量示意圖：步驟二：如圖3，小麗同學(xué)將繩子末端放置于頭頂，向正東方向水平移動，直到繩子拉直為止，此時小麗同學(xué)直立于地面點B處．用皮尺測出點A與點B之間的距離.各項數(shù)據(jù)測量項目繩子垂到地面多出部分的長度小麗直立位置距旗桿底端的水平距離小麗身高數(shù)據(jù)探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。請根據(jù)表格所給信息，完成下列問題．問題：（1）直接寫出線段

MN與

AM之間的數(shù)量關(guān)系.MNEMNCAB圖2圖3AM=MN+0.5探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用(2)根據(jù)小麗的測量方案和數(shù)據(jù)，求出學(xué)校旗桿

MN

的高.解：過

A

作

AC⊥MN

于

C，則

AB=CN，AC=BN，根據(jù)題意得，AB=CN=1.5m.AC=BN=7m，AM=MN+0.5，∴CM=MN

-

CN=MN

-1.5，∵AM2=AC2+CM2，∴(MN+0.5)2=72+(MN

-1.5)2，解得

MN=12.75，答：學(xué)校旗桿MN的高12.75米.MNCAB探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用考試中經(jīng)常考查學(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。數(shù)學(xué)思想：實際問題數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化建模探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用

例1

今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何？(選自《九章算術(shù)》)題目大意：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為1丈的正方形.在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺.

如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的頂端恰好到達岸邊的水面.這個水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L度各是多少?BOCA探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。解：設(shè)水池的水深

OA為

x尺，則蘆葦?shù)拈L度

OB為(x+1)尺.由于蘆葦位于水池中央，所以

AC為5尺.在Rt△OAC中，由勾股定理，可得

AC2+OA2=OC2，即52

+x2

=(x+1)2.解得

x=12.12

+

1=13.因此，水池的深度是12尺，蘆葦?shù)拈L度是13尺.BOCA探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用

例2

如圖，在一次夏令營活動中，小明從營地

A

出發(fā)，沿北偏東

53°

方向走了400m到達點

B，然后再沿北偏西37°方向走了300m到達目的地

C.求A，C

兩點之間的距離.解析：把實際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，找到直角三角形，利用勾股定理求解.北CBEAD東探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建模可以將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。解：如圖，過點

B

作

BE∥AD.∴∠DAB=∠ABE=53°.∵37°+∠CBA+∠ABE=180°，∴∠CBA=90°.∴AC2=BC2+AB2=3002+4002=5002.∴AC=500m，即A、C

兩點間的距離為500m.方法總結(jié)：此類問題解題的關(guān)鍵是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；在數(shù)學(xué)模型（直角三角形）中，應(yīng)用勾股定理或勾股定理的逆定理解題.北CBEAD東探究點二：勾股定理在實際生活中的應(yīng)用

1.

強大的臺風(fēng)使得一根旗桿在離地面5m處折斷倒

下，旗桿頂部落在離旗桿12m處，旗桿折斷之前的

高度是(

D

)A.

12mB.

13mC.

17mD.

18mD第1題圖考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，其弧長等于圓錐底面的周長。解決構(gòu)造思想相關(guān)問題時，統(tǒng)計化是必不可少的步驟。數(shù)學(xué)建?？梢詫嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，如用函數(shù)模型描述人口增長。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，柱體體積是一個核心概念，學(xué)生需要學(xué)會線性化?？茖W(xué)記數(shù)法可以簡潔地表示很大或很小的數(shù)，如6.02×1023。通過四邊形分類的學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)學(xué)生的繪制能力。2.

如圖，某同學(xué)在做物理實驗時，將一支細玻璃棒

斜放入一只盛滿水的燒杯中，已知燒杯高8cm，玻

璃棒被水淹沒部分長10cm，則這只燒杯的底面直徑

是(

D

)A.

9cmB.

8cmC.

7cmD.

6cm第2題圖D3.

如圖，陰影部分是一個正方形，它的面積是

cm2.64

4.

如圖，要在兩幢樓房的房頂A，B間拉一根光纜

線(按線段計算)，則至少需要光纜線

m.10

考試中經(jīng)?？疾閷W(xué)生對位似變換的掌握程度，特別是復(fù)雜化的能力。圓錐的側(cè)面展開圖是一